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Universität Zürich, 16. September 2016
Vorkurs Grundlagen für das Mathematikstudium Übungsblatt 5: Funktionen, Abzählbarkeit und komplexe Zahlen Aufgabe 1. Sei X = {a, b}, Y = {4, }. Definieren die unten aufgeführten Vorschriften eine Funktion von X nach Y ? Falls ja, sind sie injektiv, surjektiv, bijektiv? (a) a
b
/4
(b)
/
a
/4
b
(c)
a
b
4 ?
(d)
a
/4 ?
b
Was passiert, wenn links (Buchstaben) und rechts (Figuren) nicht mehr die gleiche Anzahl von Objekten steht? Gibt es injektive, surjektive Funktionen?
Aufgabe 2. Zeichne den Graphen einer reellen Funktion f : [0, 1] → [0, 1] mit folgenden Eigenschaften (falls möglich!): (a) monoton steigend und surjektiv; (b) streng monoton fallend und nicht injektiv; (c) monoton steigend und monoton fallend; (d) surjektiv, aber nicht injektiv; (e) injektiv, aber nicht surjektiv; (f) streng monoton fallend und nicht surjektiv.
Aufgabe 3. (a) Bestimme den grösstmöglichen Definitionsbereich innerhalb der reellen Zahlen für die folgenden Funktionen: f (x) :=
√ 3
x2 −
p 4 − x2 ,
g(x) :=
p 1 − |x|,
und h(x) :=
1 . [x]
Dabei bezeichnet [x] die sogenannte Gaussklammer, welche folgendermassen definiert ist: [x] := grösstes Element der Menge {n ∈ Z | n ≤ x} (b) Gib eine möglichst grosse Teilmenge von R an, auf der f (x) := x + [x] injektiv ist. (c) Zeige, dass f (x) := 3x2 + 6x + 13 auf {x ∈ R | x > −1} injektiv ist.
Aufgabe 4. Zeige folgende Aussagen. (a) Falls A abzählbar ist und B ⊆ A, so ist auch B abzählbar. (b) Falls An eine abzählbare Menge ist für jedes n ∈ N, so ist auch [ An = {x | ∃n ∈ N : x ∈ An } n∈N
abzählbar. Aufgabe 5. Sei f : A → B eine bijektive Funktion. Zeige, dass falls A abzählbar ist, so ist auch B abzählbar, und falls A überabzählbar ist, so ist auch B überabzählbar. Aufgabe 6. Welche der folgenden Mengen sind abzählbar? (a) R \ Q (b) Q2 = Q × Q (c) die Menge X aller Funktionen {0, 1} → N (d) die Menge Y aller Funktionen N → {0, 1}. Aufgabe 7. (a) Berechne folgende komplexe Zahlen. (1) in , n ∈ Z
(2)
1−i 1+i
(3) ii
(b) Berechne alle 8. Einheitswurzeln. Hinweis: Verwende Polynomdivision. Aufgabe 8. Verwende die Eulersche Formel, um folgende Gleichheiten zu beweisen: (a) die Formel von de Moivre: (cos x + i sin x)n = cos(nx) + i sin(nx) für x ∈ R und n ∈ N. (b) die Additionstheoreme für Sinus und Kosinus: cos(x + y) = cos x cos y − sin x sin y sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y. Aufgabe 9. Zeige, dass, wenn man zwei komplexe Zahlen dividiert, man wieder eine komplexe Zahl erhält. Konkret: Falls z, w ∈ C mit w 6= 0, so ist auch v := wz ∈ C. Berechne v sowohl in der Koordinatendarstellung (Real- und Imaginärteil) als auch in der Polardarstellung. Aufgabe 10. Man verteilt 25 Quadrate auf einem karierten Brett der Grösse 25 × 25, und zwar so, dass sie bezüglich einer Diagonale symmetrisch verteilt sind und keine zwei Quadrate aufeinander liegen. Beweise durch Widerspruch, dass mindestens eines der Quadrate auf der Diagonalen liegt.
