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Arithmetik und Geometrie
Sommersemester 2015
Übungsblatt 7 Aufgabe 1 a) Ein Schüler tritt mit einer Frage an Sie heran: „Ich habe im Internet gelesen, dass für die Teilbarkeit durch 7 und 11 dieselbe Teilbarkeitsregel gilt: Sowas mit Dreierblöcken und dann von hinten abwechselnd plus und minus. Heißt das, dass alle Zahlen beim Teilen durch 7 denselben Rest lassen wie beim Teilen durch 11?“ Was antworten Sie? b) Ein anderer Schüler bekommt das Gespräch mit und sagt: „Und ich habe im Internet gelesen, dass beim Teilen durch 11 die Regel mit der alternierenden Quersumme gilt, also nicht das mit den Dreierblöcken. Welche Regel stimmt denn jetzt?“ Was antworten Sie?
Aufgabe 2 Sie wollen das Dividieren in fremden Stellenwertsystemen üben. Dazu möchten Sie Divisionen rechnen, die ohne Rest aufgehen. Erfinden Sie mindestens drei Aufgaben in verschiedenen Stellenwertsystemen mit verschiedenen Divisoren, die ohne Rest aufgehen. Zum Erfinden der Aufgaben sollen Sie keine Hilfsmittel (wie z. B. einen Taschenrechner) verwenden und nicht in das Dezimalsystem umrechnen. Dokumentieren Sie bitte immer, wie Sie sichergestellt haben, dass die Division aufgeht, damit wir Ihre Ideen in den Übungen besprechen können. Lösen Sie anschließend Ihre Aufgaben durch schriftliche Division. Aufgabe 3 Erfinden und begründen Sie eine Teilbarkeitsregel für die Division durch 13 (Dezimaldarstellung), wenn der Dividend im Fünfersystem dargestellt ist. Ihre Regel könnte folgende Struktur aufweisen: „Jede natürliche Zahl x lässt bei der Division durch 13 (=235) denselben Rest wie ……………… …………………. der Darstellung von x zur Basis 5.“ Hinweis: Eventuell müssen Sie zur Formulierung der Regel einen neuen Begriff erfinden. Die aus der Vorlesung bekannten Begriffe wie z. B. Quersumme, alternierende Quersumme, alternierende Dreierblocksumme, … sind vermutlich ungeeignet.
Aufgabe 4 Wahr oder falsch? Entscheiden und begründen Sie! a) Jede natürliche Zahl, deren Darstellung im Siebenersystem nur die Ziffern 0, 2, 3, 6 enthält (ggf. mehrfach und in beliebiger Reihenfolge), ist gerade. b) Ist die Basis b größer als 7, so ist jede Zahl, deren Darstellung zur Basis b nur aus den Ziffern 0 und 7 besteht (beide Ziffern dürfen beliebig oft und in beliebiger Reihenfolge auftreten), durch 7 teilbar. c) Die Basis b sei ungerade. Dann gilt für jede natürliche Zahl x: Ist die letzte Ziffer der Darstellung von x zur Basis b ungerade, so ist x gerade. d) Für jede natürliche Zahl x, deren Darstellung im Dezimalsystem nur aus Einsen besteht, gilt: x ist genau dann durch 11 teilbar, wenn die Anzahl der Stellen von x gerade ist. e) Jede natürliche Zahl, deren Darstellung im Dezimalsystem nur aus Dreien besteht, lässt bei Division durch 2 den Rest 1. f) Jede natürliche Zahl, deren Darstellung im Dezimalsystem nur aus Sechsen besteht, lässt bei Division durch 5 den Rest 1. g) Sei z ∈{2, 3, 4,5,6, 7,8,9} . Jede natürliche Zahl, deren Darstellung im Dezimalsystem nur die Ziffer z enthält (beliebig oft), lässt beim Teilen durch z − 1 den Rest 1.
