Preview only show first 10 pages with watermark. For full document please download

Circular Chromatic Number: A Survey Key Words: Circular Chromatic

   EMBED

Share

Transcript

                                     !"#$#         %       &''()   * &''(  * &''!                                      !    "                                    #      $             "     %   &'             "                                                                                                     Æ                  Æ                                Æ               Æ                      Æ            !             "  #        $        Æ   %           &   Æ     '      #       Æ                    (          Æ     )                                                             #    *        Æ    #            +                           Æ           ' ,     Æ -                            Æ       *  #             #          #        $          *         )                                                       ,          ,  -  ,- , - . /                                  , -     , - .            (          , - .                                    , -   , -                                   01 - 2    ,-       ,-        ,- , ,-                     - *       , -  01 -        , -      ,-   ,-     *               *                      01 -        ,-   ,-        , -   3  )                    '           ,-    01 4     #        #      (    0514        , -                        !                  01 -        ,-  ,-        , -     ,-         *                   "                01 -  .  ' ,-             , 6-                           , -     , -  , - *     )                      ,-           '          ,-        7   *     , -     , -  )    ,  )     -      , -      , -       )              , -     *        , -                   , -  (           )                               "      )                 8       *   , -  )  , -    ,   '      , -       7   , -  , -      *                      Æ    *                              #           0  31 39 5: :; << ;1 ;; =1 = =; ==4        #              )      )    )                       , -           7       ,     8  -   )   >   0;14                               ?  + 094            7       %   05:4            0;1 =14 @              *  )       .  , -    (   '  ,- . , -                 , -   , -        ,-  7         ,- +       ,-                  , -     ,-      ,   -    ,- 5    !                  "  , -                      , ¼        !   , -    2   '  )   ,-                   ,!    , -        ' - @   '    '     *   , -         ,          -                    #         #          '       '        ?                            , -      *     ,-                             #       #                       &                  *                                               , -        ,*                    ?               *       @  !                ,        -         , - (     )     , -          , - ,-  , -         '          ?                           7   "        ,-        .         .  A                '           $  ,         ,        '                  B C       $ - ?    @                                    .                  ,     -              *            , -     Æ                           .       , -      , -   , - !       )            )    )          , -           , -    , - 0;;4 *          )          05 =14 *         )           +      054    )     )               )    (     , - .           ¼¼ ¼   : *   @      A               "                  ,        , - .        , - .                       , -      2    , -       . ,   -       1                 ,-  ,-         '             )   , - .      ,     2 , -          , -        '  , -         , -            ,-  ,- .  , - *    , -      , -                 (    @ 3     , -                 05:4         , - .      , -     , -       , -      @  3  5                  * 3          @ 5    !        , -         "  , -      , -    , - . 1            #              - .                  !    , -         , -            , -   *  @ 5   , -         , -     )    '   , -                ,    '    , -   - @     '       '   @       )             , -       ,- . ,- 6  , - "   ,- . ,- *              , -         .   '     , - . , - *                 ,            8                 - *                   *        , -         >    =;; 0;14  B      C +  )              D      )    >      7   )         0=14      8  *    )    >       2        , -                     1  3         , -   , - .   ,-  ,-     *        )   , - .      , -       2    , -        #            !    , -      @   , -  01 -      )   ,- . ,-     , -         ,-   ,-     * , -               "                         ,       , -  01 --       )  ,- .  ,-  ,       * >  E )             7         !     7   )                % *   F  03=4 *  )             A F 2     %  , -                       , -                    ,- . ,-  ,-   . , -          *                         *          , -           ,               *      , -                , -                    (      +8  0:94          , -                                            ,  -      ,  -                                              *        7   )               2             ,- .  '                *  , - .   ,-           &     7   )                    !    #           )   G                 )             )                   9           * 7              , - . , -      >   0;14      0 39 5: << ;1 ;; =1 = =; ==4 (     %   05:4     !                 )  , - . , - (                     )  , - . , -                   @     #                  '  1          "  #   #    "  #      (     0;14    ,  - .  H                                       , -  ,  $- . ,  $-I , -  ,   - . ,  - *             (           I J          , - . K (            !       *                                            %                          !          , - . , - *      Æ                    , - . , -              ,     -                                         !   2          AL          , - . , -           , -   (                      $         , - . , - A    Æ         0 39 5: << ;1 ;; =14        )  , - . , - *            0<<4             !   , - .  "        %  % .  % . /                       %  $    %   , - . , -       %                      * 5    , - .    @            2          %    % ,- ,- . / "     ,- ,    %     % !                <  .            *               *    ,&-                  ' &      "     ,&-I                *                               %   #   %         @ ! .       ,-     % * ,- ! . /      %  %             !          @         !             ,&-   &  ,A      ,&-        - *                                , - .    * L   !   '                     ,! - . ,! - . 5 !                 *    Æ             , - . , -             Æ             * 5 !                % , -       *                   %   #   % *                %     F 0394     F 04     "          , - . , -                '  '    #         *           F 0=14   %   05:4     "       , - . , - (     7         , - .             %  * 5 *          0<<4     "  #       , - . , - "     55     * 3 (     ? M   !  0D4     09D4           5                7        *          0<<4       , - . ,    - .       5     ;          5:      7      F 04 N  '           , - . , - . K *   ? M   !  0D4             '     7                    09D 994 ?       %  @M $ 054            7                               7                09<4 (      55                    , - .  O   ? F 0;;4                  , - .         )  0=;4     7              +                      H                             , - .           3 !   .   3       ,  , - . - '     ( )          '      ,'I ( )-                   "  #      , -      '     ,(- . "  ,)- . # I 3   *  1    ,  *-       '    ,(- ,)- . / %        .       ,'I ( )- , ( )         '-           ,'I ( )-        #        '       (     ) *         , ,'I ( )--    "  , - .   .       ,'I ( )-                  ,'I ( )-     , ,'I ( )--            @  , -      *  ,-  ,-     ?  )                '  , -     , ,'I ( )-- *  , , ,'I ( )---   (        , , ,'I ( )--              *  1     ,  *-        , ,'I ( )-- ?  )              ,(- ,)- . / +     ,  *-                  , - .              .   5      5        , - .  =   (         ,'I ( )-     '               (  )                  ,'I ( )- N         *     * 53    , - .  "                     *                 ,'I ( )-     '               (  )                 .     *    5          Æ              ,2 3    5                 '          - @            , - .  6      . ((   ,  - .  ,*            N    ((    ' )    )  (    N        '      ,'I ( )-   7        "    '         ( )           !                                      ,(- . ,( - *          " #          '     ,(- . "  ,)- . #  (         *  1    ,  *-        '  ,(- ,)- . / *            ,(- . ,( -   ,)- ,( - . /  )              ,  *-        '     ,(- . ,( - O       '   '              * @           ,(-  ,( - !                       ,             -                7  ,  *-   !      ,-        ,-            N)         '    ,- . "        ,-    ,-   #  " *           '   '  '               #             ?  ,(- . 1  ,( - . 1 *                                  6  *   .          ?                      Æ     '       ,'I ( ( -     '               (  (            , -        , -      ' ,(- . ,( - 2                           , -          , -        ,                       6             - A  ' .     . ((            ,'I ( ( -     '  , -         , -     '  ,(-  ,( -     @ +,'I ( )- .  ' ,(-  ,( -   , -     ' ( +,'I ( )- . 1     (      ,'I ( )-        ,' I (  ) -   +,' I (  ) -  +,'I ( )- *              1        0<4                               !    .   5   ,  - .   5             " .  3  +             1                       % &   (   '  , - . ' )    + ,  -                    "        #    * 5:   $            '       2    * 55   )   0=4      *              0D 9=4 (          7                       ?         0D34                       , - .            3 *       $  0=;4   7                     ?    * 53                            )             *           ,    -       0==4 *                   $    ,  - .  6  , I   -         '  , I   -  , I    -                        , I    -   , , , I    --I  -               '         , - . , -     0==4       !   D    '          7                  (     0==4    + #                                                   , I  -             + #             , -   * 7           $       , -         +       + #     APP 09;4          3                     )                 #    B $ + #  C *         $                 5 *    $           ?  0<4         L  0<34 ? ?   L          +                              $                                                *                 5                                5                             *    $                 5         (          $      $                      (           $                                        , -     , -  , -      !   5     '     , - . , - *  '      , -        , -                           )         55                   (     7              B C    *  , - . , - "         '      , - .   ,  - .      '          B  C  (                                       *             (     %   05:4                    6    , -  , - *       3 0<<4   7                               +    ,     "          +             +,,  - 6 3   , -  + 6 ,    @    +            3  +          !  ,- -      *       -      - .   ,--  ,- ?  )    % *   F            * :   Æ                     + 6 ,      + 6 , (                              + (          +,,  - 6 3 +        !      +,,  - !   !           +    !   ,+  -,!  6 - !   ,+  -,!  6 -  !  !              !      !   !  . !  6 !   +,,  -      !   ,    !   ,   *    . ,!  63-,!  6-  + 6,     . ,!  63-,!  6-  + 6, *                !     ,   -   6 ,  , 6 -       ,,  - 6 3 (         :               '           2 '     . 5  5      #       , - . 3 6 , "              2     ,-                        ,-   )  , -  , -        ,-K    ,-  5 "       :     ,-   (                        :    , -    3 * ,5- . 5     ,-      ,:- . : 04 2             5  ,-   (                ,-       *   ,:- . :     04               2     '  , - .     , - .    +,       , -   '    -  .                   -     * '        '  ,           - 5 (    , 0D<4-              ., , -- . .,  , , -- . , -6        ,  04-           , -  , 6 -    *          04    " , - . 5   , , -- . : *              5       ,  -  :             : *      ,:-  :  ,-          ,:- . : * :          BC                +             , - . , - !    : 2         5              ,  -       6           .  ,    5- !          '    ? F 0;;4   7                   , - . ,       '                       :   :        , - . , - . : +    D          '               , - . , - .      Q, -               *                  039 9: << ;1 =1 =5 =: =;4 * 7                 ,-                :K ,3-           5K ,5- 2                   , - . K J   5       (       09: =:4                             .   3    : 2 7     3    Æ      $            5  : +  )                 )   )          @                     , - " . 1   3 ,  .  - !  /         ' -    ,- - *   /      (        ,/- . : !   /     '            53           ,/ - . : : 2         , - . 5      5                   7  5 *                *         0<<4          /        3 6   , ,- -      ,- -  , -   , - . 5     (              5 +   ,  -  5        * D3    , -  5 @                5        ,--       @ ( )        ,-- * ,- ,-- . /    "    ,- ,-- ,        #                        5 !   ,-  ,-   #       ,- . ,--    " +  ,-     (    )            , -   (  ,-   )    , - ,- . / !       , -   (  ,  -   )     , * , - , - . /        3       2                                 5                           : * 7                         5  :    0<< =14 ?    B     C        !   5                   5  : (           5     ,       :    - , I  -                *                    , - . 5 ,     , - . :-             , - . 5 ,     , - . :- 2        '               x x y y (a) (b) (c) 2    L             5  : A'      J   5 (     2    *                                  3    :   .  (              Æ     (      09:4           3  5  D                     $  0=:4             5  :                       '                      3  5                  5  : *                   , - .    3  5             %          3  5                       , - .         7                    .  *                              !       )                 O       )                  3  )      *        3  5    7  7       3 .         .         * 7   ,  " . 1   -     #    09:4 !        .          .                   "  3  . , 6   -  . , 6   -           3 @  .   * 7   ,   -     #    09:4         7       *        7             (     7   ,    -     3        3  5 (     7   ,    -                   8  7    .       .       ,          ,   - . , 1-  ,   - . ,3 -       0  , " .  3  -        0           3                   0      3  3              2 "  3           *      0           2 # .  3        ) ,  - '   #    0     ,  )- '   #           ,  )- '   #        ) ,  - '   ,# 6 -   0   *                                        9       0           )   0            )                   0       2 "  3    0           '           0                0     3       2    " .          0      #    ) ,  - '  0    ,  )- '   2   3           0           0;14                          , -               , - *                  +                                         B      C                             *                          % +                  #                     ,                       -                     *       B      C                         (  )               7     !   ;     J   ;< J   ;= J   ;1  J   ;3; (     0<54          3  D           ,   J   ;<- (     0D;4      D         03   4          $      ,   J   ;=- (     0<:4            03 ;54                 ,   J   ;1- ( 01:4      + #ME            ,   J   ;3;- J   ;3D        0:=4        , ,  -- . , ,  -- J   ;=    ,           + + #      V F -         , -            , - .  J   ;D       ,     -   '    Q,-     '         D O  3               N          5< * )+,-  *                  !   *   S   ==< (                  $   @            (    %    S APP                         04 + @   ? F          S %  *  ,==5- 5:= 591 034 H ?  S  : , ;  3   ,        <9,=<3- 3: 3< 054 ? ?    V F  2       ?     ( 3:,==;- <= ;1 0:4  ?   @ % L %$#   !T   *               S    * ,?- <3,==;-  = 0D4 ? ? M   A !  :#           S   3;,=<9- 5:1 5:: 094 S  ?  L +            S %  *  ,==1- :<= :;3 0<4 ! ?  -         2        (   !       L  A  =< 9 0;4 N %    ? % !#     / S     * ! ,- :,=<5- 3; 3;< 0=4 ?   ( %   ! >   9      #                 ==; 014  ? $$  2 ! O 1            A  5D,=;3- = 31; 04 % S   @ +   V F         +,<  N       31D,===- 35 5< 034 % S   @ +   V F                   &   S       = ,==;-  :35 :5 054 % S   N @  V F  N       1    S    *     >     D,=;D- 3 39 03D4 % %  % +   + F  !    7        ==3 0394 % %  &    + F  2             S    03<4 % %   V F  !         N     D3 ,==9- :< D9 03;4 @ %      ==< 03=4 @  %  *     J F  - , -        3 7  S %  * 3;,==;- DD 9 0514   %              L =;1 054 N %  @ @M $              !  +   3D,=<:- 55D 5:1 5= 0534 S O %   N N 2 @            $  S    * !   9;,==:- 9= ;5 0554 + %W  8 5 3 ;  ,  ?3  .    F    @  H  +      A  O  ; ,=D=- 1= 31 05:4 N O %                  S %  *  ,==5- 3= 5: 05D4 @ +    + F  !           N     :9,==D- :D D; 0594 O +   L +  N S    > A   @   -         $      ;,=;;- 95 <: 05<4 % +    *   6    %           ==< 05;4   +  #  %      L  (&&& 9;,=;1- :=< D: 05=4 A  +    !    / S    * ! ,- 35,=<<- 33 55 0:14 +   9         H        *  O 151D :: * =99 0:4  %  @ %  L +  9            S    *  ,?-    0:34 L +  S APP  -    @   S   * ? :; ,==1- =3 1 0:54 L +  V G  + F  "        N        3<,==:- 0::4 L +  V F           S %  * 55,3111- : 3: 0:D4  S  +  O O   ! + !   , D-        ?  @   !  D,=<5- 513 519 0:94  S +8  !         #        L  !     1,=91- 5 3< 0:<4 * O S  ? * . "  - " / '   ==D 0:;4  S 2  +   ! !   +           .  S %  * 39,==<- 5< :D :1 0:=4 @ +   %           +,   S %  * 53,===- 95 < 0D14 @ +   % S   2              &  S   % ,===-  ; 0D4   $  +   2      *  O (    W      *    H  W  ?    ,==9- 0D34 G        0D54      511 A 5  += D;,=DD- 3< 0D:4 ! P$  2          N     DD,==9- 5D :D 0DD4 ! P$                    N       ;D,==;- 3D= 395 0D94     J F           S %  * 55,3111- 1= = 0D<4  @  S L  N H          +,<  S %  * $ ,==D- : :9 0D;4 ! @  F L   V F  2    $                 === 0D=4 @  N @  V F  !    !( S N     3,===- := :== 0914 N @  1     N     1 ,==3- 315 33 094 N @  1        N     9,==9- =< 31D 0934 N @  V F  5          S %  * 51,===- 3:D 3D=  0954 @ @M $ .<  $           S    * ,- 3D ,=<;- 5= 53: 09:4 N         S %  * 3:,==<- 55 :5 09D4 > W  -      #       ( O      %  * ,  2  -    L   = W  -          N     39,=<=- 9D <= : 09<4 S APP  - #              LX   =;,=<5- 33 3D 09;4 S APP  !        S      L       ,===- 09=4 S APP  > OW  2     S   *,?- :9,=;=- 55 : 0<14 S APP  V F  -        S   %  * 35,==9- D 93 0<4 S APP  V F  - ! 6  6 2    9         3111 0<34 S L  6               N     5<,=;- 3< 33; 0<54 F L   V F  2         7         3111 0<:4 F L   V F  5               === 0  L '             !( S   N    9,=;D- D1< D; 0<<4 & !8  V F  -            9,==9- :5= ::; 0<;4 & !8 2  7        S %  *    0<=4  @ !   O * #  -  /     S   5,=<=- ;<= =1 0;14  >   !     S %  * 3 ,=;;- DD DD= 0;4 S    B !;3 ;             3      <,=9<- 395 39= 0;34 S    B            "      <3,=9;- 3D: 395 0;54 S    B            ""      <3,=9;- 59; 5; 0;:4 S    B            """      <:,=<1- 99 < :3 0;D4 S    B            F    ,*     2    "   =<1- ?   2    "   ,A D-  335 33< ?      (    =< 0;94 + G  V F  2             === 0;<4  J F  2  7             === 0;;4 ? F  !              S  * ,?- <1,==<- 3:D 3D; 0;=4 VF  -              N     D9,==9- 33= 359 0=14 V F  !         S %  *  ,==3- DD< D9= 0=4 V F  :#         S %  *  ,==9- 55 : 0=34 V F                        ==9 0=54 V F     + <   S %  * 51,===- = 39 0=:4 V F  *          5  : S   *,?- <9,===- <1 311 0=D4 V F  2              ==9 0=94 V F                5      === 0=<4 V F  2           ?           !  D=,===- ;5 =< 0=;4 V F  2    #      S %  * 51,===-  9 0==4 V F  6         #            =,===- 5= := 0114 V F  2               ==< 014 V F                  ==; 0134 V F  5              7       ==; :5 0154 V F  2          === 01:4 V F      9$C <           * L          !     ::