Transcript
Sommersemester 2015 Dr. T.J.K. Brenner
Quasiteilchen: Cooper-Paare und Majorana-Fermionen
Programm heute/nächste Woche 1
Einleitung 1.1 1.2 1.3 1.4
2
Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6
3
Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen Elektron-Löcher: Quasiteilchen in Halbleitern Cooper-Elektronenpaare: Quasiteilchen in konventionellen Supraleitern Majorana-Fermionen: Halb-Elektron/Halb-Loch – Quasiteilchen
Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW Quasiteilchen: Bosonisches Elektronenpaar an der Fermi-Oberfläche QM: Energielücke Supraleitung durch CP Experimenteller Nachweis von CP CP in Quantenbits
Majorana-Fermionen in Halbleiter/Supraleiter-Hybridstrukturen 3.1 Elektron-Loch-Superposition 3.2 Ettore Majorana – (Anti)Teilchen 3.3 Suche im Supraleiter 3.4 Experimenteller Nachweis von MFs 3.5 MFs für Quantenbits?
Programm heute/nächste Woche Übung am Fr., 12.06.2015, 12:15-13:45 (2.080) •
4 (kürzere) Aufgaben zu Cooper-Paaren und Majorana-Fermionen
• Aufgaben werden in der Übungsstunde gemeinsam gelöst und besprochen • Bitte Taschenrechner und Festkörperphysikbuch (z.B. Kittel, Ibach, Ashcroft/Mermin, etc.) mitbringen • Übung wird vorher per email verteilt
Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen • Freies Elektron im Vakuum oder in Gasen, Leitungselektronen in Metallen (Elektronengas): Freies Teilchen (Fermion) Elektrische Ladung: e = 1,602 176 565 (35) * 10-19C Masse: me = 9,109 382 91(40)* 10-31 kg
• Gebundenes Valenzelektron in (freien) Atomen oder Molekülen und im Festkörper: Gebundenes Teilchen (Fermion) Elektrische Ladung: e Masse: me
• Nahezu freies Leitungselektron im Festkörper (WW mit dem Kristallgitter): Freies Quasiteilchen (Fermion) Elektrische Ladung: e Effektive Masse: meff=meff(k), z.B. 0,066me (GaAs), 0,015me (InSb)
• Quasielektron im Festkörper (Coulomb-WW der Leitungselektronen): Freies Quasiteilchen (Fermion) Elektrische Ladung: e Quasimasse: m*, z.B. 1,25 meff in Alkali-Metallen, 0,015me (InSb)
Elektron-Löcher in Halbleitern: Freies Quasiteilchen Anregung: Valenzelektron wird Leitungselektron
„Gestörtes“ Gitter:
Interpretation: „Loch“, „Defektelektron“
„Loch“: Freies (fiktives) Teilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zum Atomkern • ohne WW zu anderen Elektron-Löchern Elektron-Loch: Quasiteilchen mit Energie E, Impuls -ℏk und Spin s = -½ ℏ (Fermion):
Positive Elektrische Ladung: e Negative Effektive Masse: m*(k)
Cooper-Paare: Quasiteilchen in konventionellen Supraleitern Cooper-Paar: Freies Quasiteilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon-WW) • ohne WW zu anderen Cooper-Paaren
Elektrischer Widerstand verschwindet Konventionelle Supraleitung bei extrem tiefen Temperaturen, z.B. in Quecksilber bei 4.2 K - H.K. Onnes (1911)
Die beiden Elektronen haben • entgegengesetzten Spin s= ±½ • entgegengesetzten Impuls ±kF
Cooper-Paar: Elektronenpaar Quasiteilchen mit Energie E, Impuls ℏk=0 und Spin s=0 (,1) (Boson) Elektrische Ladung: 2e = 3,204 * 10-19C Masse: M≈2me (M < 2me)
Äußeres elektrisches oder magnetisches Feld setzt das Cooper-Paar in widerstandsfreie Bewegung: Elektrischer „Super-Strom“!
Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW Quasiteilchen: Bosonisches Elektronen-Paar an der Fermi-Oberfläche QM: Energielücke Supraleitung durch Cooper-Paare Experimenteller Nachweis von Cooper-Paaren CPs in Quantenbits
Elektron Gitter/Phonon WW
Coulomb-WW Gitter Elektronen: Nahezu freie Leitungselektronen ( Impuls ℏk≠0, Effektive Masse meff(k) )
Coulomb-WW Leitungselektron Gitterion Kraftstoß: F · Δt ̴ 1/v Phononen Phonon-Energie ℏωDebye : ̴ 10 meV
Sehr niedrige Temperaturen
Langsame Leitungselektronen
Erheblicher Kraftstoss
Elektronenpaar-Bildung: Elektron-Phonon WW Elektron Gitterschwingung/Phonon: • Erstes Elektron zieht positive Ionen an • Ionen bewegen sich (rot blau) Gitterschwingung • Erstes Elektron verschwindet (wegen k≠0)
Gitterschwingung/Phonon Elektron: Zweites Elektron wird von den Ionen auf die „alte“ Position des ersten Elektrons gezogen
Phononen vermitteln eine retardierte anziehende Elektron-Elektron WW Stärker als Coulomb-Abstossung
Cooper-Paar: Elektronenpaar nahe an der Fermi-Oberfläche Sehr niedrige Temperaturen (T ≈ 0 K): • T=0 K: Pauli-Prinzip für Leitungselektronen: Elektronenzustände füllen die Fermi-Kugel Elektronen-Energie an der Fermi-Oberfläche: EF=ℏ2kF2/2meff ( ̴ eV)
• Phonon-Energie E = ℏωD ( 1 ̴ 0 meV) << EF ( ̴eV)
• Elektron-Phonon WW: ℏωD << EF Δk << kF Impulsänderungen der beiden Elektronen innerhalb der Kugelschale kF ≤ k ≤ kF + Δk
Cooper-Paar: Elektronenpaar mit Impuls K=0 Darstellung der beiden Elektronenimpulse: In getrennten Fermi-Kugeln: Der Gesamtimpuls K=k1+k2 erscheint: • Einzelne Elektron-Phonon WW: Die Impulse k1 und –k2 enden im blauen Rotationsvolumen (Drehachse K)
• Großes Rotationsvolumen viele Möglichkeiten für Elektron-Phonon WW-Prozesse Elektron-Elektron-Anziehung Elektronenpaar-Bildung Rotationsvolumen ist maximal bei konzentrischen Kugeln Gesamtimpuls K = 0 k1 + k2 = 0 k2 = -k1 Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon WW ist optimal bei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls
Cooper-Paar: Wellenbild Gesamtimpuls K=k1+k2 = 0 k1 =: k und k2 = -k Wellenbild: • Elektron 1: Welle mit Wellenvektor k • Elektron 2: Welle mit Wellenvektor –k Cooper-Paar: Stehende Welle
Cooper-Paar: Regeneration
Auseinanderdriftende Elektronen Begrenzte Lebensdauer des Cooper-Paares ( Übung)
Cooper-Paare „regenerieren“: Laufend zerfallen und entstehen Cooper-Paare
Paarbildung: Elektron-Phonon-Stoss und “Austausch virtueller Phononen“ Die beiden Elektronen haben vor der WW mit dem Phonon entgegengesetzten Impuls:
• Elektron 1 „schickt“ ein fiktives Phonon zu Elektron 2 Elektron 2 wird abgelenkt • Elektron 2 „schickt“ dasselbe Phonon zurück zu Elektron 1 Elektron 1 wird abgelenkt Die beiden Elektronen haben nach der WW mit dem Phonon entgegengesetzten Impuls
Cooper-Paar: Elektronenpaar mit ganzzahligem Spin Die beiden halbzahligen Elektronenspins im Cooper-Paar sind
• antiparallel:
Gesamtspin: S=0 Singulett-Cooper-Paar
oder Cooper-Paar: Boson
• parallel:
Gesamtspin: S=1 Triplett-Cooper-Paar (selten!)
Cooper-Paar: Bosonisches Quasiteilchen
Leon NeilCooper Cooper Sheldon
Cooper-Paar: Freies (fiktives) Teilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon WW) • ohne WW zu anderen Cooper-Paaren
Bosonisches Quasiteilchen
Die abstossende Coulomb-WW wird durch die anziehende Elektron-Phonon WW überkompensiert
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im Leitungsband: Operator-Darstellung I QM (2.Quantisierung): Besetzungszahldarstellung von Vielteilchensystemen:
•
Es gibt einen Zustand ohne jedes Teilchen, das absolute Vakuum: |vac >
•
Es gibt für jede Teilchenart einen Erzeugungsoperator ap†, der das Teilchen aus dem Nichts erzeugt und in den Zustand p versetzt: |p>= ap† |vac>
•
Zweiteilchen-Zustände: • gleiche Teilchen: |q>|p> = aq†ap†|vac> • verschiedene Teilchen: |q>|p> = bq† ap† |vac>
•
Vernichtungsoperatoren ap= (ap†)† [ap† und ap sind zueinander adjungiert]
•
apap†|vac> =|vac> und aqap†|p> =|q> (Zustandsänderung)
Teilchenzahloperator: ap†ap
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im Leitungsband: Operator-Darstellung II
Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen: Erzeugung mit Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren von Elektronen: c†k,s bzw. ck,s •
Grundzustand des Leiters: Komplett gefülltes Valenzband, teilweise gefülltes Leitungsband: † † c c vac |Ф0> = L, k',s' V, k',s' k',s'
•
k',s'
Elementar angeregter Zustand durch Erzeugung eines Cooper-Paares: c†L,k,s c†L,-k,-s |Ф0> = |Фexc>
Erzeugungsoperator eines Cooper-Paares: g† = c†k,sc†-k.-s Vernichtungsoperator: g = (g†)† = (c†k,sc†-k.-s)† = c-k,sck,s
Cooper-Paare als Bosonen im Supraleiter Cooper-Paare als Bosonen unterliegen nicht dem Pauli-Prinzip: Cooper-Paare können alle zusammen einen quantenmechanischen Zustand einnehmen •
Grundzustand des Supraleiters (ohne Valenzelektronen): Teilweise mit Cooper-Paaren gefülltes Leitungsband: † † v c c ) vac (u Bardeen/Cooper/Shrieffer (BCS-Theorie): |Ф0> = k k k,s - k,-s k
(|uk|2+|vk|2=1) •
Elementar angeregter Zustand durch Hinzufügen eines einzelnen Elektrons im Leitungsband: c†k,s |Ф0> = |Фexc>
Im BCS-Grundzustand sind die Cooper-Paare vollkommen delokalisiert und miteinander korreliert: 0 N exp(i ( x )) • N ist die konstante Dichte aller Cooper-Paare • φ (x) ist die ortsabhängige Phase der Cooper-Paare
Der gesamte Supraleiter wird durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben
Cooper-Paar: Energielücke Δ QM: Schrödingergleichung für ein Cooper-Paar
2 ( (1 2 ) V0 (r1 , r2 )) (r1 , r2 ) (r1 , r2 ) 2m • Ψ ist die Zweiteilchen-Wellenfunktion • V0 ist das attraktive Potential der Elektron-Phonon WW
Energie: ε= 2EF – Δ mit Δ>0 und Δ ̴ ℏωD
Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ 2 • SG: ( (1 2 ) V0 (r1 , r2 )) (r1 , r2 ) (r1 , r2 ) ( H 0 H1 ) (r1 , r2 ) 2m ( r , r ) exp( i k r ) exp( i k r ) exp( i ( k r k r )) ( k • Ansatz: Ebene Wellen 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 , k2 , r1 , r2 ) R (r1 r2 ) / 2; r r1 r2 ; K (k1 k2 ); k (k1 k2 ) / 2
• Schwerpunkts- und Relativkoordinaten: • Zweiteilchen-Wellenfunktion (k1 , k2 , r1 , r2 ) ( K , k , k2 , R, r ) exp(iKR) exp(ikr ) mit E = ℏ2/2m(K2/4+k2) = K + Ek
(k , r ) exp(ik r )
K=0 Wellenfunktion in Relativ-Koordinaten: mit Ek = ℏ2k2/2m
(r1 , r2 ) (r ) g k exp(ik r ) k
Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ
• Einsetzen in SG und einige Umformungen: (E ) g (E)
2 ( F D )
dEg ( E) H ( E, E) N ( E) 0 1
2
F
N(E‘)≈N(EF): Anzahl von Zweielektronenzuständen mit K=0 im Intervall dE‘ bei E‘ H1(E;E‘): Matrixelemente = - V (innerhalb dE‘, mit V>0)
• Mit 2F:
2 D
exp(1 / N FV ) 1
Supraleitung durch Cooper-Paare Die Leitfähigkeit eines Normalleiters wird begrenzt durch Streuprozesse der Elektronen an Gitteratomen oder Störstellen des Gitters Ohmscher Widerstand Supraleiter: Ladungsträger sind • Cooper-Paare (2e) • Elektronen (e)
Strom der Cooper-Paare:
Streuprozesse • können kurzfristig ein Cooper-Paar zerstören, das sich sofort „regeneriert“ Ohmscher Widerstand: 0 • der Elektronen erzeugen den Restwiderstand Heike Kamerlingh Onnes (Leiden),1911:
Hg: Steiler Widerstandsabfall bei 4.2 K um etwa 4 Größenordnungen
Cooper-Paare: Experimenteller Nachweis Cooper-Paare in supraleitenden Quantenpunkten: Messung von Coulomb-Oszillationen in einem supraleitenden Quantenpunkt bei verschiedenen Temperaturen:
Quantenpunkt enthält einzelne Elektronen
Quantenpunkt enthält Cooper-Paare
Mit abnehmender Temperatur erfolgt ein Übergang der Oszillationsperiode von einer e- zu einer 2e-Abhängigkeit
Tunnelnde Cooper-Paare: Josephson-Effekt Josephson-Kontakt:
1 N1 exp(i1 ( x ))
2 N 2 exp(i2 ( x ))
Phasendifferenz ( x ) ( x 2 Trennschicht 1 Trennschicht ) (t ) an der dünnen Trennschicht: Josephson (1962): Cooper-Paare tunneln durch die Trennschicht • Ständig wechselnder Suprastrom: IJ(t) = Ic sinΔφ(t) „Josephson-Strom“ 2 U • t 0
mit 0
h 2e
(magnetisches Flussquantum) Cooper-Paar-Ladung
Der Josephson-Strom ist ein Wechselstrom: IJ = Icsin ωJt mit ωJ = fJ /2π = 2eU/ℏ Definition des Volt: fJ(1V)=483597,9GHz „Josephson-Konstante“ Die Frequenz des Josephson-Stroms ist materialunabhängig
Tunnelnde Cooper-Paare realisieren SQUIDs zur hochpräzisen Messung von Magnetfeldern SQUID:
QM: Der magnetische Fluss durch einen supraleitenden Ring ist quantisiert: Φ = n * Φ0 Φ0 = 2,07*10-15Vs = h/2e
Änderung des externen magnetischen Flusses Φ induzieren im supraleitenden Ring mit 2 Josephson-Kontakten einen ständig wechselnden Josephson-Strom bzw. eine Schwingung der entsprechenden Induktionsspannung. Aus der Periode der Induktionsspannung lassen sich kleinste Flussänderungen ablesen.
Anwendungen: • Medizin: Magnetoenzephalogie (MEG), Magnetokardiographie (MKG) • Geologie und Archäologie: Messung des Erdfeldes
Warum Qubits?
2005- Gordon Moore:
Quantenbits und Quantencomputer versprechen effiziente Lösungen für Probleme wie • Datenbank-Suche • Fourier-Transformation • Datenverschlüsselung
"It can't continue forever. The nature of exponentials is that you push them out and eventually disaster happens. [...] In terms of size [of transistors] you can see that we're approaching the size of atoms which is a fundamental barrier”
Cooper-Paare realisieren Quantenbits • Supraleitender Ring erlaubt Cooper-Paar-Strom in 2 Richtungen Es entstehen genau 2 Drehimpulse der Cooper-Paare: ↑ und ↓ und damit ein klassisches TLS (two-level-system): 0 und 1
• Josephson-Tunnel-Kontakte erzeugen mit quantenmechanischen Superpositionen der beiden Zustände ↓ und ↑ ein QM- TLS (two-level-system) von Energiezuständen: •|0> und |1> Ein QM-TLS kann auch in beiden Zuständen gleichzeitig existieren:
Superpositions-Zustände: z.B.: (|0>+|1>) , (|1> -|0>), (|1>+|1>, ...
a*|0> + b*|1> |a|2+|b|2=1
Quasiteilchen Cooper-Paar? • Elektronenpaar begrenzter Lebensdauer im Festkörper bei extrem niedrigen Temperaturen: 0 K bis ~ 10 K Teilchenbild:
Wellenbild:
• entstehen durch WW der Leitungselektronen mit den Gitterschwingungen: Elektron-Phonon WW
• Ladung: 2e
Masse: 2mel
Impuls: 0
Spin: 0 (1)
BOSON
• „regenerieren“ nach Zusammenstössen mit dem Gitter und Gitterfehlern und ermöglichen so Supraleitung • tunneln durch Josephson-Kontakte und ermöglichen so SQUIDs und Qubits
