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Der Sonnenstand
Vorbereitung
Die Berechnung des Sonnenstandes, d.h. der genauen relativen Position der Sonne an einem gegebenen Standort auf der Erde ist ein sch¨ ones Anwendungsbeispiel der Sph¨arischen Trigonometrie.
F¨ ur die Berechnung der Winkel ϑ und α betrachten wir das in Abb. 1 eingef¨arbte sph¨arische Dreieck mit den Seitenl¨angen a, b und c sowie den relevanten Winkeln α und β. Die Seitenl¨angen werden dabei u ¨ blicherweise nicht als L¨angenmaß sondern jeweils als Winkel zwischen den Verbindungslinien der abschließenden Eckpunkte zum Kugelmittelpunkt P angegeben.
Grundlagen Als Eingabedaten sind von Relevanz:
Die Seitenl¨ange a ist die um einen Viertelkreis vergr¨oßerte H¨ohe ε der Sonne, also
• der genaue Zeitpunkt in Form von ◦ Tageszeit: f¨ ur die Abweichung des Sonnenstands von der S¨ udrichtung. Mit der Variablen h f¨ ur die aktuelle Stunde des Tages ergibt sich der Stundenwinkel δ nach der Formel δ = (h − 12) · 15◦
(1)
◦ Jahreszeit: f¨ ur die absolute H¨ ohe des Mittags-Sonnenstands. Praktischerweise wird gleich der Winkel ε der Son¨ nenh¨ohe u vorgege¨ ber dem Aquator ben, z.B. 23.43˙ ◦ f¨ ur den Sommerbeginn oder 0◦ f¨ ur die Zeitpunkte der Tag- und Nachtgleiche. In erster N¨ aherung kann ε f¨ ur einen beliebigen Tag t des Monats m nach der Formel
a = 90◦ + ε
(2)
Die Seite b ist die gleichfalls um einen Viertelkreis vergr¨oßerte gesuchte Sonnenh¨ohe ϑ u ¨ ber dem Horizonth, also b = 90◦ + ϑ (3) Die Seite c stellt den Komplement¨arwinkel zur geographischen Breite ϕ dar: c = 90◦ − ϕ
(4)
Der Winkel α ist der zu bestimmende Winkel der Abweichung von S¨ ud, der Winkel β der Supplement¨arwinkel zum gegebenen Stundenwinkel δ: β = 180◦ − δ
(5)
ε ≈ 23.43◦ sin(30m + t − 111) berechnet werden. • die geographische Breite ϕ des Standorts.
ϕ
Z
XII
N
Aus diesen Werten lassen sich die folgenden jeweils im Beobachtungspunkt P gemessenen Winkel berechnen: • relative Sonnenh¨ ohe oder Elevation ϑ, das ist der in der lotrechten Ebene gemessene Winkel zwischen Sonne und theoretischem Horizonth. • Seitenabweichung oder Azimut α, das ist der waagrecht gemessene Winkel zwischen einer Bezugsrichtung - in unserem Fall der S¨ udrichtung des Kompaß - und der Richtung zum Lot unter der Sonne. Im vorliegenden Fall werden nur die Werte f¨ ur die westliche Hemisph¨ are, d.h. f¨ ur den Nachmittagshimmel hergeleitet. Die ad¨ aquaten Werte der ostlichen Himmelsh¨ alfte ergeben sich im einfa¨ chen Modell genau spiegelverkehrt.
ε VI
U
P
a
ϑ
0° b
XII
b c
β S
α
α
c ¬Z
XII
N
XI
β
P XII δ αI
X
II IX VIII IV VII VI V
U
N P S U Z ¬Z a
III
0° β
δ ε ϑ ϕ 0° I−XII
Sonne, scheinbarer Son− nenstand Himmelsnordpol Standort des Beobachters Himmelssüdpol Sonnenuntergang Zenit Nadir Sonnenhöhe über Him− melssüdpol Sonnenhöhe über Nadir Komplementär− winkel zu ϕ Azimut (Seitenabweich− ung von 0°) Supplementär− winkel zu δ Stundenwinkel Sonnenhöhe über Äquator Elevation (Sonnenhöhe über Horizonth) Geogr. Breite des Stand− orts Referenzrichtung (Süden) Uhrzeitrichtungen
Abbildung 1: Scheinbare Himmelskugel
Mit den zwei vorgegebenen Seiten a und c sowie dem davon eingeschlossenen Winkel β kann man nun mittels Seiten-Cosinussatz der sph¨arischen Trigonometrie die fehlende Seitenl¨ ange b bestimmen, denn es gilt: cos b = cos a cos c + sin a sin c cos β
(6)
Der gesuchte Winkel α ermittelt sich entweder mit dem Sinussatz sin α : sin a = sin β : sin b
Berechnung Elevation ϑ Die Formeln (2) bis (5) k¨ onnen direkt in (6) eingesetzt werden: cos(90◦ + ϑ) = cos(90◦ + ε) cos(90◦ − ϕ) + sin(90◦ + ε) sin(90◦ − ϕ) cos(180◦ − δ) Der Ausdruck vereinfacht sich durch Anwendung der Summens¨atze f¨ ur trigonometrische Funktionen zu sin ϑ = sin ε sin ϕ + cos ε cos ϕ cos δ
(9)
und damit
(10)
Azimut α Ebenso k¨onnen (2) bis (4) in (8) eingesetzt werden, um so unter Verwendung des Resultats aus (10) den noch fehlenden Winkel α zu ermitteln: cos α =
Mittagsh¨ ohe Ein Wert mit besonderer Bedeutung bei der Berechnung von Sonnenst¨anden ist der Maximalwert von ϑ, der dann erreicht wird, wenn die Sonne genau im S¨ uden steht, also bei δ = 0. Dieser Wert ϑˆ l¨aßt sich sehr leicht aus den gegebenen Winkeln der geographischen Breiten bestimmen:
(7)
aus den Winkeln a, b und β oder - zun¨ achst etwas unhandlicher erscheinend - mittels Umformung des Seiten-Cosinussatz nach der Formel cos a − cos b cos c (8) cos α = sin b sin c aus den Werten a, b und c.
ϑ = arcsin sin ε sin ϕ + cos ε cos ϕ cos δ
Extras
cos(90◦ + ε) − cos(90◦ + ϑ) cos(90◦ − ϕ) sin(90◦ + ϑ) sin(90◦ − ϕ)
Umformung und Vereinfachung mittels Summens¨atzen ergibt sin ϑ sin ϕ − sin ε (11) α = arccos cos ϑ cos ϕ Gegen¨ uber dieser Formel hat die Auswertung der ansich einfacheren Formel (7) den Nachteil, daß dort die Umkehrung des Sinus nicht eindeutig ist. ¨ Mittels geometrischer Uberlegungen l¨ aßt sich der Winkel α auch direkt aus den gegebenen Werten δ, ε und ϕ berechnen: cos δ sin ϕ − tan ε cos ϕ α = arccot sin δ
ϑˆ = 90◦ − ϕ + ε Westzeit Ein weiterer spezieller Wert ist jener Zeitpunkt ¯ zu dem die Sonne exakt im Westen steht. Der h, zugeh¨orige Stundenwinkel δ¯ ermittelt sich mit der Forderung α = 90◦ aus (11) unter Einbeziehung ¨ von (9) oder einfacher aus geometrischen Uberlegungen nach der Formel tan ε δ¯ = arccos tan ϕ Durch Umformung von (1) ergibt sich die zugeh¨orige Stundenangabe ¯ ¯h = 12 + δ 15◦
(12)
und durch Einsetzen in (10) und Vereinfachung des Ausdrucks die Westh¨ohe sin ε ¯ ϑ = arcsin sin ϕ Sonnenuntergang Der letzte der bedeutenden Zeitpunkte ist die Uhrzeit des Sonnenuntergangs U , also jener Zeitpunkt, zu dem ϑ verschwindet. Aus (9) ergibt sich mit der Forderung ϑ = 0 die Gleichung sin ε sin ϕ + cos ε cos ϕ cos δ = 0 und aufgel¨ost nach der Variablen δ der Stundenwinkel: δ = arccos (− tan ε tan ϕ) Der zugeh¨orige Stundenwert ergibt sich analog nach Formel (12). Die entsprechende Seitenabweichung α ergibt sich aus (11) durch Einsetzen von ϑ = 0 nach der Formel − sin ε α = arccos cos ϕ
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