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Die Welt des Zufalls - Übungsaufgaben Teil 1.
Aufgabe 1. Geschlecht von Zwillingen Eine Frau erwartet Zwillinge und möchte das Geschlecht der beiden Kinder wissen. (a) Gib alle möglichen Ergebnisse des Wahrscheinlichkeitsexperimentes an. Wir nehmen an, dass alle Ergebnisse dieselbe Wahrscheinlichkeit haben. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Zwillinge Mädchen sind ? (b) Angenommen, wir wissen schon, dass ein Kind ein Mädchen ist. Gib alle möglichen Ergebnisse dieses neuen Experimentes an. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Zwillinge Mädchen sind ? (c) Nehmen wir an, dass das erste Kind ein Mädchen wird. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Zwillinge Mädchen sind ? Aufgabe 2. Würfeln Wir werfen zwei faire Würfel und betrachten die gewürfelten Zahlen. (a) Gib die Ergebnismenge an. Wie viele Ergebnisse gibt es ? (b) Wir nehmen an, dass jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat und betrachten folgende Ereignisse, wobei x1 das Ergebnis des ersten Wurfes und x2 das Ergebnis des zweiten Wurfes bezeichne. Gi = ‘xi ist eine gerade Zahl’, i = 1, 2, Ui = ‘xi ist eine ungerade Zahl’, i = 1, 2, A = ‘mindestens eine Zahl von x1 und x2 ist ungerade’, B = ‘die Summe x1 + x2 ist gerade’. Berechne folgende Wahrscheinlichkeiten : P(U1 ∩ G1 ),
P(U1 ∪ G1 ),
P(U1 ∩ G2 ),
P(U1 ∩ U2 ),
P(G1 ∩ U2 ),
P(G1 ∩ G2 ).
Benutze nur diese Wahrscheinlichkeiten um P(A) und P(B) zu berechnen. Sind U1 und U2 unabhängig ? Sind A und B unabhängig ? (c) (schwer) Wir betrachten die Zufallsvariable X = x1 + x2 . Berechne P(X = k), k ∈ N. Benutze P(X = k) um E[X] zu berechnen. (d) Betrachte einen unfairen Würfel, bei dem die Wahrscheinlichkeit, X = i zu würfeln (für i = 1, . . . 6) durch P(X = i) = ki gegeben ist, wobei k > 0 konstant ist. Bestimme den Wert von k. (e) Ein Betrüger hat in dem Spiel von oben den ersten Würfel durch den unfairen Würfel ersetzt. Die Zufallsvariable X1 beschreibe das Ergebnis des ersten (unfairen) Wurfes, und X2 das Ergebnis des zweiten (fairen) Wurfes. Nimm an, dass die Ereignisse {X1 = x1 } und {X2 = x2 } unabhängig sind und berechne P((X1 , X2 ) = (x1 , x2 )) ∀xi = 1, . . . , 6. Welche Strategie ist besser : Auf das Eintreten von U1 ∩ U2 zu wetten oder auf G1 ∩ G2 ?
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Aufgabe 3. Die Apotheke eines Krankenhauses hat zwei Medikamente, um eine Krankheit zu behandeln : Die beiden Medikamente sind nicht in gleicher Menge vorhanden, sodass die Vorräte des Krankenhauses zu p ∈ (0, 1) aus Medikament A1 und zu 1 − p aus Medikament A2 bestehen (Die Gesamtmenge an Medikamenten entspricht also 1). Beide Medikamente schlagen entweder an (heilen die Krankheit vollständig) oder schlagen nicht an (bewirken keine Änderung). Wir bezeichnen diese beiden Ereignisse mit G und S (gut, schlecht). (a) Betrachte den folgenden Satz : ‘Medikament A1 (beziehungsweise A2 ) heilt die Krankheit mit Wahrscheinlichkeit 0.8 (beziehungsweise 0.7), und ist mit Wahrscheinlichkeit 0.2 (beziehungsweise 0.3) nutzlos’. Welche der folgenden Wahrscheinlichkeiten beschreibt dieser Satz ? P(G), P(S) oder P(G|Ai ), P(S|Ai ) oder P(Aj |G), P(Aj |S) ? (b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient nach einer Behandlung in diesem Krankenhaus geheilt wird bei folgender Aufteilung der Vorräte in A1 und A2 : p = 0.5, p = 0.2, p ∈ (0, 1). (c) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Patient, der nach einer Behandlung geheilt wurde, mit Medikament A1 behandelt wurde ? Gib die Wahrscheinlichkeiten für p = 0.5, p = 0.2, p ∈ (0, 1) an. (d) Medikament A1 kostet 100 Euro, A2 hingegen nur 1 Euro. Wie viel kostet eine Behandlung eines Patienten im Durchschnitt, wenn wir annehmen, dass wir jeden Patienten nur ein mal behandeln ? Das Krankenhaus hat ein beschränktes Budget und möchte im Schnitt nur 20 Euro für die Behandlung eines Patienten ausgeben. Wie hoch ist der Anteil p von Medikament A1 am Vorrat maximal, wenn sich das Krankenhaus an den Budget-Plan hält ? Wie hoch ist bei diesem Wert die Wahrscheinlichkeit, einen Patienten mit einer Behandlung zu heilen ? Aufgabe 4. Eine Mikrowelle hat bei jeder Benutzung mit Wahrscheinlichkeit p ∈ [0, 1] eine Panne. Sei X das Ergebnis einer Benutzung. Wir schreiben X = P für das Ergebnis ‘Die Mikrowelle hat eine Panne’ und X = P¯ für das Ergebnis ‘Sie funktioniert’. Wir benutzen die Mikrowelle zwei Mal. Sei Xi das Ergebnis von Anwendung i, i = 1, 2. Wir nehmen an, dass das Ergebnis jeder Benutzung unabhängig von den Ergebnissen der anderen Benutzungen ist, d.h P X2 = x2 , X1 = x1 = P X2 = x2 P X1 = x1 und
P Xi = P = p,
P Xi = P¯ = 1 − p
∀i.
(a) Gib die Ergebnismenge Ω2 an. Wie viele Ergebnisse gibt es ? Gib die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis in Ω2 an. (b) Wir betrachten die Zufallvariable K2 = Anzahl Pannen nach 2 Anwendungen. Gib P(K2 = k), für jedes k ∈ N an. Überprüfe die folgende Identität : 2 k n n! 2−k P(K2 = k) = p (1 − p) wobei = , k = 0, 1, 2, k k k!(n − k)! und n! = n(n − 1) . . . 1 für n ≥ 1 und 0! = 0. Erkläre die Bedeutung des Faktors k2 . (c) Berechne E[K2 ].
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Teil 2.
Aufgabe 5. Wir betracheten das Mikrowellenproblem aus Aufgabe 4, benutzen jedoch diesmal die Mikrowelle n Mal hintereinander. (a) Gib die Ergebnismenge Ωn an. Wie viele mögliche Ergebnisse gibt es ? Gib die Wahrscheinlichkeit für jedes Ergebnis in Ωn an. (b) Wir betrachten die Zufallvariable Kn = Anzahl der Pannen nach n Anwendungen. Wir suchen nach dem Wahrscheinlichkeitsgesetz für Kn . -i- Berechne P Kn = k , für k ∈ {0, 1, 2, n}. Beweise P Kn = k = nk pk (1−p)n−k , mit 0 ≤ k ≤ n n! und nk = k!(n−k)! . -ii- Begründe P Kn+1 = k = (1 − p)P Kn = k + p P Kn = (k − 1) für alle 0 ≤ k ≤ n, n ≥ 2 ohne Rechnung. -iii- Benutze Induktion über n um einen alternativen Beweis von -ii- zu konstruiren. (c) Was ist der durchschnittliche Wert für Kn ? p(n+1) -i- Beweise : P Kn+1 = k = k P Kn = (k − 1) für alle 0 ≤ k ≤ n + 1. -ii- Benutze (c) um zu zeigen, dass E[Kn ] = pn ∀n ≥ 1 gilt. (d) Wir können zwischen zwei Microwellenmodellen wählen. Das erste Modell ist sehr gut und hat eine Panne mit Wahrscheinlichkeit p1 = 1%, jedoch kostet jede Reparatur 50 Euro. Das zweite ist von ziemlich schlechter Qualität und hat mit Wahrscheinlichkeit p2 = 70% eine Panne, jedoch kostet jede Reparatur lediglich 1 Euro. Bei welchem Gerät ist die Instandhaltung günstiger ? Aufgabe 6. Wir betrachten das Bakterienmodell aus der Vorlesung. (a) Beweise durch Induktion Gleichung (3.5) P X(n) = (x1 , . . . , xn ) = im Skript und folgere Gleichung (3.6). (b) Beweise Gleichung (3.10) : P(Kn = k) =
Qk−1 Q (g+i) n−k−1 (h+i) i=0 Q i=0 n−1 i=0 (h+g+i)
n k
pg,h (k), 0 ≤ k ≤ n (c) (schwer) Wir wollen den Grenzwert von P Kn = k für k → ∞ und n → ∞ unter der Nebenbedingung nk → p ∈ (0, 1) berechnen. √ a m -i- Benutze die Stirlingschen Formeln m! ∼ mm e−m 2πm und (1 + m ) ∼ ea für m → ∞ um zu m! zeigen, dass für m → ∞ und festes a gilt : (a+m)! ∼ m1a -ii- Beweise, dass P Knn = p ∼ n1 ϕg,h (p) gilt, wobei ϕr,b die Dichte der Beta-Verteilung mit Parametern g und h ist : ϕg,h (p) = cg,h · pg−1 (1 − p)h−1 , p ∈]0, 1[.
Aufgabe 7. Wir betrachten das Bakterienmodell aus Abschnitt 4 im Skript. Seien (b1 , . . . , bm ) die Bakterien der Generation t und (P1 , . . . , Pm ) die Bakterien in Generation t−1 (die Eltern der b-Bakterien). Wir wählen zwei Bakterien aus Generation t : bi , bj , 1 ≤ i < j ≤ m. Sei P (b) die Mutterbakterie von Bakterie b. Wir schreiben P (b) ∈ G, H falls die Mutterbakterie vom genetischen Typ G, H ist. Sei Ft die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig ausgewählte Bakterien aus Generation t den gleichen Gentyp haben. (a) Seine Pq , Pl zwei Bakterien aus Generation t − 1. Zeige P (P (bi ) = Pl ) ∩ (P (bj ) = Pq ) = m12 . Begründe P (P (bi ) = Pl ) ∩ (P (bj ) = Pq )|Pl , Pq ∈ G) = P (Pl = bi ) ∩ (Pq = bj ) , dass also die Wahrscheinlichkeit, dass zwei bestimmte Bakterien die Mutterbakterien sind, nicht vom Gentyp der Mutterbakterien abhängt. 1 1 (b) Beweise Ft = m + 1− m Ft−1 ∀ t ≥ 2. (Tipp : Zwei Bakterien der Generation t können dieselbe Mutterbakterie oder zwei verschiedene Mutterbakterien haben. Nutze diese Ereignisse um Ft zu beschreiben) 1 (t−1) (c) Folgere, dass 1 − Ft = 1 − m (1 − F1 ) gilt. 3
