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Übungsaufgabe z. Th. Coulombfeld Aufgabe 1 In einem zweidimensionalen Koordinatensystem sind die beiden gleich großen positiven Punktladungen Q 1 und Q 2 mit Q 1 = Q 2 = 2 ⋅ 10 −9 C gegeben. Die Ladung Q 1 befindet sich auf der negativen x-Achse in der Entfernung a = 8 cm vom Koordinatenursprung; die Ladung Q 2 ist ebenfalls a = 8 cm vom Koordinatenursprung entfernt, und zwar befindet sie sich auf der positiven x-Achse. Auf der y-Achse ist eine dritte positive Ladung Q 3 = 1,536 ⋅ 10 −8 C so positioniert, dass die Stärke des elektrischen Feldes, das durch die drei Ladungen verursacht wird,im Punkt P (0 / 6) den Wert Null annimmt a) Fertigen Sie eine Skizze an. Zeichnen Sie zunächst in die Skizze die drei Punktladungen Q 1, Q 2, Q 3 und die zugehörigen Feldstärkevektoren E1, E2, E3 im
Punkt P (0 / 6) ein. Zeichnen Sie ebenfalls die Winkel und Strecken in die Skizze, die Sie zur Berechnung der folgenden Teilaufgabe b) benötigen. Zeichnen Sie die Ladungen Q 4 und Q 5 die Skizze, wenn sie die weiteren Teilaufgaben bearbeiten. b) Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes P3 in dem sich die Ladung Q 3 befindet. Runden Sie auf volle Zentimeter. c) Die Ladung Q 3 wird aus dem Koordinatensystem entfernt durch eine Ladung Q 4 ersetzt, die sich im Punkt P4 (0 / − 2) auf der y- Achse befindet. Wie groß ist die Ladung Q 4 , wenn die Stärke des elektrischen Feldes, das nun von den drei Ladungen Q 1, Q 2 und Q 4 verursacht wird, wieder im Punkt P (0 /6) den Wert Null annimmt ? d) Die Ladung Q 3 wird wieder im Punkt P3 in das Koordinatensystem eingefügt.
Zusätzlich befindet sich im Koordinatenursprung die Ladung Q 5 = 4 ⋅ 10 −10 C, so dass nun insgesamt fünf Ladungen im Koordinatensystem existieren. Berechnen Sie den Betrag der Kraft, die auf die Ladung Q 5 wirkt. Geben Sie die Richtung dieser Kraft an.
e) Die Ladung Q 5 wird nun vom Koordinatenursprung aus zum Punkt P (0/ 6) verschoben. 1) Geben Sie den Betrag und die Richtubg der Kraft an, die im Punkt P (0 /6) auf die Ladung Q 5 wirkt. 2) Welche Energie wird für die Verschiebung der Ladung Q 5 vom Koordinatenursprung bis zum Punkt P (0 / 6) benötigt ? Muß diese Energie dem System von außen zugeführt werden, oder wird diese Energie freigesetzt ?
L ö s u n g e n a)
Skizze
b) Die Feldstärke im Punkt P (0 / 6) ist die vektorielle Summe der Feldstärke der einzelnen Ladungen Q 1, Q 2 und Q 3 in diesem Punkt. Folglich gilt: E1 + E2 + E3 = 0 Da Q 1 und Q 2 von P (0/ 6) den selben Abstand d haben, gilt für die Beträge der Feldstärken: E1 = E2 . Für den Abstand d erhält man mit dem Satz des Pythagoras: 2
2
2
d = (6 cm) + (8 cm) = 100 cm = 10 cm = 0,1 m Die beiden Ladungen Q 1 und Q 2 sind gleich groß; es gilt also: Q 1 = Q 2 := Q 1,2 Damit erhält man für den Betrag der beiden Feldstärken: Q 1,2 2 ⋅ 10 −8 C V = = 17987 := E E1 = E2 = A s m 4 π ε 0 d2 4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 V m ⋅ (0,1 m) 2 Aus der Zeichnung entnimmt man: sin α =
6 = 0,6 10
α = 36,87°
Außerdem gilt: χ = 2 α = 73,74° Den Betrag der Feldstärke E1,2 = E1 + E2 läßt sich z. B. mit Hilfe des Kosinussatzes bestimmen. E1,2 =
2 2 E1 + E2 − 2 ⋅ E1 ⋅ E2 ⋅ cos χ
mit E1 = E2 := E
folgt für den Betrag der Feldstärke E1,2 2 2 2 E 2 (1 − cos χ) = E ⋅ 2 (1 − cos χ) E1,2 = 2 E − 2 E cos χ = V V ⋅ 2 (1 − cos 73,74°) = 21584 E1,2 = 17987 m m Die Feldstärke E3 der positiven Ladung Q 3 muß im Punkt P (0/ 6) den gleichen Betrag haben wie die Feldstärke E1,2 . Sie ist dieser jedoch entgegengerichtet; d.h. E3 = − E1,2 . Q3 E1,2 = 4 π ε 0 r33
r3 =
⇔
1,536 ⋅ 10 4 π ⋅ 8,85
r3 =
−8
As ⋅ 10 −12 V m
Q3 4 π ε 0 E1,2
C ⋅ 21584
V m
= 7,999 ⋅ 10 −2 m ≈ 8 cm
Fortsetzung von Aufgabe b
Die Ladung Q 3 ist 8 cm vom Punkt P (0 /6) entfernt. Weil sie positiv ist, und die Richtung ihres Feldes im Punkt nach unten weist, muß sie sich auf der y-Achse oberhalb von P befinden. Die Ladung Q 3 befindet sich also im Punkt P3 = (0/ 14). c) Die Ladung Q 4 befindet sich der gleichen Entfernung d4 = 8 cm vom
PunktP (0 / 6) entfernt wie zuvor die Ladung Q 3; allerdings befindet sich Q 4
auf der y-Achse unterhalb von P (0 / 6). Wenn die Feldstärke in P wieder den Wert Null annehmen soll, muß das von Q 4 verursachte Feld den gleichen Betrag und die gleiche Richtung haben wie zuvor das Feld der Ladung Q 3. Dies ist nur möglich, wenn Q 4 den gleichen Betrag und das entgegengesetzte Vorzeichen von Q 3 hat. Die Ladung Q 4 beträgt also: Q 4 = − 1,536 ⋅ 10 −8 C. d) Die elektrischen Felder E1 und E2 der Ladungen Q 1 und Q 2 haben im Koordinatenursprung den gleichen Betrag und die entgegengesetzte Richtung. (Begründung: Q 1 = Q 2 = 2 ⋅ 10 −9 C und d1 = d2 := d = 8 cm ) Die Feldstärken von Q 1 und Q 2 heben sich im Koordinatenursprung auf. Für die Kraft F(0/0) auf die positive Ladung Q 5 sind also nur die beiden elektrischen Felder, der Ladungen Q 3 und Q 4 von Bedeutung. Diese Kraft F(0/0) ist nach unten gerichtet, weil die positive Ladung Q 3 die Ladung Q 5 abstößt und die negative Ladung Q 4 die Ladung Q 5 anzieht. Für den Betrag der Kraft F(0/0) gil also: 1 E + E ⋅ Q = F = F + F = (0/0) 3 4 3 4 5 4 π ε0 mit r3,5 = 0,14 m und r4,5 = 0,02 m folgt: 1 F(0/0) = −12 4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10
As Vm
Q Q 3 4 ⋅ + ⋅ Q5 2 2 r4,5 r3,5
1,536 ⋅ 10 −8 C 1,536 ⋅ 10 −8 C ⋅ + ⋅ 4 ⋅ 10 −10 C 2 (0,14 m) 2 (0,02 m)
F(0/0) = 1,409 N Auf die Ladung Q 5 wirkt im Koordinatenursprung die Kraft F(0/0) = 1,409 ⋅ 10 −4 N. Diese Kraft ist n a c h u n t e n g e r i c h t e t.
e) 1) F(0/6) = (E1 + E2 + E3 + E4) ⋅ Q 5 Nach Teilaufgabe a) gilt: E1 + E2 + E3 = 0 Damit folgt für den Betrag der Kraft F(0/6): Q ⋅ Q 4 5 F(0/6) = E4⋅ Q 5 = 2 4 π ⋅ ε 0 ⋅ d(0/6)
Mit d(0/6) = 8 cm folgt:
1,536 ⋅ 10 −8 C ⋅ 4 ⋅ 10 −10 C = 8,632 ⋅ 10 −6 N F(0/6) = −12 A s 2 4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 ⋅ (0,08 m) Vm Weil Q 4 negativ ist, wird Q 5 von Q 4 angezogen. Im Punkt P (0 / 6) wirkt auf die Ladung Q 5 die nac h unt e n ge r ic ht e t e
Kraft F(0/6) = 8,632 ⋅ 10 −6 N.
e) 2) Berechnung des Gesamtpotentials ϕges,U im Koordinatenursprung U ϕges,U = ϕ1 + ϕ2 + ϕ3 + ϕ4 (Da das Potential eine skalare Größe ist werden die Einzelpotentiale algebraisch addiert.) Q Q2 Q3 Q4 1 1 ϕges,U = ⋅ + + + r2,U r3,U r4,U 4 π ε 0 r1,U ϕges,U ≈ − 5470 V Berechnung des Gesamtpotentials ϕges,P im Punkt P (0/ 6) ϕges,P
ϕges,P =
1 4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12
As Vm
ϕges,P =
Q Q2 Q3 Q4 1 1 = ⋅ + + + r2,P r3,P r4,P 4 π ε 0 r1,P
2 ⋅ 10 −9 C 2 ⋅ 10 −9 C 1,536 ⋅ 10 −8 C 1,536 ⋅ 10 −8 C ⋅ + + − 0,1 m 0, m 0,08 m 0,08 m 1 4 π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12
As Vm
⋅
−9
4 ⋅ 10 C ≈ 360 V 0,1 m
Für die zu verrichtende Arbeit gilt: WU,P = ϕges,P − ϕges,U ⋅ Q 5 = 360 V − ( − 5470 V) ⋅ 4 ⋅ 10 −10 C = 2,332 ⋅ 10 6 J Um die Ladung Q 5 vom Koordinatenursprung zum Punkt P (0/ 6) zu bringen, muß dem system die Energie WU,P = 2,332 ⋅ 10 −6 J zugeführt werden.
