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Technische Universit¨at M¨ unchen Fakult¨at f¨ ur Informatik Lehrstuhl f¨ ur Theoretische Informatik Prof. Dr. Susanne Albers Dennis Kraft, Richard Stotz
Sommersemester 2016 ¨ Ubungsblatt 3 29. April 2016
Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie Abgabetermin: 9. Mai 2016, 10 Uhr in die DWT Briefk¨asten.
Tutoraufgabe 1 Auf einer Fr¨ uhlingswiese besucht die Honigbiene Armin nacheinander vier Blumen. Da Honigbienen jedoch nur wenig u ¨ber Routenplanung wissen, w¨ahlt Armin die Reihenfolge in der er die Blumen besucht rein zuf¨allig, das heißt jede Reihenfolge ist gleich wahrscheinlich. Angenommen Armins Route beginnt und endet im Bienenstock und Armin fliegt stets die k¨ urzeste Distanz zwischen zwei Blumen. Die Koordinaten des Bienenstocks sind (0, 0). Die Blumen befinden sich an den Koordinaten (1, 1), (1, −1), (−1, 1) und (−1, −1). Sei X die Strecke, die Armin insgesamt zur¨ ucklegt. Bestimmen Sie Dichte, Verteilung, Erwartungswert und Varianz von X.
Tutoraufgabe 2 Agathe und Balthasar widmen sich einer weiteren Partie ihres Lieblingsspiels, bei dem sie abwechselnd eine M¨ unze werfen, bis zum ersten Mal Kopf f¨allt. Sei n die Anzahl der W¨ urfe bis zum Spielende. Um die Spannung zu erh¨ohen schl¨agt Agathe vor, dass der Verlierer dem Gewinner 2n /n Euro zahlt. Angenommen Agathe macht den ersten Wurf und die Wahrscheinlichkeit f¨ ur Kopf betr¨agt 1/2. 1. Sei X Agathes Gewinn, wobei X negativ ist, falls Agathe verliert. Zeigen Sie, dass der Erwartungswert von X nicht existiert. 2. Konstruieren Sie ein alternatives Verteilungsschema, sodass der Erwartungswert von Agathes Gewinn existiert, die Varianz aber nicht.
Tutoraufgabe 3 Alan besitzt ein Deck mit n Karten bei dem die gegen¨ uberliegenden Seiten der i-ten i−1 i Karte jeweils mit der Zahl 2 bzw. 2 bedruckt sind. Nachdem er die Karten gemischt und gestapelt hat, zeigt er seinem Freund Benedikt die Oberseite des Stapels. Sei X die abgebildete Zahl. 1. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X unter der Annahme, dass jede der 2n Kartenseiten gleich wahrscheinlich auf der Oberseite des Stapels zu sehen ist. 2. Da Benedikt Geburtstag hat, macht Alan ihm das folgende Angebot: Entweder er schenkt ihm sofort X Euro, oder er l¨asst Benedikt die oberste Karte umdrehen und schenkt ihm den Betrag auf der R¨ uckseite. Angenommen Benedikts einzige Information u ber die Reihenfolge der Karten im Stapel ist die Oberseite der obersten ¨ Karte. Wie sollte er sich entscheiden? Zeigen Sie, dass Benedikt mit einer geeigneten Strategie mehr als E[X] Euro erwarten kann. 1/2
Hausaufgabe 1 (4 Punkte) Die Schachfigur Amalia erkundet ein Schachbrett mit 8 × 8 Feldern. Da Amalia ein Springer ist, geht sie in jedem Zug entweder zwei Felder in horizontaler Richtung und ein Feld in vertikaler Richtung, oder aber ein Feld in vertikaler Richtung und zwei Felder in horizontaler Richtung. Angenommen Amalia befindet sich auf einem zuf¨allig gew¨ahlten Feld des Schachbretts, wobei alle 64 Felder gleich wahrscheinlich sind. Sei X die Anzahl der Felder, die Amalia in einem Zug erreichen kann. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X.
Hausaufgabe 2 (6 Punkte) Die Meteorologin Athanasia erforscht die Korrelation zwischen drei zuf¨allig eintretenden Wetterph¨anomenen E, F und G. Sei X die Anzahl der Ph¨anomene, die gleichzeitig an einem bestimmten Tag eintreten. Aus Wetteraufzeichnungen weiß Athanasia, dass X einen Erwartungswert von 3/2 hat. Finden Sie eine m¨oglichst große untere Schranke α und eine m¨oglichst kleine obere Schranke β f¨ ur die Wahrscheinlichkeit, dass E, F und G alle am selben Tag eintreten. Mit anderen Worten, bestimmen Sie das maximale α und das minimale β, sodass α ≤ Pr[E ∩ F ∩ G] ≤ β.
Hausaufgabe 3 (5 Punkte) Bei einem Federballturnier treten Alina und Berthold gegeneinander an. Das Spiel endet, wenn einer der beiden zwei Ballwechsel mehr f¨ ur sich entschieden hat als sein Mitspieler. Dabei gibt die Zufallsvariable X an, wie viele Ballwechsel insgesamt gespielt werden. Angenommen der Ausgang eines Ballwechsels ist unabh¨angig vom bisherigen Spielverlauf und Alina gewinnt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 ≤ p ≤ 1. Bestimmen Sie den Erwartungswert von X. F¨ ur welchen Wert von p ist die erwartete Anzahl an Ballwechseln maximal? Hinweis: Betrachten Sie den Erwartungswert von X nach zwei Ballwechseln.
Hausaufgabe 4 (5 Punkte + 4 Bonuspunkte) Bella kauft sieben Lottoscheine von Agnes. Auf jedem der sieben Scheine muss Bella drei verschiedene Zahlen zwischen 1 und 7 ankreuzen. Danach zieht Agnes drei verschiedene Gewinnzahlen, ebenfalls zwischen 1 und 7, wobei jede Ziehung gleich wahrscheinlich ist. Stehen die Gewinnzahlen fest, berechnet sich Bellas Gewinn wie folgt. F¨ ur jeden Lottoschein auf dem Bella alle drei Gewinnzahlen angekreuzt hat, bekommt sie 3 Euro. F¨ ur Scheine auf denen sie zwei Gewinnzahlen angekreuzt hat bekommt sie 1 Euro. Alle anderen Scheine gewinnen nichts. 1. Angenommen Bella kreuzt auf ihrem i-ten Lottoschein die Zahlen (i +7 0) + 1, (i +7 1) + 1 und (i +7 2) + 1 an. Der Operator +z entspricht hierbei der Addition modulo z, also x +z y = (x + y) mod z. Bestimmen Sie den erwarteten Gewinn und die dazugeh¨orige Varianz. 2. (Bonusaufgabe) Da Bella nicht sehr risikofreudig ist, w¨ urde sie gerne die Varianz ihres Gewinns minimieren. Wie sollte Bella ihre Lottoscheine ausf¨ ullen, damit sie bei gleichem Erwartungswert eine minimale Varianz erzielt? ¨ Hinweis: Uberlegen Sie sich einen Zusammenhang zwischen der zweiten Teilaufgabe und der Fano-Ebene. 2
