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Werkstoffe der Elektrotechnik im Studiengang Elektrotechnik
- Bändermodell der Elektronen im Kristall -
Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2008/2009
Orbitale für Elektronen im Kristall Kristall: regelmäßige Anordnung von Atomen Bindung:
Valenzelektronen
Orbitale
H2 – Molekül: (1s1)I + (1s1)II σb2 + σ*0 N Atome (je n Orbitale) im Molekül: im Kristall: Pauliprinzip: 2 e-/Orbital
N.n Orbitale
auffüllen, bis N.n e- in Orbitalen sind max. Energie: Fermienergie
► Kristallorbitale: ► Atomorbitale: lokalisiert zwischen Atomen Energie kovalenter Kristall Größe (n), Gestalt (l), delokalisiert im Kristall Orientierung (m), Spin (s) Metallbindung Bändermodell 2
Orbitale delokalisierter Elektronen Energieaufspaltung Delokalisierung
Molekül:
Wechselwirkung
Kristall:
N gleiche Atome N gleiche Orbitale • N-fache Energieaufspaltung • Delokalisierung Abstand
scharfe Energieniveaus
typ. Gitterkonst. Bändermodell
Energien der Bänder abhängig von: ursprünglichen Atomorbitalen Kristallstruktur Atomabstand 3
Quantenzahlen für Kristallorbitale Orbitalmodell Unschärferelation
∆p x ⋅ x ≥
h 4π
Größe Atom: 5.10-11 m Größe Kristall: 10-3 m
Impuls ist im Kristall genau bestimmbar Quantenzahlenfür fürKristallelektronen: Kristallelektronen:ppxx,,ppyy,,ppzz,,ss Quantenzahlen Energieunterschiede zwischen Kristallorbitalen klein:
Energieband Energieunterschiede zwischen Kristallorbitalen groß: Bändermodell
Energielü Energielücke
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Bänder in Leitern Beispiel Li:
1s22s1
E
3 Energienivaus
3 Bä Bänder
Ionisierung WA
2p0 2s1
EF
jeweils N Orbitale 1s2 Atom
Kristall
(1s)- Band: N Orbitale, 2N Elektronen (2s)- Band: N Orbitale, N Elektronen
Abstand
voll besetztes Band halb besetztes Band EFermi in der Bandmitte
e- nahe EF: Wechsel in unbesetzte Orbitale möglich Energiezufuhr Elektronenleitung,Leitungsband Leitungsband Elektronenleitung, Bändermodell
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Bänder in Leitern Beispiel Be:
1s22s2
(1s)- Band: voll besetzt
E
Ionisierung 2p0
EF
2s2
(2s)- Band: voll besetzt Valenzband
1s2 Kristall
Atom
Abstand
2s und 2p Bänder überlappen e- nahe EF: Wechsel in unbesetzte Orbitale (2p-Band) möglich Elektronenleitung,Leitungsband Leitungsband Elektronenleitung, Leitfähigkeit durch Wechsel des Bandes Leiter 2. Art Bändermodell
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Bänder in Leitern Beispiel Cu: … 3s2 3p6 3d10 4s1
E
E=0 4s1
EF
(1s), (2s), (2p), (3s), (3p), (3d)- Bänder:
voll besetzt
3d10 3p6 3s2 Kristall
(4s)- Band: N Orbitale, N Elektronen
Atom
Abstand
halb besetztes Band EFermi in der Bandmitte
Leiter 1. Art
Bändermodell
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Vorzeichenkonvention für Elektronenenergien Atomphysik:
E = 0: e- ∞ weit vom Atom entfernt, Ekin = 0 E < 0: e- an den Atomkern gebunden
Festkörperphysik: im Band: Energien von der Bandunterkante oder: E = 0: Ferminergie E > 0: angeregte Elektronen E > WA: Elektron verlässt den Kristall
Bändermodell
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Bänder in Nichtleitern Beispiel C (Diamant): 1s2 2s2 2p2 ► kovalenter Kristall: 4 bindende & 4 antibindende σ – Orbitale ► Bändermodell: 4N bindende Orbitale 4N antibindende Orb.
Tetraederstruktur: 2sp3 – Hybrid
E E=0 2sp3
∆E ≈ 7eV
1s2 Kristall
Atom Abstand
(2sp3)b- Band: 4N Orbitale, voll besetztes Band Valenzband 4N Elektronen Leitungsband (2sp3)*- Band: 4N Orbitale leeres Band
∆E: Energielücke kann von e- nicht überwunden werden Bändermodell
keine Leitung
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Abhängigkeit der Energielücke von der Gitterkonstanten
Bändermodell
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Energieverteilung in den Bändern Modell: freies Elektronengas Die Geschwindigkeitsverteilung n(E, E+dE) von Molekülen im idealen Gas hängt ab von der: Wahrscheinlichkeit, dass eine Geschwindigkeit in [E, E+dE] vorkommt
Verteilungsfunktion f(E) f(E) Anzahl der Zustände gleicher Energie in [E, E+dE]
statistisches Gewicht g(E) g(E) n( E , E + dE ) = N ⋅ f ( E ) ⋅ g ( E ) ⋅ dE − 4⋅ E n ( E , E + dE ) = N ⋅ ⋅ e kT ⋅ dE π ⋅ (kT )³ E
Maxwell: Bändermodell
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Energieverteilung in den Bändern freies Elektronengas im teilweise besetzen Band: kinetische Energie Energie ab Unterkante des Bandes: außerhalb der Bänder: g ( E ) ≠ 0 im Band keine Elektronen g ( E ) = 0 außerhalb Pauliprinzip: keine thermische Anregung (T = 0 K) Pauliprinzip: T ≠ 0
f ( E ) = 1 für E < EF g ( E ) = 0 für E > EF
Anregung nur in nicht besetzte Orbitale
1
f (E,T ) = e
E − EF kT
+1
FermiFermi-Dirac Verteilung Bändermodell
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statistisches Gewicht im Band Unschärferelation:
h h h ∆p x ⋅ ∆x = ∆p y ⋅ ∆y = ∆p z ⋅ ∆z = 4π 4π 4π
jedes Orbital muss sich in p mindestens um ∆px, ∆py und ∆pz unterscheiden
Pauliprinzip:
r r r [| p |, | p + dp |] Anzahl der Zustände in r Zustände mit gleichem| p | Kugel im Impulsraum
Minimalvolumen für jeden Zustand: ∆px.∆py.∆pz ⇒ g ( p) ⋅ dp = 2
Bändermodell
4πp ²dp ∆p x ∆p y ∆p z
mit
E=
p² 2m
(4π) 4 ⋅ (2m)³ g ( E ) ⋅ dE = VKrist . E ⋅ dE h³
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Energieverteilung in den Bändern
g(E)f(E)/VK
--
( 4π) 4 ⋅ (2m)³ E n( E , E + dE ) = g ( E ) ⋅ f ( E ) ⋅ dE = VKrist . ⋅ dE ( E − EF ) / kT h³ e +1
Bändermodell
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Einfluss der Impulsrichtung freies Elektronengas: Impulsraum:
p2 r + E pot = E (| p |) E= 2m
Orbitale gleicher Energie Kugeloberfläche
pz py
andere Metalle: Epot abhängig von der Richtung p andere Fermiflächen pz
px Modell ok für einwertige Metalle
Bändermodell
px
py 15
Bandstruktur Elektronen: Welle – Teilchen – Dualismus r h r r 2π p = k | k |= 2π λ
Orbital Welle Impuls Wellenlä Wellenlänge freie Elektronen:
p² E= 2me
Kristallstruktur: räumlich periodisch
alle Wellen: gleiche AusAuslenkung an Gitterplä Gitterplätzen k > => k > − kGitter = k<
1,5 Welle 1
Gitter
Welle 2
Welle 3
1
Auslenkung
Wellen Abtasttheorem
gleich für alle Richtungen
0,5 0 -0,5 -1 -1,5 0
Bändermodell
0,25
0,5
0,75 Ort
1
1,25
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Bandstruktur 10
Beschränkung auf k < kGitter :
8
reduziertes Zonenschema E→
6
aber: E(k>) > E(k> – kGitter)
4
2
0 0
reale Bandstrukturen: Cu
Bändermodell
0,2
0,4
0,6
0,8
1
k→
C, Si
2π g
1,2
Be
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Kontaktspannung E
EVak
2 Metalle ohne Kontakt: unterschiedliche WA
WA,2
WA,1
freie e-: Ekin = 0
gemeinsame EVak Metall 1 E 2 Metalle in Kontakt: Elektronenfluss Metall 2 Metall 1 Aufladung: Metall 1: – E =E F,1 F,2 Metall 2: + eU K = WA,1 − WA, 2 Bändermodell
∫∫
Metall 2
x EVak
eUKontakt WA,1
Metall 1
WA,2
Metall 2
x
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Kontaktspannung WA/e [V]
Metall
Austrittsarbeit von Metallen: Voltasche Spannungsreihe
Kontaktspannungen im geschlossenen Stromkreis: Pb Cu
UCu-Pb
∑U
Sn UFe-Cu
USn-Fe
Bändermodell
=0
i
UPb-Sn
Fe
K ,i
U 19
Thermoelektrische Effekte T
Seebeck - Effekt: Thermoelement
T+∆T
Kontaktstellen unterschiedlicher Leiter auf unterschiedlichen Temperaturen U
Thermospannung E
eUK
E EF
T
1 f(E)
eUth
E
T+∆T
2
1 f(E)
x Bändermodell
T+∆T: mehr eoberhalb von EF e- fließen von 1 2 Aufladung: 1: + 2: – EF(1) ↓
Uth 20
Thermoelektrische Effekte Seebeck - Effekt: häufig gebraucht: Eisen-Konstantan 5,37 mV/100°C
Bändermodell
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Thermoelektrische Effekte Seebeck - Effekt: 1: NiCr-Konstantan 2: Cu-Konstantan 3: Fe-Konstantan 4: PtRh5-AuPd46Pt2 5: NiCr-Ni 6: PtRh13-Pt 7:PtRh10-Pt 8: PtRh30-PtRh6
Bändermodell
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Peltiereffekt T+∆T
T
Stromkreis mit unterschiedlichen Leitern Kontaktstelle wärmer Kontaktstelle kälter Übergang Metall 1 Metall 2
E
Gesamtenergie der e- konstant Erhöhung von Ekin Verkleinerung von Epot
EF,l
1 eU
Ekin,2 Ekin,1
EF,r
1
Ekin,2
Ekin,1
Gitterenergie Abkü Abkühlung
2
Übergang Metall 2 Metall 1 x
Bändermodell
Verkleinerung von Ekin Gitterenergie
Erwä Erwärmung
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