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ÜBUNG 9 Die entsprechenden Themen: 1.
Das Teilchen im ein- und zweidimensionalen Kasten
Aufgaben: 1. Betrachten Sie die zeitabhängige Schrödinger Gleichung für ein freies Teilchen in einer Dimension, y. Zeigen Sie, dass ( y) e i ( ky t ) eine Lösung ist, und stellen Sie eine Beziehung zwischen k und her. 2. Betrachten Sie ein Teilchen (Masse m) in einem eindimensionalen Kasten zwischen x L und x 3L . a. Wie sieht der Hamiltonoperator aus? b. Welche Randbedingungen müssen die Wellenfunktionen erfüllen? c. Zeigen Sie, dass ( x) N sin[(x )] eine Eigenfunktion ist. d. Bestimmen Sie und für den Grundzustand. e. Bestimmen Sie N. f. Berechnen Sie den Erwartungswert für xˆ für diese Lösung. g. Berechnen Sie den Erwartungswert für pˆ x für diese Lösung. h.
Berechnen Sie den Erwartungswert für den Operator Bˆ ( xˆpˆ x pˆ x xˆ ) 4 für diese Lösung.
i. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen im Intervall i) [L; 3L], ii) [-L; L], iii) [-L; 3L], iv) [-1.2L; -1.1L], bzw. [-3L; L] befindet. 3. Betrachten Sie ein Teilchen in einem eindimensionalen Kasten, L1 x L2 mit L1=1 nm und L2=2 nm. Die Wellenfunktion des Grundzustandes sei ( x) N sin[ ( x x0 )] . (i) Welchen Wert hat N? (ii) Welchen Wert hat ? (iii) Welchen Wert hat x0? 4. Betrachten Sie ein Teilchen (Masse m) in zwei Dimensionen. Die Grundzustandseigenfunktion sei ( x) A exp[ ( x a) 2 ( y b) 2 ]. Bestimmen Sie den Erwartungswert 2 1 für xy. Hinweis: e y dy 0 2 5. Die Grundzustandswellenfunktion eines Teilchen in einem eindimensionalen Kasten der Länge L lautet
( x)
2 x sin . L L
L sei 10.0 nm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Teilchen (a) zwischen x=6.01 nm und x=6.07 nm, (b) zwischen x=10.01 nm und x=10.07 nm, (c) in jedem Viertel des Behälters aufhält? 6. Betrachten Sie ein Teilchen in einem zweidimensionalen Kasten. Das Teilchen ist auf einer zweidimensionalen Fläche der Länge L in x-Richtung und L in y-Richtung gefangen. In dieser Fläche ist die potentielle Energie null, an den Wänden steigt sie abrupt auf unendlich. Die Masse des Teilchen sei m. a. Wie sieht der Hamiltonoperator für dieses Problem aus? b. Welche Randbedingungen muss die Wellenfunktion erfüllen? c. Zeigen Sie, dass nx n y ( x, y) N sin(n xx / L) sin(n y y / L) eine Lösung ist. d. Welche Werte können nx und ny annehmen? e. Leiten Sie einen Ausdruck für die Energie E nx ,n y des Teilchen als Funktion von nx, ny und L her. f. Welchen Wert hat N? g. Ist das Energieniveau mit nx=2 und ny=4 entartet? Wie groß ist der Grad der Entartung? h. Berechnen Sie die Erwartungswerte für xˆ und pˆ x für nx=3 ny=1.
