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4. Stoßvorgänge ● ● ● ● ● 13.08.15 Stoßvorgänge sind Vorgänge von sehr kurzer Dauer, bei denen zwischen den beteiligten Körpern große Kräfte auftreten. Gesucht wird ein Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten vor dem Stoß und den Geschwindigkeiten nach dem Stoß. Der genaue zeitliche Verlauf der Kräfte ist nicht bekannt. Stoßvorgänge werden daher mit Hilfe des integrierten Impulssatzes beschrieben. Dabei müssen Annahmen zum Kraftstoß getroffen werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-1 4. Stoßvorgänge 13.08.15 4.1 Idealisierungen 4.2 Stoß eines Massenpunktes 4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-2 4.1 Idealisierungen ● ● 13.08.15 Idealisierungen sind vereinfachende Annahmen, die bei der Modellbildung getroffen werden, damit ein Problem rechnerisch untersucht werden kann. Bei Stoßvorgängen werden folgende Annahmen getroffen: – Die Stoßdauer tS ist so klein, dass Lageänderungen der beteiligten Körper während der Stoßdauer vernachlässigt werden können. – Es müssen nur die durch den Stoß verursachten Kraftstöße berücksichtigt werden. Wegen der sehr kleinen Stoßdauer sind die Kraftstöße aller anderen Kräfte vernachlässigbar. – Die beteiligten Körper können als Massenpunkte betrachtet werden. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-3 4.2 Stoß eines Massenpunktes ● y vB Ein Massenpunkt trifft schräg auf eine starre glatte Wand. – Bekannt: ● αB – vA m Prof. Dr. Wandinger ● x αA 13.08.15 Masse m Geschwindigkeit vA , αA vor dem Auftreffen Gesucht: ● Geschwindigkeit vB , αB nach dem Auftreffen 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-4 13.08.15 4.2 Stoß eines Massenpunktes ● Geometrie: v Ax =−v A cos  A  , v Ay =v A sin  A  v Bx =v B cos  B  , v By =v B sin  B  ● ● Integrierter Impulssatz in y-Richtung: – Da die Wand glatt ist, werden keine Kräfte in y-Richtung übertragen. – Damit gilt: m v By −m v Ay =0 → v By =v Ay Integrierter Impulssatz in x-Richtung: – Der Stoßvorgang wird in zwei Phasen unterteilt, die Kompressionsphase und die Restitutionsphase. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-5 13.08.15 4.2 Stoß eines Massenpunktes – Kompressionsphase: ● ● Der Massenpunkt wird zusammengedrückt, bis die Geschwindigkeit senkrecht zur Wand null ist. Dazu muss auf die Masse der Kraftstoß F K wirken: m⋅0−m v Ax = F̂ K → −m v Ax = F̂ K – Restitutionsphase: ● ● Während der Restitutionsphase bildet sich die Verformung ganz oder teilweise zurück. Dabei nimmt die von der Wand auf den Massenpunkt ausgeübte Kraft ab und ist am Ende der Restitutionsphase null. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-6 13.08.15 4.2 Stoß eines Massenpunktes ● Für den Kraftstoß F R während der Restitutionsphase gilt: m v Bx −m⋅0= F̂ R → m v Bx = F̂ R – Zeitlicher Verlauf der Kraft auf den Massenpunkt: F F max F̂ K F̂ R tS Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes t TM 3 2.4-7 13.08.15 4.2 Stoß eines Massenpunktes ● Stoßhypothese: – Mit −m v Ax = F K , m v Bx = F R stehen zwei Gleichungen zur Ermittlung der drei Unbekannten v Bx , F K , F R zur Verfügung. – Zur Lösung wird noch eine Hypothese über das Verformungsverhalten benötigt. – Diese Hypothese stellt einen Zusammenhang zwischen den beiden Kraftstößen her. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-8 13.08.15 4.2 Stoß eines Massenpunktes – Vollkommen elastischer Stoß: ● ● ● Verformungen und Kräfte in der Restitutionsphase verlaufen spiegelbildlich zur Kompressionsphase. F F max Nach dem Stoßende hat die Masse wieder ihre ursprüngliche Form. Für die Kraftstöße gilt: F R = F K Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes F̂ K F̂ R tS t TM 3 2.4-9 4.2 Stoß eines Massenpunktes – ● Damit folgt: ● Ergebnis: 13.08.15 −m v Ax = F̂ K → m v Ax +m v Bx =0 ̂ m v Bx = F K v Bx =−v Ax v By =v Ay vB =v A  B = A Vollkommen plastischer Stoß: ● Die gesamte Verformung bleibt erhalten. ● Der Kraftstoß während der Restitutionsphase verschwindet: F R =0 ● Damit folgt: Prof. Dr. Wandinger v Bx =0 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-10 4.2 Stoß eines Massenpunktes ● 13.08.15 Mit v Bx =v B cos  B  , v By =v B sin  B  und v By =v Ay folgt weiter:  B =90 ° v B =v By =v Ay =v A sin  A  ● – Der Massenpunkt rutscht an der Wand entlang. Teilelastischer Stoß: ● Die Verformungen bilden sich teilweise zurück. ● Für die Kraftstöße gilt: ● ● F R =k F K Die dimensionslose Konstante k wird als Stoßzahl bezeichnet. Der Wert der Stoßzahl liegt zwischen 0 (vollkommen plastischer Stoß) und 1 (vollkommen elastischer Stoß). Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-11 4.2 Stoß eines Massenpunktes ● Damit folgt: −m v Ax = F̂ K → k m v Ax +m v Bx =0 m v Bx = k F̂ K ● Ergebnis: v Bx =−k v Ax 13.08.15 v By v Ay 1 tan  B = = = tan  A v Bx −k v Ax k ● ● ● Wegen k < 1 gilt: tan  B tan  A   B  A Die Stoßzahl kann aus dem Verhältnis der Geschwindigkeiten v Bx berechnet werden: k=− v Ax Die Stoßzahl hängt von den Eigenschaften des Körpers und von den Eigenschaften der Wand ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-12 13.08.15 4.2 Stoß eines Massenpunktes y y vB vA αA x αA vA y vB αB αB x αA vA x αA vA k=1 0< k< 1 k=0 vollkommen elastisch teilelastisch vollkommen plastisch Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-13 13.08.15 4.2 Stoß eines Massenpunktes ● Bestimmung der Stoßzahl im Fallversuch: – – – Ein Massenpunkt fällt aus der Höhe hA senkrecht auf eine waagerechte Unterlage. Nach dem Stoß erreicht er die Höhe hB. Energieerhaltungssatz für die Fallphase: 1 m g h A= m v 2A → v A=−√ 2 g h A 2 – m g x NN Energieerhaltungssatz für die Steigphase: 1 m v 2B =m g h B → v B = √ 2 g h B 2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-14 4.2 Stoß eines Massenpunktes – ● Daraus folgt für die Stoßzahl: 13.08.15  vB hB k=− = vA hA Typische Werte der Stoßzahl: – Glas auf Glas: 0,94 – Stahl auf Stahl: 0,8 – Holz auf Holz: 0,5 – Kork auf Kork: 0,56 – Außer vom Material hängt die Stoßzahl auch von der Geometrie des Körpers und von der Größe des Kraftstoßes ab. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-15 4.3 Stoß zwischen zwei Massenpunkten 13.08.15 4.3.1 Definitionen 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß 4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-16 13.08.15 4.3.1 Definitionen ● Berührungsebene und Stoßnormale: – Die Berührungsebene liegt tangential zu den beiden Körpern. – Der Stoßpunkt P liegt in der Berührungsebene. – Die Stoßnormale geht durch den Stoßpunkt P und steht senkrecht auf der Berührungsebene. Prof. Dr. Wandinger Stoßnormale S1 P S2 Berührungsebene 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-17 13.08.15 4.3.1 Definitionen ● Gerader Stoß: – ● Die Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß haben die Richtung der Stoßnormalen. S1 P S2 v2 Schiefer Stoß: – v1 Die Richtungen der Geschwindigkeiten unmittelbar vor dem Stoß stimmen nicht mit der Stoßnormalen überein. v1 S1 P S2 v2 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-18 13.08.15 4.3.1 Definitionen ● Zentrischer Stoß: – – ● Die Stoßnormale geht durch die beiden Schwerpunkte. S1 S2 Beim zentrischen Stoß können die beteiligten Körper als Massenpunkte betrachtet werden Exzentrischer Stoß: – P Die Stoßnormale geht nicht durch die beiden Schwerpunkte. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes P S2 S1 TM 3 2.4-19 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß ● 13.08.15 Vor dem Stoß: m2 m1 v1 > v2 x v1 – v2 Die Massen m1 und m2 bewegen sich mit den Geschwindigkeiten v1 und v2 entlang einer Geraden, die mit der Stoßnormalen übereinstimmt. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-20 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß ● 13.08.15 Während des Stoßes: m1  m2 x F(t) – Zum Zeitpunkt t = 0 treffen die beiden Massen aufeinander. – Sie üben eine Kraft F(t) aufeinander aus. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-21 13.08.15 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß – Kompressionsphase: ● ● ● ● Während der Kompressionsphase werden die beiden Massen zusammengedrückt. Am Ende der Kompressionsphase (Zeitpunkt t0 ) haben die beiden Massen die gleiche Geschwindigkeit v0 . Die Kontaktkraft F(t) erreicht zum Ende der Kompressionsphase ihr Maximum. Für den Kraftstoß während der Kompressionsphase gilt: t0 F K =∫ F t dt 0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-22 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß – 13.08.15 Restitutionsphase: ● ● ● Während der Restitutionsphase bilden sich die Verformungen teilweise oder vollkommen zurück. Dabei fällt die Kontaktkraft F(t) ab und ist am Ende (Zeitpunkt tS ) null. Für den Kraftstoß während der Restitutionsphase gilt: tS F R =∫ F t  dt – Stoßhypothese: ● t0 Zwischen den Kraftstößen besteht die Beziehung F R =k F K Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-23 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß ● 13.08.15 Nach dem Stoß: m2 m1 w1 < w2 x w1 – w2 Die Massen m1 und m2 bewegen sich mit den Geschwindigkeiten w1 und w2 entlang einer Geraden, die mit der Stoßnormalen übereinstimmt. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-24 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß ● 13.08.15 Geschwindigkeiten nach dem Stoß: – Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen während der Kompressionsphase lautet: m1  v 0 −v1  =− F K , m2  v 0 −v 2  = F K – Der integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen während der Restitutionsphase lautet: m1  w1−v 0  =−k F K , m2  w 2 −v 0  =k F K – Damit stehen vier Gleichungen zur Verfügung, mit denen die vier Unbekannten w1 , w2 , v0 und F K berechnet werden können. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-25 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß 13.08.15 – Addition der beiden Gleichungen für die Kompressionsphase ergibt: m 1 v 1 + m 2 v2 m1 ( v 0 −v1 ) + m 2 ( v 0 −v 2 )=0 → v 0 = m1 +m 2 – Damit folgt für den Kraftstoß:  m1 v 1m2 v2 F K =m2  v 0 −v 2  =m 2 −v2 m1 m 2 =m 2 Prof. Dr. Wandinger m1 v1m2 v 2−  m 1m 2  v 2 m 1m 2  m 1 m2 = v 1−v 2   m1m2 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-26 13.08.15 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß – Aus den Gleichungen für die Restitutionsphase folgt: F K m 1 v 1m2 v 2 m2 w1 =v 0 −k = −k v1−v 2   m1 m1 m 2 m1 m 2 F K m 1 v 1m 2 v 2 m1 w 2 =v 0 k = k v 1−v 2   m2 m1m 2 m1m 2 – Ergebnis: w1 = w2= Prof. Dr. Wandinger m1 v1 m2 v2 −k m 2  v1−v 2  m1 m 2 m 1 v 1m2 v 2 k m1  v1 −v 2  m1m2 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-27 13.08.15 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß – Spezialfälle: ● Ideal plastischer Stoß: k = 0 ● Ideal elastischer Stoß: k = 1 w 1= ● ● ● 2 m2 v2  m1 −m2  v1 m1 m2 m1 v1 +m2 v 2 → w1 =w 2 = m1 +m 2 , w2 = 2 m 1 v1  m2 −m1  v2 m1 m2 Gleich große Massen: m1 = m2 1 1 w 1= [  1−k  v1  1k  v2 ] , w 2 = [  1k  v1  1−k  v2 ] 2 2 Ideal elastisch mit gleich großen Massen: w 1=v2 , w 2 =v1 Ideal plastisch mit gleich großen Massen: Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes w 1=w 2 = 1 v1v2   2 TM 3 2.4-28 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß ● 13.08.15 Impulserhaltung: – Da wegen der sehr kurzen Stoßzeit der Kraftstoß der äußeren Kräfte auf das Gesamtsystem vernachlässigbar ist, muss der Impuls des Gesamtsystems erhalten bleiben. – Addition der integrierten Impulssätze für die Kompressionsphase ergibt: m1  v 0 −v1  m2  v 0 −v 2  =0 – Addition der integrierten Impulssätze für die Restitutionsphase ergibt: m1  w1−v 0  m 2  w 2 −v 0  =0 Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-29 13.08.15 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß – Addition dieser beiden Gleichungen ergibt: m1  w1−v1  m2  w 2 −v 2  =0 – Daraus folgt: m1 w 1m 2 w 2 =m1 v 1m2 v2 – ● Stoßbedingung: – Für die Geschwindigkeitsdifferenz w2 – w1 folgt: w 2 −w1 k m1  v 1−v 2  k m 2  v1−v 2  = m1 m 2 =k  v1 −v 2  Diese Beziehung gilt unabhängig von der Stoßzahl. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes w 2 −w1 k=− v2 −v 1 TM 3 2.4-30 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß 13.08.15 – Die Stoßzahl ist gleich dem Verhältnis von relativer Trennungsgeschwindigkeit zu relativer Annäherungsgeschwindigkeit. – Mit Impulserhaltungssatz und Stoßbedingung stehen zwei Gleichungen zur Verfügung, die nach w1 und w2 oder nach v1 und v2 aufgelöst werden können. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-31 13.08.15 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß ● Energiebilanz: – Die mechanische Energie, die dem System durch Verformung und Erwärmung verloren geht, berechnet sich aus der Differenz der kinetischen Energien vor und nach dem Stoß: 1 1 K K 2 2  E =E v −E n =  m 1 v 1 m2 v 2 −  m 1 w21 m2 w 22  2 2 – Daraus folgt zunächst: 2 E = m1  v12 −w 21  m 2  v 22 −w 22  = m1  v1−w1  v1 w1  m 2  v 2 −w 2  v2 w2  Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-32 13.08.15 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß – Mit m 2  v 2 −w2  =−m1  v 1−w 1  folgt weiter: 2 E = m1  v1−w1  v1 w1  −m1  v 1−w 1  v 2w 2  = m1  v1−w1  v1 w1 −v 2 −w 2  = m1  v1−w1   v 1−v 2 −k  v1−v2   – Aus den Stoßgleichungen folgt: v1 −w1 = = Prof. Dr. Wandinger  m1m 2  v 1−m1 v1−m 2 v 2k m 2  v 1−v 2  m1m2 m 2  v1−v2  k m 2  v1−v2  m 1m 2 m2 =  1k   v1 −v 2  m1m 2 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-33 13.08.15 4.3.2 Gerader zentrischer Stoß – Damit folgt: – Ergebnis: m1 m2 2 E=  1k   v1−v2   1−k   v 1−v 2  m1m2 1 m1 m 2 2 2  E= 1−k   v 1−v 2   2 m1m 2 – Beim ideal elastischen Stoß ist wegen k = 1 der Energieverlust null. – Beim ideal plastischen Stoß ist wegen k = 0 der Energieverlust am größten. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-34 4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß ● ● 13.08.15 Betrachtet wird nur der schiefe zentrische Stoß zweier Massenpunkte in der Ebene, d.h. die Stoßnormale und die beiden Geschwindigkeitsvektoren vor dem Stoß liegen in einer Ebene. Dabei wird angenommen, dass die Oberflächen der stoßenden Massenpunkte glatt sind. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-35 4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß w1y w1 y w2y w1x 13.08.15 w2 w2x Stoßnormale v1y m1 x v1 v1x v2 Geschwindigkeiten entgegen der x-Achse sind negativ. v2y v2x m2 Berührungsebene Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-36 4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß ● 13.08.15 Impulserhaltungssatz in y-Richtung: – Da die Oberflächen der beiden Massen als glatt vorausgesetzt werden, werden in der Berührungsebene keine Kräfte übertragen. – Der Impulserhaltungssatz in y-Richtung für jede der beiden Massen liefert: m1 v1 y =m1 w1 y → v1 y =w1 y m 2 v 2 y =m2 w 2 y → v 2 y =w 2 y Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-37 4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß ● 13.08.15 Integrierter Impulssatz in x-Richtung: – In Richtung der Stoßnormalen liegen die gleichen Verhältnisse vor wie beim geraden zentrischen Stoß. – Der über die gesamte Stoßzeit tS integrierte Impulssatz für jede der beiden Massen lautet: m1 w 1 x −m1 v1 x =− F , m 2 w 2 x −m 2 v 2 x = F F = F K  F R – Zusätzlich muss die Stoßbedingung erfüllt sein: w 1 x −w 2 x k=− v1 x −v2 x Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-38 13.08.15 4.3.3 Schiefer zentrischer Stoß – Damit stehen drei Gleichungen zur Bestimmung der drei Unbekannten w1x , w2x und F zur Verfügung. – Wie beim geraden zentrischen Stoß folgt: w1 x = w2 x = – m1 v1 x m 2 v 2 x −k m 2  v 1 x −v2 x  m1m2 m1 v 1 x m 2 v 2 x k m1  v 1 x −v2 x  m1 m 2 Geschwindigkeiten entgegen der x-Achse sind negativ. Prof. Dr. Wandinger 2. Kinetik des Massenpunktes TM 3 2.4-39