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Wurzelsysteme irreduzibler endlicher Spiegelungsgruppen Notation: • Der R-Vektorraum Rn sei mit der Standardbasis {ei | 1 ≤ i ≤ n} versehen. • ±ei ± ej ist Kurzform f¨ ur die 4 Vektoren ei + ej , ei − ej , −ei + ej und −ei − ej . Vorbemerkungen: • Soweit m¨oglich werden explizite explizite kristallographische Wurzelsysteme ange∈ Z f¨ ur alle geben. Ein Wurzelsystem Φ heißt kristallographisch, wenn 2hv,wi hw,wi v, w ∈ Φ gilt. Die assoziierte Spiegelungsgruppe W wird dann auch Weylgruppe genannt. Sie ist eine kristallographische Gruppe, da sie das Gitter spanZ (Φ) stabilisiert. Letzteres folgt aus der Tatsache, dass w − sv (w) stets ein ganzzahliges Vielfaches von v ist. • F¨ ur ein kristallographisches Wurzelsystem Φ mit einfachen Wurzeln ∆ definieren wir folgendermaßen eine partielle Ordnung: v ≤ w :⇔ w − v ist nichtnegative Z-Linearkombination von Vektoren aus ∆. • Das (eindeutig bestimmte) maximale Element α e ∈ Φ bez¨ uglich dieser partiellen Ordnung ≤ (eines kristallographischen Wurzelsystems) ist die h¨ ochste Wurzel. 1. Spiegelungsgruppe vom Typ An Coxetergraph: (n Knoten) Die symmetrische Gruppe Σn+1 wirkt durch Koordinatenpermutation auf Vektoren des Rn+1 . F¨ ur eine schr¨anken wir uns auf den Unter PGruppenwirkung wesentliche x = 0 ein. Wir erhalten das kristallographishe vektorraum U = x ∈ Rn+1 n+1 i=1 i Wurzelsystem Φ = {ei − ej | 1 ≤ i 6= j ≤ n + 1} mit einfachen Wurzeln ∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n} . Alle Wurzeln haben die gleiche L¨ange und die h¨ochste Wurzel ist α e = e1 − en . 2. Spiegelungsgruppe vom Typ Bn 4
Coxetergraph: (n ≥ 2 Knoten) Die Hyperoktaedergruppe ist isomorph zum semidirekten Produkt Σn n (Z2 )n . Sie wirkt auf dem Standardgitter Zn des Rn wesentlich und besitzt zwei kristallographische Wurzelsysteme, die Bn und Cn genannt werden. i) Das kristallographische Wurzelsystem Bn ist Φ = {±ei | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ n} mit einfachen Wurzeln ∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δn = en } . Die Wurzeln haben zwei verschiedene L¨angen: ±ei sind kurze Wurzeln, w¨ahrend ±ei ± ej lange Wurzeln genannt werden. Die h¨ochste Wurzel ist α e = e1 + e2 . ii) Das kristallographische Wurzelsystem Cn ist Φ = {±2ei | 1 ≤ i ≤ n} ∪ {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ n} mit einfachen Wurzeln ∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δn = 2en } . Die Wurzeln haben zwei verschiedene L¨angen: ±ei ± ej sind kurze Wurzeln und ±2ei sind lange Wurzeln. Die h¨ochste Wurzel ist α e = 2e1 . 1
2
3. Spiegelungsgruppe vom Typ Dn Coxetergraph:
(n ≥ 4 Knoten)
Die Gruppe vom Typ Dn ist isomorph zum semidirekten Produkt Σn n (Z2 )n−1 . Sie wirkt auf dem Standardgitter Z n des Rn wesentlich und besitzt das folgende kristallographische Wurzelsystem Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ n + 1} mit einfachen Wurzeln ∆ = {δi := ei − ei+1 | 1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {δn = en−1 + en } . Alle Wurzeln sind haben die gleiche L¨ange und die h¨ochste Wurzel ist α e = e1 + e2 . 4. Spiegelungsgruppe vom Typ I2 (6) (alternativ auch: vom Typ G2 ) 6 Coxetergraph: Die Diedergruppe der Ordnung 12 wirkt auf dem Standardgitter Z3 des R3 . F¨ ur eine wesentliche Gruppenwirkung schr¨anken wir uns wiederum auf den Untervektorraum U = {x ∈ Rn+1 | x1 + x2 + x3 = 0} ein und erhalten das kristallographische Wurzelsystem
Φ = {±(ei − ej ) | 1 ≤ i < j ≤ 3} ∪ {±(2ei − ej − ek ) | {i, j, k} = {1, 2, 3}} mit einfachen Wurzeln ∆ = {δ1 := e1 − e2 , δ2 := −2e1 + e2 + e3 } . Auch hier haben die Wurzeln zwei verschiedene L¨angen: die sechs Wurzeln ±(ei − ej ) sind kurze Wurzeln, w¨ahrend die sechs Wurzeln ±(2ei −ej −ek ) mit {i, j, k} = {1, 2, 3} lange Wurzeln sind. Die h¨ochste Wurzel ist α e = 2e3 − e1 − e2 . 5. Spiegelungsgruppe vom Typ I2 (m) mit m = 5 oder m ≥ 7 Coxetergraph: m F¨ ur die Diedergruppen I2 (m) mit m = 5 oder m > 6 gibt es kein kristallographisches Wurzelsystem, und ein Wurzelsystem ist von einem regelm¨aßigen Polygon (mit Ursprung als Symmetriezentrum) abgeleitet. 6. Spiegelungsgruppe vom Typ F4 4 Coxetergraph: Die Symmetriegruppe des 24-Zells wirkt auf dem R4 und stabilisiert das Gitter Z4 + spanZ 12 (e1 + e2 + e3 + e4 ) . Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 4} ∪ {±ei | 1 ≤ i ≤ 4} ∪
1
(±e ± e ± e ± e ) 1 2 3 4 2
mit einfachen Wurzeln ∆ = δ1 := e2 − e3 , δ2 := e3 − e4 , δ3 := e4 , δ4 := 12 (e1 − e2 − e3 − e4 ) . Auch hier haben die Wurzeln zwei verschiedene L¨angen: die 24 Wurzeln ±ei und 1 (±e1 ± e2 ± e3 ± e4 ) sind kurze Wurzeln, die 24 Wurzeln ±ei ± ej sind lange 2 Wurzeln. Die h¨ochste Wurzel ist α e = e1 + e2 . 7. Spiegelungsgruppe vom Typ E8 Coxetergraph: Diese sporadische endliche Spiegelungsgruppe wirkt auf R8 und stabilisiert das Gitter P8 ci ∈ Z und P8 ci gerade + spanZ 1 P8 ei . c e i i i=1 i=1 i=1 2 Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem
3
Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 8} ∪
1 P8 2
gerade Anzahl von ‘−’ ±e i i=1
mit einfachen Wurzeln P ∆ = δ1 := 12 (e1 − 7i=2 ei + e8 ), δ2 := e1 + e2 ∪ {δi := ei−1 − ei−2 | 3 ≤ i ≤ 8} . Das Wurzelsystem Φ enth¨alt 240 Wurzeln gleicher L¨ange und die h¨ochste Wurzel ist α e = e7 + e8 . 8. Spiegelungsgruppe vom Typ E7 Coxetergraph: Diese sporadische endliche Spiegelungsgruppe wirkt auf span(δ1 , . . . , δ7 ) ⊂ R8 der einfachen Wurzeln des Wurzelsystems E8 und stabilisiert das von diesen Vektoren aufgespannte Gitter. Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem o n P6 Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 6} ∪ {±(e7 − e8 )} ∪ ± 21 ( i=1 ±ei + e7 − e8 ) gerade Anzahl von ‘−’ .
Die einfachen Wurzeln sind eine Teilmenge der einfachen Wurzeln f¨ ur E8 : ∆ = {δ1 , . . . , δ7 } . Das Wurzelsystem Φ enth¨alt 126 Wurzeln gleicher L¨ange und die h¨ochste Wurzel ist α e = e8 − e7 . 9. Spiegelungsgruppe vom Typ E6 Coxetergraph: Diese sporadische endliche Spiegelungsgruppe wirkt auf span(δ1 , . . . , δ6 ) ⊂ R8 der einfachen Wurzeln des Wurzelsystems E8 und stabilisiert das von diesen Vektoren aufgespannte Gitter. Wir erhalten das kristallographische Wurzelsystem n o P5 Φ = {±ei ± ej | 1 ≤ i < j ≤ 5} ∪ ± 21 ( i=1 ±ei − e6 − e7 + e8 ) gerade Anzahl von ‘−’ .
Die einfachen Wurzeln sind eine Teilmenge der einfachen Wurzeln f¨ ur E8 : ∆ = {δ1 , . . . , δ6 } . Das Wurzelsystem Φ enth¨alt 72 Wurzeln gleicher L¨ange und die h¨ochste Wurzel ist α e = 21 (e1 + e2 + e3 + e4 + e4 + e5 − e6 − e7 + e8 ). 10. Spiegelungsgruppe vom Typ H4 4 Coxetergraph: Die Symmetriegruppe des 120- und 600-Zells wirkt auf dem R4 und ist keine kristallographische Gruppe. Wir betrachten die Vektoren π ± cos( ) ±1 ±1 5 1 1 ± ±1 0 2 , 2 ±1 , und 0 0
2π ± cos( ) 5 0
0
und erhalten aus dieses Vektoren ein Wurzelsystem Φ durch Koordinatenpermutation mit geraden Permatutationen. Ein einfaches Wurzelsystem ∆ ist durch die Vektoren 1 π π 1 δ1 =
cos( ) 5 −1 2 2π , cos( ) 5 0
gegeben.
δ2 =
− cos( ) 5 1 2 , 2π cos( ) 5 0
δ3 =
2 2π cos( ) 5 , π − cos( ) 5 0
−
2
π und δ4 = − cos( 5 ) 0 cos(
2π ) 5
4
11. Spiegelungsgruppe vom Typ H3 4
Coxetergraph: Die Symmetriegruppe des Ikosaeders und Dodekaeders wirkt auf dem R3 und ist keine kristallographische Gruppe. Ein Wurzelsystem ist durch die Wurzeln des Wurzelsystems H4 gegeben, die auf e4 senkrecht stehen. Ein dazu geh¨origes einfaches Wurzelsystem ∆ ist die Teilmenge {δ1 , δ2 , δ3 } der einfachen Wurzeln f¨ ur H4 .
