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Ein paar Aufgäbelchen! 1) In einem 9-köpfigen Ortsvorstand der LDPD kommt jedes Mitglied mit einer Wahrscheinlichkeit von 12 zur Sitzung. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine
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-Mehrheit anwesend ist?
2) In einem Gefäß sind 4 weiße und 2 schwarze Kugeln. Es wird 6-mal eine Kugel mit Zurücklegen gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit 4 weiße und 2 schwarze Kugeln zu ziehen? 3) In einem ähnlichen Gefäß sind w weiße und s schwarze Kugeln. Es werden n Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Wahrscheinlichkeit für x weiße Kugeln? 4) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit mit 5 Würfen eines Laplace-Würfels mindestens 2 Sechsen zu erhalten? 5) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine Weibchenmehrheit in einem Kaninchenwurf von 5 / 7 / 8? ('Erfolg'swahrscheinlichkeit für einen Bock sei jeweils 0,55) 6) Eine Laplace-Münze wird 4 / 5 / 6 – mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für eine ungerade Anzahl von Wappen? Wie sieht wohl eine allgemeine Lösung aus? (Begründung!) 7) Eine Münze mit den Aufdrücken 0 und 1 wird 6-mal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullen während der Würfe nie in der Mehrzahl sind? 8) Ist das folgende Spiel fair? Eine Laplace-Münze wird 20 – mal geworfen. Man gewinnt, wenn 9, 10 oder 11 mal Zahl erscheint. 9) Ein Graphologe hat sich um eine Stelle beworben. Um seine Fähigkeiten zu testen, werden ihm 10 Paare von Schriftproben vorgelegt, die jeweils von einem Metzger und einem Postboten stammen. Man will ihn anstellen, wenn er mindestens 8 der Paare richtig identifiziert. Seine Erfolgswahrscheinlichkeit für eine Identifikation sei p. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er angestellt wird (abhängig von p)? 10) Über einen Nachrichtenkanal werden die Zeichen 0 und 1 übertragen. Durch Störungen auf dem Weg wird manchmal eine 1 als 0 und umgekehrt empfangen. Diese Störwahrscheinlichkeit liege bei 0,2. Eine wichtige Nachricht besteht nur aus dem Zeichen 1. Um den richtigen Empfang der Nachricht zu unterstützen wird statt der 1 die Folge 11111 gesendet. Bei der Deutung der Nachricht wird eine Mehrheitsentscheidung getroffen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Nachricht richtig zu 1 entschlüsselt? Ein_paar_Aufgäbelchen_zur_Bnp_Verteilung
Lsg: 1) B(9; 1 )-Vert. P(X ≥6) = 1-P(X≤5) = 1 – 0,7461 = 0,2539 2
Tabelle
2) B(6; 2 )-Vert. P(X=4) = 80 ≈ 0,3292 243
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3) B(n;
w w+ s
n )-Vert. P(X = x) = ( x
w w+ s
)x ( ws+ s )n-x
4) B(5; 1 )-Vert. P(X≥2) 1 – P(X≤1) = 1 – P(X=0) – P(X=1) ≈ 0,1962 6
5) B(5; 0,55)-Vert. P(X≤2) = 0,4069 / B(7; 0,55)-Vert. P(X≤3) = 0,3917 / B(8; 0,55)-Vert. Tabelle
Tabelle
P(X≤4) = 0,2604 Tabelle
6) B(4;0,5)-Vert. P(X=1)+P(X=3) = 4·0,54 + 4·0,54 = 0,5 / B(5;0,5)-Vert. P(X=1)+P(X=3) +P(X=5) = 5·0,55 + 10·0,55 + 1·0,55= 0,5 / B(6;0,5)-Vert. P(X=1)+P(X=3) +P(X=5) = 6·0,55 + 20·0,55 + 6·0,55= 0,5 n allg.: p =0,5 ⇒ jeweils alle Terme haben den Faktor 0,5n, bei ungeraden n (=1) gilt wegen k n = eine Gleichheit der Anzahlen von geraden und ungeraden Wappenanzahlen ⇒ da bei n −k n+1 (gerade) jede vorhandene Möglichkeit mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5 ein Wappen oder nicht erhält, bleiben die Anzahlen auch dort gleich. 7) Es gibt 20 gleichwahrscheinliche Pfade in einem W-Baum [oder Möglichkeiten in einem 6Tupel], die die Bedingung erfüllen ⇒ P( Nullen nie …) = 20·( 1 )6 = 0,3125 2
8) B(20;0,5)-Vert. P(9 ≤ X ≤ 11) = P(X ≤11) – P(X ≤8) = 0,4966 ≠ 0,5 ⇒ nicht fair! Tabelle
10 10 9) B(10;p)-Vert. P(X≥8) = p8(1-p)2 + p9(1-p)1 + 8 9 9 10 8 9 10 10·p (1-p) + p = .. = 45p – 80p + 36p
10 10 0 8 p (1-p) = 45·p (1-2p+p²) + 10
10) B(5;0,8)-Vert. P(X≥3) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,94208
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