Einfache Quantenmechanischen Systeme Vorlesungsunterlagen

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Einfache quantenmechanischen Systeme Vorlesungsunterlagen Armin Scrinzi January 13, 2016 Contents 1 Der 1.1 1.2 1.3 unendlich hohe Potentialtopf Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Konstruktion des Hamiltonoperators - Korrespondenzprinzip Gebundene Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Eigenzustand des Hamiltonoperators . . . . . . . . . 1.3.2 Hilbertraum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Superpositionszustand . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Abwesenheit von ungebundenen Zust¨anden . . . . . . . . . . 1.5 Kommensurable Energien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Symmetrie: Parit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Endlich hoher Potentialtopf 2.1 Hamiltonoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Qualitative Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Eigenfunktionen der gebundenen Zust¨ande . . . . . . 2.3.1 St¨arke des exponentiellen Abfalls . . . . . . . 2.4 Eigenwerte und -funktionen der gebundenen Zust¨ande 2.5 Verschiebung des Energienullpunkts . . . . . . . . . . 2.6 Verschiebung im Ort . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums . . . 3 Wellenpakete 3.1 Kontinuierliches Spektrum - Wellenpaket 3.2 Ungebundenes Teilchen — Zerfliessen des 3.3 Freies Teilchen . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Freies Teilchen — Dispersion . . . . . . . 3.5 de Broglie Wellenl¨ange . . . . . . . . . . 1 . . . . Pakets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 . . . . . . . . 6 7 7 8 8 9 9 10 10 . . . . . 10 11 12 12 13 14 4 Harmonischer Oszillator 4.1 Potential, Hamiltonian, Einheiten . . . . 4.2 Physikalische Motivation . . . . . . . . . 4.2.1 Photonen . . . . . . . . . . . . . 4.3 Hamiltonian und Spektrum . . . . . . . 4.4 Eigenfunktionen . . . . . . . . . . . . . . 4.5 Hermitepolynome . . . . . . . . . . . . . 4.6 Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren 4.7 Algebraische Eigenschaften . . . . . . . . 4.7.1 Matrixbild . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Orts- und Impulsobservable . . . 4.8 Nochmals Photonen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 15 15 15 16 16 16 17 17 19 19 19 5 Nachtrag: Separationsansatz und zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung 20 6 Nachtrag: 2te Ableitung der Eigenfunktionen 21 2 Eine Reihe von Problemen der QM lassen sich mit rein analytischen Methoden l¨osen. Die einfachsten davon dienen dazu, Intuition f¨ ur das Verhalten der quantenmechanischer Systeme zu entwickeln. Vordringlich geht es immer um das Auffinden der Spektraldarstellung f¨ ur den Energieoperator. Wir betrachten zun¨achst ein Teilchen im Kastenpotential. Obwohl das System ziemlich k¨ unstlich wirkt, k¨onnen sehr a¨hnliche Systeme in Halbleiterstrukturen als “quantum wells” realisiert werden: dies ist z.B. eine Schicht von Gallium-Arsenid (GaAs) zwischen 2 Schichten von Aluminium-Arsenid (AlAs), in deer Elektronen gebunden sein k¨onnen. 1 Der unendlich hohe Potentialtopf Im Limes unendlich hoher “W¨ande” des Kastens l¨asst sich die Spektraldarstellung exakt angeben. Damit kennen wir alle m¨oglichen L¨osungen der Schr¨odingergleichung und wir k¨onnen ihre Charakteristik ohne viel Aufwand studieren. 1.1 Hamiltonoperator b2 b b = P + V (X) H 2m (1) mit V (x) = 0 f¨ ur x ∈ [−x0 , x0 ], = ∞ sonst. (2) Eigenvektoren des diskreten Spektrums H 3 ΦE := |Ei b H|Ei = |EiE, hE|Ei = 1 (3) haben den endlichen Erwartungswert der Energie b hE|H|Ei =E<∞ (4) Im Orstraum sieht man damit sofort f¨ ur |x| > x0 , ΦE (x) = 0 (5) da ansonsten b hE|V (X)|Ei = ∞. (6) Ausserdem muss eine Eigenfunktion auch u ¨berall differenzierbar sein mit Ableitungen die stetig sind, ¨ ausser eventuell an einzelnen Punkten: ansonsten h¨atten wir (Ubungen) hE|Pb2 /2m|Ei = ∞. (7) Da beide Unendlichkeiten positiv sind, k¨onnen sie sich auch nicht kompensieren, d.h. die Bedingungen sind unabh¨angig von einander. Im Ortsraum und Bereich [−x0 , x0 ] findet man leicht Eigenfunktionen aus Linearkombinationen der Eigenfuntionen der Impulse ±p: |Ep i = α+ eipx + a− e−ipx auf [−x0 , x0 ], 3 = 0 sonst (8) ¨ Die a± m¨ ussen so gew¨ahlt werden, dass unsere Begingungen erf¨ ullt sind (Ubungen). Sie sehen dann auch, dass nur diskrete Eigenwerte En diese Bedingungen erf¨ ullen k¨onnen. Schliesslich werden Sie zeigen, dass sich jede Funktion auf [−x0 , x0 ] mittels dieser Eigenfunktionen darstellen l¨asst: |Ψi = ∞ X |En ihEn |Ψi, ∀Ψ ∈ L2 ([−x0 , x0 ]). (9) n=0 Unser Operator hat also ein reines Punktspektrum. Damit ist unsere Spektraldarstellung komplett und wir k¨onnen uns ein wenig der Physik zuwenden. 1.2 Konstruktion des Hamiltonoperators - Korrespondenzprinzip Anders als zum Beispiel im Fall eines Fadenpendels oder klassischer elektrischer Kr¨afte haben wir keine “direkte” Kenntniss der Kr¨afte auf mikroskopischer Ebene, dennoch mussten wir einen Hamiltonoperator angeben, um die Dynamik beschreiben zu k¨onnen. Wir haben einen Operator einfach in Analogie zum klassischen Operator hingeschrieben. Ob dieser Hamiltonian dann ein reales System beschreibt, muss man durch Experimente feststellen. Alle m¨oglichen Messgr¨ossen sind unser einziger Zugriff auf das System, wir k¨onnen nicht davon unabh¨angig z.B. das Potential vermessen. Als Heuristik zur Konstruktion haben wir einfach im Hamiltonian der Standarddarstellung die b ersetzt. Dieses Verfahren nennt man, nach einer Funktionen p und x durch Operatoren Pb und X Wortsch¨opfung von Nils Bohr, das “Korrespondenzprinzip”: der Gedanke ist, dass in Bereichen wo die Unsch¨arferelation keine Rolle spielt, weil das kleine ~ nicht ins Gewicht f¨allt, das klassische Resultat reproduziert werden soll. Beachten Sie, dass diese allgemeine Korrespondenz zwar eine notwendige, aber nat¨ urlich keine hinreichende Bedingung zur Konstruktion von Hamiltonoperatoren ist. Man erh¨alt Hamiltonoperatoren, die dem Korrespondenzprinzip gehorchen, auch, wenn man Orte und kanonischen Impulse b = r, Pbr = −i~∂r usw. ersetzt. Ein f¨ ur eine Wellenfunktion in Polarkoordiaten Ψ(r, θ, φ) durch R so konstruierter Operator wird sich im allgemeinen Fall von einem in kartesischen Koordinaten konstruierten Operatoren unterscheiden. Heuristisch und vielf¨altig experimentell best¨atigt finden wir aber das Korrespondenzprinzip der Quantenmechanik Man konstruiert den Hamiltonoperator eines QM Systems, f¨ ur das eine Entsprechung in der KM existiert, dadurch, dass man in der klassischen Hamiltonfunktion in kartesischen Koordianten Orte x, y, z und Impulse px , py , pz durch die b Yb , Zb und Pbx , Pby , Pbz ersetzt. entprechenden QM Operatoren X, 1.3 Gebundene Zust¨ ande Hier nur eine Begriffskl¨arung: nat¨ urlich bezeichnen wir als “gebundenen Zustand” einen Zustand, der langfristig in einem endlichen Raumbereich verharrt. Im Fall des unendlichen Potentialtopfs ist das ¨ trivial f¨ ur alle Wellenfunktionen mit endlicher Energie erf¨ ullt. Ublicherweise meint man spezifischer einen 4 1.3.1 Eigenzustand des Hamiltonoperators b H|Ψi = |ΨiEn = |En iEn : dies ist ein Zustand im vollen Wortsinn, da sich weder die Verteilung der ˜ t (p)|2 mit der Zeit t ver¨andern (siehe Orstwahrscheinlichkeit |Ψt (x)|2 noch die Impulsverteilung |Ψ ¨ Ubungen). Im Punktspektrum haben wir |En i ∈ H. Daraus folgt schon, dass der Zustand gebunden ist: da die Funktion im Ortsraum quadratintegrabel ist, muss jedenfalls gelten, dass man immer einen Bereich [−L, L] finden kann, der fast, bis auf ein L , die gesamte Funktion enth¨alt: Z Z −itEn /~ 2 |e ΨEn (x)| dx = |ΨEn (x)|2 dx < L (10) |x|>L |x|>L Andernfalls w¨ urde das Integral ja divergieren. F¨ ur Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums gilt das nicht, da ja das Integral in der ¨ Tat divergieren muss, siehe Ubungen. F¨ ur die Eigenfunktionen des Impulses, ebene Wellen, ist das offensichtlich. 1.3.2 Hilbertraum Wir waren zun¨achst noch etwas vage geblieben, was denn der korrekte Hilbertraum f¨ ur unser System ist. Jetzt sehen wir, dass das Teilchen ausserhalb von [−a, a] nicht vorkommen kann. Daher Z a dx|Ψ(x)|2 = 0, Ψ(x) = 0 f¨ ur x > a} = L2 [−a, a], dx (11) H = {Ψ(x)| −a 1.3.3 Superpositionszustand von Energieeigenzust¨anden. Nat¨ urlich ist auch jede Wellenfunktion der Form X X |cn |2 = 1 |En icn , ||~c||2 := |Ψi = (12) n n gebunden (und normiert), wenn alle |En i gebunden sind. Obwohl Ortsverteilung |Ψt (x)|2 und Impulsverteilung |Ψt (p)|2 sich mit der Zeit ver¨andern, spricht man dennoch gerne von einem “Zustand”, eben von einem Superpositionszustand 1.4 Abwesenheit von ungebundenen Zust¨ anden Zun¨achst hatte ich schon angedeutet, dass kontinuierliches Spektrum mit ungebundenen Zust¨anden assoziiiert wird. Dies finden wir hier indirekt best¨atigt. Nat¨ urlich beschr¨ankt unser Potentialtopf das Teilchen auf einen kompakten Raum, jeder m¨ogliche Zustand ist jedenfalls gebunden. Wie erwartet finden wir, dass auch mathematisch kein kontinuierliches Spektrum auftritt. Davon werden Sie sich ¨ selbst in den Ubungen u ¨berzeugen. 5 1.5 Kommensurable Energien ¨ Die Energien stehen in rationalem Verh¨altnissen zueinander (Ubungen). Insbesondre sind alle Energien ganzzahlige Vielfache der niedrigsten Energie E1 . Dies hat eine interessante Konsequenz f¨ ur die Zeitentwicklung des Systems: Sei zu einem Beliebigen Zeitpunkt Ψt gegeben, dann finden wir, dass das System nach einer Zeit T = 2π~/E1 genau in den Anfangszustand zur¨ uckkehrt: Ψt = Ψt+T , T = 2π~/E1 , ∀Ψt , t. (13) da ja (Spektraldarstellung) Ψt = X |Eie−itEn hE|Ψ0 . (14) n F¨ ur En = M (n)E1 und M (n) ∈ N hat man T En = 2πM (n) und daher exp[(−iT En ) = 1. N¨aherungweise kann man solche Ph¨anomene z.B. bei Molek¨ ulschwingungen beobachten, wo man es zumeist “revival” nennt. Die experimentellen Techniken dazu wurden mit einem Nobelpreis gew¨ urdigt (Ahmet Zewail, Chemie 1999). 1.6 Symmetrie: Parit¨ at Der Hamiltonoperator ist invariant x → −x, er ¨andert sich nicht bei dieser Substitution. Das gilt nicht f¨ ur die Eigenfunktionen, die a¨ndern sich sehr wohl. Wir schreiben die Symmetrieoperation im Ortraum als b (SΨ)(x) = Ψ(−x). (15) ¨ Sb ist klarereweise ein hermitischer linearer Operator. In den Ubungen werden Sie finden, dass alle b auch Eigenfunktionen von Sb sind. Die Tatsache, dass Eigenvektoren von H b Eigenvektoren von H b auch Eigenvektoren von S sind, ist kein Zufall: Invarianz des Hamiltonoperators bedeutet b S] b = 0. [H, (16) In der Zentral¨ ubung kam, dass kommutierende Operatoren gemeinsame Eigenvektoren haben. b Der Operator Sb : SΨ(x) = Ψ(−x) wird Parit¨ atsoperator genannt. Seine Eigenzus¨ande zu den Werten ±1 nennt man Zust¨ande mit positiver/negativer Pari¨at. b ±Ψ = Im Fall von Sb kann man sehr leicht Projektoren auf Zust¨ande fester Parit¨at +1 oder -1: SΠ ¨ ±Π± Ψ konstruieren. Ahnlichen Konstruktionen werden Sie immer wieder begegnen. Anmerkung Zu jedem Operator, der mit dem Hamiltonoperator kommutiert, kann man Projektor a¨hnlicher Art konstruieren und damit den Hilbertraum in Teile mit jeweils festen Eigenwerten bez¨ uglich des kommutierenden Operators zerlegen. Insbesondre beim Drehimpuls werden wir diese M¨oglichkeit ausgiebig n¨ utzen. 2 Endlich hoher Potentialtopf (Griffith, 2.6) 6 Hier sind die Eigenfunktionen schon erheblich schwieriger zu bestimmen. Es tritt darin auch ein Parameter auf, der im Prinzip nur durch eine transzendente Gleichung bestimmt werden kann. b 6= ∅). Damit sieht man Weiters gibt es sowohl gebundene Zust¨ande als auch ungebundene (σc (H) schon erste Charakteristika von Atomen oder Molek¨ ulen. 2.1 Hamiltonoperator Das Potential eines endlich hohen Potentialtopfs ist  0 f¨ ur |x| < a V (x) = : V0 > 0 sonst (17) In dieser Form kann man die L¨osungen direkt mit den L¨osungen des unendlich hohen Topfs vergleichen. 2.2 Qualitative Diskussion Bevor wir die konkrete Rechnung machen, studieren wir, wass wir erwarten k¨onnen: 1. Zust¨ande bei Energien > V0 k¨onnen nicht mehr gehalten werden: nichts hindert das Teilchen, sich beliebig weit zu entfernen. Das tut es auch: das Spektrum wird kontinuierlich. 2. Das endliche V0 macht die energetischen Kosten f¨ ur eine Aufenthaltswahrscheinlichkeit in der Wand nicht mehr unendlich gross. Wir k¨onnen also aus Gr¨ unden des Erwartungswerts der Energie nicht mehr ausschliessen, dass ein Teilchen in den Bereich der Wand vordringt. Tats¨achlich werden wir finden, dass es auch f¨ ur gebundene Zust¨ande eine gewisse Wahrscheinlichkeit gibt, das Teilchen im Bereich der Wand anzutreffen. 3. Kinetische Energie sinkt mit gr¨osserer Ausdehnung der Wellenfunktion, daher hat das Teilchen ein “Interesse”, sich weiter in die Wand auszudehnen, wenn die Kosten an potentieller Energie nicht zu hoch sind. 4. Wenn sich die Energien dem Rand des “Topfs” n¨aheren, werden die Energiekosten f¨ ur einen Aufenthalt in der Wand immer geringer, entsprechend erfolgt der exponentielle Abfall der Aufenthaltswahrscheinlichkeit immer langsamer. (Siehe unten f¨ ur den konkreten Wert). 5. Die gr¨ossere Ausdehnung der Eigenzustandsfunktionen im Vergleich zum unendlich hohen Topf f¨ uhrt dazu, dass die Energien der gebundenen Zust¨ande im vergleich etwas niedriger liegen: Lokalisierung im Ort muss mit einer Erh¨ohung der kinetischen Energie bezahlt werden. Schliesslich gilt ∆x2 ∆p2 > ~2 /4: vergr¨ossert man ∆x, so kann man ∆p = hp2 i−hpi2 verkleinert werden, und damit die kinetische Energie hPb2 /2mi. 6. Bei Gesamtenergien E > V0 , im kontinuierlichen Spektrum, ist die “lokale” kinetische Energie im Bereich des Potentials gr¨osser als auserhalb: Teilchen ist “¨ uber dem Topf” schneller als abseits. 7 b 7. Symmetrie gilt weiterhin, damit auch die Kategorisierung der Eigenfunktionen (auch des σp (H)). Der auff¨alligste Unterschied zum unendlich tiefen Topf ist, dass hier die Funktionen ein wenig in die Wand hineinreichen k¨onnen: ganz anders als in der klassichen Physik!!!. Es gibt eine gewisse “Tunnelwahrscheinlichkeit” f¨ ur das Teilchen in die Wand des Topfs. 2.3 Eigenfunktionen der gebundenen Zust¨ ande Mathematisch m¨ ussen wir hier gr¨osseren Aufwand treiben, um jene Funktionen auszuw¨ahlen, auf denen Impuls und kinetische Energie definiert sind. Wenn wir nicht nur Erwartungswerte, also b hΨ|H|Ψi berechen wollen, sondern Eigenfunktionen suchen, versch¨arfen sich die Bedinungen f¨ ur die Orstwellenfunktion. Wir suchen ja L¨osungen im Hilbertraum Ψ ∈ H so dass (der Einfachheit halber in Einheiten ~ = m = 1 1 (18) [− ∆ + V (x)]ΦE (x) = ΨE (x)E. 2 Hier darf auf der linken Seite keine δ-artige Singularit¨at auftauchen, denn solche Funktionen kommen im L2 (R, dx) nicht vor. Das heisst, als Eigenfunktionen kommen nur Funktionen in Frage, die differenzierbar sind und deren Ableitungen u ¨ berall stetig sind. Qualitativ werden wir folgendes Bild finden: F¨ ur tief gebundene Zust¨ande ¨ahnelt das Bild stark dem unendlich tiefen Potentialtopf: die Wellenfunktion f¨allt sehr rasch nach Beginn der Wand auf exponentiell kleine Werte, so gut wie null. Je h¨oher die Energien, desto weiter k¨onnen die Teilchen in die Topf-Wand vordringen und desto mehr unterscheiden sich die Funktionen von denen des unendlich tiefen Potentialtopfs. Schliesslich “geht der Topf u ¨ber” (ein Missgeschick, das beim unendlich tiefen Potentialtopf ausgeschlossen ist): hier werden wir kontinuierliches Spektrum finden und Wellenfuntionen die mindestens so “ungebunden” sind wie die Milch am Herd. Bei den gebundenen Zust¨anden geht die exakte Kommensurabilit¨at der Energien verloren und damit die exakten Revivals. Bei tiefen Energien k¨onnen ungef¨ahre Revivals dennoch beobachtet werden. 2.3.1 St¨ arke des exponentiellen Abfalls In den W¨anden f¨allt die L¨osung exponentiell ab. Die Eigenwertgleichung muss ja lokal, d.h. an jedem Punkt gelten, insbesondre auch in der rechten Wand. Dort gilt also (in Einheiten ~ = 1) [− 1 2 ∂ + V0 ]e−κ(E)x = Ee−κ(E)x 2m x f¨ ur x > a. (19) Damit kann man κ(E) bestimmen − κ(E)2 /(2m) + V0 = E (20) oder κ(E) = p p 2m(V0 − E) =: 2mEB (21) Dieses Verhalten des exponentiellen Abfalls ist typisch f¨ ur gebundene Zust¨ande: die L¨ange u ¨ber die Wahrscheinlichkeit in den “klassisch verbotenen” reicht, w¨achst mit der Wurzel aus der 8 Bindungsenergie, den Abstand der Energie des gebundenen Zustands zur Oberkante des Potentials EB := V0 − E (22) Anmerkung Ein ganz a¨hnliches Phaenomen der exponentiellen abfallenden Teile der L¨osung findet sich in der Optik als “evaneszente Welle”. 2.4 Eigenwerte und -funktionen der gebundenen Zust¨ ande Konkrete Verfahren zur Bestimmung der Eigenfunktionen finden Sie in Griffith und in jeder Einf¨ uhrung in die QM. Hier ein kurzer Hinweis: Wir n¨ utzen gleich unser Wissen, dass Eigenfunktionen entweder symmetrisch oder anti-symmetrisch sein m¨ ussen. Dann geht es darum, die L¨osung f¨ ur |x| < a (also cos(kx) bzw. sin(kx) so mit der L¨osung f¨ ur |x| > a: exp(−κ|x|) zu verbinden, dass Wert und Ableitung der Funktion an den Punkten x = ±a stetig sind. W¨ahlen wir der Einfachheit halber a = 1. Dann sind die Bedingungen (f¨ ur den Fall gerader L¨osungen cos(kx)) A cos(kx)|x=1 = Be−κx |x=1 −Ak sin(kx)|x=1 = −κBe−κx |x=1 (23) (24) und wenn wir die untere Gleichung durch die obere dividieren p κ κ(k) = 2V0 − k 2 . (25) tan(k) = , k Die L¨osung f¨ ur k kann nicht durch bekannte Funktionen ausgedr¨ uckt werden, sondern muss numerisch oder, nicht sehr genau, aber sehr instruktiv, graphisch gefunden werden. Dazu zeichnet man die linke und die rechte Seite der Gleichung und sucht die Schnittpunkte. ¨ Den allgemeineren Fall m, a 6= 1 studieren sie in den Ubungen. 2.5 Verschiebung des Energienullpunkts F¨ ur die bessere Vergleichbarkeit mit dem unendlich hohen Topf haben wir das Potential hier so definiert, dass es im inneren Bereich =0 ist, und aussen die H¨ohe V0 hat. Oft wird in das Potential f¨ ur das Problem als endlich tiefer Potentialtopf geschrieben:  −V0 , V0 > 0 f¨ ur |x| < a V (x) = . (26) 0 sonst Klarerweise stehen die die entsprechenden Hamiltonoperatoren in einfacher Beziehung zueinander: b =H b + V0 , H (27) sie unterscheiden sich also nur um eine Konstante. Dies entspricht einer Re-Definition des Energienullpunkts. Beide Operatoren haben die gleichen Eigenfunktionen. Die Eigenwerte (Spekrum) unterscheiden sich, aber das hat keinerlei Auswirkungen auf Erwartungwerte. Sie werden sich davon ¨ anhand einer einfachen Ubung u ¨berzeugen. 9 2.6 Verschiebung im Ort Nat¨ urlich kann man auch das r¨aumlich verschobene Problem Vs (x) = V (x − s) (28) b (x) 6= V (x). Aber nat¨ betrachten. Dabei scheint man die Reflexionstsymmetrie zu verlieren SV urlich gilt eine “verschobene” Symmetrie. 2.7 Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums Oberhalb der Potentialkante ist das Spektrum kontinuierlich: σc = [V0 , ∞). (29) Lokal m¨ ussen Eigenfunktionen die Differenzialgleichungen (wir verwenden ~ = 1) erf¨ ullen − also 1 2 ∂ φE (x) = [E − V0 (x)]φE (x), 2m x   Al eik0 x + Bl e−ik0 x φE (x) = Ceikx + De−ikx  Br eik0 x + Ar e−ik0 x (30) p f¨ ur x < −a, k0 :=√ 2m(E − V0 ) f¨ ur |x| < a, k := 2mE f¨ ur x > a (31) Hier haben wir zun¨achst 6 Unbekannte. Wie im Fall der gebundenen Zust¨ande vereinfachen wir das Problem, indem wir zuerst nur die symmetrischen Eigenfunktionen (+) (+) Π+ φE = φE bzw. Ortsdarstellung: betrachten: A := Al = Ar , B := Bl = Br , C = D   Aeik0 x + Be−ik0 x (+) 2C cos kx ΦE (x) =  Beik0 x + Ae−ik0 x (+) (+) φE (x) = φE (−x) f¨ ur x < −a f¨ ur |x| < a, f¨ ur x > a (32) (33) Eine Beziehung zwischen den Konstanten erh¨alt man wegen der δ-Normierung von Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums. Die verbleibenden 2 freien Variablen bestimmen sich durch die beiden Stetigkeitsbedingungen f¨ ur Wert und Ableitung an den Punkten x = ±a: Wir diskutieren die Werte A, B, C hier nicht, uns gen¨ ugt es zu wissen, dass sie bestimmt werden k¨onnen. Im Gegensatz zu den gebundenen Zust¨anden gibt es eine L¨osung f¨ ur beliebige E > V0 . Wir k¨onnen jedenfalls im Prinzip ein Kontinuum von Eigenfunktionen berechnen. 3 Wellenpakete Alle Streuexperiemente werden letztlich durch die zeitliche Entwicklung von Wellenpaketen aus Eigenfunktionen des kontinuierlichen Spektrums beschrieben, und dies ist eine sehr grosser Anteil 10 aller m¨oglichen Experimente. Wellenpakete entstehen in einer Vielzahl von physikalischen Prozessen: wenn ein Atom ionisiert wird, wird ein Elektron als Wellenpaket emittitert; als “k¨ unstliches Atom” verh¨alt sich ein “Quantendot” ganz a¨hnlich; auch ein Atom als ganzes, das sich im freien Raum bewegt, wird als ein Wellenpaket dargestellt. Man kann solche Wellenpaket durch “Beschuss” mit einem Teilchenstrahl erzeugen usw. Jedes ungebundene, aber ungef¨ahr lokalisierte Teilchen ist ein Paket aus Eigenfunktionen aus dem kontinuierlichen Energiespektrum. Im Fall der freien Bewegung sind Eigenfunktionen der Energie auch (Linearkombinationen von ) Eigenfunktionen des Impulses. Tats¨achlich kann man f¨ ur eine grosse Klasse von System beweisen, dass ihr kontinuierliches Spektrum “isomorph” zum Spektrum eines freien Teilchens ist. Physikalisch entspricht das in etwa der Annahme, dass ein Potential mit endlicher Ausdehnung keine unendlich grosse Reichweite hat. Dies bedeutet, das das qualitative Verhalten von Wellenpaketen eines beiliebgen Systems vergleichbar ist mit dem Verhalten eines freien Teilchens. 3.1 Kontinuierliches Spektrum - Wellenpaket Da wir die Zeitentwicklung studieren wollen, ist es am besten, in der Spektraldarstellung der Energie zu rechnen. Eigenfunktionen des kontinuierliche Spektrums k¨onnen nicht normiert werden und daher hat ihr Absolutquadrat keine direkte physikalischen Interpretation als Wahrscheinlichkeitsverteilung. In der Spektraldarstellung bez¨ uglich der Energie k¨onnen wir aber nat¨ urlich normierte Wellenfunktionen 2 ΨHb (E) ∈ LHb angeben, die ganz im kontinuierlichen Spektrum liegen, z.B.  ΨHb (E) = (∆E)−1/2 f¨ ur E ∈ [E0 , E0 + ∆E] 0 sonst Nat¨ urlich ist jede andere, normierte Funktion von E geeignet: Z ΨHb (E) : dE|ΨHb (E)|2 = 1 (34) (35) σc b b , in Bra-Ket Notation schreibt man ein In eine beliebige Darstellung transformiert man mittels U H solches Wellenpaket Z |Ψi = dE|EiΨHb (E) (36) ¨ Wellenpakete “zerfliessen”: Sie haben das schon an einem Beispiel in den Ubungen gesehen (GaussPaket). Das gilt aber ganz allgemein und rechtfertigt die Assoziation des kontinuierlichen Spektrums mit ungebundene Zust¨anden 11 3.2 Ungebundenes Teilchen — Zerfliessen des Pakets ¨ In den Ubungen haben Sie schon gesehen, dass ein Wellenpaket im Lauf der Zeit “zerfliesst”, wenn es sich nach dem Hamiltonian Pb2 /2m entwickelt: die Breite w¨achst wie √ τ gross σ(t) ∝ 1 + τ 2 ≈ τ, τ := 2a~t/m. (37) Beachten Sie, dass fuer grosse Zeiten die Breite einfach linear mit der Zeit w¨achst. Ganz a¨hnliches Verhalten werden wir erwarten, wenn wir ein Wellenpaket aus den ungebundenen Zust¨anden des Potentialtopfs bilden. Die Situation ist klar, wenn wir das Paket weit weg vom Potentialtopf setzen: dort sehen die Eigenfunktionen ja aus wie ebene Wellen. Wenn wir daraus ein Gauss-Paket bilden, wird es wieder zerfliessen, jedenfalls bis relevante Anteile in den Bereich des Potentialtopfs gelangen. Dort geschieht aber nichts besonderes: die Teilchen werden ein wenig schneller, k¨onnen auch reflektiert werden, aber insgesamt setzt sich der Zerfliessprozess fort. Die Details dieser Vorg¨ange werden wir im Rahmen der “Streutheorie” diskutiert, der wir gegen Ende des Semesters etwas Zeit widmen werden. Die verallgemeinerte Botschaft hier ist: Jedes Wellenpaket im kontinuierlichten Energiespektrum “zerfliesst” zu beliebig grosser Ausdehnung im Raum: Pakete des kontinuierlichen Spektrums sind nicht gebunden, d.h. sie bleiben nicht auf einen endlichen Raumbereich begrenzt. Dies gilt nicht nur f¨ ur das freie Teilchen oder den Potentialtopf, sondern ist eine allgemeine Eigenschaft des jedes kontinuierlichen Energiespektrums. Der mathematische Beweis existiert, Interessierte k¨onnen ihn in fortgeschrittenen Vorlesungen kennen lernen. Anmerkung: Ein kontinuierliches Spektrum ist eine unendliche Menge aus ganz und gar unkommensurablen Energien, die “Revival”-Periode ist unendlich. 3.3 Freies Teilchen ¨ Sie haben auch in den Ubungen gesehen, dass sich ein Gauss’sche Wellenpaket eines freien Teilchens, das um p0 zentriert ist, mit der Geschwindigkeit p0 /m fortbewegt. Dies kann man auch aus dem ¨ Ehrenfesttheorem sehen, das ebenfalls im Rahmen der Ubungen diskutiert wird. Uns interessiert wieder der allgemeine Aspekt dieses Verhaltens. Nehmen wir zun¨achst an, dass das Potential im Bereich des Wellenpakets konstant ist. Dann ist Energie des Wellenpakets vom Ort unabh¨angig und wir finden im Wesentlichen das Verhalten des freien Teilchens. Nur der Zusammenhang zwischen Impuls und Energie ist etwas modifiziert q 2 b − V0 b b b (38) H = P /2m + V0 , P = ± 2mH Die beiden Vorzeichen spiegeln die Tatsache wieder, dass die Energiezust¨ande entartet sind. F¨ ur nicht-konstante Potentiale werden die Zusammenh¨ange komplizierter. Wenn das Potential sich u ¨ber die aktuelle Breite des Wellenpakets nur langsam ¨andert, kann man es als st¨ uckweise konstant ansehen. Dann kommt es aber langfristig dennoch zu einer Verformung des Wellenpakets, die u ¨ber das Zerfliessen hinausgeht. 12 Variiert das Potential relevant u ¨ber die Breite des Pakets, dann ist das Bild des Zerfliessens nicht mehr anwendbar und man muss mit allgemeineren Verformungen rechnen, die insbesondere auch “Reflexion”, d.h. die Umkehr des Wahrscheinlichkeitsflusses von der urspr¨ unglichen Richtung beinhaltet. 3.4 Freies Teilchen — Dispersion Es sei |Ψp0 i ∈ H ein Wellenpaket, das im der Impulsdarstellung auf einen relativ engen Bereich rund um p0 begrenzt ist ˜ p0 (p) ≈ 0 f¨ Ψ ur p 6∈ [p0 − ∆p, p0 + ∆p] (39) Nehmen wir an, dass sich die Energie im Impulsraum als reine Funktion des Impulses schreiben l¨asst, R b Ψ(p) ˜ ˜ ˜ b ˜ 0 )). Das ist selten also H ≈ F (p)Ψ(p) (und nicht ≈ F (p, ∂p )Ψ(p) oder HΨ(p) = dp0 g(p, p0 )Ψ(p exakt der Fall, kann aber manchmal eine sinnvolle Approximation sein. Wir schreiben also b = F (Pb) H (40) F¨ ur das freie Teilchen gilt exakt Ffrei (Pb) = Pb2 /2m. (41) 1 F (p) ≈ F0 + (p − p0 )F00 + (p − p0 )2 F000 + h¨ohere Ableitungen 2 (42) In Impulsdarstellung ist die Energie Wir erhalten die Zeitentwicklung f¨ ur ein Wellenpaket (Einheiten ~ = 1): ˜ t (p) = e−itF (p) Ψ ˜ 0 (p) hp|Ψt i = Ψ   1 2 00 0 ≈ exp −itF0 − it(p − p0 )F0 − it (p − p0 ) F0 2 0 0 1 2 00 −it 2 (P −p0 ) F0 0 −p0 F0 ) −itF0 P = hp| e|−it(F{z } e| {z } e| {z } |Ψ0 i (a) b (b) b (43) (44) (45) (c) Die drei Faktoren haben unterschiedliche Bedeutung (a) Dies ist nur ein Phasenfaktor, der nicht von p abh¨angt und daher keinen Einfluss auf Impulsoder Ortsverteilung hat. Man kann ihn, wenn man will, als Re-definition des Energienullpunkts interpretieren. Im Fall F (p) = p2 /2m entspricht die Verschiebung einfach der mittleren Energie p20 /2m. (b) Hier erkennen wir den Operator f¨ ur Ortsverschiebung um einen Wert tF00 . Nat¨ urlich wird man 0 F0 als Geschwindigkeit interpretieren. Im Fall der freien Bewegung erkennen wir F00 = p0 /m. Allgemeiner sehen wir, dass die Ableitung der Energie nach dem Impuls wie in der klassischen Mechanik auch die Geschwindigkeit eines quantenmechanischen Wellenpakets definiert. 13 (c) Dieser Term bestimmt, wie rasch das Wellenpaket zerfliesst. Den Term Pb − p0 kann man als Abweichung der Teilchenimpulses vom zentralen Impuls p0 sehen. Er beschreibt also ein Teilchen, dessen mittlerere Aufenthaltsort sich nicht a¨ndert, dessen Wellenfunktion aber schon zerfliesst, da es eine Wahrscheinlichkeit f¨ ur Impulse p < p0 und auch p > p0 gibt. Hier verh¨alt sich das System nicht anders als ein statistisches Ensemble von Teilchen, deren Impuls um einen Zentralimpuls p0 verteilt ist. Im Fall des freien Teilchens gilt F000 = 1/m. Je schwerer das Teilchen, desto kleiner der Term und desto langsamer zerfliesst die Ortswellenfunktion. ¨ Dies konnten Sie schon am Ubungsbeispiel erkennen. Allgemeiner erkennt man, dass die zweite Ableitung der Energie nach dem Impuls die Rolle eine “inversen Masse” spielt. Dies ist eines der wesentlichen Konzept der Festk¨orperphysik und wird ihnen dort als effektive Masse wiederbegegnen. Wir sehen also, dass, je nachdem wie die Ableitungen unserer Energiefunktion F (p) in der Umgebung von p0 aussehen, das Teilchen unterschiedlich schnell ist und seine Wellenfunkt unterschiedlich schnell zerfliesst. Besonders bei der “effektiven Masse”, ist dieser Effekt auff¨allig, da diese PseudoMasse keine Konstante mehr ist, sondern selbst vom zentralen Impuls p0 abh¨angt. Gruppengeschwindigkeit und Dispersion Das Verh¨altnis zwischen Energie E (oder auch Frequenz ω := E/~) und Impuls p (oder Wellenzahl k := p/~) begegnet Ihnen auch in der Optik: hier wie dort nennt man die Ableitungen ∂k ω(k) und ∂k2 ω(k) allgemein Dispersionsrelationen der Wellengleichung, ∂k ω(k) nennt “Gruppengeschwindigkeit”, die 2te Ableitung in der Optik “Group delay dispersion” (GDD). Dispersion h¨ ohrerer Ordnung Insbesondre in der Optik spielen h¨ohere Terme in der Taylorentwicklung eine wichtige Rolle, weil sie bestimmen, wie sich Wellen beim Durchgang durch ein ¨ Medium im Detail, jenseits einer Anderung der Lichtgeschwindigkeit (Brechungsindex) und des einfachen “Zerfliessens” (Dispersion) ver¨andern. In der QM werden solche h¨ohren Korrekturen selten verwendet, sondern stattdessen das System mit anderen Methoden berechnet. 3.5 de Broglie Wellenl¨ ange Die Eigenfunktionen des Impulses hx|pi = e−ipx/~ (46) sind periodisch mit periode λ: λp/~ = 2π, λ= h . p (47) Die deBroglie-Wellenl¨ange gibt ein ungef¨ahres (nicht strenges) Mass daf¨ ur, welche Ausdehnung ein 2 b Zustand kinetischer Energie hP /2mi = p0 /2m ca. braucht, n¨ahmlich ∆x ≈ λ. Dies k¨onnen Sie anhand der Potentialt¨opfe sehr leicht studieren. Will man einen Zustand auf einem Raumbereich von der G¨ossenordnung λ lokalisieren, so “zahlt” man daf¨ ur mit Impuls p0 ≈ 2π/λ, oder der der ¨ entsprechenden kinetischen Energie. Diese Art der Uberlegung muss Sie u ¨berall in der QM begleiten. 14 4 4.1 Harmonischer Oszillator Potential, Hamiltonian, Einheiten Hamiltonian in Ortsdarstellung 2 2 b = − ~ ∂ 2 + mω x2 (48) H 2m x 2 p Wir w¨ahlen nun L¨angeneinheiten x → λx mit λ = ~/(mω) und Energie ~ω = 1. In diesen Einheiten hat der Hamiltonoperator die einfache Form: 1  b2 b 2  b P +X (49) H= 2 4.2 Physikalische Motivation Viele Potentiale k¨onnen lokal durch ein harmonisches Potential approximiert werden. Es ist aber dabei darauf zu achten, dass der Bereich, in dem Das Potential als harmonisch aufgefasst werden kann, zumindest gr¨osser ist als die Ausdehnung des Grundzustands in diesem Potential. 4.2.1 Photonen Eine systematische Beschreibung der masselosen, lichtgeschwindigkeits-schnellen , also relativistischen “Photonen” werden Sie im Rahmen der “Quantenelektrodynamik” kennen lernen. Interessanterweise spielt die mathematische Struktur des HO dabei eine zentrale Rolle. Hier ein Hinweis darauf, wie das funktioniert. Energie des elektromagnetischen Felds (der Einfachheit halber wieder nur mit x-Koordinate) Z ~ 2 (x, t) + B ~ 2 (x, t) H = dxE (50) Ein “Photon” sollte mit einer “Wellenl¨ange” assoziert sein. Deswegen, Fourier-Transformation: Z ~˜ 2 (k, t) + B ~˜ 2 (k, t) H = dk E (51) ~ und Der Schritt zur “Quantisierung” des Feldes besteht darin, zu erkennen, dass elektrisches Feld E ~ magnetisches Feld B nicht kommutieren: etwas vereinfacht ausgdr¨ uckt, haben, bei festem k und geeigneten Einheiten, die gleichen Vertauschungsrelationen wie Ort und Impuls ˜y (k)] = i~, [E˜x (k), B (52) und analog f¨ ur die anderen Komponenten des elektromagnetischen Feldes. Wir sehen, dass ein Photon die gleiche mathematische Struktur wie ein harmonischer Oszillator hat. F¨ ur eine gebebene Wellenzahl k u ¨bernimmt das elektrische Feld die Rolle des “Orts”, das ~ und B ~ gehen in magnetische Feld verh¨alt sich dazu wie der “Impuls”; oder auch umgekehrt, denn E gleicher Weise in die Gesamtenergie ein, der Unterschied a¨ussert sich nur in einer Wahl der Vorzeichen. Wir kommen nach der Analyse des HO nochmal auf diese Interpretation zur¨ uck. 15 Warnung Man muss darauf achten, welche Komponenten jeweils nicht kommutieren. Sie wissen oder werden bald lernen, dass z.B. in einer ebenen elektromagnetischen Welle (was auch das klassischen Verst¨andnis von Licht umfasst), elektrisches und magnetisches Feld senkreicht zueinander stehen und beide senkrecht zur Ausbreitungsrichtung des Lichts stehen. Z.B. sind die nichtkommutierenden Komponenten in einem Lichtstrahl in z-Richtung, die beiden dazu und zueinander bx , B by ] 6= 0. orthogonalen Komponenten [E 4.3 Hamiltonian und Spektrum Qualitative Diskussion des Systems im Vergleich zu Potentialtopf: • Reines Punktspektrum • Energieabst¨ande nehmen nicht quadratisch zu, wie nehmen sie zu? Werden sie vielleicht geringer? • R¨aumliches Verhalten: u ¨ber-exponentieller Abfall • Symmetrie 4.4 Eigenfunktionen Es ist leicht zu verifizieren, dass die folgenden Funktionen Eigenfunktionen des Operators im Ortsraum sind: 2 φn (x) = Hn (x)e−x /2 /Nn (53) Nn . . . Normierung. Problem 4.1: Verifiziere unter Verwendung der Eigenschaften der Hermitepolynome. Problem 4.2: Finde die Eigenfunktionen im Impulsraum (Verwendung der Fouriertransformation ist nicht n¨otig. 4.5 Hermitepolynome Orthogonale Polynome Z √ 2 dxHm (x)Hn (x)e−x = 2n n! πδmn (54) 1 2x (2x)2 − 2 = 4x2 − 2 (2x)3 − 6(2x) = 8x3 − 12x (2x)4 − 12(2x)2 + 12 = 16x4 − 48x2 + 12 (55) (56) (57) (58) (59) bis zum Grad 4: H0 (x) H1 (x) H2 (x) H3 (x) H4 (x) = = = = = 16 4.6 Vernichtungs- und Erzeugungsoperatoren und nat¨ urlich b Pb] = i sieht man Mittels [X, Hamiltonian 1 b a = √ [X + iPb], 2 1 b a† = √ [X − iPb] 2 (60) b = √1 [a† + a], X 2 b = √i [a† − a] X 2 (61) i b − i [X, b Pb] = 1 [a, a† ] = [Pb, X] 2 2 (62) b+1 b = a† a + 1 = aa† − 1 =: N H 2 2 2 (63) Anzahloperator (Englisch “number operator”) b = a† a N 4.7 (64) Algebraische Eigenschaften Das interessanteste am harmonischen Oszillator ist, dass das Spektrum des Hamiltonoperators und damit alle physikalischen Eigenschaften aus den rein algebraischen Eigenschaften des “Vernichtungsoperators” a und seines hermitisch konjugierten Partners, des “Erzeugungsoperators” a† folgen. Diese Aussage verallgemeinert sich insofern, als die gesamte Quantenmechanik durch die algebraischen Eigenschaften ihrer Operatoren (Kommutatorrelationen) im wesentlichen schon festgelegt ist. Im Fall des Harmonischen Oszillators ist das besonders leicht zu u ¨berblicken. Mit ganz a¨hnlichen (aber komplizierteren) Methoden kann man auch das Spektrum des Wasserstoffatoms berechnen. Auch beim Drehimpuls kommen ¨ahnliche “Tricks” zur Anwendung, was wir ausgiebig diskutieren werden. b = a† a + 1 = aa† − 1 H 2 2 Daraus folgt, nur unter Verwendung der Kommutationsrelation Gl. (62) b a] = −a [H, b a† ] = a† [H, (65) (66) (67) Dies ist eine bemerkenswerte Struktur. Aus ihr folgt b ≥ 1/2. Wir hatten schon gezeigt, dass f¨ 1. Alle Erwartungswerte hHi ur jeden Operator gilt † hb bi ≥ 0, also auch 1 1 0 ≤ ha† ai ⇒ ≤ ha† a + i (68) 2 2 17 2. Der “Vernichtungsoperator” f¨ uhrt einen beliebigen Eigenzustand |ni zur Energie En in einen Eigenzustand zur Energie En − 1 (bzw. En − ~ω in allgemeinen Einheiten) u ¨ber. Dies ist eine direkte Konsequenz aus der Kommutatorrelation (66): n o n o b b a] + aH b |ni = −a + aH b |ni = (En − 1)a|ni Ha|ni = [H, (69) 3. Aus dem Obigen folgt, dass es, ausgehend von einem beliebigen Energieeigenzustand |ni mit Energie En , einen “Grundzustand” |0i geben muss, der von a “vernichtet” wird a|0i = 0: denn b g¨abe es einen solchen Zustand nicht, d.h. w¨are a|ni = 6 0 f¨ ur jeden Energieeigenzustand H|ni = En , dann k¨onnte man Eigenzust¨ande mit beliebig niedrigenpEnergien En − m konstruieren: |n − mi = am |ni. Insbesondere gilt fuer die Norm ||a|0i|| = h0|a† a|0i = 0 4. Der “Erzeugungsoperator” erzeugt aus einem beliebigen normierten Eigenzustand |ni zur Energie En einen Eigenzustand |n + 1i mit der n¨achsth¨oheren Energie En+1 = En + 1. 5. Der Grundzustand hat die Eigenenergie E0 = 1/2: 1 b H|0i = (a† a + 1/2)|0i = a† (a|0i) + |0i | {z } 2 (70) =0 ¨ 6. In den Ubungen zeigen Sie, dass f¨ ur normierte Eigenvektoren hn|ni = 1 gilt √ a† |ni = n + 1|n + 1i und entsprechend auch a|ni = √ n|n − 1i (71) (72) 7. Die Eigenenergien sind En = n + 1/2. b ˜0i = 8. Der Grundzustand kann als eindeutig angenommen werden: d.h. jeder andere Vektor H| 1 ˜ |0i ist proportional zum Grundzustand |˜0i = λ|0i. 2 ¨ Dies folgt nicht direkt aus der Algebra, aber es l¨asst sich im Ortstraum leicht zeigen (Ubungen). Die Algebra kann in verschiedenen R¨aumen “dargestellt” werden. Wenn wir aber den L2 (dx, R) festlegen, dann ist der Grundzustand eindeutig. b Das Spektrum ist rein 9. Die Zust¨ande {|ni} sind “vollst¨andig”, d.h. alle Eigenzust¨ande von H. diskret, daher bilden die Eigenzust¨ande eine Basis im Hilbertraum. Es sei jetzt |mi ˜ ein Zustand, der nicht aus dem Grundzustand erzeugt werde. Dann kann man daraus durch wiederholte Anwendung des Vernichtugnsoperators einen Zustand |˜0i mit der Grundzustandsenergie 21 finden. Der ist aber (bis auf einen Faktor λ zu |0i proportional. D.h. |mi ˜ = λ|mi. 18 4.7.1 Matrixbild In der basis {|ni}  0 0 √0  1 0 0   0 √2 0 † a = √  0 0 3  .. .. . . und  0 ··· 0 · · ·  0 · · · ,  0  .. .  0 0  b = a† a  N 0 0  .. .  0 0   a = 0 0  .. . 0 1 0 0 .. . 0 0 2 0  √ 1 √0 0 ··· 0 2 √0 · · ·  0 0 3 · · ·  0 0 0 · · ·  .. .  0 ··· 0 · · ·   0   3  .. . (73) (74) ¨ Wir erkennen in a und a† “archetypische” nicht-normale Operatoren (siehe Ubung 5.4). Wir sehen auch, dass die√Operatoren “Verschiebungen” im Energieraum n → n ± 1 erzeugen und dabei gleich die Norm um n a¨ndern. 4.7.2 Orts- und Impulsobservable Da sich Ortsoperator und Impulsoperator durch a, a† ausdr¨ ucken lassen, kann man alle Erwartungswerte durch rein algebraische Manipulationen berechnen. Z.B. erh¨alt man den Erwartungswert des Ortes f¨ ur einen beliebigen Eigenzustand |ni = (a† )n |0i (n!)−1/2 (75) durch 1 hn| √ (a† + a)|ni 2 i √ 1 h√ ON = √ n + 1hn|n + 1i + nhn|n − 1i = 0. 2 Nat¨ urlich finden wir hier wieder, dass die Eigenzust¨ande definerte Parit¨at haben m¨ ussen: Z b dxx|Φ(x)|2 = 0 f¨ ur SΦ(x) = Φ(−x) = ±Φ(x). (76) (77) (78) R Problem 4.3: Berechne hn|Xb 2 |mi unter ausschliesslicher Verwendung der a, a† . 4.8 Nochmals Photonen Wir haben nur den idealisierten Fall einer ebenen Welle mit Wellenvektor ~k = (0, 0, k), also Ausbreitung in z-Richtung und Polarisation in x-Richtung betrachtet, einer “Mode” des Feldes mit 19 Polarisation ˆ = eˆx und ~k. Die nicht-kommitierenden elektrische und magnetischen Komponenten ˜y k¨onnen zu Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren a† , ak kombiniert werden und haben E˜x und B k alle oben besprochenen algebraischen Eigenschaften. Die physikalische Interpretation ist wie folgt: • Der Grundzustand |0i ist das “Vakuum”. • Ein einzelnes “Photon” zum Wellenvektoren k und Frequenz ω = ck, Energie ~ω = hν ist |1i = a†k |0i. Dies ist die erste diskrete Anregung der ˆ, ~k-Mode. • H¨ohere Anregungen der Mode sind die entsprechenden normierten Zust¨ande |ni. Dies sind Zust¨ande aus n Photonen der gleichen Mode, also vereinfacht mit gleichem Wellenvektor und Polarisation. Anmerkung 1 Wir sehen, dass das Vakuum nach diesem Schema nicht einfach “Nichts” ist, sondern doch einen Entit¨at, aus der man etwas generieren kann. Davon werden Sie in der Quantenfeldtheorie nocht einiges h¨ohren. Anmerkung 2 Beachten Sie, dass ein Photon mit festem k keinen “Ort” hat: es ist ja die Fourierkomponente, also eine ebene Welle, die “¨ uberall” ist. Nat¨ urlich kann man ein “Wellenpaket” aus einem Bereich Intervall von k’s bilden, das dann lokalisiert ist, ein “Lichtpuls”. Anmerkung 3 Hier haben die Name “Erzeugungsoperator” (erzeugt ein weiteres Photon), “Vernichtungsoperator” (vernichtet ein Photon) und “Anzahloperator” (gibt die Anzahl der Photonen) ihre eigentliche Rechtfertigung. 5 Nachtrag: Separationsansatz und zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung In vielen Lehrb¨ uchern wird f¨ ur die L¨osung der Schr¨odingergleichung ein sogenannter Separationsansatz der Wellenfunktion gemacht: Ψ(x, t) = f (t)φ(x). (79) Man kommt dann gleich auf die Eigenwertgleichung b E = φE E, Hφ (80) die als unter dem Namen zeitunabh¨ angige Schr¨ odingergleichung figuriert. Man findet nat¨ urlich f (t) = e−itE . (81) Der Separationsansatz ist eine Methode, die aus den partiellen Differentialgleichungen kommt. Die Rechtfertigung f¨ ur den Ansatz ist die Vollst¨andigkeit der L¨osungen {φE }, also dass sie eine Basis im Hilbertraum bilden, was allerdings kaum je bewiesen wird. Zur Rechtfertigung daf¨ ur ben¨otigt man 20 im wesentlichen den Spektralsatz. Hat man aber einmal den Spektralsatz, dann braucht man keinen Separationsansatz mehr. Dar¨ uber hinaus bietet der Spektralsatz die M¨oglichkeit, beliebige Funktionen von Operatoren zu bilden, und er gibt den Blick frei auf die wesentlichste Eigenschaft eines Operators: sein Spektrum. Daher wurde hier dieser etwas tiefergehende Zugang von Anfang an gew¨ahlt. 6 Nachtrag: 2te Ableitung der Eigenfunktionen Man bezeichnet als “klassisch erlaubten” Bereich jene Werte von x, wo die kinetischen Energie positiv ist. F¨ ur Eigenfunktionen bedeutet das E > V und dass daher die Kr¨ ummung “zur Achse hin” weist: − ∂x2 Ψ(x) = [E − V (x)]Ψ(x) (82) Entsprechend weist die Kr¨ ummung von im “klassisch verbotenen” Bereich von der Achse weg, und ¨ klarerweise ist die Kr¨ ummung am Ubergang zwischen den Bereichen = 0. Daraus kann man auch schliessen, dass die Eigenfunktionen keine doppelten Nullstellen haben k¨onnen, also Wert und 1te Ableitung =0: die Wellenfunktion m¨ usste sich ja zu beiden Seiten dieses Punktes von der Achse wegkr¨ ummen, was immer zumindest auf einer Seite zum falschen Verhalten der L¨osung f¨ uhrte. 21