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Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (3)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Beispiele zum Impuls- und Energiesatz - Rakete • Eine Rakete mit der Masse m fliegt mit der Geschwindigkeit v im leeren, kräftefreien Raum
w dm
v m
• Sie stößt in der Zeit dt die Masse dm Treibstoff mit einer konstanten Geschwindigkeit w aus • Die Masse m(t) vermindert sich um dm, daher ist dm negativ • Die Impulserhaltung fordert, dass die Geschwindigkeit v(t) der Rakete in der Zeit dt um einen Betrag dv zunimmt
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−w
dm dv =m = m⋅a dt dt
1 d m(t ) 1 d v(t ) =− m(t ) dt w dt 2
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Beispiele zum Impuls- und Energiesatz - Rakete • Mithilfe der Differentialgleichung aus dem Impulssatz kann man einen einfachen Zusammenhang zwischen Masse und Geschwindigkeit herstellen • Zeitabhängigkeit „herauskürzen“ (Trennung der Variablen) • Integration beider Seiten über die jeweilige Variable • Integrationskonstante m0 • Die Masse der Rakete nimmt mit zunehmender Geschwindigkeit v exponentiell ab
1 d m(t ) 1 d v(t ) =− m(t ) dt w dt dm 1 = − dv m w
1
1
ln
m v =− m0 w
∫ m dm = − w ∫ dv
m = m0 ⋅ e
−
v w
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Beispiele zum Impuls- und Energiesatz - Rakete • Bei Brennschluss – Masse m1 – hat die Rakete eine Geschwindigkeit v1 erreicht • Ein realistisches Massenverhältnis zwischen leerer und voll betankter Rakete ist m1/m0 = 1/6
m1 = m0 ⋅ e
−
v1 w
v
− 1 m1 =e w m0
• Damit beträgt v1 etwa das 1.8-fache von w • Die Geschwindigkeit der Brenngase beträgt etwa 2 – 3 km/s, die Endgeschwindigkeit der Rakete etwa 3 – 5 km/s Dynamik des Massenpunkts 3
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Schwingungsenergie • Die Kraft einer Feder ist proportional zu ihrer Auslenkung aus der Ruhestellung (Hooke‘sches Gesetz)
F = − D⋅x
F
0 x m
• Die Größe D heißt Federkonstante, Einheit [N m-1] = [kg s-2] • Auslenkung der Feder durch eine Masse m
x
Epot = − ∫ F dx
• Die potentielle Energie ist
0
=
1 2 Dx 2
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Schwingungsenergie E = Ekin + Epot
• Gesamtenergie
1 2 1 2 mx& + Dx 2 2 = konstant =
x(t ) = A ⋅ sin (ωt ) x& (t ) = A ⋅ ω ⋅ cos(ωt )
• Ansatz für die Funktion x(t)
• Aus der Gesamtenergie
E=
1 1 mA2ω 2 cos 2 (ωt ) + DA2 sin 2 (ωt ) 2 2 ω2 =
• Kreisfrequenz
E=
(
D m
)
1 1 1 1 DA2 cos 2 (ωt ) + DA2 sin 2 (ωt ) = DA2 cos 2 (ωt ) + sin 2 (ωt ) = DA2 2 2 2 2
• Federpendel führt harmonische Bewegung aus Dynamik des Massenpunkts 3
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Stoßgesetze • Stoß: sehr kurzzeitige Wechselwirkung zwischen zwei Körpern • Geschwindigkeiten vor dem Stoß v1, v2 • Geschwindigkeiten nach dem Stoß v‘1, v‘2 • Erhaltung des Gesamtimpulses
v1
m2
m1v1 + m2 v2 = m1v1′ + m2 v′2 • Erhaltung des Gesamtenergie – elastischer Stoß 1 2
m1v12 + 12 m2 v22 = 12 m1v1′2 + 12 m2 v2′2
• Abnahme des Gesamtenergie (z. B. Deformation)– anelastischer Stoß 1 2
v2
m1
m1
m2
V‘1 V‘2 m1 m2
m1v12 + 12 m2 v22 > 12 m1v1′2 + 12 m2 v2′2 Dynamik des Massenpunkts 3
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Stoßgesetze – Schwerpunktsystem • Schwerpunktsystem: Ursprung des Koordinatensystems ist der gemeinsame Schwerpunkt der beiden Massen • Gesamtimpuls verschwindet – Einzelimpulse haben vor und nach dem Stoß den gleichen Betrag • Richtungsänderung der Bewegung durch Impulsübertrag
r r r Δp = m1 (v1′ − v1 )
r m1 ⋅ v1
ϑ
r m1 ⋅ v1′
r m2 ⋅ v2′ r m2 ⋅ v2
r Δp
ϑ r Δp = 2m1 ⋅ v1 ⋅ sin 2 • Energieübertrag ist Null Dynamik des Massenpunkts 3
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Stoßgesetze • Laborsystem: Ursprung des Koordinatensystems ist durch die experimentellen Bedingungen gegeben, Schwerpunkt bewegt sich geradlinig r gleichförmig mit Geschwindigkeit vS
r r v1′ + vS r r v1 + vS r vS
r r v2′ + vS r r v2 + v S
• Der Impulsübertrag ist derselbe wie im Schwerpunktsystem, da der Gesamtimpuls sich nicht ändert • Der Energieübertrag ist
[
r r 2 r r 2 ΔE = 12 m1 (v1 + vS ) − (v1′ + vS ) r r = Δp ⋅ v S
]
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Reibungskräfte • • •
•
FN
Reibung verwandelt kinetische Energie in Wärmeenergie Bewegte Körper verlieren unter dem Einfluss der Reibung an Geschwindigkeit (Bremswirkung) Man unterscheidet mehrere – meist empirische – Gesetze für Reibungskräfte Trockene Reibung (Coulomb-Reibung): – tritt auf, wenn sich ein Körper auf einer trockenen Unterlage ohne Schmierung bewegt – Ist unabhängig von der Geschwindigkeit – Haftreibung F‘R und Gleitreibung FR – Normalkraft FN – Reibungskoeffizient μ, μ‘ – Rollreibung zwischen rollendem Körper und Unterlage – Reibungsdrehmoment DR – Rollreibungskoeffizient μ‘‘, Einheit [m] Dynamik des Massenpunkts 3
FR
FN DR
FR = μ ⋅ FN FR′ = μ ′ ⋅ FN DR = μ ′′ ⋅ FN 10
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Reibungskräfte Stoffe
Bedingungen
μ‘ (Haft)
μ (Gleit)
Stahl / Stahl (20°)
trocken Maschinenöl
0.5 – 0.8 0.08
0.4 0.06
Glas / Glas
trocken Paraffinöl
0.9 – 1.0 0.5 – 0.6
0.4
Eis / Eis (trocken)
0 °C -80 °C
0.05 – 0.15 0.02 0.09
Gummi / Asphalt
trocken nass Eis
1.2 0.6
μ‘‘ (Roll) 0.05 0.03-0.1
1.05 0.4 ca 0.1
Quellen: Demtröder, Physik; Pfeifer et al., Kompaktkurs Physik
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Reibungskräfte • Viskose Reibung (Stokes-Reibung):
FS
– Bremskraft, die kleinere, langsame Körper in einer Flüssigkeit erfahren – Proportional zur Geschwindigkeit v
r v
FR = 6π ⋅η ⋅ r ⋅ v – Zähigkeit (Viskosität) η
• Newton-Reibung:
Dichte ρ
– Bremskraft, die größere, schnelle Körper in einer Flüssigkeit erfahren – Proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit
FR = ⋅ cW ⋅ ρ ⋅ A ⋅ v 1 2
A
Turbulenz
v
2
• Widerstandskoeffizient cW Dynamik des Massenpunkts 3
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Reibungskräfte
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Gerthsen Physik
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