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Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (4)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Gravitation • Die Gravitationswechselwirkung ist eine der fundamentalen Kräfte in der Physik • Sie wirkt zwischen zwei Massen m1 und m2, die sich im Abstand r voneinander befinden, anziehend
m1
r
m2
r m ⋅m F = −G 1 2 2 r
r r ⋅ r
• Gefunden im Jahre 1665 von Sir Isaac Newton • Universelle Gravitationskonstante G
G = 6.67 ⋅10 −11 [N m 2 kg -2 ]
• Zentralkraft Dynamik des Massenpunkts 4
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1
Kraft F [N]
1 .10
8
1 .10
9
1 .10
10
1 .10
11
1 .10
12
1 .10
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Gravitationskraft
1 kg
0.1
1
r
1 kg
10
100
Abstand r [m] Dynamik des Massenpunkts 4
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Gravitationsbeschleunigung der Erde • Körper umkreisen die Erde auf annähernd kreisförmigen Bahnen (Kreisbewegung) • Die in einem konstanten Abstand r vom Erdmittelpunkt ausgeübte Schwerkraft bewirkt eine konstante Beschleunigung aG, welche von der Zentripetalbeschleunigung aZ genau aufgehoben wird • Die Beschleunigung nimmt mit zunehmenden Abstand ab Objekt Oberfläche Geostationärer Satellit Erdmond
Abstand [km]
Periode [s]
aG
aZ = ω 2 ⋅ r Kreisfrequenz [s-1]
Beschleunigung [m s-2]
6.370
5.063
1.24 10-3
9.81
42.160
86.400 (1 Tag)
7.27 10-5
0.223
384.400
2.360.000 (27 Tage)
2.66 10-6
0.00273
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Gravitationsbeschleunigung der Erde 100
Erdoberfläche Beschleunigung a [m s^-2]
10
Geostationärer Satellit
1
0.1
0.01
1 .10
Mond
3
1 .10
3
1 .10
4
1 .10
5
1 .10
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Abstand vom Erdmittelpunkt [km] Dynamik des Massenpunkts 4
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Eigenschaften der Gravitation • Nach bisherigen Erkenntnissen gilt das 1/r2 – Abstandsgesetz über einen Bereich von wenigen Metern bis zu kosmischen Distanzen • Die Newton‘sche Theorie der Gravitation ist 1916 von Albert Einstein im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie erheblich erweitert worden – geringe Abhängigkeit von Relativgeschwindigkeit und Rotation in Extremfällen • Es sind keine Stoffe bekannt, die Gravitation „abschirmen“ können • Die Gravitation ist die schwächste der physikalischen Fundamentalkräfte – Die elektrostatische Anziehung zwischen Protonen und Elektronen ist 1040 größer als ihre Schwerkraft
• Die Gravitation wirkt aber ausschließlich anziehend (keine „negativen“ Massen) und kann daher nicht neutralisiert werden • Die Gravitation ist daher die stärkste Kraft, die über kosmische Distanzen wirkt Dynamik des Massenpunkts 4
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Gravitationsfeld und Potential • Eine Masse m gibt Anlass zu einem Gravitationskraftfeld, welches mit einer „Probemasse“ mp untersucht werden kann
m
r r Gm r Fp = − m p ⋅ 2 ⋅ r r
• Feldstärke g des Gravitationsfeldes
mp
r r Gm r g=− 2 ⋅ r r
• Wegen des Äquivalenzprinzips (träge Masse = schwere Masse) ist die Feldstärke unabhängig vom Probekörper Dynamik des Massenpunkts 4
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Gravitationsfeld und Potential • Das Gravitationsfeld einer Punktmasse ist konservativ – es gibt ein Potential – Für sehr große Entfernungen wird das Potential konstant
• Vereinbarung: Nullpunkt der potentiellen Energie einer Probemasse mp ist im Unendlichen – Kraft wird im Unendlichen Null – Potentielle Energie ist für endliche Abstände negativ
• Potential ϕ(r) • Feldstärken
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r r r Epot (r ) = − ∫ F (r ′) dr ′ r
∞
r
Gm dr ′ r ′2 ∞
= mp ⋅ ∫
= − mp ⋅
Gm r′
ϕ (r ) = −
Gm r r r r F (r ) = − ∇Epot (r ) r r r g (r ) = − ∇ϕ (r ) 8
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Gezeiten • Punktmassen sind eine Idealisierung, reale Massenverteilungen ausgedehnt • Gravitationsfeld wird dadurch komplexer, aber – immer konservativ – es gibt immer ein Potential
• Ausgedehnte Körper erfahren in einem Gravitationsfeld Gezeitenkräfte
⎛ 1 1 ⎞ G ⋅ mMond − 2 ⎟⎟ = aGez = G ⋅ mMond ⎜⎜ 2 r rM2 ( ) ± r r M ⎠ ⎝ M E
≈
G ⋅ mMond rM2
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⎛ ⎜ ⎜ 1 ⎜ rE ⎜⎛ ⎜ ⎜⎜1 ± r M ⎝⎝
⎞ ⎛ G ⋅ mMond ⋅ rE r ⎜⎜1 m 2 E − 1⎟⎟ = m 2 rM rM3 ⎠ ⎝
⎞ ⎟⎟ ⎠
2
⎞ ⎟ ⎟ − 1⎟ ⎟ ⎟ ⎠
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Gerthsen Physik
Planetenbahnen • Die Bewegung zweier Massen im gemeinsamen Gravitationsfeld kann mathematisch geschlossen beschrieben werden („Zweikörperproblem“) • Das beste Beispiel für ein Zweikörperproblem stellt der Umlauf eines Planeten um die Sonne dar. Dabei kann der Einfluss der Schwerkraft anderer Planeten zunächst vernachlässigt werden • Johannes Kepler (1571-1630) hat mithilfe umfangreicher Beobachtungen von Tycho Brahe die drei Keplerschen Gesetze (1609 und 1619), welche die Dynamik der Planeten umfassend beschreiben • Isaac Newton formulierte später (1687) die Axiome der Mechanik und das Gravitationsgesetz, welche eine Verallgemeinerung der keplerschen Gesetze darstellen
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Planetenbahnen • 1. Keplersches Gesetz: „Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen. Die Sonne befindet sich in einem der Brennpunkte.“ • 2. Keplersches Gesetz: „Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.“ • 3. Keplersches Gesetz: „Die Quadrate der Umlaufzeiten verschiedener Planeten verhalten sich wie die Kuben ihrer großen Bahnachsen.“ • Das 2. Keplersche Gesetz ist eine direkte Folge der Erhaltung des Drehimpulses • Das 1. und 3. Keplersche Gesetz folgen aus der Eigenschaft der Gravitation, eine Zentralkraft mit einem 1/r2 – Abstandsgesetz zu sein
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Planetenbahnen – Ellipsen • Ellipsen
b
– Große Halbachse a, kleine Halbachse b – Abstand Mittelpunkt-Brennpunkt e – Exzentrizität ε
a
ϕ r
• Wähle den Brennpunkt, in dem sich die Sonne befindet, als Ursprung des Koordinatensystems • Die Bewegung findet in einer Ebene statt, die senkrecht zum Drehimpulsvektor steht • Darstellung in Polarkoordinaten (r,ϕ), welche dem Problem besser angepasst sind
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e r‘
e2 = a 2 − b2 e a r + r ′ = 2a (Definition)
ε =
r=
b2 a(1 − ε cos ϕ ) 12
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Planetenbahnen – 2. Keplersches Gesetz ⎛r⎞
r
• Ort des Planeten: r = ⎜⎜ ⎟⎟ ϕ
⎝ ⎠ • Geschwindigkeit r ⎛ vr ⎞ ⎛ r& ⎞ v = ⎜⎜ ⎟⎟ = ⎜⎜ ⎟⎟ des Planeten: ⎝ vϕ ⎠ ⎝ rϕ& ⎠
ϕ r v
L = m ⋅ r ⋅ vϕ = m ⋅ r 2 ⋅ ϕ& = konstant
• Drehimpulsbetrag: • In der Zeit Δt von der Verbindungslinie überstrichene Fläche (Δt klein)
A=
1 2
t + Δt
r r
1
1 r
r r
∫ m r × v dt ′ ≈ 2 m r × v ⋅ Δt = 2 L ⋅ Δt t
A 1 r = L = konstant Δt 2
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Planetenbahnen • Man kann zeigen, dass Lösungen für die Bewegungen im Gravitationsfeld (einer Punktmasse) Kegelschnitte sind • Allgemeiner Zusammenhang zwischen r und ϕ
r=
p 1 + e cos ϕ
p
Parabel
• Art der Bahn: – – – –
Kreis: e = 0, p=a=r Ellipse: 0 < e < 1, p = b2/a Parabel: e = 1, p bestimmt Öffnung Hyperbel: e > 1, p = b2/a
a b
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Hyperbel
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Planetenbahnen • • •
Gesamtenergie E (kinetische plus potentielle Energie) bleibt erhalten Potentielle Energie ist immer negativ Gesamtenergie E < 0: – – – –
•
Kreisbahnen (hoher Drehimpuls) Elliptische Bahnen Bahnen sind geschlossen Planeten, Monde
Gesamtenergie E = 0
E = EKin + EPot
E>0
E=0 EPot = − G
E<0
m r
– Parabelbahnen – Kometen
•
Gesamtenergie E > 0 – Hyperbelbahnen – Kometen
r
0
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Planetenbahnen – 3. Keplersches Gesetz • Die Bahnen der Planeten sind in guter Näherung Kreisbahnen – Exzentrizität ε ≤ 0.05 für alle Planeten außer Merkur
• Gravitationsbeschleunigung unabhängig von Planetenmassen
aG = − G
mSonne 2 rPlanet 2
aZ = − ωPlanet rPlanet 2
– alle kleiner als 0.001 mSonne
• Gravitationsbeschleunigung aG und Zentripetalbeschleunigung aZ sind gleich groß • Das Verhältnis von Quadrat der Umlaufzeit TPlanet und der dritten Potenz des Radius der Planetenbahn rPlanet hängt nur von konstanten Größen ab Dynamik des Massenpunkts 4
⎛ 2π ⎞ ⎟⎟ rPlanet = ⎜⎜ ⎝ TPlanet ⎠
2
⎛ 2π ⎞ m ⎟⎟ rPlanet = − G 2Sonne − ⎜⎜ rPlanet ⎝ TPlanet ⎠ 2 2 4π T = Planet = konstant 3 G ⋅ mSonne rPlanet
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