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¨ Einfuhrung in die theoretische Physik II
Sommersemester 2015
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Ausgew¨ahlte Aufgaben zur Klausurvorbereitung Besprechung am 9.7. in der Vorlesung.
Aufgabe 1: Elektrostatik Betrachten Sie eine geladene Kugel (Radius R) mit Ladungsdichte ρ(r) = ρ0 r/R. a. Berechnen Sie mit Hilfe des Gauss’schen Satzes das elektrische Feld innerhalb und ausserhalb der Kugel. b. Berechnen Sie das elektrostatische Potential φ(~r) unter der Annahme dass φ(∞) = 0. c. Skizzieren Sie den Potentialverlauf. ¨ Uberpr¨ ufen Sie, welches der Felder ~ 1 (~r) = (2zx + y 2 )ˆ E ex + 2yxˆ ey + x2 eˆz ~ 2 (~r) = (zx + y 2 )ˆ E ex + 2yxˆ ey + xˆ ez und ein elektrostatissches Feld sein kann. Berechnen Sie f¨ur dieses die Ladungsdichte und das Potential.
Aufgabe 2: Bildladungen Zwei positive geladene Punktladungen befindet sich in den Punkten (0, 0, a) und (d, 0, a) oberhalb einer perfekt leitenden Oberfl¨ache, die durch die Ebene z = 0 gegeben ist. a. Berechnen Sie das elektrostatische Potential der Anordnung f¨ur z > 0 mit Hilfe der Bildladungsmethode. b. Berechnen Sie die x-Komponente der Kraft auf eine der Ladungen, d.h. die Komponente parallel zur Oberfl¨ache und erwickeln Sie den Ausdruck f¨ur d a.
Aufgabe 3: Magnetostatik Betrachten Sie einen langen Draht mit Radius R entlang der z-Achse. Die Stromdichte innerhalb des Drahtes sei durch ~j(~r) = eˆz j0 [1 − (s/R)2 ] p gegeben, wobei s = x2 + y 2 den Abstand von der z-Achse bezeichnet. ~ r) innerhalb und ausserhalb des Drahtes. a. Bestimmen Sie das magnetische Feld B(~ b. Berechnen Sie die Kraft auf eine stromdurchflossene rechteckige Leiterschleife C, bestimmt durch die Eckpunkte (a, 0, 0) → (a, 0, b) → (a0 , 0, b) → (a0 , 0, 0) → (a, 0, 0). c. Aus Symmetriegr¨unden k¨onnen sie folgern, dass das Vektorpotential der Anordnung in eˆz -Richtung zeigt ~ r) ausserhalb des Drahtes, indem Sie den Satz von Stokes mit der und nur von s abh¨angt. Bestimmen Sie A(~ ~ ~ ~ ~ so dass A ~ = 0 f¨ur Beziehung ∇ × A = B auf eine Kurve C wie in Aufgabe b anwenden. W¨ahlen Sie A s = R. ~ r) = y 2 eˆx + 2yzˆ d. Kann es sich bei dem folgenden Feld um ein Magnetfeld handeln: B(~ ey − 3zxˆ ez ?
Aufgabe 4: Maxwell-Gleichungen ¨ a. Betrachten Sie die Uberlagerung von zwei ebenen Wellen mit Ausbreitungsrichtung in z-Richtung, von denen eine in eˆx und eine in eˆy -Richtung polarisiert ist. Die Feldamplituden sei E1 und E2 , und die Wellen seien um π/2 phasenverschoben. (Es handelt sich um eine elliptisch polarisierte Welle). Geben Sie f¨ur beide Anteile der Welle die explizite Form des elektrischen und magnetischen Feldes an. b. Berechnen Sie die zeitgemittelte Energiestromdichte (Poynting-Vektor).
Aufgabe 5: Fourier-Transformation Betrachten Sie den Fourier-Ansatz Z v(x, t) =
h i dk v+ (k)eikx−iωt + v− (k)eikx+iωt .
(1)
f¨ur eine eindimensionale Welle. Zur Zeit t = 0 sei die Welle gegeben durch v(x, 0) = Θ(1 − |x|), und ihre Zeitableitung durch v(x, ˙ 0) = 0. a. Berechnen Sie die Fouriertransformierten von v(x, 0) und v(x, ˙ 0). b. Bestimmen Sie v± (k) durch Vergleich des Ergebnisses von a mit der Fouriertransformierten von Gl. (1).
