Transcript
Wiederholungsaufgaben zur Einf¨ uhrung in die Stochastik“ ” zusammengestellt von Carina Zeller und Andreas Meier
Aufgabe 1 Aufgrund von Erfahrungen und statistischen Untersuchungen geht die Polizei davon aus, dass in einem Haus in einer Nacht mit einer Wahrscheinlichkeit von 0.007 % eingebrochen wird. Wenn eingebrochen wurde, finden anschließend in 70 % der F¨alle die Eigent¨ umer ihre Haust¨ ur ge¨offnet vor. Die Wahrscheinlichkeit, dass eine Haust¨ ur ge¨offnet ist, wenn nicht eingebrochen wurde (z.B. weil der Eigent¨ umer vergessen hat, die T¨ ur abzuschließen) betrage 0.5 %. Herr Schuster geht an einem Abend mit seiner Familie ins Kino. (a) Wie wahrscheinlich ist es, dass seine Haust¨ ur ge¨offnet ist, wenn er nach Hause kommt? (b) Familie Schuster kommt nach Hause und sieht, dass die T¨ ur ge¨offnet ist. Wie wahrscheinlich ist es, dass eingebrochen wurde?
Aufgabe 2 Wir f¨ uhren ein zweistufiges Experiment durch. Im ersten Schritt werfen wir einen fairen sechsseitigen W¨ urfel. Das Ergebnis werde durch die Zufallsvariable Z beschrieben. Anschließend verf¨alschen wir unze werfen wir nun eine M¨ unze so, dass sie eine Erfolgwahrscheinlichkeit von Z6 hat. Diese M¨ achtmal und bezeichnen mit S die Anzahl der dabei auftretenden Erfolge. Berechnen Sie allgemein die Wahrscheinlichkeit, dass der W¨ urfel die Zahl z zeigte, gegeben die Anzahl der Erfolge beim M¨ unzwurf ist k.
Aufgabe 3 Es seien (pn )n∈N ⊂ (0, 1) eine reelle Zahlenfolge und (Xn )n∈N Zufallsvariablen auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Dabei sei Xn Bernoulli-verteilt mit Parameter pn , d.h. P[Xn = 1] = pn = 1 − P[Xn = 0] f¨ ur alle n ∈ N. Zeigen Sie: (a) Die Folge (Xn )n∈N konvergiert genau dann P-stochastisch gegen Null, wenn lim pn = 0. n→∞
(b) Gilt
P∞
n=1
pn < ∞, so konvergiert die Folge (Xn )n∈N P-fast sicher gegen Null.
(c) Sind die (Xn )n∈N unabh¨ angig, dann gilt auch die Umkehrung von (b). (d) In (c) kann im Allgemeinen auf die Unabh¨angigkeit nicht verzichtet werden.
Aufgabe 4 Ein Blinder steht vor einer Bombe, die jeden Moment explodieren kann. Es gibt drei rote und zwei blaue Dr¨ahte. Die Bombe wird genau dann entsch¨arft, wenn erst ein roter, dann ein blauer, dann ein roter, dann ein blauer und abschließend wieder ein roter Draht durchgeschnitten wird. (a) Geben Sie einen passenden Wahrscheinlichkeitsraum an. (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Blinde die Bombe entsch¨arft. 1
Aufgabe 5 Es werden n Briefe zuf¨ allig auf n Umschl¨age verteilt. Sei X die Anzahl der Briefe, die dabei im richtigen Umschlag landen. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz von X. Hinweis: Ist Ω die Menge aller Permutationen ω : {1, . . . , n} → {1, . . . , n} und P die Gleichverteilung auf Ω, so l¨ asst sich X schreiben als X(ω) =
n X
1{ω(i)=i} ,
i=1
d.h. als Anzahl der Fixpunkte einer zuf¨alligen Permutation.
Aufgabe 6 F¨ ur α > 0 und p ∈ (0, 1) seien N , X1 , X2 , . . . unabh¨angige Zufallsvariablen, wobei N Poissonverteilt mit Parameter α und ur jedes i ∈ N Bernoulli-verteilt mit Parameter p seien. PN die Xi f¨ Weiter definieren wir Y := i=1 Xi und Z := N − Y . (a) Bestimmen Sie die wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktionen von N , X1 , Y und Z. (b) Folgern Sie, dass Y und Z ebenfalls Poisson-verteilt sind und bestimmen Sie jeweils den Parameter. (c) Zeigen Sie, dass Y und Z unabh¨ angig sind.
Aufgabe 7 Wir betrachten zwei unabh¨ angige auf dem Intervall [a, b] uniform verteilte Zufallsvariablen X und Y , wobei wir 0 < a < b annehmen. (a) Bestimmen Sie die Dichte von X 2 Y . (b) Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion von X 2 Y .
Aufgabe 8 Sie werfen eine faire M¨ unze f¨ unfzig Mal. Sch¨atzen Sie mit Hilfe der Chebyshev’schen Ungleichung die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses ab, weniger als zwanzig Mal oder mehr als dreißig Mal Kopf“ zu werfen. Wie groß ist der exakte Wert f¨ ur diese Wahrscheinlichkeit? ”
Aufgabe 9 Seien (Xi )i∈N Zufallsvariablen mit Var[Xi ] ≤ c < ∞ f¨ ur alle i ∈ N und der Eigenschaft, dass jedes Xi h¨ ochstens von seinen Nachbarn Xi−1 und Xi+1 abh¨angt. Zeigen Sie, dass die Familie (Xi )i∈N einem schwachen Gesetz der großen Zahl gen¨ ugt, d.h es gilt # " n 1 X lim P (Xi − E[Xi ]) ≥ ε = 0 f¨ ur jedes ε > 0. n→∞ n i=1
2
Aufgabe 10 Ein Hotel habe 218 Betten. Der Hotelmanager weiß aus Erfahrung, dass eine Reservierung mit Wahrscheinlichkeit 20% annuliert wird. Generell nehmen wir hier an, dass alle Annulierungen unabh¨ angig voneinander sind. Bestimmen Sie mittels einer Approximation durch den Satz von de Moivre-Laplace: (a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle erscheinenden G¨aste ein Bett bekommen, wenn die Hotelleitung 250 Reservierungen entgegennimmt? (b) Wie viele Reservierungen durch eine Kongressleitung darf der Hotelmanager entgegennehmen, wenn er dabei in Kauf nimmt, mit 2.5%-iger Wahrscheinlichkeit in Verlegenheit zu geraten?
Aufgabe 11 Auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) betrachten wir zwei Zufallsvariablen X, Y ∈ L1 (P). Beweisen oder widerlegen Sie (z.B. durch ein Gegenbeispiel) die folgenden Aussagen: (a) E[X] = E[Y ] =⇒ P[X = Y ] = 1. (b) E[|X − Y |] = 0 =⇒ P[X = Y ] = 1. (c) E[X 2 ] = E[Y 2 ] =⇒ P[X 2 = Y 2 ] = 1. Hinweis: Sie d¨ urfen in (b) annehmen, dass X und Y N0 -wertig sind.
3
