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Theoretische Nachrichtentechnik Fakultät Elektrotechnik und Informationstechnik Institut für Nachrichtentechnik Professur für Theoretische Nachrichtentechnik
SYSTEMTHEORIE UND EINFÜHRUNG IN DIE SYSTEMTHEORIE Prof. Dr.-Ing. habil. Helmut Schreiber Prof. Dr.-Ing. habil. Renate Merker Prof. Dr.-Ing. habil. Rüdiger Hoffmann Prof. Dr.-Ing. Eduard Jorswieck Oktober 2016
INHALTSVERZEICHNIS 1 Mathematische Grundlagen
4
2 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme
9
3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
13
4 Zeitdiskrete Signale und Systeme
23
5 Lineare zeitdiskrete Systeme
25
6 Statische digitale Systeme (Kombinatorische Automaten)
33
7 Dynamische digitale Systeme (Sequentielle Automaten)
35
8 Stochastische Signale
38
9 Statische Systeme mit Stochastischen Signalen
44
10 Dynamische Systeme mit Stochastischen Signalen
47
F Formelsammlung
52
1
LITERATURVERZEICHNIS [1] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 5. Auflage. Dresden : TUDpress Verlag der Wissenschaften GmbH, 2006 (TUDpress Lehrbuch). – ISBN 10: 3938863846, ISBN 13: 978–3938863848 [2] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 4. Auflage. Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 1993 (Springer-Lehrbuch) [3] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Digitale Systeme. 3. Auflage. Berlin : Verlag Technik, 1989 [4] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 4. Auflage. Dresden : TUDpress Verlag der Wissenschaften GmbH, 2006 (TUDpress Lehrbuch). – ISBN 10: 3938863676, ISBN 13: 978–3938863671 [5] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 3. Auflage. Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 1993 (Springer-Lehrbuch) [6] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Analoge Systeme. 2. Auflage. Berlin : Verlag Technik, 1988 [7] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 4. Auflage. Berlin : Springer-Verlag, 2005 (Springer-Lehrbuch). – ISBN 10: 354029225X, ISBN 13: 978– 3540292258 [8] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 3. Auflage. Berlin Heidelberg : Springer-Verlag, 1992 (Springer-Lehrbuch) [9] WUNSCH, G. ; SCHREIBER, H.: Stochastische Systeme. 2. Auflage. Berlin : Verlag Technik, 1986 [10] WUNSCH, G.: Handbuch der Systemtheorie. Berlin : Akademie-Verlag, 1986
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ÜBUNGSAUFGABEN
1
MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN
1.1. a) Man bestimme das kartesische Produkt M1 × M2 für α)
M1 = {a, b, c},
M2 = {1, 2}
β)
M1 = {x | 1 ≤ x < 5} ⊂ R,
M2 = {y | −2 ≤ y < 3} ⊂ R
und veranschauliche das Ergebnis grafisch! b) Man bestimme die Potenzmenge P(M) für M = {1, 2, 3}! c) Man bestimme die Mengenpotenz M 3 für M = {0, 1}! d) Man gebe die Menge N M = {f | f : M → N} für M = {a, b, c} und N = {0, 1} an und veranschauliche diese durch Graphen! Wieviel Abbildungen einer m-elementigen Menge M in eine n-elementige Menge N gibt es allgemein? 1.2. Man zeige durch Konstruktion einer bijektiven Abbildung, dass folgende Mengen gleichmächtig sind: a) Menge N (natürliche Zahlen) mit Menge N2 (natürliche Zahlenpaare), b) Menge der reellen Zahlen x aus dem Intervall Ix = [a, b] mit der Menge aller reellen Zahlen y aus dem Intervall Iy = [α, β]
(a 6= α, b 6= β; a, b, α, β endlich),
c) Menge R der reellen Zahlen mit der Menge aller reellen Zahlen aus dem offenen Intervall I = (0, 1) ⊂ R. 1.3. Gegeben sind die unendlichen Mengen M = {0, 1, 2, 3, 4, . . . }; N = {1, 2, 4, 8, 16, . . . }. a) Sind die Mengen M und N gleichmächtig? (Begründung!) b) Man untersuche, ob die Strukturen (M, +) und (N, · ) isomorph sind! 1.4. Die Elemente einer Menge N = {◦, B, C, •} seien Zweipole, und zwar Unterbrechung, ideale Diode (Durchlassrichtung →), ideale Diode (Durchlassrichtung ←), widerstandslose Verbindung. Auf N werden zwei Operationen P (Parallelschaltung) und R (Reihenschaltung) eingeführt.
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1 Mathematische Grundlagen
a) Man stelle die Operationstabellen für P und R auf! b) Man zeige, dass (N, P, R) mit (P({a, b}), ∪, ∩) isomorph ist! c) Es sei i ein beliebiges Element aus N. Man bestimme mit Hilfe der bewiesenen Isomorphie das Klemmenverhalten des Zweipols AB (Siehe Bild 1.4)!
Bild 1.4
1.5. Mit Hilfe der Regeln der Schaltalgebra vereinfache man die folgenden Terme (dabei seien x1 , x2 , x3 , x4 ∈ B = {0, 1}): a) x1 (x1 ∨ x2 ) d) x1 x2 ∨ x1 x2 ∨ x1 b) (x1 ∨ x2 x3 )x1 e) x1 (x1 ∨ x2 ) ∨ x2 (x2 ∨ x3 ) ∨ x2 c) (x1 ∨ x2 )(x1 ∨ x2 )x1
f) (x3 ∨ x2 )x2 ∨ x2 x1 x4 ∨ x4
1.6. Für die in Bild 1.6 dargestellte Gatterschaltung bestimme man y = f (x1 , x2 , x3 )! Man vereinfache den erhaltenen Ausdruck und zeichne die vereinfachte Gatterschaltung auf!
>1
x1
y & >1
x2 & x3
Bild 1.6
1.7. Durch die nachfolgend genannten Booleschen Terme (1) x1 x2 x3 ∨ x1 x2 ∨ x1 x2 (2) x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 ∨ x1 x2 x3 (3) x1 (4) x2 (5) (x1 ∨ x2 ∨ x3 )(x1 ∨ x2 ∨ x3 )(x1 ∨ x2 ∨ x3 )(x1 ∨ x2 ∨ x3 ) (6) x1 x2 sind sechs Schaltfunktionen fi : B3 → B, fi (x1 , x2 , x3 ) = yi (i = 1, 2, . . . , 6) gegeben. a) Stellen Sie die Schaltfunktionen durch Wertetabellen dar!
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b) Welche Schaltfunktionen sind äquivalent? c) Zeichnen Sie die f2 und f4 zugeordneten Gatterschaltungen! 1.8. Gegeben ist die Schaltfunktion f : B3 → B, f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 ∨ x3 . Es sind äquivalente Gatterschaltungen zur Realisierung dieser Schaltfunktion anzugeben, welche a) beliebige Gatter c) nur NAND-Gatter b) nur Negations- und Und-Gatter d) nur NOR-Gatter enthalten! 1.9. Durch die Gatterschaltung in Bild 1.9 wird eine Schaltfunktion f : B5 → B, f (x1 , . . . , x5 ) = y realisiert. Stellen Sie f a) durch einen Booleschen Term, b) durch eine zweckmäßig gewählte Wertetabelle dar!
x1
>1 & y
x2 x3
>1
x4
>1
x5 Bild 1.9 1.10. Geben Sie zur Realisierung der Schaltfunktionen ˙ 2 = x1 x2 ∨ x1 x2 (Antivalenz) f6 : B2 → B, y = f6 (x1 , x2 ) = x1 ∨x und f9 : B2 → B, y = f9 (x1 , x2 ) = x1 ⇔ x2 = x1 x2 ∨ x1 x2 (Äquivalenz) möglichst einfache Gatterschaltungen an, welche a) nur aus NAND-Gattern b) nur aus NOR-Gattern aufgebaut sind! (Hinweis: Man beachte, dass f6 (x1 , x2 ) = f9 (x1 , x2 ) gilt!) 1.11. Geben Sie die kanonische disjunktive Normalform (KDNF) und die kanonische konjunktive Normalform (KKNF) einer Schaltfunktion f : B3 → B, f (x1 , x2 , x3 ) = y an, die genau dann den Wert 1 annimmt, wenn a) mindestens zwei b) genau zwei Variablen den Wert 1 haben!
6
1 Mathematische Grundlagen
1.12. Zu den folgenden durch Boolesche Terme gegebenen Schaltfunktionen f : B3 → B α) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x2 ∨ x1 x3 ∨ x1 β) f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 ∨ x2 )x1 ∨ x1 x2 x2 bestimme man a) die kanonische disjunktive Normalform (KDNF), b) die kanonische konjunktive Normalform (KKNF)!
1.13. Mit Hilfe einer Karnaugh-Tafel vereinfache man die folgenden durch Boolesche Terme gegebenen Schaltfunktionen f : a) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 x3 ∨ x2 (x1 ∨ x3 ) b) f (x1 , x2 , x3 ) = x1 ∨ x1 (x2 ∨ x2 x3 ) c) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 x2 ∨ x3 x4 )(x1 x2 ∨ x3 ∨ x4 ) d) f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = x1 x2 ∨ x4 ∨ x1 x3 ∨ x2 x3
1.14. Bestimmen Sie für die komplexen Zahlen z1 = z − 1 und z2 = r e jϕ + 1 jeweils a) Betrag, b) Phase, c) Realteil und d) Imaginärteil!
1.15. a) Bestätigen Sie für die (überall reguläre) Funktion w = f (z) = z 2 + 2z + 3 = u + jv und ihre erste Ableitung f 0 (z) die Gültigkeit der Cauchy-Riemannschen Differenzialgleichungen. b) Zeigen Sie, dass der Realteil von w eine harmonische Funktion ist: ∂ 2u ∂ 2u + = 0. ∂x 2 ∂y 2 c) Bestätigen Sie für obiges Beispiel die Regel: ∂ ∂ ∂w f 0 (z) = f (z) = (u + jv) = . ∂x ∂x ∂x
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1.16. Im Komplexen definiert man: e jz − e −jz e jz + e −jz , cos z = mit e z = e x (cos y + j sin y) 2j 2 d d a) Zeigen Sie, dass sin z = cos z und cos z = − sin z gilt. dz dz sin z =
b) Zerlegen Sie sin z in Real- und Imaginärteil. 1.17. Gegeben ist die komplexe Funktion w = f (z) = Re(z) ≥ 0 (rechte Halbebene und imaginäre Achse).
z −1 mit dem Definitionsbereich z +1
a) Skizzieren Sie den Definitionsbereich in der z-Ebene. b) Auf welche Punkte der w-Ebene erfolgt die Abbildung der Punkte z = 0, z = 1, z → ∞ und z = ±j? c) Berechnen und skizzieren Sie den Wertebereich dieser Abbildung in der w-Ebene. Betrachten Sie dabei zunächst den Fall z = jy. cos z 1.18. Berechnen Sie cot z = sin z I
cot z dz = z(z − 1)
I f (z) dz
a) auf dem Weg W1 ,
W3
−2 −1
jy
W1
0 1
2
b) auf dem Weg W2 und
W2 x 3
4
5
Bild 1.18
c) auf dem Weg W3 .
1.19. Wiederholung (inverse) Matrix, Eigenwerte
1 ... ... a) Füllen Sie die Matrix so auf, dass sie singulär ist . . . 2 . . .. ... ... 3 4 −9 b) Berechnen Sie die Eigenwerte der Matrix A = . 12 −17 1 det(sE−A)
und geben Sie die Polstellen sP an. a b d) Geben Sie die Inverse der Matrix an. c d c) Berechnen Sie
e) Berechnen Sie (sE − A)−1 . f) Wie haben Sie in Mathematik 2 das Differentialgleichungssystem x˙ = Ax gelöst?
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1 Mathematische Grundlagen
2
ZEITKONTINUIERLICHE SIGNALE UND SYSTEME
2.1. Gegeben ist das in Bild 2.1 dargestellte Sprungsignal 1. Man berechne 1(t) a) b)
1
x = 1∗1 y = 1∗1∗1
und gebe x(t) bzw. y(t) an!
0
t Bild 2.1
2.2.
x (t )
a -t 0
Man stelle das im Bild 2.2 dargestellte Signal x durch eine Summe zeitverschobener Sprungsignale dar und gebe x(t) an!
t
t
-a
Bild 2.2 2.3.
x (t ) a Man stelle das im Bild 2.3 dargestellte Signal x durch eine Summe zeitverschobener Rampensignale dar und gebe x(t) an! Für das Rampensignal r gilt r(t) = t 1(t) (1: Sprungsignal wie in Bild 4.1).
0
t
2t
3t
4t
t
-a Bild 2.3
2.4. Für das zeitkontinuierliche Signal x: x(t) = A e −at
2
(A ∈ R,
a > 0)
veranschauliche man rechnerisch und grafisch die Vertauschbarkeit der Signaloperationen Differentiation und Translation: S τ (D(x)) = D (S τ (x)) !
2.5. Gegeben ist das in Bild 2.5 dargestellte Ausgangssignal eines elektrischen Geschwindigkeitsmessers (Tachogenerator) beim Bewegungsvorgang eines Fahrzeuges.
9
Berechnen und skizzieren Sie die Zeitverläufe der Beschleunigung a(t) und des zurückgelegten Weges x(t)!
v (t ) v0
0
t1
t2
t
t3
Bild 2.5
2.6. Gegeben ist das im Bild 2.6 dargestellte zeitkontinuierliche Signal x mit den Si1 = gnalwerten x(t) = cos π4 t/ ms . Dieses Signal wird mit der Abtastfrequenz fA = ∆t 1 kHz äquidistant abgetastet, wobei für die Signalwerte x(k) = x(t)|t=k∆t und k ∈ Z gilt. 1
x(t) x(k) ∆t
0
3 1
4
5
2
6
7
8
9
10
t/ ms k
−1
Bild 2.6 a) Bestimmen Sie ein Kosinus-Signal y so, dass für alle Signalwerte y(t)|t=k∆t = x(k) und die Frequenz fy > fx gilt, wobei fx die Frequenz des Signals x bezeichnet. b) Zeichnen Sie die zeitkontinuierlichen Signale x und y und veranschaulichen Sie damit die Nichteindeutigkeit der Rekonstruktion eines zeitkontinuierlichen Signals aus den Signalwerten x(k). c) Bestimmen Sie anhand des Abtasttheorems die obere Grenzfrequenz fg und vergleichen Sie diese mit den Frequenzen fx und fy . 2.7. Mit dem im Bild 2.7 dargestellten System zur Wandlung zeitkontinuierlicher in zeitdiskrete Signale werden folgende Signalpaare generiert: t → x(k) = cos π4 k x(t) = cos 10π ms t sin 10π ms sin 7π k 4 → x(k) = x(t) = t 7π 10π ms k 4
x(t)
K/D
∆t Bild 2.7
a) Spezifizieren Sie Baugruppen des abgebildeten Systems.
10
2 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme
x(k)
b) Geben Sie ein Abtastintervall ∆t an, das beiden Signalpaaren genügt. c) Stellen Sie fest, ob das angegebene Abtastintervall das einzige ist. Falls nicht, geben Sie weitere Abtastintervalle an. d) Sichert das angegebene System die Einhaltung des Abtasttheorems und wie kann diese Sicherstellung technisch realisiert werden?
2.8. Bei der äquidistanten Abtastung des zeitkontinuierlichen Signals x mit den Signal 1 = 14 kHz eine werten x(t) = cos π4 t/ ms erhält man für die Abtastfrequenz fA = ∆t Folge von Abtastwerten x(k). a) Bestimmen Sie diese Abtastwerte x(k) = x(t)|t=k∆t und stellen Sie x(t) und x(k) in ein gemeinsames Diagramm grafisch dar! b) Bestimmen Sie für das Signal xe(t) = 2 cos π4 t/ ms + ϕ einen Phasenwinkel ϕ mit 0 ≤ ϕ < 2π so, dass xe(t)|t=k∆t = x(k) gilt! Ist das Ergebnis eindeutig? c) Interpretieren Sie die Schlussfolgerung aus b) im Hinblick auf das Abtasttheorem! d) Die Änderung der Abtastfrequanz auf fA2 = 21 kHz führt zu einer neuen Folge von Abtastwerten x2 (k). Skizzieren Sie daraufhin x(t) und x2 (k) erneut, geben Sie eine Formel zur Rekonstruktion der Signalwerte x(t) aus x2 (k) mit Hilfe der Abtastreihe an und berechnen Sie speziell x(5 ms) näherungsweise für −2 ≤ k ≤ 6.
2.9. In der Schaltung Bild 2.9 sind die Widerstände durch die folgenden Strom-SpannungsKennlinien charakterisiert: R4 : i4 = α4 u4 3 + β4 u4 (α4 > 0, β4 > 0), R5 : i5 = β5 u5 (β5 > 0), R6 : i6 = α6 u6 3 (α6 > 0). a) Berechnen Sie i1 (t) = f (u1 (t), u2 (t), u3 (t))! b) Geben Sie ein aus Elementarsystemen (Verstärkern, Addier-, Multiplizier- und Potenziergliedern) aufgebautes statisches System an, das die in a) errechnete Funktion f realisiert!
i1 (t ) R6 u1 (t )
u2 (t ) R5
R4
u3 (t )
Bild 2.9
11
2.10. Für das im Bild 2.10 dargestellte nichtlineare statische System bestimme man y1 (t), y2 (t) und y3 (t) falls x1 (t) = 2 + 0,01 sin ω1 t x2 (t) = 1 + 0,01 cos ω2 t gilt. Man löse die Aufgabe näherungsweise mit den Methoden zur Berechnung des Kleinsignalverhaltens!
x1 (t )
+
(...)
3
y1 (t )
y2 ( t )
3
x2 ( t )
+
(...)
4
2
y3 ( t )
Bild 2.10 2.11. Für das in Bild 2.11 dargestellte dynamische zeitkontinuierliche System sind die Zustandsgleichungen aufzustellen!
z
x1 (t )
y1 (t )
4
y2 ( t )
(...)
x2 ( t )
2
z
+
+
y3 ( t )
z
y4 ( t )
Bild 2.11 2.12. Gegeben ist das in Bild 2.12 dargestellte elektrische Netzwerk mit den folgenden Schaltelementen (α > 0, β > 0, γ > 0, δ > 0): L2 (lineare Induktivität) mit iL2 = αΦ2 , C2 (nichtlineare Kapazität) mit uC2 = βQ2 3 , C3 (lineare Kapazität) mit uC3 = γQ3 , R3 (nichtlinearer Widerstand) mit iR3 = δuR3 5 . Man setze Φ2 (t) = z1 (t), Q2 (t) = z2 (t), Q3 (t) = z3 (t), u1 (t) = x1 (t), u2 (t) = x2 (t) sowie i1 (t) = y(t) und stelle die Zustandsgleichungen auf!
12
2 Zeitkontinuierliche Signale und Systeme
i1 (t )
i2 (t )
L2
R3 u1 (t )
C2
i3 (t ) u2 (t )
C3 Bild 2.12
3
LINEARE ZEITKONTINUIERLICHE SYSTEME
3.1. Gegeben ist das in Bild 3.1 dargestellte periodische Signal x. x(t) a t −T
0
T
T 4
2T
Bild 3.1 a) Man stelle x(t) als komplexe Fourier-Reihe dar! b) Man stelle die Reihenkoeffizienten Xk für k = 0, ±1, ±2, ±3, ±4 in der komplexen Ebene grafisch dar! c) Man stelle das Amplitudenspektrum |Xk | über k grafisch dar!
3.2. Für das in Bild 3.2 dargestellte zeitkontinuierliche (nichtperiodische) Signal x bestimme man a) das komplexe Fourier-Spektrum X : Z∞ X (ω) = x(t) e −jωt dt,
x (t )
a
−∞
b) das Amplitudenspektrum |X (ω)| und
0
c) das Phasenspektrum arg X (ω)!
t
t
Bild 3.2
d) Man stelle |X (ω)| und arg X (ω) qualitativ grafisch dar!
13
3.3. Berechnen Sie mittels Integration die Laplace-Transformierten folgender Signale x: a) x(t) = a 1(t − τ )
(τ > 0),
b) x(t) = t 1(t), c) x(t) = e αt cos βt 1(t)! 3.4. Die Laplace-Transformierte eines Signals x sei durch X (s) gegeben. Man zeige die Gültigkeit folgender Regeln der Laplace-Transformation: 1 X sa (a > 0, Ähnlichkeitssatz), a) x(at) a e −sτ X (s)
b) x(t − τ )
(τ > 0,
Verschiebungssatz)!
c) Aus einer Korrespondenzentabelle der Laplace-Transformation liest man ab: s2 + 2 . s(s2 + 4)
cos2 t 1(t)
Bestimmen Sie die Laplace-Transformierten von α) cos2 ω0 t 1(t)
β) cos2 ω0 (t − τ ) 1(t − τ )
(ω0 > 0),
1 3.5. Mit Hilfe der Korrespondenzen 1(t) und t 1(t) s Laplace-Transformierten für folgende Signale x (Bild 3.5a, b, c):
x (t )
4a 3a 2a a
x (t )
a
a
1 s2
(τ > 0) !
bestimme man die
x (t )
2t
0
t
2t
t
0
t
t
0
t 2t 3t 4t t
-a Bild 3.5a
Bild 3.5b
3.6. Mit Hilfe der Residuenmethode berechne man x(t) für a) X (s) =
s2 (s + 1)3
3.7. Gegeben ist X (s) =
s3
s−4 + s2 − 6s
Man bestimme x(t)
14
3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
b) X (s) =
s ! s2 − 16
Bild 3.5c
a) durch Partialbruchzerlegung, b) mit Hilfe der Residuenmethode! 3.8. Man bestimme x(t) durch inverse Laplace-Transformation für a a (τ > 0), a) X (s) = 2 1 − e −sτ − e −2sτ τs s b) X (s) =
s e −sτ s2 + 4
c) X (s) =
3s2 + 16s + 6 . (s + 3)(s2 + s − 6)
(τ > 0),
Stellen Sie x(t) für die Fälle a) und b) grafisch dar! 3.9. Man berechne die Lösung x(t) der Differenzialgleichung ˙ x(t) + 3x(t) = e 2t − 2 für t > 0 mit der Anfangsbedingung x(+0) = 0 mit Hilfe der Laplace-Transformation! 3.10. a) Für die in Bild 3.10 dargestellte lineare RLC-Schaltung mit der Eingabe x(t) = u(t) und der Ausgabe y(t) = uL (t) sind die Zustandsgleichungen mit uC(t) iL(t)
R z1 (t) = iL (t) z2 (t) = uC (t)
C L
u(t)
uL(t)
Bild 3.10 aufzustellen! b) Geben Sie die Systemmatrizen A, B, C und D an! c) Wie lautet die das System beschreibende Differenzialgleichung? 3.11. Für einen Gleichstrommotor mit Last (Eingabe: x(t) = u(t), Ausgabe: y(t) = α(t) (Drehwinkel)) sind die folgenden Differenzialgleichungen gegeben: ˙ + Ri(t) + K α(t) Li(t) ˙ = u(t) Θ¨ α(t) + %α(t) ˙ − Ki(t) = 0. Hierbei bezeichnen L Ankerinduktivität, Θ Trägheitsmoment, R Ankerwiderstand, % Reibungskoeffizient, i Ankerstrom, K Motorkonstante.
15
a) Man führe den Zustand z1 (t) α(t) ˙ z(t) = z2 (t) = α(t) z3 (t) i(t) ein und stelle das Zustandsgleichungssystem in Matrizenform auf! b) Man gebe eine Schaltung zur Realisierung der Zustandsgleichungen an!
3.12. Ein lineares zeitkontinuierliches System werde durch die Differenzialgleichung ˙ y¨ (t) + 5y(t) + 4y(t) = x(t) beschrieben. a) Stellen Sie die Zustandsgleichungen auf! Variante 1: Wählen Sie den in der Vorlesung gegebenen Ansatz (kanonische Realisierung)! ˙ Variante 2: Führen Sie z1 (t) = y(t) und z2 (t) = y(t) ein! b) Geben Sie eine Schaltung des Systems an! c) Wie lautet die Fundamentalmatrix im Bildbereich und im Zeitbereich? d) Wie lautet die Übertragungsfunktion? e) Wie lautet die Gewichtsfunktion (Impulsantwort)? f) Wie lautet y(t) für z1 (0) = z2 (0) = 0, falls x(t) = e −t 1(t) gilt?
3.13. Ein lineares System im Nullzustand (Bild 3.13) reagiert auf die Eingabe x(t) = A 1(t) mit der Ausgabe t
y(t) = A e − τ 1(t)
(τ > 0).
x(t)
z(0) = 0 Bild 3.13
Bestimmen Sie für dieses System a) die Übertragungsfunktion und deren Pol-Nullstellen-Plan, b) die Reaktion ye(t) auf die Eingabe xe(t) = at 1(t)!
16
3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
y(t)
3.14. Bestimmen Sie die Übertragungsfunktionen für folgende Systeme im Nullzustand, dargestellt in den Bildern 3.14a-c (Eingabe u1 , Ausgabe u2 ):
C1 R1
R
C R1
u1
u2
C
u1
Bild 3.14a
u2
C
R2
u1
C2
u2
R
R2
Bild 3.14b
Bild 3.14c
3.15. Berechnen Sie die Ausgangsspannung u2 (t) in Aufgabe 3.14 b) für u1 (t) = U0 e −at 1(t)
(a > 0)
a) allgemein, b) mit den Zahlenwerten U0 = 10 V, C = 1 µF, R = 1 MΩ, a = 1 s−1 !
3.16. a) Berechnen Sie die Spannung u2 (t) in der Schaltung Bild 3.16a, wenn die Spannung u1 (t) den in Bild 3.16b dargestellten Zeitverlauf hat und sich das System im Nullzustand befindet! b) Skizzieren Sie den in a) berechneten Zeitverlauf von u2 (t) qualitativ! c) Welche Spannung u2 (t) erhält man, wenn ( U1 sin ω1 t (t ≥ 0), u1 (t) = U1 sin ω1 t 1(t) = 0 (t < 0) gilt?
u1 (t )
R
U0 u1 (t )
L
u2 (t )
0 Bild 3.16a
t0
t
Bild 3.16b
17
3.17. Gegeben ist das in Bild 3.17 dargestellte RC-Netzwerk im Nullzustand. a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion G:
C
G(s) =
I(s) ! U(s)
R
R u( t )
i (t )
C
Bild 3.17 b) Bestimmen Sie den Strom i(t) für u(t) = U0 1(t) (Einschalten einer Gleichspannung U0 zur Zeit t = 0)!
3.18. Gegeben ist die in Bild 3.18 dargestellte Schaltung im Nullzustand mit
L ( ˆ 1 sin ω0 t U u1 (t) = 0
(t ≥ 0), (t < 0).
u1 (t )
R1
u2 (t ) R2
Bild 3.18 a) Bestimmen Sie u2 (t) für t ≥ 0 und geben Sie den stationären und den flüchtigen Vorgang an! b) Skizzieren Sie den Pol-Nullstellen-Plan der Übertragungsfunktion dieses Systems! c) Berechnen Sie den Amplituden- und den Phasenfrequenzgang dieses Systems! Stellen Sie Amplituden- und Phasenfrequenzgang qualitativ grafisch dar!
3.19. Für die in Bild 3.19 dargestellte Schaltung im Nullzustand bestimme man a) die Übertragungsfunktion, b) die Ausgangsspannung u2 (t) für u1 (t) = U0 1(t), c) den Amplitudenfrequenzgang A(ω), d) den Phasenfrequenzgang ϕ(ω). Zu b) bis d) sind Skizzen anzugeben!
18
3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
R
u1 (t )
C
C
u2 (t )
R Bild 3.19 3.20. Von einem linearen System im Nullzustand wurde die Sprungantwort t t y(t) = e − 2τ − e − τ 1(t) (τ > 0) (Reaktion des Systems auf x(t) = 1(t)) bestimmt. Berechnen Sie für dieses System: a) die Übertragungsfunktion, b) den Pol-Nullstellen-Plan der Übertragungsfunktion, c) die Gewichtsfunktion (Impulsantwort) mit Skizze, d) den Amplitudenfrequenzgang mit Skizze aus dem Pol-Nullstellen-Plan! 3.21. Gegeben sind die Polynome a) fa (s) = s3 + 2s2 + s + 3 b)
fb (s) = s4 + 3s3 + 5s2 + 4s + 2.
Man untersuche mit Hilfe des Routh- oder Hurwitz-Kriteriums, ob diese Polynome nur Nullstellen mit negativem Realteil haben! Überprüfen Sie das Ergebnis mit Hilfe des Ortskurvenkriteriums! 3.22. Ein Regelungssystem für die Spannungsregelung bei einem Drehstromgenerator habe die Übertragungsfunktion G: G(s) =
TR T1 T2
s3
1 . + TR (T1 + T2 )s2 + TR (1 + V )s + V
Wie groß ist V > 0 zu wählen, damit das System stabil bleibt? (TR > 0, T1 > 0, T2 > 0) Welches Ergebnis erhält man für das Zahlenbeispiel T1 = 0,5 s, T2 = 3 s, TR = 0,15 s?
3.23. Zerlegen Sie die Übertragungsfunktion G: G(s) =
(s + 1)(s − 2)(s − 3) = GA (s)GM (s) (s2 + 2s + 2)(s + 5)
so in zwei Faktoren, dass GA die Übertragungsfunktion eines Allpasses und GM die Übertragungsfunktion eines Mindestphasensystems ist!
19
3.24. Ein Gleichstromgenerator mit konstanter Erregung wird durch das Differenzialgleichungssystem ˙ Li(t) + Ri(t) = K ω(t) Θω(t) ˙ + Ki(t) = m(t) beschrieben. Hierbei bezeichnen L die Ankerinduktivität, R den Gesamtwiderstand im Ankerstromkreis, i den Ankerstrom, ω die Winkelgeschwindigkeit des Ankers, m das Antriebsmoment, Θ das Trägheitsmoment und K die Generatorkonstante. Außerdem gilt der Zusammenhang
R 2L
2 >
K2 . ΘL
a) Man stelle die Zustandsgleichungen in Matrizenform auf! Hinweis: i(t) und ω(t) bezeichnen den Zustand, das Antriebsmoment m(t) die Eingabe und der vom Generator erzeugte Strom i(t) die Ausgabe. b) Berechnen Sie die Fundamentalmatrix im Bildbereich und die Übertragungsfunktion! c) Was erhält man für den Strom I(s) im Bildbereich, wenn von der Zeit t = 0 an ein konstantes Antriebsmoment wirkt, d.h. m(t) = M0 1(t), unter Berücksichtigung des Anfangszustandes i(0) = I0 , ω(0) = ω0 ? d) Welcher Strom i(t) ergibt sich unter diesen Bedingungen? e) Für i(0) = 0 und ω(0) = 0 skizziere man qualitativ den Anlaufvorgang i(t) für t ≥ 0! f) Ist das System stabil? 3.25. Für die in Bild 3.10 (Aufgabe 3.10) dargestellte RLC-Reihenschaltung mit der Eingabe u(t) und der Ausgabe uL (t) erhält man die Zustandsgleichungen i˙L (t) = − RL iL (t) − u˙ C (t) =
1 u (t) L C
+
1 u(t) L
uC (t)
+ u(t)
1 i (t) C L
uL (t) = −RiL (t) −
(Lösung von Aufgabe 3.10a). Man setze R = 1 ˙, L = 0,5 H und C = 0,2 F und löse folgende Aufgaben mit normierten (dimensionslosen) physikalischen Größen und Zahlenwerten: a) Geben Sie die Matrizen A, B, C und D an! b) Man berechne die Fundamentalmatrix Φ(s) im Bildbereich und die Übertragungsfunktion und gebe die Eingabe-Ausgabe-Gleichung im Bildbereich an!
20
3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
c) Man berechne die Fundamentalmatrix ϕ(t) und gebe die Lösung der Zustandsgleichungen (Zustand und Ausgabe) im Zeitbereich an! Benutzen Sie dazu die Korrespondenzen
s2
1 + 2s + 10
s2
s + 2s + 10
1 −t e sin 3t 1(t); 3 1 −t cos 3t − sin 3t 1(t). e 3
d) Für u(t) = 0, iL (0) = 0 und uC (0) = 1V skizziere man qualitativ den freien Vorgang (Zustandstrajektorie und Ausgabe)!
3.26. Bestimmen Sie mit Hilfe der Korrespondenzentafel und den Rechenregeln die Fourier-Transformierten folgender Signale: 2
a) x(t) = e −(t/ τ )
(Gauß-Signal),
b) x(t) = si(ω0 t), ( e at t < 0 c) x(t) = 0 t>0
(a > 0)
α) unter Verwendung des Ähnlichkeitssatzes, β) unter Verwendung der Linearität und bekannter Korrespondenzen, d) x(t) = 1 α) unter Verwendung des Ähnlichkeitssatzes und bekannter Korrespondenzen, β) unter Verwendung des Vertauschungssatzes, e) x(t) = cos(ω0 t) unter Verwendung des Ergebnisses aus d) und des Frequenzverschiebungssatzes.
3.27. Für das in Bild 3.27 dargestellte zeitkontinuierliche Signal x bestimme man a) das komplexe Fourier-Spektrum X : Z∞ X (ω) = x(t) e −jωt dt,
x(t) a
−∞
b) das Amplitudenspektrum |X (ω)| und c) das Phasenspektrum arg X (ω)!
t
−τ / 2
τ/ 2 Bild 3.27
d) Man vergleiche die Ergebnisse mit denen aus Aufgabe 3.2!
21
3.28. Bestimmen Sie mit Hilfe der Korrespondenzentafel und den Rechenregeln die inverse Fourier-Transformierten folgender Signale: a) X (ω) = e −|ω| , 2
b) X (ω) = e −ω , c) X (ω) =
1 , ω2 + 1
d) X (ω) =
1 , (ω 2 + 1)2
e) X (ω) =
ω4
2 + 6ω 2 + 8
unter Verwendung der Partialbruchzerlegung.
3.29. 1 Mit Hilfe der Korrespondenzen 1(t) s 1 und t 1(t) bestimme man die 2 s Laplace-Transformierte für das in Bild 3.29 dargestellte Signal x. Setzen Sie s = jω und vergleichen Sie dies mit dem Ergebnis von Aufgabe 3.2 a).
x (t )
a
0
t
t
Bild 3.29
3.30. Gegeben ist die Schaltung in Bild 3.30.
u1(t)
R u1(t)
C
u2(t)
U0
0
t
Bild 3.30 Die Eingangsspannung u1 (t) liegt über einer Reihenschaltung aus Widerstand und (ungeladenem) Kondensator (RC-Glied) an. Die Kondensatorspannung ist das Ausgangssignal. Die konstante Eingangsspannung u1 wird zum Zeitpunkt t = 0 eingeschaltet (Sprungsignal). a) Zeichnen Sie qualitativ das zugehörige Ausgangssignal (die Sprungantwort des RCGliedes) - ohne zu rechnen (Annahme: ungeladener Kondensator zum Zeitpunkt t = 0). b) Geben Sie die Übertragungsfunktion des Systems an! K ist die Übertragungsfunktion eines in der Automatisierungs- und 1 + Ts Regelungs-technik so genannten PT1-Gliedes. Geben Sie die Sprungantwort (Antwort des PT1-Gliedes auf das Sprungsignal 1(t)) an.
c) G(s) =
22
3 Lineare zeitkontinuierliche Systeme
d) Zeichnen Sie die Sprungantwort aus c) qualitativ und vergleichen Sie mit a). e) Interpretieren Sie den Spruch eines Automatisierungstechnikers „Die Welt ist voller PT1-Glieder“.
4
ZEITDISKRETE SIGNALE UND SYSTEME
4.1. Gegeben ist das zeitdiskrete Signal x: k ∈ {1, 2, 3} k 6 − k k ∈ {4, 5, 6} x(k) = 0 sonst. Skizzieren Sie x(k) und geben Sie für folgende Signale y einen analytischen Ausdruck und eine Skizze an: a) y = S 4 (x) :
y(k) = x(k − 4)
(Translation)
b) y = ∆x :
y(k) = x(k + 1) − x(k)
(Vorwärtsdifferenz)
c) y = ∇x :
y(k) = x(k) − x(k − 1)
(Rückwärtsdifferenz)
4.2. a) Gegeben sind die im Bild 4.2 dargestellten zeitdiskreten Signale x1 und x2 :
4
x1(k)
4
2
0
x2(k)
2
1
2 1
3
-2
k
0
2
3
4
k
-2 Bild 4.2
Geben Sie das Signal y = x1 ∗ x2 an! b) Für das zeitdiskrete Signal x mit ( 1 k ∈ {0, 1, 2, 3, 4} x(k) = 0 sonst bestimme man y = x ∗ x! Man stelle x(k) und y(k) grafisch dar!
23
c) Man falte ein beliebiges zeitdiskretes Signal x mit dem Impulssignal δ und diskutiere das Ergebnis! ( 1 k=0 Es gilt: δ(k) = 0 sonst. 4.3. Gegeben seien zwei zeitdiskrete Signale x1 und x2 mit x1 (k) = x2 (k) = 0 für k < 0. Man zeige die Gültigkeit der Regel ∇(x1 ∗ x2 ) = (∇x1 ) ∗ x2 ! (Das Symbol ∇ bezeichnet die Rückwärtsdifferenz). 4.4. Man zeichne ein aus Elementarsystemen aufgebautes statisches System auf, das die Alphabetabbildung 2 X 2 X Φ : R2 → R, y(k) = Φ(x1 (k), x2 (k)) = aij x1 i (k)x2 j (k) (aij ∈ R) i=1 j=1
realisiert! 4.5. Gegeben ist die lineare Differenzengleichung 1 3 y(k + 2) + y(k + 1) + y(k) = 0. 2 2 a) Bestimmen Sie mit Hilfe des Ansatzes y(k) = λk die allgemeine Lösung y(k) = C1 λ1 k + C2 λ2 k ! b) Bestimmen Sie die Konstanten C1 und C2 für die Anfangsbedingungen y(0) = 9 und y(1) = 6! 4.6. Ein Guthaben (Startkapital K ) wird mit einem Zinssatz von q · 100% im Jahr angelegt. Am Ende eines jeden Jahres werden die Zinsen gutgeschrieben und ein konstanter Betrag x entnommen. a) Man stelle eine Differenzengleichung für die Entwicklung des Guthabens auf und diskutiere deren Lösung! b) Wieviel kann jährlich entnommen werden, wenn das Guthaben am Ende des N-ten Jahres aufgebraucht sein soll? Zahlenbeispiel: K = 10000 =C; q = 0,06; N = 10 Jahre. Hinweis: Man setze z(0) = K z(1) .. . z(k)
(Guthaben am Anfang des 1. Jahres) (Guthaben am Ende des 1. Jahres) (Guthaben am Ende des k-ten Jahres).
4.7. Die Zustandsgleichungen eines nichtlinearen dynamischen zeitdiskreten Systems sind wie folgt gegeben: z(k + 1) = x(k) − µz 2 (k) y(k) = z(k).
24
4 Zeitdiskrete Signale und Systeme
Bestimmen Sie für x(k) = 1 (k ∈ {0, 1, 2, . . . }) und z(0) = 0,2 die Ausgabe y(k) für k ∈ {0, 1, 2, . . . , 20}, wenn a) µ = 0,5 b) µ = 0,9 c) µ = 2 gilt! Diskutieren Sie das Ergebnis! 4.8. Ein invertierendes Switched-Capacitor-Filter (SC-Filter) 1. Ordnung (Bild 4.8) mit dem Eingangssignal x(k) = ue (k) und dem Ausgangssignal y(k) = ua (k) wird (näherungsweise) durch folgende Differenzengleichung beschrieben:
ua (k + 1) = ua (k) −
CS ue (k). C
S ue (k)
fS CS
C +
ua (k)
Bild 4.8 Dies gilt insbesondere, solange der beteiligte Operationsverstärker (OPV) nicht in die Sättigung (|ua | < Us ) gerät. Zur Zeit k = 0 werde ein Gleichspannungssignal ue (k) = U1 , k ≥ 0, 0 < U1 Us angelegt. Es sei ua (0) = 0. a) Ermitteln Sie das Ausgangssignal ua (k), k ≥ 0 unter der theoretischen Annahme, dass obige lineare Gleichung unbeschränkt gelte (d.h. ohne Berücksichtigung der Sättigung)! b) Geben Sie für das reale Verhalten (mit Berücksichtigung der Sättigung) die maximal mögliche Dauer eines Gleichspannungspulses (Zahl von Taktzyklen) an, ohne dass der OPV in die Sättigung gerät!
5
LINEARE ZEITDISKRETE SYSTEME
5.1. Mit Hilfe der Summenformel für die geometrische Reihe 1 + q + q2 + q3 + · · · =
1 1−q
(|q| < 1)
bestimme man die Z-Transformierten folgender zeitdiskreter Signale x: ( ( 2k k = 0, 1, 2, . . . e ak k = 0, 1, 2, . . . a) x(k) = b) x(k) = 0 sonst 0 sonst ( ( k 3 k = 0, 2, 4, . . . 2 3 k = 0, 3, 6, . . . c) x(k) = d) x(k) = 0 sonst 0 sonst 0 k < 0 ∨ k = 0, 3, 6, . . . e) x(k) = 1 k = 1, 4, 7, . . . 2 k = 2, 5, 8, . . . f) unter den Voraussetzungen, dass x aus einem auf m Takte zeitbegrenzten Signal x0 periodisch fortgesetzt wird und ∀k<0 x(k) = x0 (k) = 0 sei, d. h. mit m, n ∈ N: ∀k=0,1,2,...,m−1 x(k + n · m) = x0 (k) gilt.
25
5.2. Man bestimme mit Hilfe der Korrespondenz aus der Aufgabe 5.1 für das Signal x mit x(k) = e ak die Z-Transformierten folgender Signale x: a) x(k) = sin Ωk 1(k) b) x(k) = cosh Ωk 1(k) c) x(k) = cos(Ωk − ϕ) 1(k)! 5.3. Berechnen Sie durch inverse Z-Transformation x(k) für 2z X (z) = 2 2z − 3z + 1 a) mittels Polynomdivision (für k = 0, 1, 2, 3, 4), b) mit Hilfe der Rekursionsformel (für k = 0, 1, 2, 3, 4), c) mit Hilfe der Residuenmethode (für beliebige k = 0, 1, 2, . . . )! 5.4. Die Z-Transformierte eines zeitdiskreten Signals x sei durch z 2 + 4z + 5 X (z) = 2 z + 2z + 1 gegeben. Geben Sie allgemein x(k) für beliebige k = 0, 1, 2, . . . und speziell die Signalwerte x(0) und x(50) an! 5.5. Mit Hilfe der Z-Transformation löse man die Differenzengleichung 6y(k + 2) + 5y(k + 1) + y(k) = cos kπ mit den Anfangsbedingungen y(0) = 0 und y(1) = 0! 5.6. a) Die Z-Transformierte eines diskreten Signals x sei durch X (z) gegeben. Zeigen Sie, dass der Dämpfungssatz gilt: z k a x(k) X ! a b) Bestimmen Sie mit Hilfe der Korrespondenzen aus den Aufgaben 5.1 und 5.2 die Z-Transformierten der durch x(k) = ak e ak 1(k) β) x(k) = 5k 2 − 3 ak 1(k) ∗ ) √ 1 γ) x(k) = ak cos Ωk + 3 sin Ωk 1(k) 2 gegebenen zeitdiskreten Signale x! α)
∗)
26
Nutzen Sie die Korrespondenzentafel zur Z-Transformation von x1 mit x1 (k) = k 2 1(k)!
5 Lineare zeitdiskrete Systeme
5.7. Bestimmen Sie mit Hilfe der Residuenmethode die Signalwerte x(k) (k = 0, 1, 2, . . .) für z2 − z X (z) = 2 z − 2z + 5 und kontrollieren Sie die Lösung, indem Sie x(0), x(1), x(2), x(3) und x(4) durch Polynomdivision berechnen! 5.8. Mit Hilfe der Regel d kx(k) −z X (z) dz und der Korrespondenz ( 1 k = 0, 1, 2, . . . 1(k) = 0 sonst
z z −1
1(k)
bestimme man die Z-Transformierten für folgende Signale x: b) x(k) = k 2 1(k)
a) x(k) = k 1(k)
c) x(k) = k 3 1(k)!
5.9. Am Ausgang eines linearen zeitdiskreten Systems (Bild 5.9) erhält man 2 für k = 0 z(0) = 0 x(k) y(k) y(k) = 1 für k = 1 0 sonst, Bild 5.9 wenn das System im Nullzustand am Eingang durch x(k) = 1(k) (Sprungsignal) erregt wird. Wie lautet die Gewichtsfolge dieses Systems? 5.10. Gegeben ist die in Bild 5.10 dargestellte Schaltung eines zeitdiskreten linearen Systems.
x(k)
S1
z1 (0)
S2
0,25
+
y(k)
z2 (0) Bild 5.10
a) Stellen Sie die Zustandsgleichungen auf! b) Geben Sie die Systemmatrizen A, B, C und D an! c) Bestimmen Sie die Gewichtsfolge g(k)! d) Bestimmen Sie die Ausgabe y(k) für k ≥ 0, wenn z1 (0) = z2 (0) = 0 und
27
( 1 für k = 0, 1, 2, 3, 4 x(k) = 0 sonst gilt!
5.11. Für das in Bild 5.11 dargestellte lineare zeitdiskrete System im Nullzustand (z1 (0) = 0 und z2 (0) = 0) bestimme man a) die Zustandsgleichungen, b) die Systemmatrizen A, B, C, D, c) die Fundamentalmatrix im Bild- und Zeitbereich, d) die Übertragungsfunktion, e) die Gewichtsfolge, ( 1 f) die Ausgabe y(k) für x(k) = 1(k) = 0
x(k)
3
+
für k = 0, 1, 2, . . . sonst.
S2
4
+
y(k)
0,5
2
+
S1
5
0,2 Bild 5.11
5.12. Ein zeitdiskretes Glättungsfilter soll im Zeitpunkt k am Ausgang den Mittelwert aus dem aktuellen und den beiden vorhergegangenen Eingangssignalwerten bilden. a) Wie lautet die Differenzengleichung? b) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion! c) Geben Sie eine Schaltung des Filters an!
28
5 Lineare zeitdiskrete Systeme
d) Lesen Sie aus der Schaltung die Zustandsgleichungen des Filters ab und geben Sie die Systemmatrizen A, B, C und D an! e) Berechnen Sie aus den Systemmatrizen die Übertragungsfunktion und vergleichen Sie das Ergebnis mit der Lösung von b)! f) Bestimmen Sie die Impulsantwort des Systems und zeigen Sie, dass es sich um ein Filter mit endlicher Impulsantwort (FIR-Filter) handelt!
5.13. Für das in Bild 5.13 dargestellte lineare zeitdiskrete System im Nullzustand (d.h. es gilt z1 (0) = 0, z2 (0) = 0) bestimme man a) die Zustandsgleichungen, b) die Übertragungsfunktion, c) die Differenzengleichung!
x(k) -2,5
+
+
S2
-0,5
S1
+
-1 y(k) Bild 5.13
5.14. Ein lineares zeitdiskretes System im Nullzustand soll auf die Eingabe x: x(k) = 3 1 + (−1)k 1(k) mit der Ausgabe y: y(k) = 8 (−1)k − (0,5)k+2 1(k) reagieren. a) Wie lautet die Übertragungsfunktion? b) Wie lautet die Differenzengleichung? c) Geben Sie eine Realisierung des Systems an!
29
d) Lesen Sie aus der Realisierung die Zustandsgleichungen ab und zeigen Sie, dass das System wirklich die in a) erhaltene Übertragungsfunktion hat!
5.15. Gegeben ist die in Bild 5.15 dargestellte Schaltung eines zeitdiskreten linearen Systems im Nullzustand (z1 (0) = 0, z2 (0) = 0). (Vgl. Aufgabe 5.10).
x(k)
S1
z1 (0)
S2
0,25
+
y(k)
z2 (0) Bild 5.15
a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion aus der Differenzengleichung! b) Berechnen und skizzieren Sie die Ortskurve des Frequenzganges G e jΩ ! c) Bestimmen Sie den Amplitudenfrequenzgang! (Skizze!) d) Bestimmen Sie den Phasenfrequenzgang! (Skizze!) e) Geben Sie das Ausgabesignal an, das man nach hinreichend langer Zeit (k → ∞) am Ausgang erhält, falls am Eingang π π k− (k = 0, 1, 2, . . . ) x(k) = 5 cos 6 4 eingegeben wird! (Gesucht ist also das stationäre Ausgabesignal!)
5.16. Gegeben sind die folgenden Übertragungsfunktionen G linearer zeitdiskreter Systeme: a) G(z) =
z2 + 1 z 2 + z + 0,5
b) G(z) =
z2 + 1 z 2 − z + 0,5
c) G(z) =
z 2 + z + 0,25 z2
d) G(z) =
z2 + 1 z2
30
5 Lineare zeitdiskrete Systeme
Zeichnen Sie die Pol-Nullstellen-Pläne von G(z) und stellen Sie durch Berechnung der jΩ Amplitudenfrequenzgänge A(Ω) = G e fest, welche Filtercharakteristiken die Systeme haben (Tiefpass, Hochpass, Bandpass, Bandsperre)! 5.17. Gesucht ist die Schaltung eines Bandpasses, der ein zeitdiskretes sinusförmiges Eingabesignal mit einer Frequenz f = 8 kHz ungedämpft hindurchlässt und bei den Frequenzen 0 kHz und 16 kHz ideal sperrt. Die Abtastfrequenz beträgt fA = 32 kHz. a) Zeigen Sie, dass ein System mit der Übertragungsfunktion G: G(z) =
z2 − 1 8z 2 + 10
hinsichtlich seines Amplitudenfrequenzganges diese Forderungen erfüllt! b) Weshalb ist das System trotzdem ungeeignet? c) Wie könnte man das System „brauchbar“ machen, ohne den Amplitudenfrequenzgang zu verändern? d) Geben Sie eine geeignete Schaltung an!
5.18. Gegeben ist das in Bild 5.18 dargestellte lineare zeitdiskrete System im Nullzustand (Digitalfilter) a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion! b) Berechnen Sie A(Ω) und ϕ(Ω) (Skizze für V = 1 und V = 2)! c) Wie groß muss die Verstärkung V gewählt werden, damit das Filter ein zeitdiskretes sinusförmiges Signal mit der Frequenz f = 50 Hz ideal sperrt (Netzfilter)? Die Abtastfrequenz sei fA = 400 Hz. d) Wie groß ist die Dämpfung des Filters gemäß c) für ein zeitdiskretes Signal mit f = 60 Hz (USA-Netz)?
x(k)
S1
S2
-V
+
y(k)
Bild 5.18
31
5.19. Gegeben ist die Übertragungsfunktion G: G(z) =
z2 − 1 2z 2
eines zeitdiskreten linearen Systems. Man berechne und skizziere das Dämpfungsund Phasenmaß! Handelt es sich um ein linearphasiges System? 5.20. Es ist ein Generator für die Erzeugung eines sinusförmigen zeitdiskreten Signals y: √ (k = 0, 1, 2, . . . ) y(k) = 2 sin π4 k zu entwerfen. Das System soll im Nullzustand bei Eingabe von x(k) = 1(k) (Sprungsignal) am Eingang mit dem oben angegebenen Signal y am Ausgang reagieren. a) Bestimmen Sie die Übertragungsfunktion dieses Systems! b) Geben Sie eine Schaltung für dieses System an! c) Wie lauten die Zustandsgleichungen? d) Geben Sie die Matrizen A, B, C und D aus den Zustandsgleichungen an! e) Könnten beim Aufbau dieses Systems Stabilitätsprobleme auftreten? (Begründung) 5.21. Gegeben sei das Eingangssignal x(k) = 1 für eine 4-Punkte-DFT. a) Welche Koeffizienten X (n) haben die größten Werte? b) Was ändert sich in a) für das Eingangssignal x(k) = (−1)k ?
5.22. Angenommen, Ihnen liegt ein 1025-Punkte-Signal vor. Sie sollen mittels zerofilling für dieses Signal eine FFT (Basis 2-Verfahren) berechnen. a) Wie lang ist die kürzeste FFT zur Behandlung der 1025 Punkte? b) Wieviel komplexe Operationen (Multiplikationen und Additionen) sind für die FFT nach a) erforderlich? c) Wieviel komplexe Operationen wären für eine „konventionelle“ 1025-Punkte-DFT erforderlich?
5.23. Es soll eine 16-Punkte-FFT (Basis 2-Verfahren) realisiert werden. a) Ermitteln Sie die dabei in den grundlegenden 2-Punkte-DFT-Operationen (Butterfly) zu verarbeitenden Wertepaare (Indexkombinationen)! b) Stellen Sie die Indexfolge aus a) in Binärdarstellung der „natürlichen“ Indexfolge gegenüber!
32
5 Lineare zeitdiskrete Systeme
5.24. Die Fourier-Transformierte X eines zeitdiskreten Signals x lautet X = (1, 2, 0, 2, 0, 1). a) Bestimmen Sie die Signalwerte x(k) mittels inverser DFT x(k) = IDFTN (X (n)) mit N = 6! b) Wie müsste die Fourier-Transformierte X geändert werden, um reellwertige Signalwerte zu erhalten? c) Bestimmen Sie die Signalwerte für X = (1, 2, 0, 1, 0, 2)! Hinweis: Schreiben Sie ein eignes Programm (z. B. Python) oder rechnen Sie schriftlich und nutzen Sie: √ √ 3 3 1 1 j π3 j 2π e =+ + j e 3 =− + j 2 2 √2 √2 5π 4π 3 3 1 1 ej3 =+ − j ej3 =− − j 2 2 2 2
6
STATISCHE DIGITALE SYSTEME (KOMBINATORISCHE AUTOMATEN)
6.1. Es ist ein kombinatorischer Automat zu entwerfen, mit dessen Hilfe zwei zweistellige Dualzahlen a = (a1 , a2 )
und b = (b1 , b2 )
(a1 , a2 , b1 , b2 ∈ {0, 1})
miteinander verglichen werden können. Am Ausgang des Automaten soll y = 1 auftreten, falls die Dualzahlen gleich sind, andernfalls soll y = 0 sein. Man gebe eine Gatterschaltung unter Verwendung beliebiger Gatter mit zwei Eingängen an! 6.2. Die Beleuchtung eines Raumes mit Hilfe von drei Lampen L1 , L2 und L3 soll durch ein statisches digitales System (einen kombinatorischen Automaten) mit zwei Eingangsgrößen x1 und x2 gesteuert werden (siehe Bild 6.2). y1 L1 Es gilt für die Ausgänge y1 , y2 , y3 : x1 F y2 yi = 1 Lampe Li leuchtet, L2 y3 x 2 yi = 0 Lampe Li leuchtet nicht L3 (i ∈ {1, 2, 3}). Bild 6.2 Folgende Bedingungen sind zu realisieren: 1. L1 soll leuchten, falls x1 = 1 und x2 = 0 ist; 2. L2 soll leuchten, falls x1 = 1 oder x2 = 0 ist, jedoch nur dann, wenn L1 nicht leuchtet; 3. L3 soll leuchten, wenn weder L1 noch L2 leuchten.
33
a) Geben Sie das Eingabe- und Ausgabealphabet an! b) Geben Sie eine Gatterschaltung zur Realisierung der Alphabetabbildung Φ an! 6.3. Gesucht ist eine Gatterschaltung mit 4 Eingängen und einem Ausgang (Bild 6.3) mit folgender Eigenschaft: Ist die Eingangsbelegung (i1 , i2 , i3 , i4 ) die Binärdarstellung einer Primzahl i, so soll am Ausgang y = 1 gelten, andernfalls y = 0. (Die Zahl 1 soll hier mit zu den Primzahlen gezählt werden).
x1
a) Stellen Sie die Schaltfunktion f : B4 → B, y = f (x1 , x2 , x3 , x4 ) durch eine Wertetabelle dar!
x2 f
b) Vereinfachen Sie die Schaltfunktion f mit Hilfe einer Karnaugh-Tafel!
x3
c) Zeichnen Sie die zugehörige Gatterschaltung!
x4
y
Bild 6.3
6.4. Ein kombinatorischer Automat (siehe Bild 6.4) soll folgende Bedingungen realisieren: x1(k) x2 (k), falls x1 (k) = x3 (k) x2(k) y(k) F 1, falls x1 (k) ∨ x2 (k) ∨ x3 (k) = 0 y(k) = x ( k ) 3 0, falls x1 (k)x2 (k) x3 (k) = 1 x3 (k), falls x1 (k) = x2 (k) Bild 6.4 a) Geben Sie y(k) = Φ(x1 (k), x2 (k), x3 (k)) an! b) Zeichnen Sie eine Gatterschaltung zur Realisierung von Φ! c) Welches Ausgabewort y erhält man bei Eingabe von x1 = (1, 0, 0, 1), x2 = (0, 1, 0, 0) und x3 = (0, 0, 1, 0)? 6.5. Die Wirkungsweise des im Bild 6.5 dargestellten Multiplexers ist folgende: Je nach Belegung der Adresseingänge (a0 und a1 ) sollen die Informationseingänge xi (mit i = 0, 1, 2, 3) zum Ausgang y durchgeschaltet werden, und zwar so, dass gilt: a0 ( k )
a1 ( k ) x0 (k), x1 (k), y(k) = x 2 (k), x3 (k),
falls falls falls falls
a0 (k) = 0 a0 (k) = 0 a0 (k) = 1 a0 (k) = 1
und und und und
a1 (k) = 0 a1 (k) = 1 a1 (k) = 0 a1 (k) = 1.
x0 ( k ) x1 ( k )
Multiplexer
x2 ( k ) x3 ( k ) Bild 6.5
Geben Sie eine Gatterschaltung des Multiplexers an!
34
6 Statische digitale Systeme (Kombinatorische Automaten)
y( k )
7
DYNAMISCHE DIGITALE SYSTEME (SEQUENTIELLE AUTOMATEN)
7.1. Ein JK-Flipflop (siehe Bild 7.1) ist durch zwei Zustände (Z = {0, 1}) gekennzeichnet, und es gilt: z(k), 0, z(k + 1) = 1, z(k),
falls falls falls falls
xJ (k) = 0 xJ (k) = 0 xJ (k) = 1 xJ (k) = 1
xJ ( k )
und und und und
xK (k) = 0, xK (k) = 1, xK (k) = 0, xK (k) = 1.
y1 ( k )
JK-Flipflop y2 ( k )
xK ( k ) Bild 7.1 Am Ausgang gilt y1 (k) = z(k) und y2 (k) = z(k). a) Stellen Sie die Zustandsgleichungen auf! b) Geben Sie eine Gatterschaltung an! c) Stellen Sie die Automatentabellen auf! d) Zeichnen Sie den Automatengraphen!
7.2. Zur Addition von zwei Dualzahlen x1 und x2 beliebiger (endlicher) Länge ist ein serielles Addierglied zu entwerfen. Der Automat soll zwei Eingänge zur Eingabe der beiden zu addierenden Dualzahlen und einen Ausgang zur Ausgabe der Summe y haben. Hinweis: Der Zustand des Automaten im Takt k + 1 ergibt sich aus dem Übertrag der Addition im Takt k. a) Geben Sie eine Wertetabelle der Überführungs- und der Ergebnisfunktion an! b) Zeichnen Sie den Automatengraphen! c) Wie lauten die Zustandsgleichungen? d) Skizzieren Sie die zugehörige Gatterschaltung!
35
7.3. Man gebe die Automatentabellen und die Zustandsgleichungen des Automaten an, der durch den im Bild 7.3 dargestellten Automatengraphen beschrieben wird!
3/2 2/2 0/0
1/0
2/0
1
0
0/1
12 3/2
Bild 7.3 7.4. Es ist ein sequentieller Automat anzugeben, welcher bei Eingabe von x = (0, 0, . . . , 0) am Ausgang die 0–1–Folge y = (0, 1, 0, 1, . . . , 0, 1) liefert. Geben Sie eine Gatterschaltung mit den zugehörigen Zustandsgleichungen und dem erforderlichen Anfangszustand an! 7.5. a) Bestimmen Sie in der Schaltung von Bild 7.5 das Ausgabewort y bei Eingabe von x = (0, 0, 0, 1, 0, 0, 0), wenn sich das System im Anfangszustand z(0) = 0 befindet! b) Lässt sich die Schaltung durch Einsparung von Gattern vereinfachen? Gegebenenfalls zeichne man die vereinfachte Schaltung! c) Es ist eine möglichst einfache äquivalente Schaltung anzugeben, die außer dem Speicher nur NOR-Gatter enthält!
S
>1 y(k)
& x(k) Bild 7.5
7.6. Von einem binären Mealy-Automaten sind die folgenden Zustandsgleichungen bekannt: z1 (k + 1) = z1 (k)z2 (k) ∨ x(k) z2 (k + 1) = z1 (k) y(k) = z1 (k) ∨ z2 (k)x(k) Man gebe die zugehörigen Automatentabellen, den Automatengraphen und eine realisierende Schaltung an!
36
7 Dynamische digitale Systeme (Sequentielle Automaten)
7.7. a) Für die im Bild 7.7 dargestellte Schaltung gebe man die Zustandsgleichungen an! b) Geben Sie das Ausgabewort y für alle möglichen Anfangszustände bei Eingabe von x1 (1, 0, 1) x= = x2 (0, 0, 1) an!
x1(k)
& S1 & y(k)
>1 x2(k)
S2 Bild 7.7
7.8. Das Verhalten einer Mausefalle ist durch ein Automatenmodell zu beschreiben! Man verwende folgende Alphabete: 0 Maus geht nicht in die Falle, X = 1 Maus geht in die Falle; 0 Maus bleibt frei, Y = 1 Maus ist gefangen; 0 Feder der Falle ist nicht gespannt, Z= 1 Feder der Falle ist gespannt. a) Geben Sie den Automatengraphen und die Automatentabellen an! b) Geben Sie die Zustandsgleichungen an! c) Man zeichne die zugehörige Gatterschaltung („elektronisches Modell“ der Mausefalle)!
37
8
STOCHASTISCHE SIGNALE
8.1. Die Beleuchtung eines Raumes erfolgt durch zwei in Reihe geschaltete Glühlampen L1 und L2 , die unabhängig voneinander mit den Wahrscheinlichkeaiten p1 bzw. p2 ausfallen (Durchbrennen des Glühfadens). Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt die Raumbeleuchtung aus? I 8.2. In einem Stromkreis (siehe Bild 8.2) befinden sich vier Widerstände, die mit den Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 , p3 und p4 unabhängig voneinander durchbrennen (d. h., Ri → ∞, i ∈ {1, 2, 3, 4}). Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Gesamtstrom I unterbrochen wird!
R1
R2 R3 R4 Bild 8.2
8.3. Zwei Schützen schießen auf eine Scheibe. Die Trefferwahrscheinlichkeit beträgt für den ersten Schützen 0,8 und für den zweiten Schützen 0,9. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Scheibe getroffen? 8.4. Über einen gestörten Kanal werden kodierte Steuerkommandos vom Typ 111 und 000 übertragen, wobei der erste Typ mit der Wahrscheinlichkeit 0,7 und der zweite Typ mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 gesendet wird. Jedes Zeichen (0 oder 1) wird mit der Wahrscheinlichkeit 0,8 richtig übertragen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Signal 101 empfangen wird? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass α)
111,
β)
000
gesendet wurde, falls 101 empfangen wird? 8.5. Gegeben ist eine Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion FX : ξ ≤ −1, 0 2 FX (ξ) = 1 − ξ −1 < ξ ≤ 0, 1 ξ > 0.
a) Man berechne und skizziere die Dichtefunktion fX ! b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert kleiner als − 21 an? c) Man berechne P − 13 ≤ X < 2 mit Hilfe α)
38
der Verteilungsfunktion,
8 Stochastische Signale
β)
der Dichtefunktion!
8.6. Man berechne den Erwartungswert E(X ), den quadratischen Mittelwert E(X 2 ) und die Varianz Var(X ) a) für eine diskrete Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion FX gemäß Bild 8.6a, b) für eine stetige Zufallsgröße X mit der Verteilungsfunktion FX : 0 ξ ≤ 0, FX (ξ) = ξ 2 0 < ξ ≤ 1, 1 ξ>1 gemäß Bild 8.6b! FX (ξ)
FX (ξ)
1 0,9
1
0,4 0,3
ξ -1
0
1
2 3 Bild 8.6a
4
1
0
ξ
Bild 8.6b
8.7. Bei einem elektronischen System sei die Lebensdauer (gerechnet vom Zeitpunkt der Inbetriebnahme bis zum Ausfallzeitpunkt) eine Zufallsgröße X mit der Dichte fX : ( a e −ax x ≥ 0 (a > 0) fX (x) = 0 x < 0. Die mittlere Lebensdauer betrage 10 Jahre. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass a) das System mindestens 3 Jahre zuverlässig arbeitet, b) das System mindestens weitere 2 Jahre zuverlässig arbeitet, wenn bekannt ist, dass es bereits 3 Jahre zuverlässig gearbeitet hat! 8.8. Die Lebensdauer eines bestimmten Bauelementes kann durch eine Zufallsgröße X mit der Dichtefunktion fX : ( λ2 x e −λx x > 0 fX (x) = (λ = 0,25/ Jahr) 0 x≤0 näherungsweise beschrieben werden.
39
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Bauelement innerhalb von 6 Jahren nicht ausfällt? b) Ein Gerät enthalte 4 Bauelemente dieser Art, deren Ausfall unabhängig voneinander erfolgt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Gerät innerhalb von 6 Jahren nicht ausfällt? 8.9. Eine Lieferung von elektronischen Bauelementen enthalte 5% Ausschuss (defekte Bauelemente). Wieviel Bauelemente muss eine Stichprobe mindestens enthalten (d. h., wieviel Bauelemente müssen mindestens geprüft werden), damit in ihr mit einer Wahrscheinlichkeit nicht kleiner als 0,9 wenigstens ein defektes Bauelement enthalten ist? 8.10. Ein zufälliger Vektor X = (X1 , X2 ) ist in einem Rechteck B1 (Bild 8.10) gleichverteilt, d. h. für die Dichte gilt x2 B2 b ( 1 B1 (x1 , x2 ) ∈ B1 (a > b > 0). fX (x1 , x2 ) = ab 0 (x1 , x2 ) ∈ / B1 x1 0 b a Bild 8.10 a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit nimmt X einen Wert aus dem Viertelkreisgebiet B2 an? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X1 einen Wert größer als b annimmt (X2 beliebig)? 8.11. Der zufällige Vektor X = (X1 , X2 ) habe die Verteilungsfunktion FX . x2 b2 Man berechne (ausgedrückt durch B2 die Werte von FX ) B1 a) P{X ∈ B1 }, b) P{X ∈ B1 | X ∈ B2 }! (Vgl. Bild 8.11).
b1 0
a1 a2 Bild 8.11
x1
8.12. Bei einer telegrafischen Nachrichtenübertragung wird 1% aller Buchstaben fehlerhaft empfangen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem Text von 200 Buchstaben
40
8 Stochastische Signale
a) kein b) höchstens ein Fehler enthalten ist? 8.13. Ein zufälliger Vektor X = (X1 , X2 ) sei in einem Rechteck B gleichverteilt, d. h., dass fX (x1 , x2 ) konstant für (x1 , x2 ) ∈ B ist. (Siehe Bild 8.13.) x2
a) Geben Sie die Dichte fX an! b) Berechnen und skizzieren Sie die Randdichten fX1 und fX2 !
1 B
c) Berechnen Sie P{X1 ≥ 1}! d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X2 einen Wert annimmt, der größer als der Wert von X1 ist!
0
1
2 Bild 8.13
x1
3
8.14. Ein zufälliger Vektor X = (X1 , X2 ) ist in einem Rechteck B verteilt mit der Dichte fX : x2 ( π x1 (x1 , x2 ) ∈ B, fX (x1 , x2 ) = π B 0 (x1 , x2 ) ∈ / B. a) Man berechne fX1 (x1 | x2 ) und fX2 (x2 | x1 ) und untersuche, ob X1 und X2 aus X unabhängig sind! b) Man berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X1 einen Wert kleiner als 0,5 annimmt!
0
1
x1
−π Bild 8.14
8.15. Ein zufälliger Vektor X = (X1 , X2 , X3 ) ist im Innern der Kugel x1 2 + x2 2 + x3 2 ≤ R 2 gleichverteilt, d. h., X hat im Innern der Kugel eine konstante Dichte. Wie lautet die Dichtefunktion? 8.16. Gegeben seien drei unabhängige Zufallsgrößen X1 , X2 und X3 mit E(Xi ) = 0 und Var(Xi ) = σi 2 (i ∈ {1, 2, 3}). a) Bestimmen Sie Var(Y ) für Y = a1 X1 + a2 X2 + a3 X3
(ai ∈ R)!
b) Geben Sie speziell Var(X1 + X2 ) und Var(X1 − X2 ) an! 8.17. Gegeben ist der zufällige Prozess X = (Xt )t∈T mit Xt = X (t) = X1 sin(ω0 t − X2 ), worin X1 und X2 im Intervall (0, 2π] gleichverteilte Zufallsgrößen bezeichnen. Geben Sie einige Realisierungen von X an und veranschaulichen Sie diese grafisch!
41
8.18. Über einem Ohmschen Widerstand R liegt eine Rauschspannung, die durch einen stationären zufälligen Prozess X mit der Dichtefunktion fX : |x| 1 exp − (a > 0) fX (x, t) = 2a a beschrieben werden kann. Man berechne (für eine feste Zeit t) a) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Spannung einen festen Wert a0 > 0 überschreitet; b) den Erwartungswert der Spannung; c) den Erwartungswert der Leistung an R! d) Was erhält man mit den Zahlenwerten a = 1 V, a0 = 2 V und R = 3 ˙? Z e cx Hinweis zu b): x e cx dx = 2 (cx − 1) + C c Z e cx 2 cx x e dx = 3 (x 2 c 2 − 2cx + 2) + C Hinweis zu c): c 8.19. In der Schaltung Bild 8.19, die durch eine Rauschspannungsquelle und eine Rauschstromquelle erregt wird, ist der Strom in R2 durch den zufälligen Prozess R1 I2 =
U − IR1 R1 + R2
U
darstellbar. U und I seien stationäre (und stationär verbundene) Prozesse mit den Korrelationsfunktionen sU , sI und sUI .
I
Bild 8.19
a) Bestimmen Sie sI2 (τ ), ausgedrückt durch sU (τ ), sI (τ ) und sUI (τ )! b) Wie groß ist der Mittelwert der Leistung an R2 ? 8.20. Gegeben ist der zufällige Prozess Y : Y (t) = X1 cos ω0 t + X2 sin ω0 t
(ω0 ∈ R, Konstante),
worin X1 und X2 unabhängige Zufallsgrößen mit E(X1 ) = E(X2 ) = 0 und E(X1 2 ) = E(X2 2 ) = σ 2 bezeichnen. a) Man berechne den Erwartungswert E(Y (t)) = mY (t)! b) Man berechne die Korrelationsfunktion E(Y (t1 )Y (t2 )) = sY (t1 , t2 )! c) Ist der Prozess Y im weiteren Sinne stationär?
42
8 Stochastische Signale
I2 R2
8.21. Es ist zu zeigen, dass für die Korrelationsfunktion sX eines stationären Prozesses X = (Xt )t∈T gilt | sX (τ ) | ≤ sX (0)
(τ = t2 − t1 ; t1 , t2 ∈ T ).
Hinweis: Man berechne den (nicht negativen) Ausdruck E (X (t) ± X (t + τ ))2 ≥ 0! 8.22. Über einem Ohmschen Widerstand R liegt eine Spannung, die durch einen stationären zufälligen Prozess U mit verschwindendem Mittelwert und dem Leistungsdichtespektrum SU : ( S0 −ω0 ≤ ω ≤ +ω0 SU (ω) = (S0 > 0, Konstante) 0 ω < −ω0 , ω > +ω0 beschrieben werden kann. a) Geben Sie das Leistungsdichtespektrum und die Korrelationsfunktion des Stromes I durch den Widerstand R an! b) Wie groß ist die von R aufgenommene mittlere Leistung? 8.23. Ein Ohmscher Widerstand R wird von einem Strom durchflossen, der durch einen stationären Gauß-Prozess X mit mX (t) = 0 und sX (τ ) = A2 e −α|τ |
(A, α ∈ R, α > 0)
beschrieben werden kann. a) Man bestimme das Leistungsdichtespektrum SX (ω)! b) Wie groß ist die mittlere Leistung an R? c) Wie lautet die Dichte fX (x, t)? d) Wie lautet die Dichte fX (x1 , t1 ; x2 , t2 )? (τ = t2 − t1 ) 8.24. Gegeben ist ein stationärer Gauß-Prozess X mit verschwindendem Mittelwert und der Korrelationsfunktion sX : α 2 −α|τ | (A > 0, α > 0, β > 0). sX (τ ) = A e cos βτ − sin β|τ | β Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass X (t) einen Wert annimmt, der größer als b ist? Zahlenbeispiel: A = 1 V, α = 104 s−1 , β = 105 s−1 , b = 0,5 V. Hinweis: Gaußsches Fehlerintegral 1 Φ(u) = √ 2π
Zu
2 v exp − dv; 2
0
Φ(u) = −Φ(−u);
Φ(∞) = 0,5;
Φ(0,5) ≈ 0,1915
43
9
STATISCHE SYSTEME MIT STOCHASTISCHEN SIGNALEN
9.1. Gegeben ist ein nichtlineares statisches System (Bild 9.1a) mit exponentieller Kennlinie ϕ : R → R, y = ϕ(x) = e 3x . fX (x) 1 X
Y
ϕ
x 0 Bild 9.1a
1 Bild 9.1b
2
Die Eingabewerte dieses Systems können durch eine Zufallsgröße X mit Dreieck-Verteilung (Dichtefunktion siehe Bild 9.1b) beschrieben werden. Welche Dichtefunktion hat die Zufallsgröße Y am Ausgang dieses Systems? Stellen Sie fY (y) grafisch dar! 9.2. Gegeben ist das in Bild 9.2 dargestellte statische System. Die Eingabewerte sind durch einen zufälligen Vektor X = (X1 , X2 ) mit der Dichtefunktion fX gegeben. Man berechne die Dichtefunktion fY des zufälligen Vektors Y = (Y1 , Y2 ) am Ausgang des Sys- X 1 tems X2
a) allgemein für beliebige fX , b) speziell für
Y1
+
Y2
a
x1 2 + x2 2 1 exp − fX (x1 , x2 ) = 2πσ 2 2σ 2
(σ > 0)!
Bild 9.2
9.3. Die von einem Computer über die RANDOM-Funktion ausgegebenen Pseudozufallszahlen können näherungsweise durch eine Zufallsgröße X mit Gleichverteilung im Intervall (0, 1) beschrieben werden. Welche Rechenoperation muss man auf diese Zahlen anwenden, um Zufallszahlen Y mit Cauchy-Verteilung mit der Dichte fY : fY (y) =
1 1 π y2 + 1
zu erhalten (Bild 9.3)? fY (y)
fX (x) 1
X
y = ϕ(x) =?
Y
x 0
y 0
1 Bild 9.3
44
9 Statische Systeme mit Stochastischen Signalen
9.4. Gegeben ist das im Bild 9.4 dargestellte statische System. X1 und X2 seien unabhängige Zufallsgrößen, für die E(X1 ) = E(X2 ) = 0 sowie Var(X1 ) = Var(X2 ) = σ 2 gilt. a) Berechnen Sie E(Y1 ) und E(Y2 )! b) Berechnen Sie Var(Y1 ) und Var(Y2 )!
X1
α
c) Berechnen Sie Cov(Y1 , Y2 )!
+
Y1
+
Y2
β
d) Welchen Wert hat der Korrelationskoeffizient %(Y1 , Y2 )?
X2
−β
e) Bestimmen Sie fY (y1 , y2 ) für 1 x1 2 + x2 2 fX (x1 , x2 ) = ! exp − 2πσ 2 2σ 2
Bild 9.4
9.5. Am Eingang eines Gleichrichters mit der in Bild 9.5 gegebenen Kennlinie ϕ: ( e ax − 1 x ≥ 0, y = ϕ(x) = 0 x<0
y ϕ X
Y
ϕ
x
0
liegt der nichtstationäre Prozess X mit der Dichte fX , wobei für beliebige t ∈ T fX (x, t) = 0 gilt, falls x < 0 ist.
Bild 9.5
a) Man berechne fY (y, t) allgemein! b) Was erhält man speziell für α −αx exp 1 + β 2t 2 fX (x, t) = 1 + β 2 t 2 0
x ≥ 0, x < 0?
Für die Konstanten gilt a > 0, α > 0, β > 0. 9.6. In der Schaltung Bild 9.6 sind die Korrelationsfunktion sX und die Dichtefunktion fX des stationären Prozesses X wie folgt gegeben: R1
sX (τ ) = 2A2 e −α|τ | cos βτ |x| 1 exp − fX (x, t) = 2A A
X
R2
Y
(A > 0, α > 0, β > 0). (X ⇔ U1 , Y ⇔ U2 ) Bild 9.6
45
a) Man berechne die Korrelationsfunktion des Prozesses Y ! b) Wie lautet die eindimensionale Dichte des Prozesses Y ? c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Y zur Zeit t einen Wert größer als a annimmt? (a > 0) d) Welche Lösung erhält man in c) mit A = 1 V, a = 2 V, R1 = 1 ˙, R2 = 2 ˙? 9.7. Die Schaltung (Bild 9.7) enthält zwei Addierglieder und zwei ideale Verstärker mit den Verstärkungsfaktoren v1 bzw. v2 . Die Prozesse X (Eingabeprozess), U und V („Störprozesse“) seien stationär und unabhängig mit den Mittelwerten mX = mU = mV = 0. X
+
v1
U
+
v2
Y
V Bild 9.7
Der Prozess X hat das Leistungsdichtespektrum A2 (A > 0, a > 0) ω 2 + a2 und die Prozesse U und V stellen ein „weißes Rauschen“ mit SX (ω) =
SU (ω) = SV (ω) = S0
(S0 > 0)
dar. a) Man bestimme die Kreuzkorrelationsfunktion der Prozesse X und Y ! b) Welches Leistungsdichtespektrum hat der Prozess Y ? 9.8. Über einer Diode mit der Strom-Spannungs-Kennlinie u i = ϕ(u) = I0 exp −1 (I0 > 0, U0 > 0) U0 liegt eine Spannung, die durch einen stationären zufälligen Prozess U mit der Dichte fU : 1 0≤u≤U 0 fU (u, t) = U0 0 u < 0, u > U0 beschrieben werden kann. a) Man berechne die Dichte fI des Stromes I und stelle fI (i, t) grafisch dar! b) Mit Hilfe der Formel Z∞ E(ϕ(X )) = ϕ(x)fX (x) dx −∞
berechne man den Erwartungswert des Stromes I!
46
9 Statische Systeme mit Stochastischen Signalen
10
DYNAMISCHE SYSTEME MIT STOCHASTISCHEN SIGNALEN
10.1. Man zeige: Ein stationärer Prozess X mit der Korrelationsfunktion sX ist genau dann stetig im quadratischen Mittel (i. q. M.), wenn sX (τ ) in τ = 0 stetig ist. Hinweis: Man untersuche den Ausdruck ||X (t + τ ) − X (t)||2 = E (X (t + τ ) − X (t))2 für τ → 0!
10.2. Gegeben ist ein i. q. M. differenzierbarer zufälliger Prozess X mit dem Mittelwert mX und der Korrelationsfunktion sX . Man zeige, dass d a) mX˙ (t) = mX (t), dt ∂ sX (t1 , t2 ) und b) sX˙ X (t1 , t2 ) = ∂t1 c) sX X˙ (t1 , t2 ) =
∂ sX (t1 , t2 ) gilt! ∂t2
d) Wie lauten diese Gleichungen, wenn X stationär ist?
10.3. An einer idealen Kapazität C liegt eine Spannung, die durch einen stationären Gauß-Prozess U mit mU (t) = 0 und sU (τ ) = A2 exp −aτ 2 (A ∈ R, a > 0)
sU (τ )
τ
0 Bild 10.3
beschrieben werden kann (Bild 10.3). Man berechne für den Strom I durch C a) den Mittelwert mI (mI (t) =?), b) die Kreuzkorrelationsfunktionen sIU und sUI (sIU (τ ) =?, sUI (τ ) =?) (Skizze!), c) die Korrelationsfunktion sI (sI (τ ) =?) (Skizze!) und d) die Dichtefunktion fI (fI (i, t) =?)!
10.4. In der dargestellten Schaltung im Nullzustand (Bild 10.4) kann die angelegte Spannung durch einen stationären Prozess U mit der Korrelationsfunktion sU : sU (τ ) = 2U0 2 e −a|τ |
L U
C
R
(a > 0) Bild 10.4
beschrieben werden.
47
Man berechne die Leistungsdichtespektren für die angelegte Spannung U und den Strom I durch R! Hinweis: Korrespondenz der Fourier-Transformation: e −a|τ |
ω2
2a + a2
10.5. An den Klemmen eines RLC-Zweipols (Bild 10.5) liegt eine Rauschspannung, die durch einen stationären Prozess U mit konIR stantem Leistungsdichtespektrum SU (ω) = S0 beschrieben wird. I L R a) Welches Leistungsdichtespektrum hat der Gesamtstrom I?
C
b) Welche Korrelationsfunktion hat der Strom IR ?
U Bild 10.5
Hinweis: Siehe Aufgabe 10.4.
10.6. Für ein lineares dynamisches System mit der Impulsantwort (Gewichtsfunktion) g, das durch einen stationären zufälligen Prozess X mit gegebener Korrelationsfunktion sX erregt wird (siehe Bild 10.6), bestimme man allgemein die Kreuzkorrelationsfunktion sXY , ausgedrückt durch sX und g in Integralform! Welches Ergebnis erhält man speziell für sX (τ ) = S0 δ(τ )? Hinweis: Für stationäre Prozesse gilt für beliebige Zeitpunkte t Z∞
X
g
Y
g(λ)X (t − λ) dλ.
Y (t) =
Bild 10.6
0
10.7. In der dargestellten Schaltung (Bild 10.7) wird die Eingangsspannung X (⇔ U1 ) durch einen stationären Gauß-Prozess mit dem Leistungsdichtespektrum SX (ω) = K („Weißes Rauschen“) und mX (t) = 0 beschrieben. a) Wie lautet das Leistungsdichtespektrum SY (ω) der Ausgangsspannung Y (⇔ U2 )?
R U1
b) Welche Korrelationsfunktion sY hat der Prozess Y ? c) Geben Sie fY (y, t) und fY (y1 , t1 ; y2 , t2 ) an! Hinweis: Korrespondenz der Fourier-Transformation: ω2
48
1 + a2
1 −a|τ | e 2a
(a > 0)
10 Dynamische Systeme mit Stochastischen Signalen
C
R
(X ⇔ U1 , Y ⇔ U2 ) Bild 10.7
U2
10.8. In der gegebenen Schaltung im Nullzustand (Bild 10.8) bezeichnet X einen stationären zufälligen Prozess mit dem konstanten Leistungsdichtespektrum SX (ω) = S0 . Man berechne das Leistungsdichtespektrum des Prozesses Y am Ausgang des Systems! X
4
R
+
+ 2 3
R
Y
−3
Bild 10.8 10.9. Für die in Bild 10.9 dargestellte Schaltung mit den rauschenden Widerständen R1 , R2 und R3 berechne man das Leistungsdichtespektrum der Rauschspannung U an den Klemmen AB und gebe die Rauschersatzschaltung an! L
R3
A R2
B R1
Bild 10.9 10.10. Zur quantitativen Beschreibung eines i. q. M. ergodischen Prozesses U verwendet man häufig den Begriff der „effektiven Rauschspannung“ q p Ueff = u2 (t) = E (U 2 (t)). Man berechne die effektive Rauschspannung a) für den Fall, dass die Korrelationsfunktion sU gegeben ist: sU (τ ) = A2 e −α|τ | cos βτ
(A > 0, α > 0, β > 0);
Zahlenbeispiel: A = 1 V, α = 10−3 s−1 , β = 10−4 s−1 ; b) für einen Ohmschen Widerstand R im Niederfrequenzgebiet, d. h. für das Leistungsdichtespektrum SU gilt ( 2kTR |ω| < ω0 , SU (ω) = 0 |ω| > ω0 . Zahlenbeispiel: R = 1 M˙, f0 =
ω0 2π
= 20 kHz, T = 300 K, k = 1,38 · 10−23 Ws/ K
10.11. Gegeben ist die in Bild 10.11 dargestellte Blockschaltung zur Effektivwertmessung schwacher Signale. In dieser Schaltung bezeichnen X das Eingabesignal, dessen
49
Effektivwert gemessen werden soll, und U bzw. V die Rauschsignale der beiden Verstärker mit den Verstärkungsfaktoren v1 bzw. v2 . Die genannten Signale X , U und V können als unabhängige stationäre und ergodische zufällige Prozesse mit verschwindendem Mittelwert betrachtet werden. Man zeige, dass das Ausgangssignal der Schaltung proportional zu q p Xeff = x 2 (t) = E (X 2 (t)) ist und nicht von den Rauschspannungen der Verstärker abhängig ist! U v1
+
×
X v2
+ V
Bild 10.11
50
10 Dynamische Systeme mit Stochastischen Signalen
E(. . . )
p (. . . )
Y
FORMELSAMMLUNG
F
FORMELSAMMLUNG
Formelsammlung Analoge Signale und Systeme (1) Z∞ X (ω) = Fourier-Transformation:
x(t) e − jωt dt
−∞
1 x(t) = 2π
Z∞
X (ω) e jωt dω
−∞
Rechenregeln der Fourier-Transformation:
Nr.
x(t)
X (ω)
Bemerkungen
1
αx1 (t) + βx2 (t)
αX1 (ω) + βX2 (ω)
Linearität
2
x(t − τ )
e − jωτ X (ω)
Verschiebungssatz (Zeitverschiebung)
3
x(t) e jω0 t
X (ω − ω0 )
Verschiebungssatz (Frequenzverschiebung)
4
x(at)
1 ω X |a| a
Ähnlichkeitssatz (a 6= 0)
5
˙ x(t)
jωX (ω)
Differentiationsregel
x(τ ) dτ
1 X (ω) jω
Integrationsregel *)
x1 (τ )x2 (t − τ ) dτ
X1 (ω)X2 (ω)
Zt 6 −∞ Z∞
7
Faltungssatz (Faltung im Zeitbereich)
−∞
8
x1 (t)x2 (t)
1 2π
Z∞ X1 (u)X2 (ω − u) du −∞
9
Gilt die Korrespondenz x(t) X (ω), so gilt auch die Korrespondenz X (t)
Faltungssatz (Faltung im Frequenzber.) Vertauschungssatz
2πx(−ω).
*) Man überprüfe, ob die Fourier-Transformierte des Integrals auf der linken Seite wirklich exisiert!
52
F Formelsammlung
Korrespondenzen der Fourier-Transformation:
Nr.
x(t)
X (ω)
1
δ(t)
1
2
1(t)
πδ(ω) +
3
4
5
6 7 8 9
Rect
11 12 13
( 1 −τ ≤ t ≤ τ = 0 t < −τ ∨ t > τ
ω0 ω0 sin(ω0 t) si(ω0 t) = · π π ω0 t ( e −at t > 0 0 t<0
t2
ω2
1 + a2
e −at
(1 + a|t|) e
−a|t|
1 2 1 + a|t| + (at) e −a|t| 3
e −a|t| cos(βt)
2a + a2
π −a|ω| e a r π − ω2 e 4a a
2
a e cos(βt) + sin(β|t|) β |t| a 1 − −τ < t < τ τ 0 sonst −a|t|
sin(ωτ ) = 2τ si(ωτ ) ωτ ( 1 −ω0 ≤ ω ≤ ω0 ω Rect = 2ω0 0 ω < −ω0 ∨ ω > ω0 2τ
1 jω + a
e −a|t|
10
t 2τ
1 jω
(ω0 6= 0)
(a > 0)
(a > 0) (a > 0) (a > 0)
4a3 (ω 2 + a2 )2
(a > 0)
16a5 3(ω 2 + a2 )3
(a > 0)
2a(ω 2 + a2 + β 2 ) (ω 2 − a2 − β 2 )2 + 4a2 ω 2
(a > 0)
4a(a2 + β 2 ) ((ω − β)2 + a2 )((ω + β)2 + a2 ) 4a 2 ωτ 2 ωτ sin = aτ si ω2τ 2 2
14
cos(ω0 t)
π (δ(ω − ω0 ) + δ(ω + ω0 ))
15
sin(ω0 t)
jπ (δ(ω + ω0 ) − δ(ω − ω0 ))
(a > 0) (τ 6= 0)
53
Formelsammlung Analoge Signale und Systeme (2) Z∞ X (s) = Laplace-Transformation:
x(t) e −st dt
0
1 x(t) = 2π j
δ+ Z j∞
X (s) e st ds
δ− j∞
Rechenregeln der Laplace-Transformation:
Nr.
x(t)
X (s)
Bemerkungen
1
αx1 (t) + βx2 (t)
αX1 (s) + βX2 (s)
Linearität
2
x(t − τ )
e −sτ X (s)
Verschiebungssatz
3
x(at)
1 s X a a
Ähnlichkeitssatz
4
˙ x(t)
sX (s) − x(+0)
Differentiationsregel
1 X (s) s
Integrationsregel
X (s + a)
Dämpfungssatz
X1 (s)X2 (s)
Faltungssatz
(τ > 0)
Zt x(τ ) dτ
5 0
e −at x(t)
6
Zt x1 (τ )x2 (t − τ ) dτ
7 0
8
x(t) =
X i
Res X (s) e st s=si
Residuenformel,
wobei Res X (s) e st = s=si
1 dm−1 st m lim X (s) e (s − s ) i (m − 1)! s→si dsm−1
mit si : m-facher Pol von X (s) und X (s) rational mit X (∞) → 0.
54
F Formelsammlung
(a > 0)
Korrespondenzen der Laplace-Transformation: Nr.
x(t)
X (s)
1
δ(t)
1
2
1(t)
3
t 1(t)
4
e at 1(t)
5
t e at 1(t)
6
t n−1 e at 1(t) (n − 1)!
7
cos at 1(t)
8
sin at 1(t)
9
cosh at 1(t)
10
sinh at 1(t)
11
e at cos βt 1(t)
12
e at sin βt 1(t) a e at cos βt + sin βt 1(t) β
13 14
cos2 at 1(t)
15
sin2 at 1(t)
16
cos(at + b) 1(t)
17
sin(at + b) 1(t)
18 19
1 √ 1(t) πt r t 2 1(t) π
1 s 1 s2 1 s−a 1 (s − a)2 1 (n = 1, 2, 3, . . . ) (s − a)n s 2 s + a2 a 2 s + a2 s 2 s − a2 a 2 s − a2 s−a (s − a)2 + β 2 β (s − a)2 + β 2 s (s − a)2 + β 2 s2 + 2a2 s (s2 + 4a2 ) 2a2 s (s2 + 4a2 ) s cos b − a sin b s 2 + a2 s sin b + a cos b s 2 + a2 1 √ s 1 √ s s
55
Formelsammlung Analoge Signale und Systeme (3)
X (z) = Z-Transformation:
∞ X
x(k)z −k
k=0
1 x(k) = 2π j
I
X (z)z k−1 dz
(k = 0, 1, 2, . . . )
c
Rechenregeln der Z-Transformation: Nr.
x(k)
X (z)
Bemerkungen
1
αx1 (k) + βx2 (k)
αX1 (z) + βX2 (z)
Linearität
2
x(k − m)
z −m X (z)
x(k + m)
3
z
m
X (z) −
Verschiebungssatz (→) m−1 X
! x(i)z −i
Verschiebungssatz (←)
i=0
4
x(k + 1) − x(k)
5
x(k) − x(k − 1) k X
6
x1 (i)x2 (k − i)
(z − 1)X (z) − zx(0) 1 − z −1 X (z) X1 (z)X2 (z)
Vorwärtsdifferenz Rückwärtsdifferenz Faltungssatz
i=0
ak x(k)
7
k X
8
X
i=0
kx(k)
10
1 x(k) k
a
z X (z) z −1
x(i)
9
z
d −z X (z) dz Z∞ dw X (w) w
Dämpfungssatz Summation Differentiation im Bildbereich Integration im Bildbereich
z
11
x(k) =
X i
Res X (z)z k−1 z=zi
Residuenformel,
wobei Res X (z)z k−1 = z=zi
1 dm−1 lim X (z)z k−1 (z − zi )m m−1 (m − 1)! z→zi dz
mit zi : m-facher Pol von X (z)z k−1 .
56
F Formelsammlung
Korrespondenzen der Z-Transformation:
Nr.
x(k)
X (z)
1
δ(k)
1
2
1(k)
z z −1
3
k 1(k)
z (z − 1)2
4
k 2 1(k)
z(z + 1) (z − 1)3
5
ak 1(k)
z z −a
6
kak 1(k)
az (z − a)2
7
k 2 ak 1(k)
az(z + a) (z − a)3
8 9
ak 1(k) k! k k a 1(k) m
a
ez
am z (z − a)m+1
10
e ak 1(k)
z z − ea
11
k e ak 1(k)
e az (z − e a )2
12
ak sin Ωk 1(k)
13
ak cos Ωk 1(k)
14
ak sinh βk 1(k)
15
ak cosh βk 1(k)
16
(−1)k 1(k)
z2
az sin Ω − 2az cos Ω + a2
z2
z(z − a cos Ω) − 2az cos Ω + a2
z2
az sinh β − 2az cosh β + a2
z2
z(z − a cosh β) − 2az cosh β + a2
z z +1
57
Formelsammlung Analoge Signale und Systeme (4) Lineare zeitinvariante Systeme mit diskreter Zeit
kontinuierlicher Zeit
Zustandsgleichungen: z(k + 1) = Az(k) + Bx(k)
˙ z(t) = Az(t) + Bx(t)
y(k) = Cz(k) + Dx(k)
y(t) = Cz(t) + Dx(t)
Fundamentalmatrix im Bildbereich: Φ(z) = (zE − A)−1 z
Φ(s) = (sE − A)−1
Übertragungsmatrix bzw. Übertragungsfunktion: G(z) = C(zE − A)−1 B + D
G(s) = C(sE − A)−1 B + D
Lösung der 1. Zustandsgleichung im Bildbereich: Z (z) = Φ(z)z(0) + Φ(z)z −1 BX (z)
Z (s) = Φ(s)z(0) + Φ(s)BX (s)
Input-Output-Gleichung im Bildbereich: Y (z) = CΦ(z)z(0) + G(z)X (z)
Y (s) = CΦ(s)z(0) + G(s)X (s)
Fundamentalmatrix (Fundamentallösung) im Zeitbereich: 2
ϕ(t) = e At = E + A 1!t + A2 t2! + . . .
ϕ(k) = Ak
Gewichtsmatrix bzw. Gewichtsfunktion (Impulsantwort): ( D k=0 g(k) = g(t) = Cϕ(t)B + Dδ(t) Cϕ(k − 1)B k = 1, 2, . . . Lösung der 1. Zustandsgleichung im Zeitbereich: z(k) = ϕ(k)z(0) +
k−1 X
Zt ϕ(k − i − 1)Bx(i)
i=0
ϕ(t − τ )Bx(τ ) dτ
z(t) = ϕ(t)z(0) + 0
Input-Output-Gleichung im Zeitbereich: y(k) = Cϕ(k)z(0) +
k X i=0
58
F Formelsammlung
Zt g(k − i)x(i)
g(t − τ )x(τ ) dτ
y(t) = Cϕ(t)z(0) + 0
Lineare zeitinvariante Systeme mit diskreter Zeit
kontinuierlicher Zeit
Amplitudenfrequenzgang: p jΩ −1 A(Ω) = G e = G(z)G(z )
z=e jΩ
p A(ω) = |G( jω)| = G(s)G(−s)
s= jω
Phasenfrequenzgang: ϕ(Ω) = arg G e jΩ
ϕ(ω) = arg G( jω)
Dämpfungsmaß: a(Ω) = − ln A(Ω) in Np a(Ω) = −20 lg A(Ω) in dB
a(ω) = − ln A(ω) in Np a(ω) = −20 lg A(ω) in dB
Phasenmaß: b(Ω) = − arg G e jΩ
b(ω) = − arg G( jω)
Kanonische Realisierung: an z −n + . . . + a2 z −2 + a1 z −1 + a0 G(z) = bn z −n + . . . + b2 z −2 + b1 z −1 + 1
G(s) =
an s−n + . . . + a2 s−2 + a1 s−1 + a0 bn s−n + . . . + b2 s−2 + b1 s−1 + 1
x an
a n-1
a1
a0
+
+
+
+
-bn
-bn -1
-b1
y =
S
=
z
Differenzengleichung:
Differenzialgleichung:
y(k + n) + b1 y(k + n − 1) + . . . + bn y(k)
y (n) (t) + b1 y (n−1) (t) + . . . + bn y(t)
= a0 x(k + n) + a1 x(k + n − 1) + . . . + an x(k)
= a0 x (n) (t) + a1 x (n−1) (t) + . . . + an x(t)
(b0 = 1,
ai ∈ R,
bj ∈ R)
59
Formelsammlung Digitale Signale und Systeme (1) Rechenregeln der Schaltalgebra: 1. x ∨ (y ∨ z) = (x ∨ y) ∨ z 2. x ∨y =y ∨x 3. x ∨ (x ∧ y) = x 4. x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) 5. x ∨0=x 6. x ∨x =1 0=1 7. x ∨y =x ∧y 8. 9. x ∨x =x 10. x ∨1=1 11.
x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z x ∧y =y ∧x x ∧ (x ∨ y) = x x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) x ∧1=x x ∧x =0 1=0 x ∧y =x ∨y x ∧x =x x ∧0=0
x=x
Schaltsymbole der wichtigsten Gatterschaltungen: Bezeichnung
DIN 40700 (alt)
DIN 40900 (neu)
³1
Oder-Gatter
& Und-Gatter
1
Negations-Gatter
³1
NOR-Gatter
& NAND-Gatter
Antivalenz-Gatter
º
Äquivalenz-Gatter
º
*)
=1
*)
=
*) nicht genormt
60
F Formelsammlung
Einstellige Schaltfunktionen: x
0
1
f0 (x) f1 (x) f2 (x) f3 (x)
0 0 1 1
0 1 0 1
Darstellung durch Term 0 x x 1
üblich Bezeichnung ist auch Nullfunktion Identität ¬x Negation Einsfunktion
Zweistellige Schaltfunktionen: x1 x2
0 0
0 1
1 0
1 1
Darstellung durch Term
üblich ist auch
Bezeichnung
f0 (x1 , x2 )
0
0
0
0
0
f1 (x1 , x2 )
0
0
0
1
x1 ∧ x2
f2 (x1 , x2 )
0
0
1
0
x1 ∧ x2
f3 (x1 , x2 )
0
0
1
1
x1
f4 (x1 , x2 )
0
1
0
0
x1 ∧ x2
f5 (x1 , x2 )
0
1
0
1
x2
f6 (x1 , x2 )
0
1
1
0
˙ 2 x1 ∨x
x1 6≡ x2 , x1 ⊕ x2
Antivalenz, Exklusiv-Oder, XOR
f7 (x1 , x2 )
0
1
1
1
x1 ∨ x2
x1 + x2
Disjunktion, Oder-Funktion, OR
f8 (x1 , x2 )
1
0
0
0
x1 ↓ x2
f9 (x1 , x2 )
1
0
0
1
x1 ⇔ x2
f10 (x1 , x2 )
1
0
1
0
x2
f11 (x1 , x2 )
1
0
1
1
x2 ⇒ x1
f12 (x1 , x2 ) 1
1
0
0
x1
f13 (x1 , x2 ) 1
1
0
1
x1 ⇒ x2
Implikation
f14 (x1 , x2 ) 1
1
1
0
x1 ↑ x2
Sheffer-Funktion, NAND
f15 (x1 , x2 ) 1
1
1
1
1
Nullfunktion x1 x2 , x1 · x2
Konjunktion, Und-Funktion, AND Inhibition 1. Projektion Inhibition 2. Projektion
Peirce-Funktion, NOR x1 ≡ x2 , x1 ↔ x2
Äquivalenz Negation Implikation Negation
Einsfunktion
61
Formelsammlung Digitale Signale und Systeme (2) Darstellung von n-stelligen Schaltfunktionen
Kanonische disjunktive Normalform (KDNF) Entwicklungssatz I 1
1
1
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = ∨ ∨ · · · ∨ f (i1 , i2 , . . . , in )x1 i1 x2 i2 . . . xn in i1 =0 i2 =0
wobei ( xν xν iν = xν Minterm:
in =0
iν = 0 iν = 1 mi = x1 i1 x2 i2 . . . xn in f (x1 , x2 , . . . , xn ) = ∨ mi
Darstellungssatz I:
i∈If
If = {i | f (i1 , i2 , . . . , in ) = 1,
(i1 , i2 , . . . , in ) = Bin(i)}
Kanonische konjunktive Normalform (KKNF)
Entwicklungssatz II 1
1
1
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = ∧ ∧ · · · ∧ i1 =0 i2 =0
wobei ( xν x ν iν = xν Maxterm:
in =0
f (i1 , i2 , . . . , in ) ∨ x 1 i1 ∨ x 2 i2 ∨ · · · ∨ x n in
iν = 0 iν = 1 Mi = x 1 i1 ∨ x 2 i2 ∨ · · · ∨ x n in
Darstellungssatz II:
f (x1 , x2 , . . . , xn ) = ∧ Mi i∈If
If = {i | f (i1 , i2 , . . . , in ) = 0,
62
F Formelsammlung
(i1 , i2 , . . . , in ) = Bin(i)}
Kombinatorischer Automat:
x1 ( k ) x2 ( k )
y1 ( k ) y2 ( k ) F
xl ( k )
y(k) = Φ(x(k))
ym ( k )
Ausführliche Schreibweise: y1 (k) = f1 (x1 (k), x2 (k), . . . , xl (k)) .. .. . . ym (k) = fm (x1 (k), x2 (k), . . . , xl (k)) Sequentieller Automat (Mealy-Automat):
x1 ( k ) x2 ( k )
( z1 ( k ), z2 ( k ),... , zn ( k ))
xl ( k )
(n Speicher)
y1 ( k ) y2 ( k )
z(k + 1) = f (z(k), x(k)) y(k) = g(z(k), x(k))
ym ( k )
Ausführliche Schreibweise: z1 (k + 1) = f1 (z1 (k), . . . , zn (k), x1 (k), . . . , xl (k)) .. .. .. . . . zn (k + 1) = fn (z1 (k), . . . , zn (k), x1 (k), . . . , xl (k)) y1 (k) = g1 (z1 (k), . . . , zn (k), x1 (k), . . . , xl (k)) .. .. .. . . . ym (k) = gm (z1 (k), . . . , zn (k), x1 (k), . . . , xl (k)) Sonderfälle: Moore-Automat:
z(k + 1) = f (z(k), x(k)) y(k) = g(z(k))
Medwedjew-Automat:
z(k + 1) = f (z(k), x(k)) y(k) = z(k)
Autonomer Automat:
z(k + 1) = f (z(k)) y(k) = g(z(k))
Halbautomat:
z(k + 1) = f (z(k), x(k))
63
Formelsammlung Stochastische Signale und Systeme (1) Grundregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung P(A) = 1 − P(A) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = P(A) + P(B),
falls A ∩ B = ∅ (A, B unvereinbar)
P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B) = P(A) − P(B),
falls B ⊂ A
P(A ∩ B) = P(A|B)P(B) = P(B|A)P(A) = P(A)P(B), falls A und B unabhängig P(A|B) =
P(B) =
P(A ∩ B) P(B) n X
(P(B) 6= 0)
P(B|Ai )P(Ai )
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Formel der totalen Wahrscheinlichkeit
i=1
P(Ai |B) =
P(B|Ai )P(Ai ) P(B)
Bayessche Formel
Eindimensionale Zufallsgrößen Zξ FX (ξ) = P{X < ξ} =
fX (x) dx −∞
Zb P{a ≤ X < b} =
fX (x) dx = FX (b) − FX (a) a
Spezielle Verteilungen (x − m)2 fX (x) = √ exp − (σ > 0) Normalverteilung (Gaußverteilung) 2σ 2 2π σ n k P{X = k} = p (1 − p)n−k (k = 0, 1, 2, . . . , n) Binomialvert. (Bernoulliv.) k 1
P{X = k} =
64
F Formelsammlung
λk −λ e k!
(k = 0, 1, 2, . . .)
Poissonverteilung
Momente eindimensionaler Zufallsgrößen X diskret
X stetig
X
Z∞
Gewöhnliche Momente: Erwartungswert m = E(X )
xi P{X = xi }
xfX (x) dx
i
Moment n-ter Ordng. mn = E(X n )
X
−∞ Z∞
xin P{X = xi }
i
x n fX (x) dx
−∞
Zentrale Momente: Dispersion, Varianz µ2 = E((X − m)2 ) = Var(X )
X
Z∞
(xi − m)2 P{X = xi }
i
(x − m)2 fX (x) dx
−∞
Zentralmoment n-ter Ordnung n
µn = E((X − m) )
X
Z∞
n
(xi − m) P{X = xi }
i
(x − m)n fX (x) dx
−∞
Charakteristische Funktion: ϕX (λ) = E e
jλX
X
e
jλxi
Z∞ P{X = xi }
i
e jλx fX (x) dx
−∞
Zweidimensionale Zufallsgrößen X = (X1 , X2 ) Zξ1 Zξ2 FX (ξ1 , ξ2 ) = P{X1 < ξ1 , X2 < ξ2 } =
fX (x1 , x2 ) dx2 dx1 −∞−∞
Zb1Zb2 P{a1 ≤ X1 < b1 , a2 ≤ X2 < b2 } =
fX (x1 , x2 ) dx2 dx1 a1 a2
= FX (b1 , b2 ) − FX (b1 , a2 ) − FX (a1 , b2 ) + FX (a1 , a2 ) Randdichte Z∞ fX1 (x1 ) =
Z∞ fX (x1 , x2 ) dx2
fX2 (x2 ) =
−∞
fX (x1 , x2 ) dx1 −∞
Bedingte Dichte fX1 (x1 |x2 ) =
fX (x1 , x2 ) fX2 (x2 )
fX2 (x2 |x1 ) =
fX (x1 , x2 ) fX1 (x1 )
Korrelationskoeffizient Cov(X1 , X2 ) E((X1 − mX1 )(X2 − mX2 )) %(X1 , X2 ) = p =p E ((X1 − mX1 )2 ) E ((X2 − mX2 )2 ) Var(X1 ) Var(X2 )
65
Formelsammlung Stochastische Signale und Systeme (2) Transformation von Zufallsgrößen durch statische Systeme Eindimensionale Zufallsgrößen: X
ϕ bijektiv, monoton wachsend y = ϕ(x) = FY−1 (FX (x))
Y
ϕ=?
FX
FY
X
ϕ bijektiv fX (x) fY (y) = dϕ dx
Y
ϕ
fX
fY = ?
x=ϕ−1 (y)
Zweidimensionale Zufallsgrößen: X1
Φ bijektiv
Y1
fX (x1 , x2 ) fY (y1 , y2 ) = ∂(ϕ1 ,ϕ2 ) ∂(x1 ,x2 )
Φ Y2 fY = ?
X2 fX
(x1 ,x2 )=Φ−1 (y1 ,y2 )
Zufällige Prozesse Erwartungswert Z∞ mX (t) = E(X (t)) =
xfX (x, t) dx −∞
Varianz 2
Var(X (t)) = E ((X (t) − mX (t))
Z∞ =
(x − mX (t))2 fX (x, t) dx
−∞
(Auto-)Korrelationsfunktion Z∞ Z∞ sX (t1 , t2 ) = E(X (t1 )X (t2 )) =
x1 x2 fX (x1 , t1 ; x2 , t2 ) dx1 dx2 −∞−∞
Kreuzkorrelationsfunktion sXY (t1 , t2 ) = E(X (t1 )Y (t2 )) = sYX (t2 , t1 ) Kovarianzfunktion Cov(X (t1 ), X (t2 )) = E((X (t1 ) − mX (t1 ))(X (t2 ) − mX (t2 ))) = sX (t1 , t2 ) − mX (t1 )mX (t2 ) Kovarianzmatrix
Cov(X (t1 ), X (t1 )) · · · Cov(X (t1 ), X (tn )) .. .. .. Cov(X ) = . . . Cov(X (tn ), X (t1 )) · · · Cov(X (tn ), X (tn ))
66
F Formelsammlung
Stationäre zufällige Prozesse Erwartungswert
E(X (t)) = mX (t) = mX
Varianz
Var(X (t)) = σX 2
(Auto-)Korrelationsfunktion
sX (τ ) = E(X (t)X (t + τ ))
Kreuzkorrelationsfunktion
sXY (τ ) = E(X (t)Y (t + τ )) = sYX (−τ ) Z∞
Leistungsdichtespektrum
SX (ω) = −∞
(Theorem von Wiener/Chintschin)
1 sX (τ ) = 2π
(= konst.)
(= konst.)
sX (τ ) e − jωτ dτ Z∞
SX (ω) e jωτ dω
−∞
Gaußsche Prozesse 1 −1 0 exp − (x − m)C (x − m) fX (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = p 2 (2π)n det C 1
Hierbei gilt:
(x − m) = (x1 − mX (t1 ) · · · xn − mX (tn ))
Zeilenmatrix
(x − m)0
die zu (x − m) transponierte Matrix
C = Cov(X )
Kovarianzmatrix mit den Elementen Cov(X (ti ), X (tj )) = sX (ti , tj ) − mX (ti )mX (tj )
Markowsche Prozesse fX (xn , tn |x1 , t1 ; . . . ; xn−1 , tn−1 ) = fX (xn , tn |xn−1 , tn−1 )
(t1 < t2 < · · · < tn )
fX (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) = fX (xn , tn |xn−1 , tn−1 ) · fX (xn−1 , tn−1 |xn−2 , tn−2 ) · · · fX (x2 , t2 |x1 , t1 ) · fX (x1 , t1 ) fX (x1 , t1 ; . . . ; xn , tn ) =
fX (x2 , t2 ; x1 , t1 ) fX (xn , tn ; xn−1 , tn−1 ) ··· · fX (x1 , t1 ) fX (xn−1 , tn−1 ) fX (x1 , t1 )
67
Formelsammlung Stochastische Signale und Systeme (3) Analysis zufälliger Prozesse Konvergenz i. q. M. einer Folge X = (Xi )i∈N von Zufallsgrößen: l. i. m. Xi = X lim ||Xi − X || = 0 E l. i. m. Xi = lim E(Xi ) i→∞
i→∞
i→∞
i→∞
Stetigkeit i. q. M. eines zufälligen Prozesses X = (Xt )t∈T : lim ||X (t + τ ) − X (t)|| = 0
l. i. m. X (t + τ ) = X (t) τ →0
τ →0
Differentiation i. q. M. eines zufälligen Prozesses X = (Xt )t∈T : X (t + τ ) − X (t) X˙ (t) = l. i. m. τ →0 τ Für i. q. M. differenzierbare zufällige Prozesse X = (Xt )t∈T gilt: d Erwartungswert mX˙ (t) = E X˙ (t) = mX (t) dt ∂2 (Auto-)Korrelationsfunktion sX˙ (t1 , t2 ) = E X˙ (t1 )X˙ (t2 ) = sX (t1 , t2 ) ∂t1 ∂t2 ∂ Kreuzkorrelationsfunktion sX˙ X (t1 , t2 ) = E X˙ (t1 )X (t2 ) = sX (t1 , t2 ) ∂t1 ∂ ˙ sX X˙ (t1 , t2 ) = E X (t1 )X (t2 ) = sX (t1 , t2 ) ∂t2 Für i. q. M. differenzierbare stationäre zufällige Prozesse X = (Xt )t∈T gilt: Erwartungswert mX˙ (t) = E X˙ (t) = 0 (Auto-)Korrelationsfunktion Kreuzkorrelationsfunktion
d2 sX˙ (τ ) = E X˙ (t)X˙ (t + τ ) = − 2 sX (τ ) dτ d sX˙ X (τ ) = E X˙ (t)X (t + τ ) = − sX (τ ) dτ d sX X˙ (τ ) = E X (t)X˙ (t + τ ) = sX (τ ) dτ
Bezeichnet X = (Xt )t∈T einen i. q. M. integrierbaren zufälligen Prozess und f eine determinierte Funktion, so gilt: b Z Zb E f (t, τ )X (t) dt = f (t, τ ) E(X (t)) dt a
68
F Formelsammlung
a
Ergodische zufällige Prozesse ZT 1 x(t) = lim x(t) dt = E(X (t)) = mX (t) = mX = konst. T →∞ 2T −T
1 x(t)x(t + τ ) = lim T →∞ 2T
ZT x(t)x(t + τ ) dt = E(X (t)X (t + τ )) = sX (τ ) −T
Lineare dynamische System Gegeben: Stationärer zufälliger Prozess X
g(t) G( jω)
X
Y Z∞
Zt Prozess am Systemausgang:
g(t − τ )X (τ ) dτ =
Y (t) = −∞
Erwartungswert
g(τ ) dτ
Z∞Z∞ (Auto-)Korrelationsfunktion
0
Z∞
mY (t) = mX
g(τ )X (t − τ ) dτ
(mX (t) = mX = konst.)
0
g(τ1 )g(τ2 )sX (τ + τ1 − τ2 ) dτ1 dτ2
sY (τ ) = 0 0 Z∞
Kreuzkorrelationsfunktion
g(τ1 )sX (τ − τ1 ) dτ1
sXY (τ ) = 0
Leistungsdichtespektrum
SY (ω) = |G( jω)|2 SX (ω)
Kreuzleistungsdichtespektrum
SXY (ω) = G( jω)SX (ω)
Berechnung der Korrelationsfunktion am Systemausgang durch Residuenmethode: X ˜ X (s) + S ˜ X (−s) e s|τ | sY (τ ) = Res G(s)G(−s) S mit Re(s)<0
˜ X (s) = S
Z∞
( sX (τ ) s˜X (τ ) = 0
s˜X (τ ) e −sτ dτ
τ ≥ 0, τ < 0.
0
Thermisch rauschender Ohmscher Widerstand: te Temperatur)
(k: Boltzmann-Konstante, T : absoluG
R
R
U SU (ω) = 2kTR
dG = I
1 R
SI (ω) = 2kTG
Thermisch rauschender RLC-Zweipol:
A
B ZAB ( jω)
A
B A U ZAB ( jω) SU (ω) = 2kT Re(ZAB ( jω))
YAB ( jω)
B
dYAB ( jω) =
1 ZAB ( jω)
I SI (ω) = 2kT Re(YAB ( jω))
69
Formelsammlung Signalverarbeitung Beschreibung von Signalen im Zeitbereich
Samplingreihe
∞ X
x(t) =
x(k) si
k=−∞
Kreuzkorrelation
1 ψx1 x2 (τ ) = lim T →∞ 2T
π (t − k∆t) ∆t ZT x1 (t)x2 (t + τ ) dt
−T
Faltung (x1 ∗ x2 )
zeitdiskret ∞ X x1 (ν)x2 (k − ν) ν=−∞
Energie E des Energiesignals x
−∞
zeitdiskret ∞ X ∆t x 2 (k∆t) −∞
Kreuzkorrelationsfunktion (stationärer zufälliger Prozesse)
zeitkontinuierlich Z∞ x1 (τ ) x2 (t − τ ) dτ
zeitkontinuierlich Z∞ x 2 (t) dt −∞
ψXY (τ ) = E(X(t)Y(t + τ )) = ψYX (−τ )
Wichtige Beziehungen DIRAC-Impuls
δ(f ) = 2π · δ(ω) = 2π∆t · δ(Ω)
Spaltfunktion
si(α) =
sin(α) α Zu
Integralsinus
Si(u) =
si(α) dα 0
Reihendarstellung von
Summenformel der geometr. Reihe
! 3 5 z −1 1 z −1 1 z −1 + + + ... z +1 3 z +1 5 z +1
ln |z| = 2 N−1 X k=0
ak =
aN − 1 mit a 6= 1 a−1
Rechteckfunktion
70
F Formelsammlung
Rect(α) =
1 : − 12 ≤ α ≤ 0 : sonst.
1 2
Beschreibung von Signalen im Frequenzbereich Übersicht der Hin- und Rücktransformationsgleichungen der Spektralanalyse
periodisches bzw. period. fortges. Signal
zeitkontinuierliches Signal FOURIER-Reihe
1 Xn= T
Z
x(t) e − jnω0 t dt
X (n) =
∞ X
x(t) =
N−1 nk 1X x(k) e − j2π N N k=0
T
X n e jnω0 t
x(k) =
n=−∞
N−1 X
kn
X (n) e j2π N
n=0
FOURIER-Transformation nichtperiodisches Signal
zeitdiskretes Signal DFT (FFT)
DTFT / z-Transf. ∞ X
jω
X (e ) =
x(k) e − jωk∆t
k=−∞
Z∞ X (ω) =
x(t) e − jωt dt
=⇒
−∞
x(t) =
1 2π
∞ X
x(k) z −k = X (z)
k=−∞
Z∞
π
X (ω) e jωt dω
x(k) =
∆t 2π
Z∆t
X (e jω ) e jωk∆t dω
π − ∆t
−∞
1 = 2πj
Z∞ Leistungsdichtespektrum (stationärer zufälliger Prozess)
ˇ -Theorem WIENER-CHIN CIN (stationärer zufälliger Prozess)
Leistungsdichtespektrum am Ausgang eines linearen dynamischen Systems (stationäre zufällige Prozesse)
SXX (ω) =
I
X (z) z k−1 dz
ψXX (τ ) e − jωτ dτ
−∞
1 ψXX (τ ) = 2π
Z∞
SXX (ω) e jωτ dω
−∞
SYY (ω) = |G( jω)|2 SXX (ω)
71
