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Fachwerke
Fachwerke
© Prof. Dr. Remo Ianniello
Inhalt der Vorlesung In diesem Abschnitt geht es um: Begriffe rund um Fachwerke
1. Teil
Das Knotenpunkt-Verfahren
Das Verfahren nach Cremona
2. Teil
Das Ritter-Schnitt-Verfahren Das Culmann-Verfahren
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Folie 2
Begriffe Fachwerke
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Linien-Tragwerke Linientragwerke, kurz „Träger“, sind Bauteile, deren Durchmesser sehr viel kleiner ist als die Länge.
Wird ein Träger nur in Richtung seiner Achse (Zug oder Druck) beansprucht, heißt er Stab. Beansprucht man einen Träger quer zu seiner Achse, so nennt man ihn einen Balken. Ein gekrümmter Balken heißt Bogen. Tragwerke, die aus abgewinkelten, starr miteinander verbundenen Balken zusammengesetzt sind, werden als Rahmen bezeichnet.
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Flächen-Tragwerke Bei den Flächentragwerken unterscheidet man Scheiben, Platten und Schalen: Eine Scheibe ist ein ebenes Flächentragwerk, das nur Kräfte in seiner Ebene zu übertragen hat. Merkbild: Trennscheibe Eine Verbindung von Stäben kann ebenfalls „Scheibe“ genannt werden. Eine Platte ist auch eben, die Kräfte wirken aber senkrecht zu ihr. Merkbild: Schallplatte
Eine Schale ist ein einfach oder doppelt gekrümmtes Flächentragwerk, das beliebige Kräfte übertragen kann. Merkbild: Eierschale
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Folie 5
Fragen 1) Tragwerke werden in zwei Gruppen eingeteilt. Welche sind das? Linien- und Flächentragwerke
Fragen
2) Was ist der Unterschied zwischen einem „Träger“ und einem „Balken“ ? „Träger“ ist die allgemeine Bezeichnung für Linientragwerke. Ein Balken ist ein spezieller Träger. Er wird quer zu seiner Achse beansprucht. 3) Was ist der Unterschied zwischen einem „Rahmen“ und einem „Bogen“? Ein Bogen ist ein gebogener Träger, ein Rahmen ist ein zusammengesetzter Träger. 4) Wie kann eine Verbindung aus drei Stäben genannt werden, wenn man sie als Flächentragwerk betrachtet? „Scheibe“ 5) Was ist der Unterschied zwischen einer „Platte“ und einer „Scheibe“ ? Eine Platte überträgt Kräfte nur senkrecht, eine Scheibe nur parallel zu Ihrer Fläche. Fachwerke
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Begriffe
Quiz
Ein Fachwerk • ist eine Konstruktion aus… Trägern, Stäben, Stangen • soll Lasten, Spannungen, Momente aufnehmen. • hat weniger Volumen, Stabilität, Material als ein entsprechender Massivträger. Dimensionierung der Stäbe Die Stabkräfte ermittelt man aus den … • äußeren Kräften (Lager + Lasten), • Abmessungen (Längen + Durchmesser) • Gleichgewichtsbedingungen
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Kräfte Innere Kräfte Zug- oder Druckkraft, die vom Stab übertragen wird.
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Äußere Kräfte
Lasten, die von außen einwirken, z.B. eine Lagerkraft (wie FA) oder eine aufgeprägte Kraft (wie F1).
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Beschriftung Stablinien = gezeichneter Stab arabische Ziffern: 1, 2, 3 … Knoten(punkte) = Schnittpunkte der Stablinien römische Ziffern: I, II, III …
Merke: Alle äußeren Kräfte werden auf die Knoten verteilt Fachwerke
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Nullstab
Quiz
„Nullstäbe“ Es ist ratsam, vor der eigentlichen Berechnung das Fachwerk auf Nullstäbe hin zu untersuchen, denn sie können bei der Berechnung weggelassen werden. Nullstäbe sind Stäbe, die weder Zug- noch Druckkräfte enthalten. Sie sind jedoch in der Praxis notwendig: zur örtlichen Fixierung tragender Stäbe oder zur Verhinderung von Durchbiegungen.
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Nullstab Regel 1: An einem unbelasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen, die nicht in die gleiche Richtung zeigen. Beide Stäbe sind Nullstäbe.
Quiz
Auf welche beiden Stäbe (rechts) trifft das zu? Regel 2: An einem belasteten Knoten sind nur zwei Stäbe angeschlossen und die äußere Kraft F greift in Richtung des einen Stabes an, so ist der andere Stab ein Nullstab.
F
F
F
Regel 3: An einem unbelasteten Knoten sind drei Stäbe angeschlossen, von denen zwei in gleicher Richtung liegen, so ist der dritte Stab ein Nullstab. Fachwerke
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Folie 11
Nullstäbe
Quiz
Nach welcher Regel liegt jeweils ein Nullstab vor?
[Quelle: www.ingenieurkurse.de/technische-mechanik-statik/fachwerke] Fachwerke
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Begriffe Was meinen Sie?
Quiz
Welche Nullstäbe gibt es in diesem Fachwerk?
[s.a. Tutorial auf https://www.youtube.com/watch?v=EijvFpvBEZY] Fachwerke
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Begriffe Boden-Wand-FW
Aufgabe Aufgabe
Wo sind Nullstäbe an dem Fachwerk in der Skizze?
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Fragen 1) Was ist ein Fachwerk? Eine Konstruktion aus geraden starren Stäben. 2) Was ist der Vorteil eines Fachwerks? Ein Fachwerksträger erfordert weniger Material als ein Massivträger.
Fragen
3) Wonach richtet sich der Durchmesser eines Fachwerkstabes? Nach der Größe seiner Stabkraft. 4) Was ist der Unterschied zwischen “Knoten” und “Knotenpunkt” ? Knoten sind die Verbindungsstellen der realen Stäbe, Knotenpunkte die Schnittstellen der gedachten Stablinien. 5) Römische Ziffern an einer Fachwerk-Skizze bezeichnen …? die Knotenpunkte 6) Die Gewichtskraft eines Stabes zählt als innere oder als äußere Kraft ? als äußere Kraft. 7) Wie behandelt man äußere Kräfte, die quer an der Mitte eines Stabes angreifen? Man zerlegt sie in Kräfte, die an den Knoten angreifen.
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Statische Bestimmtheit
Quiz
Ein Fachwerk kann instabil sein (zu wenig Stäbe), oder statisch bestimmt sein (alle Kräfte sind bestimmbar) oder statisch unbestimmt sein (mehr Stäbe als notwendig da).
instabil
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statisch bestimmt
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statisch unbestimmt
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Statische Bestimmtheit Statische Bestimmtheit ermitteln: Anzahl an vorhandenen Gleichungen
Vergleich
Anzahl an unbekannten Kräften
Erstellbare Gleichungen: Jeder Knoten liefert 2 Gleichungen: ΣFx=0, ΣFy=0 k Knoten liefern 2k Gleichungen. Unbekannte Kräfte: Ein Loslager entspricht einer unbekannten Kraft → 1 Ein Festlager entspricht zwei unbek. Kräften → 2 Jeder Stab beinhaltet eine unbekannte Kraft → s
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Das Abzählkriterium für statische Bestimmtheit lautet: 2k = 3+s
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Statische Bestimmtheit Ermitteln Sie die statische Stabilität bzw. statische Bestimmtheit der abgebildeten drei Fachwerke - mit Begründung.
Quiz
Drei Fachwerke
2k=3+s 2·4 > 3+ 4 8>7 instabil
Fachwerke
2k=3+s 2·4 = 3+ 5 8=8 statisch bestimmt © Prof. Dr. Remo Ianniello
2k=3+s 2·4 < 3+ 6 8<9 statisch unbestimmt Folie 18
Statische Bestimmtheit zur Erinnerung:
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Statische Bestimmtheit Ein statisch bestimmter Stab, der mit zwei anderen Stäben ein Dreieck bildet, ist das einfachste ebene, statisch bestimmte Fachwerk. Denn: Dreieckige Fachwerke erfüllen immer s = 2k - 3
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Verfahren zeichnerisch analytisch ganzes FW CremonaPlan lokal
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CulmannVerfahren
KnotenpunktVerfahren Ritterscher Schnitt
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KnotenpunktVerfahren Fachwerke
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Knotenpunkt-Verfahren „Rezept: Knotenpunkt-Verfahren“: 1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...) nummerieren 2) Statische Bestimmtheit kontrollieren 3) Nullstäbe kennzeichnen 4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. 5) Freischnitt um ersten Knoten; dabei alle unbekannten Stabkräfte zunächst als Zugkräfte annehmen. 6) Zerlegung der Stabkräfte in ihre Komponenten 7) Kräfte-Bilanzen erstellen. 8) Ergebnis-Tabelle erstellen: Kräfte in Zug-Stäben positiv, Kräfte in Druck-Stäbe negativ kennzeichnen
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Wird bei allen Verfahren durchgeführt.
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Knotenpunkt-Verfahren Kran
Aufgabe Aufgabe
Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem KnotenpunktVerfahren zu berechnen. Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 m FAx = 5 kN FAy = 15 kN FB = 20 kN
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Knotenpunkt-Verfahren Boden-Wand-FW
Aufgabe Aufgabe
Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem KnotenpunktVerfahren zu berechnen. Gegeben: F1 = F2 = F3 = 10 kN
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Cremona-Plan Fachwerke
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Cremona-Plan „Rezept: Cremona-Plan“: 1) Knoten (I, II, ..) und Stäbe (1, 2, ...) nummerieren 2) Statische Bestimmtheit kontrollieren 3) Nullstäbe kennzeichnen 4) Freimachen, Lagerkräfte ermitteln. 5) Umlaufsinn (Kraftfolge) festlegen 6) Freischnitt des ersten Knotens = Lageplan; nur zwei unbekannte Kräfte dürfen vorliegen. 7) Kräfteplan aufbauen. Stabkräfte nummerieren. 8) Vergleich von Umlaufrichtung und Lageplan gibt an, ob ein Zug- oder Druckstab vorliegt. 9) Stabkraft-Tabelle mit Kennzeichnung von Zug(+) bzw. Druck-(-) Stäben erstellen.
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Wird bei allen Verfahren durchgeführt.
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Cremona-Plan Brücke
Aufgabe Aufgabe
Ein Fachwerk wird mit den Kräften F1 , F2 und F3 , sowie FA und FB nach Skizze belastet. Alle Stabkräfte sollen mit Hilfe des Cremona-Plans ermittelt werden.
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Cremona-Plan 1) 2) 3) 4)
Stäbe und Knoten sind nummeriert. Das Fachwerk ist statisch bestimmt. Knoten mit max. 2 unbekannten StabEs gibt keine Nullstäbe. kräften aussuchen Lagerkräfte: FA = 5,75 kN, FB = 6,25 kN Hier fortfahren
Lageplan 2, Zugstab
FA
Drehsinn festlegen
1, Druckstab
Wirklinie der - nach dem Drehsinn - nächsten Kraft zeichnen
Hier enden
Kräfteplan
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Wirklinie der nächsten Kraft (nach dem Drehsinn) in den Kräfteplan ziehen
(mit bekannter Kraft beginnen)
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Cremona-Plan Den ersten Kräfteplan behalten. Dann den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten II
4-
hier enden
FA
2+
im Drehsinn mit bekannten Kräften starten
3-
F1 1-
Kräfteplan
Fachwerke
hier weiter machen
Lageplan
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Cremona-Plan Kräfteplan beibehalten. Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten III hier weiter machen
6+ 4-
FA
2+
5-
hier enden
im Drehsinn mit bekannten Kräften starten
3-
1Kräfteplan
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Cremona-Plan Jetzt den nächsten Knoten mit maximal zwei unbekannten Kräften aussuchen. Hier: Knoten IV hier enden
8-
F2
6+
hier weiter machen 7-
5-
4FA
2+
3-
im Drehsinn mit bekannten Kräften starten
1-
zur Lösung Kräfteplan Fachwerke
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Cremona-Plan
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Folie 33
Cremona-Plan Kran
Aufgabe Aufgabe
Die Stabkräfte des abgebildeten Fachwerks sind mit dem Cremona-Plan zu berechnen. Gegeben: F = 7,071 kN, a = 2,828 m
zur Lösung Fachwerke
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Cremona-Plan
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Folie 35
Aufgabe Aufgabe
Cremona-Plan Fachwerkträger Für den skizzierten Fachwerkträger sind die Stabkräfte zeichnerisch nach dem CremonaVerfahren zu bestimmen.
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Ritter-SchnittVerfahren Fachwerke
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Ritterscher Schnitt Was ist das Verfahren nach Ritter? nicht ein Knoten, sondern mehrere Stellen Ansatz: Nicht nur Kräftebilanz, sondern auch Momentenbilanz.
ΣM = 0
mehrere Stellen
Georg Dietrich August Ritter (*1826, † 1908 in Lüneburg) war ein deutscher Professor für Mechanik und für Astrophysik. Er entwickelte das Rittersche Schnittverfahren zur Berechnung von Stabkräften in Fachwerken. Fachwerke
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Ritterscher Schnitt Wie berechnet man nach Ritter? Ein Ritterscher Schnitt muss entweder durch drei Stäbe, die nicht alle demselben Knoten angehören, gehen oder durch einen Knoten und einen Stab
Das Tragwerk zerfällt dabei in zwei Teile. Für jeden Teilkörper gelten die drei GGWBedingungen → Σ Fx, Σ Fy und Σ M = 0. drei unbekannte Stabkräfte sind ermittelbar. Fachwerke
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Ritterscher Schnitt Brücke
Aufgabe Aufgabe
Bestimmen Sie die Stabkräfte S4 = - 5,75 kN, S5 = -2,47 kN und S6 = +7,5 kN nach dem Ritterschen Schnitt-Verfahren.
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Ritterscher Schnitt Ausleger
Aufgabe Aufgabe
Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Ritterschen Schnittverfahren die Stabkräfte S10 = -30 kN, S11 = -27,4 kN, S12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN
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Folie 41
Ritterscher Schnitt
Aufgabe Aufgabe
Kleine Ritter-Brücke Bestimmen Sie die Kraft in den Stäben GE, GC und BC des Fachwerks und geben Sie an, ob die Stäbe unter Zug oder unter Druck stehen. F1 = 400 N, F2 = 1.200 N, h = 3 m, l = 4 m.
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CulmannVerfahren Fachwerke
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Culmann-Verfahren Ausleger
Für den abgebildeten Ausleger sind nach dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte S10 = -30 kN, S11 = -27,4 kN, S12 = 51,88 kN zu ermitteln. F = 8 kN
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Wirklinien Man benötigt der Kräftepaare zwei Kräftepaare einzeichnen – daher werden die drei einzelnen F zu einer Schnittpunkte markieren undKräfte verbinden Resultierenden 3 F zusammen gefasst.
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Culmann-Verfahren Ausleger Für den abgebildeten Ausleger sind nach Ein Parallelogramm der dem Culmann-Verfahren die Stabkräfte unbekannten Kräfte mit R2 S10 = -30 kN, liefert die fehlenden Beträge S11= -27,4 kN, S12 S12 = 51,88 kN zu ermitteln. R1 hat eine gleich große, entgegen gesetzte F = 8 kN Resultierende R2
S11
R1 Ein Parallelogramm mit der bekannten Kraft...
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S10
...liefert S10 und damit auch R1
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Knotenpunkt-Verfahren Brücken-FW
Aufgabe Aufgabe
Ein Fachwerk wird mit den äußeren Kräften F1 , F2 , F3 , sowie FA und FB belastet. Die Stabkräfte ("innere Kräfte") S1 bis S8 sollen mit Hilfe des Knotenpunkt-Verfahrens ermittelt werden.
Lösung: S1 = -5,75 kN S2 = 8,13 kN S3 = -4 kN
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S7 = -1,77 kN S4 = - 5,75 kN Lösung S8 = -6,25 kN S5 = -2,475 kN S6 = 7,5 kN
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S9 = -5 kN S10 = 8,84 kN S11 = -6,25 kN
Folie 47
