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¨ UBUNGSZETTEL 5 - LINEARE ALGEBRA II JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Aufgabe 1 (4 Punkte). Zeigen Sie: Zu jedem Endomorphismus f eines K-Vektorraums endlicher Dimension V mit zerfallendem charakteristischen Polynom existiert genau ein Paar Endomorphismen n und d, mit folgenden Eigenschaften: (1) (2) (3) (4)
n ist nilpotent. d ist diagonalisierbar. nd = dn f =d+n
Aufgabe 2 (4 Punkte). Man bestimme die reellen L¨osungen des Differenzialgleichungssystems 4f +g −2h = f 0 3f +14g −18h = g 0 2f +6g −7h = h0 f¨ ur Funktionen f, g, h ∈ C ∞ (R, R). Aufgabe 3 (5 Punkte). Finden sie die Jordansche Normalenform folgender Matrizen, jeweils u ¨ber den K¨orpern Z/2, Z/3, R und C, sofern m¨oglich. −3 −10 54 −13 12 8 1 3 −11 −27 25 16 0 0 1 16 −15 −9 Man beweise auch die Unm¨oglichkeit dieses Unterfangens, wenn angemessen, und bestimme ggf. die reelle Normalform gem¨aß Aufgabe 4.
Abgabetermin: 27.05. in der Vorlesung 1
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JENS FRANKE, FABIAN HEBESTREIT
Definition. F¨ ur einen echt komplexe Zahl λ definieren wir den zugeh¨origen reellen Jordanblock der Gr¨oße n als die folgende 2n × 2n-Matrix Re(λ) Im(λ) 1 0 −Im(λ) Re(λ) 0 1 Re(λ) Im(λ) 1 −Im(λ) Re(λ) 0 ... 0 1 Re(λ) Im(λ) −Im(λ) Re(λ) Weiterhin sagen wir, dass eine Matrix in reeller Jordan-Normalenform vorliegt, wenn sie eine Blockdiagonalmatrix ist, deren Bl¨ocke entweder echte Jordanbl¨ocke mit reellen Diagonaleintr¨agen oder reelle Jordanbl¨ocke sind. Aufgabe 4 (7 Punkte). Zeigen Sie: Zu jedem Endomorphismus f eines endlich dimensionalen, reellen Vektorraums V existiert eine Basis B von V , derart dass die zu f und B geh¨orige Matrix in reeller JordanNormalenform ist. Hinweis: Man kann z.B. die komplexe Jordan-Normalenform heranziehen und das Ergebnis daraus ableiten, oder man imitiert den Beweis der Normalenform f¨ ur nilpotente Endomorphismen in algebraisch abgeschlossenen K¨orpern noch einmal; in jedem Falle aber sollte man die letzte Aufgabe von Zettel 4 vor Augen haben. Bemerkung. Die zu λ und λ geh¨origen Jordanbl¨ocke sind ¨ahnlich (¨ uber den reellen Zahlen). Bis auf diese Unbestimmtheit (und die Reihenfolge der Bl¨ocke) ist auch die reelle Jordan-Normalenform einer Matrix eindeutig bestimmt.
