Formelsammlung - Etg Kurzschluss

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Beck Formelsammlung Elektrotechnik Christopher Beck 7. September 2016 Diese Formelsammlung ist noch nicht vollendet und steht daher unter st¨andiger Weiterentwicklung und Verbesserung. Bei Fragen zum aktuellen Stand oder nach einer neueren Version, einfach per E-Mail melden. Auflage: 0, Version: 0.1.5 Stand: 7. September 2016 Diese Formelsammlung erhebt keinen Anspruch auf Richtigkeit und Vollst¨andigkeit. Verbesserungsvorschl¨ age sowie gefundene Fehler nehme ich aber gerne entgegen. eMail: [email protected] GPG-Fingerprint: AE1A C931 2BAF C5A1 F0BE 2083 3117 1121 2F9D 4F14 2 Vorwort Liebe Studentinnen und Studenten, Ihr haltet nun eine (noch unvollst¨andige) Formelsammlung in den H¨anden, die w¨ahrend der Pr¨ ufungsvorbereitung in diversen F¨achern an der Friedrich-Alexander-Universit¨at Erlangen-N¨ urnberg entstanden ist. Die Idee f¨ ur die Formelsammlung entstand in der Vorlesung zu GET1, da zu dieser Pr¨ ufung alle Unterlagen erlaubt waren und war anfangs nur f¨ ur den Eigengebrauch gedacht. Ein herzlicher Dank geht hier an Frau Anne Sacher, die diese Formelsammlung ebenfalls zur Pr¨ ufungsvorbereitung nutzte und viele sinnvolle Anregungen lieferte. Nachdem auch ein Teil f¨ ur die Folgevorlesung GET2 hinzugef¨ ugt wurde und die Formelsammlung auch von anderen Kommilitonen genutzt wurde, lag es auf der Hand, diese weiter zu f¨ uhren. Der momentane Stand dieser Formelsammlung ist noch weitab vom Zustand Aus” gereift“ entfernt, was bedeutet, dass viele Teile unvollst¨andig sind und sicherlich viele Fehler enthalten sind. Ich als Autor bin sehr bem¨ uht, diese Missst¨ande zu beheben, doch reicht die Zeit neben der Arbeit hierf¨ ur oft nicht aus. Deswegen bin ich auf Eure Mithilfe angewiesen: Gebt mir Feedback! Sowohl bei gefundenen Fehlern, als auch bei ¨ W¨ unschen oder Anderungsvorschl¨ agen. Ich werde mich bem¨ uhen, diese einzuarbeiten und diese Formelsammlung so weiter zu verbessern. Schreibt mir einfach eine E-Mail und gebt dabei bitte die Version und das Datum der Ausgabe an. Vielen Dank! Ziel dieser Formelsammlung ist es auch nicht, etablierte Werke zu ersetzen. Sie soll vielmehr dazu dienen, oft ben¨otigte Formeln und Zusammenh¨ange nach zu schlagen. F¨ ur weiterf¨ uhrende Recherchen ist auch immer auf die zu Grunde liegende Literatur verwiesen. Nun bleibt mir als Autor nur noch ein erfolgreiches Studium zu w¨ unschen und dass alle Dinge, die Ihr in der Formelsammlung nachschlagen wollt, auch da sind. Christopher Beck 3 Danke Fu age danke ich ¨ r Feedback, gefundene Fehler und Verbesserungsvorschl¨ Cornelia Speidel, Bastian Bauer Ein besonders großer Dank... ...geht an Frau Anne Sacher, die, wie im Vorwort bereits erw¨ahnt, in der Anfangszeit viele Verbesserungsvorschl¨age lieferte. ...geb¨ uhrt auch Frau Ingrid Ullmann, die im weiterem Verlauf viel durch Diskussion beigetragen und einige Fehler gefunden und verbessert hat. i Inhaltsverzeichnis 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.1. GET1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Elektrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Station¨ares Str¨omungsfeld . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Einfache elektrische Netzwerke . . . . . . . . . . . 1.1.4. Das station¨are Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . 1.1.5. Das zeitlich ver¨anderliche elektromagnetische Feld 1.1.6. Wechselspannung und Wechselstrom . . . . . . . 1.1.7. Energie und Leistung bei Wechselspannung . . . . 1.2. GET2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Quelle und Last . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Berechnung einfacher Schaltungen . . . . . . . . . 1.2.3. Netzwerkanalyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Zweipole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.5. Mehrpolige Netzwerke . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.6. Zweitore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.7. Fourier-Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. GET3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Laplace-Transformation . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Nichtlineare Bauelemente . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Einschwingvorg¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Fehlerrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Operationsverst¨arker (OpAmps) . . . . . . . . . . 1.3.6. Messschaltungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Halbleiterbauelemente 2.1. Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Intrinsischer Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Dotierter Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Ladungstr¨ager im Halbleiter in elektrischem Feld 2.1.4. Halbleiterdioden . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5. Metall-Isolator-Halbleiter-Kondensator . . . . . . 2.1.6. MOSFET . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.7. Optoelektronik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3 3 6 7 9 12 14 16 16 17 18 20 22 24 24 26 30 30 33 34 35 36 36 . . . . . . . . 37 37 37 37 38 39 39 41 42 iii Inhaltsverzeichnis 3. Schaltungstechnik 43 3.1. Grundlegende Bauelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.1. Diode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 4. Maxwellsche Gleichungen 4.1. Integrale Darstellung . . . . . . . . . . . . . 4.2. Differentielle Form . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich . . 4.4. Randbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen 5. Elektromagnetische Felder 5.1. Theorie elektromagnetischer Felder 5.1.1. Elektrostatik . . . . . . . . 5.1.2. Station¨ares Str¨omungsfeld . 5.1.3. Station¨ares Magnetfeld . . . 5.1.4. Elektrodynamik . . . . . . . 6. Hochfrequenztechnik 6.1. PB . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Wellenausbreitung 6.1.2. Bauteile . . . . . . 6.1.3. Leitungstheorie . . 6.2. HF . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Streuparameter . . 6.3. Antennen . . . . . . . . . 6.3.1. Antennentypen . . 7. Photonik 7.1. Akives Medium . . 7.2. Gauß-Strahl . . . . 7.3. Resonatoren . . . . 7.4. Gaslaser . . . . . . 7.5. Laserdioden . . . . 7.6. Lichtwellenleiter . . 7.7. Photonik 2 . . . . . 7.7.1. Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8. Regelungstechnik 8.1. Regelungstechnik A . . . . . . 8.1.1. Modellbildung . . . . . 8.1.2. Stabilit¨atskriterien und 8.1.3. Reglerentwurf . . . . . 8.1.4. Regelkreise . . . . . . iv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 45 46 47 48 49 . . . . . 51 51 51 55 55 58 . . . . . . . . 59 59 60 65 69 76 76 78 78 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 81 81 83 83 83 84 84 . . . . . . . . . . . . . . . . . . Systemtheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 85 85 86 88 91 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Inhaltsverzeichnis A. Anhang A.1. Stromrichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.1.1. Anschauliche Begr¨ undung . . . . . . . . . . . . . A.1.2. Begr¨ undung durch die Maxwellschen Gleichungen A.1.3. Welche Ladungen beachtet werden... . . . . . . . A.2. (Natur)konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Mathematik GET1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4.1. Geometrische Formeln . . . . . . . . . . . . . . . A.4.2. Wichtige Stammfunktionen . . . . . . . . . . . . A.4.3. Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5. Mathematik GET2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.1. Mathematische Methoden . . . . . . . . . . . . . A.5.2. Diverses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6. Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.6.1. Laplace-Korrespondenzen . . . . . . . . . . . . . A.6.2. Laplace-S¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.7. Smith-Chart . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.8. Mathematik RT-A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9. Vektoranalysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.1. Umformungen grad . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.2. Umformungen div . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.3. Umformungen rot . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.4. Laplace-Operator . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.9.5. Integrals¨atze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stichwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 93 93 94 95 95 95 96 96 96 96 97 97 97 98 98 99 100 101 102 102 102 102 103 103 105 106 v Abbildungsverzeichnis 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. 1.5. Stern-Dreieck-Umwandlung . . . . . . Dreieck-Stern-Umwandlung . . . . . . Kondensator mit Anfangswertgenerator Spule mit Anfangswertgenerator . . . . Dezibel Werte (20 lg (·)) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 31 31 32 6.1. 6.2. 6.3. 6.4. 6.5. Brechung und Fresnelgesetze HF-ESB Widerstand . . . . HF-ESB Kondensator . . . . HF-ESB Spule . . . . . . . . Lecherleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 65 66 67 72 8.1. 8.2. 8.3. 8.4. 8.5. 8.6. Ortskurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bode-Diagramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Strecke im Regelkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . allg. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung . . . . . . . . . . . . . Zwei-Freiheitsgrade-Regelung mit St¨orgr¨oßenaufschaltung Kaskadierte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 90 91 91 91 91 A.1. Positive Ladungen, die von einer Elektrode durch eine H¨ ullfl¨ache tritt . . 93 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.1. GET1 1.1.1. Elektrostatik Coulombsches Gesetz () ~ = QQ1 ~r F 4π0 r3 Es gilt f¨ ur den Ortsvektor ~r: ~r = ~rP − ~rQ . ~ E-Feld der Punktladung (1-1.3) ~ = Q ~r E 4π r3 ~ = Q e~ρ E 4πr2 ~ E Q ~ Kraft auf eine Ladung im E-Feld (1-1.2) ~ F~ = QE Linienladungsdichte λ () λ= dQ ˆd l Q= λdl l 3 1. Grundlagen der Elektrotechnik Fl¨ achenladungsdichte σ () σ= dQ dA ¨ ~ σ entspricht D. σdA Q= A Raumladungsdichte ρ () Meist wird die so erhaltene Ladung mir der berechneten Ladung aus dem elektrischem Fluss gleichgesetzt. Man betrachte hier die Maxwellgleichungen. Auf diese Weise erh¨alt man das ~e-Feld. dQ ρ= dV ˚ ρ0 d V Q= Vk Permittivit¨ at ()  = 0 r r = (1 + χe ) Flussdichte ()  = r 0 . 0 ist eine Naturkonstante. ~ = E ~ D Elektrischer Fluss I () ¨ ψ bezeichnet den elektrischen Fluss aus der Fl¨ache A. ~ · dA ~ D ψ= AK Elektrischer Fluss II () ‹ ~ · dA ~=ψ D Q= AK 4 Es wird nun das H¨ ullfl¨achenintegral berechnet. ψ bezeichnet den elektrischen Fluss aus der Fl¨ache A. Nimmt man Q an, integiert die nur von ρ abh¨angige Flussdichte u ¨ber A so kann man nach dem Feld der Punktladung aufl¨osen. 1.1. GET1 Elektischer Fluss im Raum () Uml¨auft man eine geschlossene Fl¨ache (nicht u ¨ber einen elektisch geladenen K¨orper!) so ist ψ = 0. Also was reingeht geht auch raus. ‹ ~ · dA ~=0 D Flussdichte auf leitenden Oberfl¨ achen () ~ = ~n · E ~ =σ Dn = ~n · D Heißt auf ner leitenden Oberfl¨ache entspricht die Flussdichte der Fl¨achenladungsdichte Elektrische Spannung () ˆP2 ~ · d~s = ϕ1 − ϕ2 E U12 = ϕ12 = P1 ˛ 0= ~ · d~s E Aus letzerem folgt die Maschenregel. Der vermeindliche Vorzeichenfehler (Obergrenze - Untergrenze) begr¨ undet sich aus der Defi´P1 ~ · d~s. nition des Potentials ϕ1 = − E P0 Kapazit¨ at eines Kondensators () Q = C= U  ‚ AK ´ s ~ · dA ~ E ~ wird durch den elektrischen Fluss beE Q stimmt. Danach setzt man C = ´ E·d ~ ~s mit s ~ Dies setzt allerdem zuvorberechneten E. dings Kenntniss der Feldverteilung vorraus. ~ · d~s E Energie im Kondensator () 1 1 W = CU 2 = QU 2˚ 2 1 ~D ~ dV = E 2 Dies folgt durch Integration. Letzteres aus der Energiedichte Energiedichte (I-1.101) 1~ ~ ·D we = E 2 Kondensatoren 5 1. Grundlagen der Elektrotechnik Paralleldrahtleitung Parallelschaltung Cges = X CK πl C= Reihenschaltung ln  X 1 1 = Cges Ck Plattenkondensator C= Horizontaler Draht A d C= Kugelkondensator C = 4π  √ a+ a2 −d2 d ba b−a 2πl
ln 4h d vertikaler Draht Zylinderkondensator C= 2πl   ln ddai C= ln 2πl  q 2l d 4h+l 4h+3l  1.1.2. Station¨ ares Str¨ omungsfeld Elektrischer Strom () dQ I=− dt Ladung pro Zeit. F¨ ur die Erkl¨arung des Vorzeichens siehe Anhang A.1 Ohmsches Gesetz () ~ = J~ κE U = RI Letztere Form erh¨allt man durch Integration. κ ist die spezifische Leitf¨ahigkeit Elektrischer Widerstand () l R= κA κ ist eine Materialkonstante (die spezfische Leitf¨ahigkeit) Leitwert () G= 6 1 R 1.1. GET1 Spezifischer Widerstand () 1 κ ρR (T ) = ρR,20◦ C (1 + α∆T ) ρR (T ) = ρR,20◦ C (1 + α∆T + β(∆T )2 ) ρR = ¨ In Letzteren Formeln wird die Anderung von ρ durch die Temperatur approximiert. Stromdichte () Aus letzterem folgt die Knotenregel (was reinfließt muss auch wieder raus). Achtung: Es ‚ gibt auch die Kontinuit¨atsgleichung I = ~J · d A, ~ welche f¨ ur Elektroden untersch. ¨ ‹ ~=I J~ · dA ~=0 J~ · dA A Potentials gilt. Elektrische Leistung () P = I 2R = U2 = UI R Elektrische Energie () ˆ WE = P dt t Verlustleistungsdichte (I-2.53) ˚ ˚ pv d V = P = V V ~ · J~ d V E 1.1.3. Einfache elektrische Netzwerke Maschenregel () X U =0 Folgt aus ¸ ~ d~s = 0 E C M asche 7 1. Grundlagen der Elektrotechnik Knotenregel () X Folgt aus I=0 ‚ ~J d A ~ =0 A Knoten Spannungsteiler () U1 R1 = U2 R2 U = U1 + U2 U1 = U I = I1 = I2 R1 R1 + R2 Stromteiler () I1 R2 = I2 R1 U = U1 = U2 I1 = I I = I1 + I2 R2 R1 + R2 Leistungsanpassung () RL = Ri U2 PL max = 0 4Ri Bei der Spannungsquelle mit U0 mit dem Innenwiderstand Ri und dem Lastwiderstand RL Wirkungsgrad η () η= PL · 100% Pges Reihenschaltung von R Rges = 8 X Rk Parallelschaltung von R X 1 1 = Rges Rk 1.1. GET1 1.1.4. Das station¨ are Magnetfeld Magnetische Flussdichte () ~ = µH ~ B Vs [B] = 2 m A [H] = m Oersted’sches Gesetz () Das Gesetz gilt f¨ ur einen Leiter. Umkreist man mehrere Leiter enth¨allt man statt I die Durchflutung Θ. Im Dauermagneten gilt in ¸ Folge des nicht vorhandenen Stromes ~ s = 0. Hd~ ˛ ~ s=I Hd~ Durchflutung Θ () ˛ ¨ ~ H(ρ)d~ s=Θ= ~ A ~ Jd Bei Spulen: N ist die Wicklungszahl A Θ= X In = N I n Kraft auf einen Leiter im Magnetfeld () ˛ F~ = I ~ r)] [d~r × B(~ Magnetischer Fluss () ¨ ~ · dA ~ B Φ= A 9 1. Grundlagen der Elektrotechnik Integrieren um einen Magneten () ‹ Das beweist, dass es keine magnetischen Monopole gibt ~ · dA ~=0 B A magnetische Spannung () Vm12 ˆP 2 ~ · d~s = H Analoge Behandlung wie im elektrischem Fall P1 Vm = RM Φ = Θ magnetischer Widerstand (Reluktanz) () Rm = l µA magnetischer Leitwert () Λm = 1 = AL Rm L = N 2 AL , wenn perfekt gekoppelt Feldst¨ arke eines Linienleiters () ~ = I e~φ H 2πρ ~ = Iρ e~φ H 2πa2 außerhalb Man erh¨allt sie durch Anwendung des Oersted’schen Gesetztes innerhalb Durchflutung einer Spule () Θ = NI 10 1.1. GET1 Induktivit¨ at () N L= ˜ A ~ · dA ~ B I = N ΦA = N 2 AL I Φ = N ΦA . ΦA ist der Fluss in einer Leiter~ als Kernquerschnittsfl¨ache. schleife mit dA Bei symmetrischen Anordnungen nimmt ~ und daraus dann man I an, berechnet H Φ. Letztlich k¨ urzt sich dann I wieder weg (analog zur Kapazit¨at) Gegeninduktivit¨ at () M= Φ21 = N1 N2 AL i1 Analog zur Induktivit¨at, nur dass der Fluss der Wicklung 2 der durch die Wicklung 1 fließt genommen wird sowie der Strom der Wicklung 1. Induktivit¨ at einer Doppelleitung (1-5.68) L=l µ0 1 b ( + ln ) π 4 a L¨ange l, Abstand b und Leiterradius a Spulen Toroidspule Zylinderspule ~ = e~ϕ N i H 2πρ ~ = e~x N i H l Induktivit¨ aten versch. Anordnungen Ringspule L=µ Paralleldrahtleitung N 2A 2πrm l L ≈ µ ln π Zylinderspule N 2A L=µ l  2a D  Kreiswindung Koaxialleitung l L = µ ln 2π  Da Di      D D L = µ0 ln + 0, 08 2 d 11 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.1.5. Das zeitlich ver¨ anderliche elektromagnetische Feld ~ - Feld () Bewegter Leiter im B E = vx B U12 = lvx B = − dΦ dt Faraday’sches Induktionsgesetz () ˛ ~ 0 · d~s = − d E dt C ¨ ~ · dA ~ B A d ΦA dΦ = −N u(t) = Ri(t) = − dt dt Die Fl¨ache A umschließt die Kontur C. ~0 = E ~ bei ruhender Kontur. A ~ und C sind E rechtsh¨andig miteinander verkn¨ upft Koppelfaktoren () µ Φ21 = Φ11 L11 M k=√ L11 L22 KL = Gegenindiktivit¨ at einer Doeppelleitung (1-6.38) ¨ Φ21r = ~ · dA ~ = µ0 i1 l ln b B 2π a A2 Φ21l Φ21 L21 µ0 i 1 d =− l ln 2π c bc µ0 i1 = l ln 2π ad Φ21 µ0 l bc = = ln i1 2π ad Seite 255. Erh¨allt man durch stures ausintegrieren mit dem Megnetfeld einer Doppel~ = e~ϕ −i1 leitung H 2πρ Energiegehalt des Feldes (6.56) 1 1 Wm = L11 I12 + M I1 I2 + L22 I22 2 2 12 Dies gilt f¨ ur einen Trafo mit 2 Wicklungen. F¨ ur eine einfache Spule entfallen die Komponenten mit L22 und M . 1.1. GET1 Energiedichte (I-6.63 I-6.66) ˆB H · dB wm = 0 1~ ~ = H ·B 2 ˚ ˚ 1 ~ ·B ~ dV H Wm = wm d V = 2 V V Daher hat man dann auch die Hystereseverluste ¨ ¨ Das Ubersetzungsverh altniss beim idealen Ubertrager (I-6.99) ¨ up is = = u¨ us ip Np u¨ = Ns up ip = us is ¨ Dies gilt beim idealem Ubertrager. Die Widerstandstransformation (I-6.100) up u¨ Re = = u¨us = u¨2 R2 ip is Hier wird der Widerstand R2 der Sekund¨arseite als Re ersetzt, also w¨ahre Re ¨ statt des Ubertragers angeschlossen. Trafogleichung (1-6.80) d i2 d i1 −M dt dt d i2 d i1 u3 = R2 i2 − M + L22 dt dt u0 = R1 i1 + L11 Bei Last ohne Quelle an der Sekund¨arseite gilt u3 = 0. Trafogleichung mit Ersatzschaltbild (1-6.86) d i1 d(i2 − i1 ) −M ersatzschaltbild!! dt dt d(i1 − i2 ) d i2 0 = R2 i2 − M + (L22 − M ) dt dt u0 = R1 i1 + (L11 − M ) 13 1. Grundlagen der Elektrotechnik Zusammenh¨ ange zwischen Strom und Spannung Widerstand u(t) = Ri(t) U = RI Bauteil Zeitabh¨angig Zeitunabh¨angig Spule uL = L dditL UL = 0 Kondensator iC = C ddutC IC = 0 1.1.6. Wechselspannung und Wechselstrom Da dieses Kapitel in [3] und der Vorlesung GET II vertieft wird, ist es ratsam sich Kapitel 1.2 ebenfalls anzuschauen. Gleichrichtwert (2-1.9) 1 |u| = T tˆ 0 +T |u(t)| d t Mittelwert aus dem Betrag t=t0 Effektivwert () XEf f v u u ˆT u1 =t x2 (t) d t T 0 F¨ ur eine beliebige Gr¨oße x(t). Letztere Formel gilt f¨ ur Komplexe Gr¨oßen ˆ |X| = √ 2 Die Komplexe Spannung () Die Gr¨oße u kann als komplexe Gr¨oß u geu(t) = Re(u(t)) + jIm(u(t)) schrieben werden. TODO: Da des Zeigerdia= uˆ[cos (ωt + ϕU ) + j sin (ωt + ϕU )] grambild rein = uˆejϕU ejωt Schwingkreise () ω0 = √ 14 1 LC Dies ist die Resonanzfrequenz sowohl f¨ ur den Parallelschwingkreis als auch f¨ ur den Serienschwingkreis. Hier verschwindet beim Serienschwingkreis =(Z) und beim Parallelschwingkreis =(Y ) 1.1. GET1 Schwingkreisgu ¨ te () 1 Qs = R r Die G¨ ute taucht ebenfalls in der Komplexen Frequenz s auf. L C Bauteil Widerstand Spule Kondensator Impedanz Z=R Z = jωL 1 Z = jωC Admittanz Y = R1 1 Y = ωL Y = ωC Allgemeines () uˆ = Zˆi X uˆm = 0 m X ˆik = 0 Es gelten die gleichen Gesetzten wie in Kap. 3. Die Phase des Stromes zur Spannung ¨andert sich bei Z = R nicht. k Z= 1 Y Berechnungsschritte • Gleichung nach Tabelle 2.1 [2, S.33] mit den gr¨oßen aus obiger Tabelle aufstellen. • auf gesuchte gr¨oße Aufl¨oßen • Gr¨oße in Polarform bringen • Zeitabh¨angige Phase eωt anmultiplizieren • Zahl auf |z|(cos ωt + ϕ +  sin ωt + ϕ) bringen • <(z) angeben 15 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.1.7. Energie und Leistung bei Wechselspannung Scheineistung ([2], Formel 2.154) [S] = V A P : Wirkleistung ([P ] = W ) Q: Blindleistung ([Q] = V Ar) p S = U I = P 2 + Q2 Komplexe Leistung ([2], Formel 2.156) 1 ∗ S = uˆˆi = P + jQ 2 1 |ˆ u|2 = 2 Z∗ [S] = V A P : Wirkleistung ([P ] = W ) Q: Blindleistung ([Q] = V Ar) Wirkleistung () P = 2 γ wird Leistungsfaktor genannt und vor alUef 1 ˆ f 2 = Ief ˆi cos (ϕu − ϕi ) lem bei Antriebsmaschinen angegeben. f RL = u {z } RL 2 | γ Blindleistung () 1 Q = uˆˆi sin (ϕu − ϕi ) 2 1.2. GET2 Beachten Sie bitte, dass sich in [3] die verwendeten Symbole ge¨andert haben. Gr¨oße komplexe Spannung komplexer Strom 16 Buch 1-2 uˆ ˆi Buch 3 U I 1.2. GET2 1.2.1. Quelle und Last Umrechnung von Quellen ([3], Formel 1.6) U q = Iq · Zi 1 Zi = Yi Umrechnung einer realen Spannungs- und Stromquelle ineinander. Leistungsanpassung ([3], Formel 1.14) 1 |U q |2 8 Re(Z i ) 1 |I q |2 = 8 Re(Y i ) Pmax = f¨ ur Z L = Z ∗i Pmax f¨ ur Y L = Y ∗i Dies gilt entsprechend der Leistungsanpasung f¨ ur Gleichstrom und -spannung f¨ ur das Komplexe. Ersatzquellen ([3], Formel 1.18-1.20) • Leerlaufspannung bestimmen Iq • Kurzschlussstrom bestimmen Yi • Impedanz bestimmen Uq U = 0 → I = I KS = I q = Zi 2 dieser F¨alle m¨ ussen ausgef¨ uhrt werden, U 1 Impedanzbestimmung → − = Z i = letzterer klappt nicht bei gesteuerten I Yi Quellen. Es langt da die direkt aneinander leigenden Widerst¨ande zu nehmen. I = 0 → U = U LL = U q = Wirkungsgrad () η= PL PW V Damit kann man einiges ab¨ urzen 4RL Ri = (Ri + RL )2 + (Xi + XL )2 17 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.2.2. Berechnung einfacher Schaltungen ¨ Ahnlichkeitssatz ([3], Formel 2.13) • Annahme eines Stromes I nS I In = nS Uq U qS I I n = U q nS U qS • R¨ uckrechnung zur Quellspannung U qS • Berechnung von I n Achtung: dies gilt nur f¨ ur linear abh¨angige Netzwerke. Bei mehreren Quellen muss einzeln berechnet und u ¨berlagert werden. Zu Quellenversatz und -substitution siehe [3, S. 35ff]. Satz von Miller (Admittanz) ([3], Formel 2.16) U2 U1 I0 = 1 = Y p (1 − V U ) U1 I 02 1 = = Y p (1 − ) U2 VU VU = Y p1 Y p2 Siehe [3, S. 38f], dort wird das durch die Bilder klar Satz von Miller (Impedanz) ([3], Formel 2.16) I2 I1 U0 = 1 = Z s (1 + V I ) I1 U 02 1 = = Z s (1 + ) I2 VI VU = Z s1 Z s2 18 Siehe [3, S. 39f], dort wird das durch die Bilder klar 1.2. GET2 Stern-Dreieck-Umwandlung ([3], Abb. 2.17) Y10 Y 12 Y 13 Y 23 Y 10 Y 20 = P Y Y 10 Y 30 = P Y Y 20 Y 30 = P Y Y30 Y13 Y12 Y20 Y23 Abbildung 1.1.: Stern-DreieckUmwandlung Gilt nur bei konstanter Frequenz! Dreieck-Stern-Umwandlung ([3], Abb. 2.18) Z 12 Z 13 Z 10 = P Z Z 12 Z 23 Z 20 = P Z Z 13 Z 23 Z 30 = P Z Abbildung 1.2.: Dreieck-SternUmwandlung Gilt nur bei konstanter Frequenz! Theorem von Tellegen ([3, S. 51]) UT · I = IT · U = 0 UT · I∗ = (I∗ )T · U = 0 Dies besagt, dass die Summe aller Zweigleistungen im eingeschwungenen station¨arem Zustand im zeitlichen Mittel null sind. Reziprozit¨ ats-Theorem ([3], Formel 2.46) U 1b I 1a + U 2b I 2a = U 1a I 1b + U 2a I 2b Des heißt auch Umkehrsatz. Siehe [3, S. 53]. 19 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.2.3. Netzwerkanalyse Maschenstromverfahren Achtung: Das Maschenstromverfahren funktioniert nur bei Spannungsquellen, Stromquellen sind nach Kap. 1.2.1 umzurechnen! Vorgehensweise • Maschen und Maschenstr¨ome w¨ahlen • Beziehungen zw. Maschen- und Zweigstr¨omen aufstellen (Inzidenzmatrix) • Maschenregel anwenden (Gleichung mit Impedanzmatrix, [3], Formel 3.8) • Gleichungssystem l¨osen • Zweigstr¨ome mit Inzidenzmatrix berechnen • Zweigspannungen ermitteln Inzidenzmatrix ([3], Formel 3.3) Jedes Element aij enth¨allt das Vorzeichen des die Impedanz i durchfließenden Maschenstromes (Spalte j). A Impedanzmatrix () • In den Hauptdiagonalen die Summe der in der Masche M n vorkommenden Impedanzen.  P   P ZM1 .. . Z M n|M 1 ··· .. . ···  Z M 1|M n  ..  = ZM P . ZMn P • Die Elemente außerhalb werden durch die Summe der Impedanzen gebildet die von den angrenzenden Maschenstr¨omen gemeinsam durchflossen werden. Impedanzmatrix-Gleichung ([3], Formel 3.8)  ZM 20   P U qM 1 IM 1     .. ·  ...  =   . P IM n U qM n Das Vorzeichen der in einer Masche vorhandenen Spannungsquellen UqM n ist entsprechend des Z¨ahlpfeilsystems zu w¨ahlen. 1.2. GET2 Zweigstr¨ ome ([3], Formel 3.3)     I1 IM1  ..   .   .  = A ·  ..  In IM n sind die Maschenstr¨ome. IMn I = A · IM Knotenpotentialverfahren Achtung: Das Knotenpotentialverfahren funktioniert nur bei Stromquellen, Spannungsquellen sind nach Kap. 1.2.1 umzurechnen! Vorgehensweise • Referenzknoten und K − 1 Knotenspannungen festlegen • Beziehungen zwischen Knoten- und Zweigspannungen aufstellen (Inzidenzmatrix) • Kirchhoffsche Knotenregel auf K − 1 Knoten anwenden mit Knotenspannungen als Variablen • Lineares Gleichungssystem l¨osen • Zweigspannungen u ¨ber Inzidenzmatrix aus den Knotenspannungen berechnen • Zweigstr¨ome ermitteln Inzidenzmatrix () Vom Knoten weg: −1, zum Knoten hin +1. Admittanzmatrix ()  P Y K1 .. . ··· − ...   P − Y Kn|K1 · · · P P  Y K1|Kn  ..  = YK . Y Kn • In den Hauptdiagonalen stehen die Summen der an den jeweiligen Knoten angrenzenden Admittanzen • In die anderen Elemente wird die negative Summe der sich zwischen den jeweiligen Knoten befindenden Admittanzen eingetragen 21 1. Grundlagen der Elektrotechnik Admittanzmatrix-Gleichung ()   P  I qK1 U K1     YK ·  ...  =  ...  P U Kn I qKn Vorzeichen der Quelle: Zum Knoten +, vom Knotrn − Knotenspannungen () 1.2.4. Zweipole Komplexe Frequenz ([3], Formel 4.9) s = σ + ω σ bezeichnet die D¨ampfungskonstante. ω0 σ=− 2Q0 Mithilfe der komplexen Frequenz lassen sich Impedanz und Admittanz nach folgender Tabelle schreiben: Impedanz Admittanz 22 R R L sL C 1 sC 1 R 1 sL sC 1.2. GET2 Komplexe Impedanzfunktion Man Bildet von einer Schaltung am einfachsten die Kettenbruchfunktion. Aus dieser l¨asst sich der Aufbau der Schaltung auch leicht ablesen. Realisierbarkeit einer Impedanzfunktion als Schaltung • Pol- und Nullstellen wechseln sich ab • Alle koeffizienten sind positiv und reel • Die Grade des Z¨ahlers und Nenners unterscheiden sich um maximal ±1 • Polstellen m¨ ussen einfach sein Normierung ([3], Formel 4.71) s ω0 ω0 L Ln = R0 Cn = ω0 CR0 sn = Diese Normierung f¨ uhrt man als Rechenerleichterung bei der Anwendung des Foster’schen Theorems durch Normierte Impedanzfunktion durch Partialbruchzerlegung Z(s) () Z n (s) = a∞ s + n X i=1 A0 Ai s + 2 + pi s s2 nachdem man die Impedanzfunktion auf diese Form gebracht hat k¨ urzt man die Mittelteile mit deren Z¨ahler und erh¨allt eine Form aus der man den Schaltungsaufbau herauslesen kann 23 1. Grundlagen der Elektrotechnik Beispiel zur Impedanzfunktion () Dies stellt die normierte komplexe Impedanzfunktion zu folgender Schaltung dar: Z(s) = 1 + as 1 1 ds + 1 1 1 + cs bs 1.2.5. Mehrpolige Netzwerke 1.2.6. Zweitore Tabellen f¨ ur die Matrizen finden sich in [3, S. 126-132 / 144-146]. Betriebsverhalten von Zweitoren Transmittanz / Betriebsu ¨ bertragungsfaktor ([3], Formel 6.131) r S 21 = 2 · R1 U 2 · R2 U q1 Betriebsd¨ ampfung ([3], Formel 6.137) 1 dB |S 21 |   PW V = 10 log dB Praus adB B = 20 log 24 1.2. GET2 Symmetrisches Zweitor ([3], Formel 6.39) Z a ermittelt man durch die Gleichtaktanre1 gung (Leerlauf hinten) Z 11 = Z 22 = (Z a + Z b ) Z b ermittelt man durch die Gegentaktanre2 1 gung (Kurzschluss hinten) Z 12 = Z 21 = (Z a − Z b ) 2 S. 139 Weitere Bedingungen: Y 11 = Y 22 , Y 12 = Y 21 und A11 = A22 , detA = 1. Ru ¨ ckwirkungsfreies Zweitor ([3], Formel 6.24, 6.25) Y 21 6= Y 12 ; Z 21 = 6 Z 12 ; H 12 6= −H 21 Y 12 = 0; Z 12 = 0; H 12 = 0 S. 135 Spannungsu ¨ bertragungsfaktor ([3], Formel 6.143) A U1 1 = = A11 + 12 U2 R2 U¨ U Stromu ¨ bertragungsfaktor ([3], Formel 6.145) I1 1 = −A22 − A21 · R2 = I2 U¨ I Serienschaltung () Zges = Z1 + Z2 Schaltbild S. 155 Abb 6.26 Parallelschaltung () Yges = Y1 + Y2 Schaltbild S. 158 Abb 6.30 Kettenschaltung () Ages = A1 · A2 Schaltbild S. 164 Abb 6.39 25 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.2.7. Fourier-Reihen Sinus-Cosinus-Darstellung () f (t) = a0 + ∞ X Dies ist die Sinus-Cosinus-Darstellung einer (ˆ ak cos (kωt) + ˆbk sin (kωt)) Fourier-Reihe k=1 Amplituden-Phasen-Darstellung () f (t) = c0 + ∞ X k=1 cˆk cos (kωt − ϕk ) Dies ist die Amplituden-Phasen-Darstellung einer Fourier-Reihe Komplexe Darstellung () f (t) = ∞ X dk ejkωt Dies ist die Komplexe Darstellung einer Fourier-Reihe k=−∞ Fourier-Koeffizienten () 1 a0 = T a ˆk = 2 T ˆbk = 2 T dk = 1 T ˆt+T f (t0 ) d t0 t t+T ˆ f (t0 ) cos (kωt0 ) d t0 f (t0 ) sin (kωt0 ) d t0 t t+T ˆ 0 f (t0 ) · e−jkωt d t0 t 26 Mit k = 1, 2, 3, ... t t+T ˆ 1.2. GET2 Umrechnung Trigonometrisch - Amplituden/Phasendarstellung () c 0 = a0 q cˆk = a ˆ2k + ˆb2k ( ˆ arctan ( aˆbkk ), f¨ ur a ˆk > 0 ϕk = ˆbk arctan ( aˆk ) + π, f¨ ur a ˆk < 0 a ˆk = cˆk cos ϕk ˆbk = cˆk sin ϕk Umrechnung Komplex - Amplituden/Phasendarstellung () cˆk = 2|dk | ϕk = arg(d∗k ) d−k = d∗k Sollte rel. fix gehn Umrechnung Komplex - Trigonometrisch () a0 = d0 a ˆk = 2<(dk ), ˆbk = −2=(d ) k f¨ ur k = 1, 2, 3, ... Bedenke: die d−k braucht man so bei der Umrechnung nicht. Rechnet man in Komplexe um bildet man die einfach als KomplexKonjugiertes Effektivwert bei Fourier-Reihen ([2], Formel 3.56) XEf f Uef f v u ∞ u 1 X 2 ˆ2 2 t = a0 + (ˆ a + bk ) 2 k=1 k v Dieser Effektivwert entspricht dem aus der u ∞ ˆ X u U Wechselstromrechnung bekanntem Effektivk = tU02 + wert. Weiteres steht im Script Kapitel 7.6 2 K=1 v u ∞ X u Uˆk 2 2 t √ = U0 + Uk,ef mit U = k,ef f f 2 K=1 27 1. Grundlagen der Elektrotechnik Scheitelfaktor () ξ=s Uˆ ∞ P 2 Uk,ef f k=1 Formfaktor () s F = ∞ P 2 Uk,ef f k=1 |U | ist der Gleichrichtwert |U | Klirrfaktor () v uP u ∞ U2 u u k=2 k,ef f k =uP t∞ 2 Uk,ef f Eigentlich haut man oben den ersten Vorkommenden Koeffizienten weg und unten nicht. k=1 Klirrkoeffizient () kµ = s Uµ,ef f ∞ P 2 Uk,ef f k=1 Grundschwingungsgehalt () g = k1 = s U1,ef f ∞ P k=1 28 2 Uk,ef f 1.2. GET2 Welligkeit () s ∞ P 2 Uk,ef f k=1 w= U0 Momentanleistung () Wenn das gefragt ist ausrechnen. Additionstheoreme sind dann meist gegeben p(t) = u(t) · i(t) Wirkleistung in Amplituden-Phasen-Darstellung () Pw = U0 I0 + ∞ X 1 k=1 = U0 I0 + ∞ X k=1 2 Uˆk Iˆk cos (ϕu − ϕi ) Uk,ef f Ik,ef f k cos (ϕu − ϕi ) Scheinleistung () PS = Uef f Ief f v u ∞ X u 2 t U2 = U + 0 k,ef f k=1 v u ∞ X u 2 2 t · I0 + Ik,ef f k=1 Sonderf¨ alle und Symmetrien Gerade Funktion Eine Funktion f (t) ist gerade, wenn gilt: f (t) = f (−t). Einfachste gerade Funktion ist der Kosinus. Ein Gleichanteil kann ebenfalls vorhanden sein. Ungerade Funktion Eine Funktion f (t) ist ungerade, wenn gilt: f (t) = −f (−t). Einfachste ungerade Funktion ist der Sinus. Ein Gleichanteil ist nicht vorhanden. Alternierende Funktion Eine Funktion f (t) ist alternierend, wenn gilt: f (t) = −f (t + T /2). Ein Gleichanteil ist nicht vorhanden. 29 1. Grundlagen der Elektrotechnik T /2-periodische Funktion Eine Funktion f (t) ist T /2-periodisch, wenn gilt: f (t) = f (t + T /2). Fourier-Koeffizienten bei geraden Funktionen () ˆbk = 0 cˆk = |ˆ ak |, ϕ 1.3. GET3 1.3.1. Laplace-Transformation Es sei hier auf die Korrespondenztabellen aus Anhang A.6 sowie in [4, S. 35 / 38] und [2, S. 253ff] verwiesen. Einseitige Laplace-Transformation ([4], Formel 3.39) ˆ∞ f (t) · e−st d t F (s) = L{f (t)} = 0 Dies ist die Definitionsgleichung der einseitigen Laplace-Transformation. Sie kann f¨ ur kausale Signale anstalle der beidseitigen verwerndet werden. Widerstandsgleichung ([4], Formel 3.145) UR (s) = RIR (s) 30 1.3. GET3 Kondensatorgleichung ([4], Formel 3.149) uC (0− ) IC (s) = sC UC (s) − s − IC (s) uC (0 ) + UC (s) = sC s A [IC (s)] = Hz   [UC (s)] = V Hz Abbildung 1.3.: Kondensator mit Anfangswertgenerator Spulengleichung ([4], Formel 3.153) iL (0− ) UL (s) = sL IL (s) − s − UL (s) iL (0 ) IL (s) = + sL s V [UL (s)] = Hz   [IL (s)] = A Hz Abbildung 1.4.: Spule mit Anfangswertgenerator Anfangswerttheorem ([4], Formel 3.107) lim f (t) = f (0+ ) = t→0 lim sF (s) <(s)→∞ Hiermit kann man bei gegebener ¨ Ubertragungsfunktion den Anfangswert vor dem Einschwingen berechnen. Endwerttheorem ([4], Formel 3.108) lim f (t) = lim sF (s) t→∞ s→0 Hiermit kann man bei gegebener ¨ Ubertragungsfunktion den Endwert nach dem Einschwingen berechnen. 31 1. Grundlagen der Elektrotechnik Berechnung des Amplitudenbetrags in dB ([4], Formel 3.235) |G(jω)| = 20 · lg |G(jω)|dB Residuensatz () Das Residuum entsprich hier dem Koffizienten A bei der Partialbruchzerlegung der A Form s−s 0 lim (s − s0 )F (s) = Res s→s0 Wert 2 dB 6 Wert 0, 5 dB −6 Wert dB Wert dB Abbildung 1.5.: Dezibel Werte (20 lg (·)) Bode-Diagramme Amplitudengang 1. Lage und Vielfachheit von Polen und Nullstellen bestimmen 2. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 3. Bei ω → 0 beginnen: (a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: (b) pro Pol bei s = 0: (c) pro Nullstelle bei s = 0: Steigung 0dB / Dekade Steigung −20dB / Dekade Steigung +20dB / Dekade 4. Gerade Linie bis zu n¨achsten Eckfrequenzen 5. F¨ ur jeden Pol Steigung um 20dB/Dekade verringern, f¨ ur jede Nullstelle erh¨ohen. 6. Beschriftung der Vertikalen Achse durch ausrechnen von |G(jω)| in einem waagrechten Bereiches des Bode-Diagramms 7. Ecken um 3dB pro Pol/Nullstelle abrunden [4, S. 65] 32 1.3. GET3 Phasengang Man Beachte: Ein negatives Vorzeichen dreht die Phase um π! 1. Achsen zeichnen und Eckfrequenzen eintragen 2. Bei ω → 0 beginnen: (a) weder Pol noch Nullstelle bei s = 0: (b) pro Pol bei s = 0: (c) pro Nullstelle bei s = 0: Phase 0◦ Phase −90◦ Phase +90◦ 3. Gerade Linie bis 0, 1· n¨achste Eckfrequenz 4. Jeder Pol subtrahiert 90◦ , jede nullstelle addiert 90◦ u ¨ber einen Bereich von 0, 1· Eckfrequenz bis 10· Eckfrequenz verteilt. A schwach ged¨ampfter Komplexer Pol h¨ upft direkt um 180◦ . 5. Phasenskizze Gl¨atten, so dass arctan-Verl¨aufe entstehen. Abrundungen ca. 6◦ pro Pol bzw. Nullstelle bei 0, 1· Eckfrequenz und 10· Eckfrequenz. 1.3.2. Nichtlineare Bauelemente Es ist hier zu beachten, dass hier einige Prinzipien wie man sie von Linearen Netzwerken her kennt nicht mehr gelten. Berechnung mit Ersatzquellen Diese Methode funktioniert gut wenn keine Einschwingvorg¨ange untersucht werden und bis auf das Nichtlineare Bauelement die restliche Schaltung zu einer Ersatzquelle umtransformiert werden kann. Man beachten hierzu auch das Kapitel 1.2.1. 33 1. Grundlagen der Elektrotechnik Berechnung durch Ersatzspannungsquelle ¨ 1. Ubriges Netzwerk zu einer Ersatzspannungsquelle umtransformieren 2. Zwischen den Anschlussklemmen des Nichlinearen Bauelements eine Hilfsspannung einf¨ uhren 3. Die Gleichung des Bauelements auf die i(u) aufl¨osen 4. Einen Maschenumlauf u ¨ber die Hilfsspannung bilden 5. i(u) des Bauelements in die Gleichung einsetzten 6. L¨osen 1.3.3. Einschwingvorg¨ ange Kondensator () i(t) = C du dt Bei der L¨osung von DGLs ist nach Trennung der Variablen von u(t = 0) bist u(t) zu integrieren. Beim Kondensator ist die Spannung immer stetig, der Strom kann springen. Spule () u(t) = L di dt Bei der L¨osung von DGLs ist nach Trennung der Variablen von i(t = 0) bist i(t) zu integrieren. Bei der Spule ist der Strom immer stetig, die Spannung kann springen. Anfangswerte Bauteil Kondensator Spule 34 Mit Quelle verbunden uC (0) = uc iL (0) = iL Von Quelle getrennt uC (0) = 0 iL (0) = 0 1.3. GET3 Vorgegensweisen Vorgehen im Zeitbereich ¨ 1. Differentialgleichung aufstellen (durch Maschenuml¨aufe o.A.) 2. Anfangswerte bestimmen (Nach Kapitel 1.3.3) 3. DGL l¨osen Vorgehen im Laplacebereich ¨ wie in Kapitel 1.3.1) 1. Gleichung aufstellen (durch Maschenuml¨aufe o.A. 2. Anfangswerte bestimmen (Nach Kapitel 1.3.3) 3. Auf gesuchte Gr¨oße aufl¨osen 4. R¨ ucktransformieren in den Zeitbereich 1.3.4. Fehlerrechnung Absoluter Fehler ([4], Formel 5.1) F =A−W Hier bezeichnet F den Fehler, A den angezeigten Wert und W den wahren Wert Relativer Fehler ([4], Formel 5.2) A−W · 100% W F = · 100% W f= Hier bezeichnet f den relativen Fehler, F den absoluten Fehler, A den angezeigten Wert und W den wahren Wert Fortpflanzung des Systematischen Absoluten Fehlers ([4], Formel 5.11) n X ∂y ∆y = ∆x i ∂xi Die zu messende Gr¨oße wird hier nach den fehlerhaften Gr¨oßen abgeleitet i=1 35 1. Grundlagen der Elektrotechnik 1.3.5. Operationsverst¨ arker (OpAmps) Idealer Opamp ([4], Formel 7.1, 7.2) uA = V0 uD = V0 (uP − uN ) | {z } uD uD = 0 ∧ uP = uN , iN = iP = 0 f¨ ur V0 → ∞ 1.3.6. Messschaltungen Abgleichbedingung Bru ¨ cke ([4], Formel 9.46) Bild... Z 2Z 3 = Z 1Z 4 ⇒ U D = 0 aquivalente Abgleichbedingungen einer Bru ¨ ¨ cke ([4], Formel 9.50, 9.51) Z i = Ri + jXi R2 R3 − X2 X3 = R1 R4 − X1 X4 X2 R3 + R2 X3 = X1 R4 + R1 X4 Bei unteren Gleichungen m¨ ussen erf¨ ullt sein. Es m¨ ussen somit 2 unabh¨angig voneinander abgleichbare Elemente vorhanden sein. Diagonalspannung bei der Bru ¨ cke ([4], Formel 9.21)  R4 R2 − UD = UE R1 + R2 R3 + R4 R2 R3 − R1 R4 = UE (R1 + R2 )(R3 + R4 ) 36  Das Schaltbild ist in [4, S. 242] 2. Halbleiterbauelemente 2.1. Grundlagen 2.1.1. Intrinsischer Halbleiter Intrinsische Ladungstr¨ agerkonzentration ()   p Eg ni = NC · NV exp − 2kT 2 ni = n0 · p 0 Intrinsisches Ferminiveau () EF i 1 EC + EV + kT · ln = 2 2  NV NC  Effektive Zustandsdichten Elektronen/L¨ ocher ()  NC = 2 2πm∗e kT h2   ; NV = 2 2πm∗h kT h2  2.1.2. Dotierter Halbleiter Ladungstr¨ agerkonzentrationen ()    EF − EC EF − EF i = ni · exp n = NC · exp kT kT     EV − EF EF − EF i p = NV · exp = ni · exp − kT kT  37 2. Halbleiterbauelemente Ferminiveau ()  EF = EF i + kT ln n ni   bzw. EF = EF i − kT ln p ni  2.1.3. Ladungstr¨ ager im Halbleiter in elektrischem Feld Driftstromdichte () JDrift = q(pµp + nµn )E = σE Elektrischer Widerstand () l σA R= Diffusionskonstante () Dn/p = kT µn/p q Dielektrische Relaxation () τd = 0 r σ Diffusionsl¨ ange () Lp/n = p Dp/n τp/n Debye-L¨ ange () s LD = 38 0 r kT q2p 2.1. Grundlagen 2.1.4. Halbleiterdioden Diffusionsspannung () UDiff kT ln = q  NA ND n2i  Weite der Raumladungszone () s wRL = xn + xp = 20 HL UDiff q  1 1 + NA ND  mit xp NA = xn ND und x2p NA + x2n ND = 20 HL UDiff q ¨ Weite der Raumladungszone bei abruptem pn-Ubergang () s wRL = xn + xp = 20 HL UDiff qNA/D Sperrschichtkapazit¨ at () CS = 0 HL ·A wRL Sperrs¨ attigungsstromdichte () JS = qn2i  Dp Dn + Ln NA Lp ND  = qn2i  Ln Lp + τn NA τp ND  2.1.5. Metall-Isolator-Halbleiter-Kondensator Bulkpotential () EF i − EF ΦB = = kT · ln q  NA ni   bzw. kT · ln ni ND  39 2. Halbleiterbauelemente Austrittsarbeit des Halbleiters () qΦHL = qχHL + Eg + qΦB 2 Austrittsarbeitsdifferenz () qΦM HL = q(ΦM − ΦHL ) Flachbandspannung () UF B = ΦM HL − QIs CIs Weite der Raumladungszone () wRL r r 20 HL 20 HL = − ΦS bzw. ΦS qND qNA Maximale Weite der Raumladungszone () wRL,max r 40 HL = − ΦB qN Einsatzspannung () UT h = UF B + 2ΦB − QHL CIs Ladung im Halbleiter(fl¨ achenbezogen!) () p QHL = ± 40 HL qN |ΦB | (+ : n − HL; − : p − HL) Isolatorkapazit¨ at (fl¨ achenbezogen!) () CIs = 40 0 Is xIs 2.1. Grundlagen Gesamtkapazit¨ at des Kondensators () Cges = CIs CHL CIs + CHL 2.1.6. MOSFET Kanalwiderstand () RC = ρ l xC W Drainstrom (n-Kanal: + ; p-Kanal: -) () ID = ±β(UG − UT h )UD linearer Bereich   UD ID = ±β (UG − UT h )UD − Triodenbereich 2 ID = ±β(UG − UT h )2 S¨attigungsbereich Transkonduktanz () β = µp/n CIs W L Substratstreufaktor () γ=∓ √ 20 HL qN CIs (p-Kanal: -, N = ND ; n-Kanal: +, N = NA ) Ladung im Halbleiter bei angelegter Sperrspannung () QHL,Sp. = ± p 20 HL qN |2ΦB − UB | (p-Kanal: +; n-Kanal: -) Durchbruchspannung bei angelegter Sperrspannung () UT h,Sp. = UF B + 2ΦB + γ p |2ΦB | − UB 41 2. Halbleiterbauelemente 2.1.7. Optoelektronik Wellenl¨ ange () λ= c ν Energie () Eph = h · ν Absorptionsbedingung () Eph ≥ Eg Impuls () pph = 42 h ν 3. Schaltungstechnik Dieses Kapitel befasst sich mit analogen Schaltungen der Elektrotechnik und deren Grundlagen 3.1. Grundlegende Bauelemente 3.1.1. Diode Schaltbild... Stromkennlinie ()   U D ID = IS e n·UT − 1 ID : Strom durch die Diode IS : UD : n: UT : Hierbei ist der Bahnwiderstand nicht ber¨ ucksichtigt, denn die Gleichung w¨are sonst nicht auf den Diodenstrom aufl¨osbar. Spannungskennlinie () UD = n · UT ln ID + ID RB IS Vereinfachtes Modell () Dies stellt eine sehr stark vereinfachte N¨aherung dar. F¨ ur analytische L¨osungen wird diese gerne verwendet, da durch die e-Funktion nichtlineare Gleichungen entstehend, die nur noch numerisch gel¨ost werden k¨onnen. Besondere Diodentypen 43 4. Maxwellsche Gleichungen ¨ Zur Ubersicht sind hier die Maxwellschen Gleichungen mit ihrer prinzipiellen Bedeutung in vektorieller Form angegeben. Die Urspr¨ ungliche Formulierung mittels Quaternionen ist momentan in Bearbeitung. 4.1. Integrale Darstellung Maxwell 1 (Induktionsgesetz) (Schmidt 3.1) Dies ist auch als Induktionsgesetz bekannt. Zu beachten ist, dass die Kurve C auch im Vakuum / in irgend ei¨ ˛ ˛ nem Medium umlaufen werden kann. So~ ~ d~s ~ d~s = − ∂ B(t) d A~ + (~v × B) E(t) mit besagt diese Gleichung dass ein Zeitlich ∂t A C C ver¨anderliches Magnetfeld immer mit einem zeitlich ver¨anderlichen E-Feld in Verbindung ist und gemeinsam auftritt. Maxwell 2 (Amperesches Gesetz) (Schmidt 3.2) Dies ist aus GET1 bekannt. Allerdings ist hier noch der sog. Verschiebungsstrom zu finden. Seine Bedeutung ist leicht am Bei¨ ˛ ¨ spiel des Kondensators zu erkennen: L¨asst ~ ~ ~J(t) d A~ + ∂ D(t) d A~ H(t) d~s = man einen Kondensator von einer Wechsel∂t A C A | {z } stromquelle speißen, so fließt Strom obwohl Verschiebungsstrom der Ideale Kondensator perfekt Isoliert. Die~ ser Stromfluss geschiet durch das E-Feld in Form des Verschiebungsstroms. Maxwell 3 (Coulombsches Gesetz) (Schmidt 3.3) ‹ ˚ ~ D(t) d A~ = A ρ(t) d V V 45 4. Maxwellsche Gleichungen Maxwell 4 (Schmidt 3.4) ‹ ~ B(t) d A~ = 0 A Da sich der magnetische Fluss schließt, ist das H¨ ullfl¨achenintegral u ¨ber diesen 0. Dies bedeutet, dass das Magnetfeld ein Quellenfreies Feld ist. Kontinuit¨ atsgleichung () ‹ ~J d A~ = − ∂Q ∂t ∂Q I=− ∂t Fließt ein Strom von einem geladenen K¨orper weg, so verschwinden auf diesem Ladungen. Mann kan sich dies vorstellen, dass der geladene K¨orper ein voller Eimer Wasser ist und die Wassermolek¨ uhle Ladungen repr¨asentieren. Sch¨ uttet man den Eimer aus, entsteht ein Wasserstrom und das Wasser im Eimer verschwindet. Achtung: Da hierbei Ladungen vom K¨orper wegtransportiert werden, ist das H¨ ullfl¨achenintegral u ¨ber ~J nicht 0! 4.2. Differentielle Form Diese Darstellung erh¨allt man durch Anwendung des Satzes von Stokes und Gauß Maxwell 1 (Schmidt 3.5) ∂ ~ B(t) ∂t ∂ ~ = − rot A(t) ∂t ~ rot E(t) =− ~ bezeichnet das magnetische VektorpotenA ~ = rot A. ~ tial. Es gilt: B Maxwell 2 (Schmidt 3.6) ~ rot H(t) = ~J(t) + ∂ ~ D(t) |∂t {z } Verschiebungsstromdichte Maxwell 3 (Schmidt 3.7) ~ div D(t) = ρ(t) 46 Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Die Quellen des elektrischen Felds sind Ladungen. 4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich Maxwell 4 (Schmidt 3.8) Das magnetische Feld ist ein Quellen freies Feld. ~ div B(t) =0 Kontinuit¨ atsgleichung () Sagt aus, dass bei einem fließenden Strom, Ladungen bewegt werden. ∂ div ~J = − ρ ∂t 4.3. Maxwellgleichungen im Frequenzbereich Dies gilt nur allerdings nur f¨ ur zeitharmonische Gr¨oßen! F¨ ur allgemein zeitabh¨angige Gr¨oßen, sind die integralen und differentiellen Formen zu verwenden. Maxwell 1 (Schmidt 3.33) ~ ~ rot E(ω) = −jω B(ω) Maxwell 2 (Schmidt 3.34) ~ rot H(ω) = ~J(ω) + ~ jω D(ω) | {z } Verschiebungsstromdichte Maxwell 3 (Schmidt 3.35) ~ div D(ω) = ρ(ω) Maxwell 4 (Schmidt 3.36) ~ div B(ω) =0 47 4. Maxwellsche Gleichungen 4.4. Randbedingungen ~ E-Feld an der Grenzfl¨ ache () ~2 −E ~ 1) = σ ~n · (E  ~1−D ~ 2) = 0 ~n · (D ~2 −E ~ 1) = 0 ~n × (E Man beachte die Entsprechenden komponenten (tangential und normal) der Feldst¨arke / Flussdichte. ~ H-Feld an der Grenzfl¨ ache () ~2−B ~ 1) = 0 ~n · (B ~2−H ~ 1) = K ~ ~n × (H Achtung: Einheitsvektoren beachten durch das Kreuzprodukt! Dirichlet Randbedingung Als Dirichlet Randbedingung werden Randbedingungen bezeichnet, bei denen der Randwert direkt als Potentialgr¨oße gegeben ist. ϕe = Wert ~ = Wert A (4.1) (4.2) Von Neumann Randbedingung Als Von Neumann Randbedingung werden Randbedingungen bezeichnet, bei denen der Randwert als Ableitung der Potentialgr¨oße gegeben ist. ∂ϕe = Wert ∂n (4.3) ~ oder Ef v bzw. Hf v oder Bf v. Man beachte, dass Dies entspricht der Vorgabe von D dies eine Ableitung nach der Normalen n ist. 48 4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen 4.5. Magnetisches Vektorpotential und Eichungen Magnetisches Vektorpotential () ~ nicht eindeutig definiert: Allerdings ist A 0 ~ ~ A = A + grad(ψ) w¨ urde wegen rot grad(ψ) genau das selbe liefern. Also ist ψ als Freiheitsgrad vorhanden. ~ = rot A ~ B Coulomb-Eichung () ~ =0 div A Lorenz-Eichung () ~ + µ div A ∂ Φ=0 ∂t Eichtransformation () ~0=A ~ + grad(V ) A ∂V Φ0 = Φ − ∂t V bezeichnet hierbei die Eichfunktion. Jedes beliebige V , welches diese Bedingungen erf¨ ullt, kann zur Eichung des magnetischen Vektorpotentials verwendet werden. 49 5. Elektromagnetische Felder 5.1. Theorie elektromagnetischer Felder 5.1.1. Elektrostatik Es empfiehlt sich hier in GET1 nachzulesen. Die elektrische Feldst¨ arke (2.11) ~ = − grad ϕe E ˛ ~ d~s = 0 E ⇒ C ~ =0 rot E Feld und Potential einer Raumladung (2.18, 2.19) ˚ 1 ϕr (~rP ) = 4π0 V ˚ ~ rP ) = 1 E(~ 4π0 1 ρ(~rQ ) d VQ r ~r ρ(~rQ ) d VQ r3 Man geht hier von bekannter Raumladung ρ aus. Am Punkt ~rP kann man dann das Potential / die Feldst¨arke berechnen indem mal ρ stur u ¨ber das Volumen aufintegriert. V Ergibigkeit (Divergenz) des E-Feldes (2.13) ‹ ˚ ~ dA ~ = D A ‹ ˚ ~ dV = div D V ~ =ρ ⇒ div D ρdV V Dies ist das Coulombsche Gesetz ~ =0 (−∇ϕe ) d A A 51 5. Elektromagnetische Felder Poisson- / Laplace-Gleichung (2.14, 2.15) ρ ∆ϕe = − , 0 ∆ϕe = 0, Poisson-Gleichung Laplace-Gleichung Die Poisson-Gleichung findet Anwendung bei vorhandener Raumladung. Ist man außerhalb dieses Bereichs, so verwendet man die Laplace-Gleichung als Sonderfall. Sie wird oft auch einfach als Feldgleichung bezeichnet. Feld / Potential eines Dipols (2.54-2.56) ~ e = ~eMe = ~eQs M 1 ~rP · (~rQ1 Q1 + ~rQ2 Q2 ) ϕe (~rP ) = 4π0 rP2 rP ~eQs ~rP 1 ~ ~rP = = Me · 2 4π0 rP rP 4π0 rP ~ = − grad(ϕe ) E Hierbei zeigt ~e von der negativen Ladung zur positiven Ladung. Man kann es f¨ ur r¨aumlich dicht beieinanderliegenden Ladungen anwenden. Komplexes Feld / Potential einer Linienladung () ~ = ~eρ λ0 l , E 2π0 ρ 1 ~ = ~eρ λ0 E , 2π0 ρe−jϕ | {z } Reelles Feld Komplexes Feld 1/z ∗ ρ λ0 ln , Reelles Potential 2π0 c  jϕ  λ0 ρe p(z) = − , Komplexes Potential ln 2π0 c | {z } ϕe (ρ) = − z/c ψ = ϕe − j 0 l 52 5.1. Theorie elektromagnetischer Felder L¨ osungsverfahren Verfahren I Felder bei symmetrischen Ladungsverteilungen Dieses Verfahren ist bereits aus GET1 bekannt. Man kann es immer bei symmetrischen Geometrien verwenden. Bedingung hierf¨ ur ist u.A., dass die Flussdichte auf einer entsprechenden Oberfl¨ache, welche die Anordnung vollst¨andig umschließt, einen konstanten ~ unabh¨angig von ρ, es kann also D ~ angegeben Wert haben muss (z.B. Kugel: Hier ist D werden, wenn man Q annimmt). Auch bei symmetrischen Ladungsverteilungen ist es m¨oglich. ¨ 1. Uber den Fluss das elektrische Feld allg. bestimmten 2. Falls Raumladungen vorhanden: Aus diesen allg. die Ladung bestimmen 3. Ladung und Fluss gleichsetzen und auf das Feld aufl¨osen Verfahren II Integration u ¨ber die Ladungsverteilung Dieses Verfahren kann genuttz werden, wenn die Ortsverteilung der Ladungstr¨ager bekannt ist und der Raum u ¨berall gleiche Materialeigenschaften besitzt. 1. ~r = ~rP − ~rQ angeben 2. r angeben 3. Integrationsgrenzen bestimmen ~ oder ϕ einsetzen 4. In die entsprechende Formel f¨ ur E Verfahren III Vergleich mit bekannten Feldbildern ¨ Hierf¨ ur werden Aquipotentialfl¨ achen ben¨otigt. Man geht von einer einfachen Anordnung ¨ aus, z.B. eine Linienladung, setzt Aquipotentialfl¨ achen dran und kann so z.B. das Feld eines dicken Drahtes berechnen. Verfahren IV Spiegelungsverfahren Hierf¨ ur wird eine Ebene ben¨otigt, auf der das Potential den Wert 0 (jaja, ich weiß, es geht nur im Bezug auf irgendwas, aber ihr wisst schon, wie ichs meine ;)) hat. Dann kann man die Anordnung spiegeln, so dass diese Bedingung erf¨ ullt ist und die Feldverteilung angeben. 53 5. Elektromagnetische Felder Teilkapazit¨ aten Maxwellsche Potentialkoeffizienten (2.160)    ϕe1 p11 p12  ϕe2   p21 p22     ..  =  .. ..  .   . . ϕen pn1 pn2    . . . p1n Q1   . . . p2n   Q2   ·  ..  . . . ..    . .  . . . pnn Qn Nachdem ϕe ∼ Q gilt, kann man die Maxwellchen Potentialkoeffizienten pik einf¨ uhren. Dieses Gleichungssystem kann man nun nach den den Ladungen aufl¨osen Maxwellsche Kapazit¨ atskoeffizienten (2.165)    Q1 k11 k12  Q2   k21 k22     ..  =  .. ..  .   . . Qn kn1 kn2    . . . k1n ϕe1 Dies ist das nach den Ladungen aufgel¨oste   . . . k2n   ϕe2   −1 ·    . . . ..   ..  Gleichungssysten von oben mit k = p . . . . . knn ϕen Teilkapazit¨ aten (2.168) Cii = n X kik Da noch a Bildle nei k=1 Cik = −kik Bestimmung der Teilkapazit¨ aten Man kann entweder die Potentiale annehmen oder ¨ die Ladungen und dann rumrechnen. Uber die Ladungen ist es meist einfacher. Ladungen (Achtung!! Hierbei wird der Abstand der Teile zueinander als sehr groß angenommen, da so das Potential des K¨orpers alleine n¨aherungsweise gilt!): 1. Q annehmen 2. ϕei berechnen (wie u ¨blich) 3. Jetzt hat man schon die Potentialkoeffizienten 4. Gleichungssystem auf Q aufl¨osen 5. Die Kapazit¨atskoeffizienten durch Vergleichen oder L¨osen des LGS bestimmen 6. Die Teilkapazit¨aten ausrechnen 54 5.1. Theorie elektromagnetischer Felder 5.1.2. Station¨ ares Str¨ omungsfeld Ohmsches Gesetz (3.9) ~ = 1 ~J − grad ϕe = E κ Dies ist aus GET1 bekannt Randbedingungen (3.18)  1 1~ J2 − ~J1 0 = ~n × κ κ  2  1 0 = ~n · ~J2 − ~J1  Folgt direkt aus den Randbedingungen des elektrischen Felds Feldgleichung ([5], Formel 3.11, 3.12) div ~J = 0 ∆ϕe + 1 grad κ · grad ϕe = 0, f¨ ur κ = κ(~r) κ ∆ϕe = 0, f¨ ur κ = const. 5.1.3. Station¨ ares Magnetfeld Oersted’sches Gesetz () ˛ ~ · d~s = I H C ~ = ~J rot H An Stellen nicht veschwindende Stromdichte weißt das Magnetfeld Wirbel auf (zur Veranschaulichung betrachte man sich den Stromdurchflossenen Draht mit dem in ϕ gerichteten Magnetfeld) 55 5. Elektromagnetische Felder magnetische Flussdichte (4.93) ˛ ¨ ~ d~s A ~ · dA ~ = B Φ= C A ~ =0 div B ˚ ‹ ~ dV = 0 ~ ~ div B B · dA = Magnetische Flussdichte ist Quellenfrei (im Gegensatz zur elektrischen Flussdichte) V A magnetisches Vektorpotential (4.8, 4.23) ~ = rot A ~ B ~ = −µ0~J ∆A ˚ µ ~ A(~rP ) = 4π V ¨ µ ~ rP ) = A(~ 4π 1~ J(~rQ ) d VQ r ~ verwechseln! K ~ ist Nicht mit der Fl¨ache A hierbei der Strombelag 1~ K(~rQ ) d AQ r A magnetisches Skalarpotential (4.15) ~ = − grad Vm H Dies ist das analogon zum elektrostatischen Potential ϕe und ist auch aus GET1 bereits bekannt. Biot-Savart ([5], Formel 4.22, 4.26) ˚ ~J(~rQ ) × ~r r3 V  ˛  ~ I r ~ rP ) = H(~ d~sQ × 3 4π r C ¨ ~ rP ) = 1 ~ rQ ) × ~r d AQ K(~ H(~ 4π r3 ~ rP ) = 1 H(~ 4π A 56 • ~r f¨ ur die Kurve allg. bestimmen • ~s entlang der Kurve allg. bestimmen • r bestimmen (geht aus ~r) • Ausrechnen (wird oft mathematisch h¨asslich) 5.1. Theorie elektromagnetischer Felder Feld einer du ¨ nnen Leiterschleife (4.25, 4.26) ~ rP ) = µI A(~ 4π ˛ 1 d~sQ r C  ˛  ~r I ~ H(~rP ) = d~sQ × 3 4π r C ¨ ~r I ~Q Vm (~rP ) = · dA 4π r3 A magnetischer Dipol (4.49, 4.50) ~ m = ~nMm = ~nIA M ~rP 1 ~ Mm · 3 Vm (~rP ) = 4π rP   ~rP µ0 ~ ~ A(~rP ) = Mm × 3 4π r   ~ m · grad ~rP ~ rP ) = − 1 M H(~ 4π rP3 letzteres Folg als Spezialfall aus der kreisf¨ormigen, sehr d¨ unnen und kleinen Leiterschleife (also so ne gaaaanz putzige). Des vom Dipol hervorgerufene Feld h¨angt nur von der umschlossenen Fl¨ache, nicht von der Geometrie der Stromschleife ab. Man kann auch bei einer gegebenen Stromdichte die Fl¨ache parametriesieren und I durch Integration der Stromdichte bestimmen. komplexes magnetisches Potential (4.76) µI z ln 2π c  µI ρ ϕ = − ln +j −µI | 2π{z c} | {z2π } Pm (z) = − Die Herleitung erfolgt analog wie im elektrostatischen Fall. Man sieht hier sehr gut, dass das alles das selbe ist, nur anders ;). Pmi = µVm =Pmi =A(ρ) Energie des Magnetfelds ([5], Formel 4.119) 1~ ~ ·B wm = H 2 ˚ ˚ Muss u ¨ber V = V∞ integriert werden 1 ~ ~ Wm = wm d V = Am · J(~rQ ) d VQ 2 V V 57 5. Elektromagnetische Felder Induktivit¨ aten r¨ aumlicher Massivleiter ([5], Formel 4.136, 4.138) ˚ ~ ~ Ji Aik · dV Lik = Ii Ik V µ0 = 4π ˚ ˚ V 1 ~Ji ~Jk · dV dV rik Ii Ik V Induktivit¨ at einer du ¨ nnen Leiterschleife ([5], Formel 4.145) Li = ¨ Im Ublichen nur proportional zu l, nicht von was andrem Abh¨angig. Daher kann das auch f¨ ur andere Leiterschleifen und Leiteranordnungne, die entsprechend lang sind u ¨bertragen werden. µl 8π Induktivit¨ atsmatrix ([5], Formel 4.147)    Φ1 L11 L12  Φ2   L21 L22     ..  =  .. ..  .   . . Φn Ln1 Ln2    . . . L1n I1  I2  . . . L2n     Lik wird oft auch als Mik geschrieben. ..  ·  ..  ... .  . . . . Lnn In 5.1.4. Elektrodynamik Bisher waren alle Gr¨oßen von der Zeit unabh¨angig, d. h. es galt, dass alle zeitlichen Ableitungen zu 0 werden. Elektrisches Feld () ~ ~ = − grad(ϕe ) − ∂ A E ∂t 58 Jetzt muss zus¨atzlich ein Feldanteil durch Induktion ber¨ ucksichtigen. 6. Hochfrequenztechnik 6.1. PB Leistungsbilanz im EM-Feld Energiedichte im E/M-Feld () 1 d We (t) = 0 E 2 (t) dV 2 d Wm (t) 1 wm (t) = = µ0 H 2 (t) dV 2 we (t) = Leistungsbilanz im Frequenzbereich () ‹ ˚ 1 ~ 0 ∗r ~ 2 ∗ ∗ ~ ~ (E × H ) d A − jω E d V 2 2 V {z } | {z } |A Pps +jPps Ppe +jPpe ˚ ˚ µ0 µr ~ 2 1 ~ 2 + jω σ E d V H d V + 2 2 | V {z } |V {z } Ppm +jPpm Pv ˚ 1~ ~∗ E · JQ d V = 0 + 2 |V {z } PpQ +jPpQ 59 6. Hochfrequenztechnik Frequenzabh¨ ahnige Leistungsanteile () 00 0 0 00 ˚ Pe + Pm = (r ω − r ω ) 0 2 2 ~ E d V {zV } dielektrische Verluste ˚ µ0 ~ 2 00 0 0 00 + (µr ω − µr ω ) H d V 2 | {zV } magnetische Verluste ˚ 0 ~ 2 0 0 − jr ω E d V 2 V | {z } elektrische Feldleistung ˚ µ0 ~ 2 0 0 + jµr ω H d V 2 V | {z } | Man erh¨allt diese Leistungsanteile durch einsetzten der komplexen Materialparameter µr und r ind die frequenzabh¨ahnigen Leistungsanteile der Leistungsbilanz. Die elektrische und magnetische Feldleistung pendelt (sie geht gegenseitig ineinander u ¨ber). Die dielektrischen Verluste entstehen z.B. dadurch, dass Dipole bei der Umpolung umkippen (Mikrowellenherd!). magnetische Feldleistung 6.1.1. Wellenausbreitung Helmholtz-Gleichung () ∂2 ~ E=0 ∂t2 2 ~ =0 ~ − µ ∂ H ∇2 H ∂t2 ~ − µ ∇2 E Dies folt aus den Maxwellgleichungen. Beschrieben ist das auf Seite 18 im Skript. Wellezahl k ([6], Formel 4.27) √ k =ω µ Phasengeschwindigkeit einer EM-Welle () 1 vP h = √ µ ω k 60 µ wurde experimentell bestimmt und legt zusammen mit c0 den Wer von 0 fest. Hiermit ist auch die Wellenzahl verkn¨ upft. 6.1. PB Skintiefe ([6], Formel 4.86) 1 δ=p πf µ(ω)σ(ω) Wellenl¨ ange () λ = wπf = c f Fl¨ achenwiderstand ([6], Formel 4.93) R = l σ(ω) δ(ω)l | {z } A = 1 σ(ω)δ(ω) Hochfrequenzwiderstand () l σδb l = , Draht m. Durchmesser d σδπd RHF = Feldwellenwiderstand ([6], Formel 4.02) ZF = (1 + j)R , leitendes Medium Man muss also aufpassen wo sich die Welle r ausbreitet. µ = , nichtleitendes Medium  Snellius’sches Brechungsgesetz () sin α n2 = = sin β n1 r 2 =n 1 F¨ ur die Bezeichnungen betrachte man Abb. 6.1. 61 6. Hochfrequenztechnik Winkel der Totalreflexion () Tritt nur auf, wenn die Welle vom optisch dichten ins optisch d¨ unne Medium f¨allt. Angewendet wird dies u.A. in Glasfasern. n2 sin (αT ) = n1 Brewsterwinkel () αB = arctan n2 n1 Das paralell polarisierte Licht wird unter diesem Winkel nicht reflektiert E-Feld einer linear polarisierten EM-Welle () + −jkz − +jkz Ex (t) =<(E0x e + E0x e ) · ejωt + Ex (t) = E0x cos (ωt − kz + ϕ+ )+ − E0x cos (ωt + kz + ϕ− ) 62 6.1. PB Magnetfeld einer EM-Welle Um das Magnetfeld einer EM-Welle zu berechnen, bedient man sich der Maxwellgleichungen: Aus ~ ∂B ~ − =∇×E ∂t folgt im Frequenzbereich        j ∂E ∂E ∂E ∂E ∂E ∂E z y z x x y ~ ~ex + ~ey + ~ez − − − H(ω) = ωµ ∂y ∂z ∂z ∂x ∂x ∂y Nun folgt die Berechnung des H-Feldes (hier am Beispiel einer sich in ~ez -Richtung ausbreitenden linear polarisierten EM-Welle, deren E-Feld in richtung ~ex zeigt).      ∂Ex ∂Ex j ~ ~ey + − ~ez H(ω) = ωµ ∂z ∂y    + −jkz − +jkz  + −jkz − +jkz  ∂(E0x e + E0x e ) j ∂(E0x e + E0x e ) ~ey + − ~ez = ωµ ∂z ∂y k − +jkz (E + e−jkz + E0x e ) = ~ey ωµ 0x mit k ωµ = 1 ZF folgt z.B. f¨ ur die Hinlaufende Welle: + −jkz ~ + = ~ey E0x e H ZF Hierraus l¨asst sich der Pointing-Vektor berechnen. Pointing-Vektor ()  ∗
~± × H ~ ± = ±~ez E ± H ± ∗ ~S± = 1 E 0,z 0,z 2 ± 2 ± 2 1 1 E0,z = ± ~ez = ± ~ez Z F H0,z 2 ZF 2 Der Pointing-Vektor zeigt in Ausbreitungsrichtung der EM-Welle und ist ein Maß f¨ ur die transportierte Leistung. Er stellt eine Fl¨achenleistungsdichte dar. 63 6. Hochfrequenztechnik Fresnelgesetze () Er|| Ee|| Er⊥ Ee⊥ Eg|| Ee|| Eg⊥ Ee⊥ tan (α − β) tan (α + β) sin (α − β) =− sin (α + β) 2 cos α sin β = sin (α + β) cos (α − β) 2 cos α sin β = sin (α + β) = αα β Abbildung 6.1.: Brechung und Fresnelgesetze senkrechter Einfall ([6], Formel 4.61 4.62) Er|| n2 − n1 Er⊥ = =r =− Ee|| Ee⊥ n2 + n1 Eg|| 2n1 Eg⊥ = =g =− Ee|| Ee⊥ n2 + n1 Dies stellt den Sonderfall der Fresnelgesetze f¨ ur α = 0 dar. Antireflexschicht () √ 1 λ λ0 d= = √ 4 4 AR AF = 64 6.1. PB 6.1.2. Bauteile Widerstand CK CW LZ LW RN Abbildung 6.2.: Ersatzschaltbild des Widerstands mit allen Verlusten [6, S. 47 Abb. 5.7] Hierbei gilt: LZ : Induktivit¨at des Zuleitungsdrahtes LW : Induktivit¨at der Wicklungen CK : Kapazit¨at der Kontaktkappen CW : Kapazit¨at der Wicklungen RN : Nennwiderstand Temperaturabh¨ ahngigkeit ([6], Formel 5.8 - 5.10) d R(T ) |T =TN + · · · dT ≈RN [1 + T KR (T − TN )] d R(T ) |T =TN T KR = RN d T R(T ) =RN + Der Temperaturkoeffizient T KR hat die oft die Einheit [T KR ] = ppm . K 65 6. Hochfrequenztechnik Kondensator LZ RZ RK RD Riso C Abbildung 6.3.: Ersatzschaltbild des Kondensators mit allen Verlusten [6, S. 69 Abb. 6.15] Hierbei gilt: LZ : Induktivit¨at des Zuleitungsdrahtes RZ : Widerstand des Zuleitungsdrahtes RK : Widerstand der Kontakte RD , Riso : Widerst¨ande im Dielektrikum C: Nennkapazit¨at Temperaturabh¨ ahngigkeit ([6], Formel 6.55 - 6.57) d C(T ) |T =TN + · · · dT ≈CN [1 + T KC (T − TN )] d C(T ) |T =TN T KC = CN d T C(T ) =CN + Der Temperaturkoeffizient T KC hat die oft die Einheit [T KR ] = ppm . K Verlustwinkel d. Dielektrikums () 00 tan δ = r GP GP = 0 = r BP ωC 0 Gu ¨ te des Dielektrikums () Pq 0r 1 Q = = 00 = Pv r tan δ 66 6.1. PB Gu ¨ te des Kondensators () Pq 1 QC = = 0 Pv R1 ωC (1 + tan2 δ ) + tan δ Spule RH RW RCu RW W L CW RD Abbildung 6.4.: Ersatzschaltbild der Spule mit allen Verlusten [6, S. 102 Abb. 7.24] Hierbei gilt: RH : Hystereseverluste RW : Wirbelstromverluste RCu : Widerstand des Zuleitungsdrahtes RW W : Wirbelstromverluste in der Wicklung CW : Wicklungskapazit¨at RD : Verschiebungsstromverluste der Wicklungskapazit¨at L : Nenninduktivit¨at Temperaturabh¨ ahngigkeit ([6], Formel 7.61 - 7.64) d µA (T ) |T =TN + · · · dT ≈µA,N [1 + T Kµ (T − TN )] d µA (T ) T Kµ = |T =TN µA,N d T d L(T ) L(T ) =LN + |T =TN + · · · dT ≈LN [1 + T KL (T − TN )] d L(T ) T KL = |T =TN LN d T µA (T ) =µA,N + Der Temperaturkoeffizient T KL hat die oft die Einheit [T KR ] = ppm . K 67 6. Hochfrequenztechnik Verlustwinkel und Gu ¨ te der Spule () tan δL = tan δH + tan δW + | {z } tan δµ tan δW W + tan δC + tan δCu | {z } Man beachte f¨ ur diese ganzen Verlustwinkel [6, S. 101ff]. =0 ohne Streufelder QL = 1 tan δL Permeabler Verlustwinkel δµ ([6], Formel 7.75) 00 RS RS µ = tan δµ = r0 = µr XS ωL0 δµ beinhalltet die Hystereseverluste (RH ) sowie die Wirbelstromverluste (RW ). Also haupts¨achlich die Verluste im Spulenkern. Hystereseverlustfaktor ([6], Formel 7.78) Pv,H RH = tan δH = Pq ωL Wirbelstromverlustfaktor ([6], Formel 7.79) 00 µA sinh x − sin x = 0 sinh x + sin x µA s f mit x = s fw tan δW = Zuleitungsverlustfaktor ([6], Formel 7.81) tan δCu 68 RCu = ωL Man beachte, dass bei hohen Frequenzen der Skineffekt bei der Bestimmung von RCu zu beachten ist. 6.1. PB Flussverdr¨ angung und Wirbelstr¨ ome Wenn ein elektrisch leitf¨ahiges Medium von einem magnetischen Wechselfeld durchflossen wird, bilden sich Wirbelstr¨ome aus. Grundlegend gilt: Wirbelstro ¨me () ∂ ~ ~ ∇ × E(t) = − B(t) ∂t ~ ~ E(t) = ρJ(t) 1∂ ~ ∇ × ~J(t) = − B(t) ρ ∂t Hier besagt das Induktionsgesetz nichts anderes als dass ein zeitlich ver¨anderliches Magnetfeld die Rotation einer Stromdichte hervorruft. 6.1.3. Leitungstheorie Reflexionsfaktor ([6], Formel 9.30, 9.31) rx = rL bezeichnet den Reflexionsfaktor an der Leitung, ri den an der Quelle und rA den an der Last. Anstatt der Resistanzen k¨onnen auch Impedanzen stehen. Rx − Z` Rx + Z` Wellenwiderstand ([6], Formel 9.57) s Z` = Man kann also einen bestimmten Wellenwiderstand einer Leitung durch die entsprechenden, eig. nur von der Geometrie abh¨angigen Gr¨oßen auslegen. R0 + jωL0 G0 + jωC 0 D¨ ampfungsmaß ([6], Formel 9.59) 0 α= 0 R G p 0 0 + 2 2 L /C r L0 C0 ! · 1 cosh δR −δG 2
Phasenmaß ([6], Formel 9.60) √ 0 0 β = ω L C cosh  δR − δG 2  69 6. Hochfrequenztechnik Phasengeschwindigkeit ([6], Formel 9.61) v= ω 1 1
=√ 0 0 · δ −δ β L C cosh R 2 G Wellenwiderstand ([6], Formel 9.62) p 0 0      L /C δR + δG δR − δG Z` = · cosh − j sinh cosh δG 2 2 Leistungstransport der allg. Leitung () P (`) = P (0)e−2α` F¨ ur hin und r¨ ucklaufende Welle. Reflexionsfaktor ([6], Formel 10.21) r(d) = rA e−2γd r(l − z) = rA e 70 −2α(l−z) −j2β(l−z) e Mit d = l − z. 6.1. PB Verlustarme Leitung Hier gelten mit der N¨aherung cosh Formeln: δR −δG 2
≈ 1 folgende D¨ ampfungsmaß ([6], Formel 9.63) 0 0 R G α≈ p 0 0 + 2 2 L /C r L0 C0 Phasenmaß ([6], Formel 9.64) √ β ≈ ω L0 C 0 Phasengeschwindigkeit ([6], Formel 9.65) v= 1 ω ≈√ 0 0 β LC Wellenwiderstand ([6], Formel 9.66) r Z` ≈ L0 C0 Die Lecherleitung Die Lecherleitung stellt ein wirkungsvolles Instrument zur Impedanzanpassung dar und kann bei sehr hohen Frequenzen als reaktives Bauelement fungieren. 71 6. Hochfrequenztechnik I1 0 (a) Schema der Lecherleitung 0 R dz L dz 0 U1 G dz I2 0 C dz U2 (b) ESB der inifinitesimal kurzen Lecherleitung Abbildung 6.5.: Lecherleitung Wellenwiderstand () s Z` = R0 + jωL0 G0 + jωC 0 Eingangsimpedanz ([6], Formel 10.24) ZE = U1 ZA + Z` tanh γ` Z` = I1 Z` + ZA tanh γ` ZA : Abschlussimpedanz (Lastimpedanz) Z` : Leitungsimpedanz `: Leitungsl¨ange Stehwellenverh¨ alltnis ([6], Formel 11.24) VSWR = |Umax | 1 + |rA | = |Umin | 1 − |rA | Das Stehwellenverh¨altnis kann gemessen werden. Reflexionsfaktor und Eingangsimpedanz bei lmin () Die Abk¨ urzug steht f¨ ur Voltage Standing Wave Ratio. 72 6.1. PB Berechnung der Abschlussimpedanz einer Leitung Aufgrund der Messung von VSWR kann man die Abschlussimpedanz an einer Messleitung bestimmen. 1. VSWR bestimmen 2. rE (lmin ) eintragen (geht u ¨ber ZE (lmin )) 3. um lmin λ zur¨ uckdrehen. Strom- und Spannungsextrema einer Leitung () Aus U = RI (ab Diagramm veranschaulichten!) folgt Imax aus Umin und umgekehrt. Beachtet man nun mal die Achsenbeschriftung des SD, welche ja VSWR wiederspiegeln, so wird deutlich dass diese Formeln nichts anderes sind als die Entnormierung von R usw. Umin m · Z` Umax = VSWR · Z` Imax = Imin Leistung an der Lastimpedanz () 1 |Umax |2 2 VSWR · Z` 1 |Umin |2 1 = , mit m = 2 m · Z` VSWR PW = So ben¨otigt man ZA nicht bestimmen um die Leistung daran zu berechnen. Der Rechteckhohlleiter cutoff-Frequenz () c0 qH √ 2π µr r r  m 2  n 2 qH = π + a b F¨ ur den Hmn Feldtyp. Die E-Feld Moden berechnen sich analog. Es gibt hier aber keine Em0 und E0n Moden. fc = D¨ ampfungsmaß des verlustlosen Hohlleiters () √ αH = q H 1 − Ω2 , mit Ω = f fc Dies gilt im Fall er Wellenausbreitung, nicht im D¨ampfungsfall!! 73 6. Hochfrequenztechnik H10 -Welle im Rechteckhohlleiter ([6], Formel 12.129ff, S. 185) 1 λH10 =q λ 1−
λ Am besten dortn nachschaun. Die Wellenl¨ange wird halt oft gebraucht. 2a Wirkleistung der H10 -Welle ([6], Formel 12.141f) ab  a  2 1 Ey x = 4 2 ZFH10   ab a 2 = Hx x = Z FH10 4 2 P10 = An der Stelle x = Feldes. a 2 ist das Maximum des D¨ ampfung durch Wandverluste ([6], Formel 12.152) αWand,H10 Ω2 + 2 ab R · √ = ZF bΩ Ω2 − 1 Mit Ω = grml. f . fc,H10 Sack m¨ uhsam zu tippen... Koaxialleitung [6, S. 192ff]. Transportierte Wirkleistung ([6], Formel 13.111) 1 Uˆ 2 1 1 = Iˆ2 Z` P = Uˆ Iˆ = 2 2 Z` 2 Phasengeschwindigkeit () vP h = √ c0 r µr Ganz normal wie im Dielektrikum Phasenmaß ([6], Formel 13.14) β= 74 2π ω√ = r µr λ c0 6.1. PB Induktivit¨ atsbelag ([6], Formel 13.15) 0 L = µ0 µr a ln 2π b Kapazit¨ atsbelag ([6], Formel 13.16) 0 C = 2πr 0 ln ab Leitungswellenwiderstand ([6], Formel 13.17) r µr a ln Z` = 60Ω r b Folgt aus Z` = q L0 . C0 D¨ ampfungsmaß ([6], Formel 13.20) 0 α≈ 0 G Z` R + = αL + αD 2Z` 2 Gilt f¨ ur geringe Verluste. αL : Leitungsverluste αD : dielektrische Verluste Das Smith-Diagramm Ein paar Grundregeln Sozusagen die Verkehrsregeln, wie man da mit dem Zirkel draufrumschrubben darf. • Alle Impedanzen und Admittanzen werden normiert! • Durch Spiegelung am Ursprung wandelt man eine Impedanz in eine Admittanz um (und umgedreht) • Umaufrichtung f¨ uerLeitungen is von Last zur Quelle im Uhrzeigersinn • Beim Impedanzdiagramm wird I von rechts aufgetragen, U von links. Entsprechend umgedreht gilt das beim Admittanzdiagramm • VSWR wird vom 0-Punkt aus gemessen und oben angetragen. • Die Reflexionsfaktoren werden vom Mittelpunkt des SD gemessen und oben angetragen 75 6. Hochfrequenztechnik 6.2. HF 6.2.1. Streuparameter Wellengr¨ oßen ()   p 1 Ui √ + ZLi Ii ai = 2 ZLi   p Ui 1 √ bi = − ZLi Ii 2 ZLi ai : hinlaufende Welle bi : zur¨ ucklaufende Welle Streumatrix ()       b1 S11 S12 a = · 1 b2 S21 S22 a2 f¨ ur Zweitor Reflexionskoeffizient () ZiE − ZLi Si i = ZiE + ZLi = riE Abschluss eines Zweitores mit angepasstem Abschlusswiderstand. Das gibt dann an, was das Zweitor an und f¨ ur sich reflektiert Reflexionsfaktortransformation () S12 S21 r1E = S11 + r2 1 − r2 S22 Z2 − ZL2 r2 = Z2 + ZL2 Wenn das Zweitor mit Z2 statt ZL 2 abgeschlossen ist, gibt sich eine Reflexion am Ende mit dem Reflexionsfaktor r2 . Dieser Transformiert sich u ¨ber das Zweitor als r1E . Transmissionsparameter () Streuparameter einiger HF-Komponenten Wellenquelle () 76 6.2. HF Leitung ()  S= e−γl 0 0 e−γl  D¨ ampfungsglied ()  S= 0 s12 s21 0 |s21 | = |s12 | ≤ 0 a = 20 lg  1 dB |221 | Phasenschieber ()  S= 0 ejβl ejβl 0  Richtungsleitung ()  S=  0 0 ejϕ 0 Asymmetrischer Phasenschieber () Dreitorzirkulator () Richtkoppler () 77 6. Hochfrequenztechnik Wilkinson-Leistungsteiler () 6.3. Antennen Feldst¨ arkerichtcharakteristik () Et (ϑ, ϕ) Ht (ϑ, ϕ) = CE,H (ϑ, ϕ) = Et,max Ht,max Leistungsdichterichtcharakteristik () S(ϑ, ϕ) CS (ϑ, ϕ) = Smax 6.3.1. Antennentypen Patchantennen Inset feed und so kram... 78 7. Photonik Energie () e = hν = h c λ Kennt mer ja Phasenmaß () β= 2π λ 7.1. Akives Medium Besetzungsdichtenverh¨ altnis () Wν −W µ Nν = e− kT Nµ Natu ¨ rliche Linienbreite () 1 ∆fn = 2π  1 1 + τ1 τ2  τ bezeichnet hier die Lebensdauer der Zust¨ande Druckverbreiterung () 1 ∆fn = 2π r ∆fn =  1 1 + τ1 τ2 3 d2 p 4mkT  1 = πτs Hierbei ist τs = τ1 = τ2 als mittlere Zeit zwischen zwei St¨oßen d: Durchmesser des Mikrosystems p: Gasdruck / Partialdruck m: Masse des Mikrosystems 79 7. Photonik Lorenzprofil () γL (t) = (∆fL /2)2 2 π∆fL (f − f0 )2 + (∆fL /2)2 ∆fL : Linienbreite Dopplerverbreiterung () 2fc ∆fD = c r m: Masse des Mikrosystems fc : Mittenfrequenz 2kT ln 2 m Gauß-Profil () p (f −f0 )2 2 ln(2) − (∆f 2 ln(2) G /2) e γG (t) = √ π∆fG ∆fG : Linienbreite Ratengleichung () − d [N2 (t) − N20 ] = A12 [N2 (t) − N20 ] dt N10 : N1 : N20 : N2 : A12 = 1 : τ12 Absorbtion () d N1 = R21 N1 = −σ21 N1 φ dt dΦ dφ φ d N1 = = mit Φ = dt dt dx c Optische Leistungsdichte () I = hf φ Beer-Lambertsches Absorbtionsgesetz () dI |Abs. = −σ21 N1 I = −aI dx 80 α = 2a muss ich nochmal nachschaun... 7.2. Gauß-Strahl 7.2. Gauß-Strahl Divergenzwinkel () Θ= λ w0 = πw0 zR Rayleight-L¨ ange () 2 πw0x,0y zR = λ Strahlparameterprodukt () SP P = w0 Θ = λ π Gilt f¨ ur den Grundmode SPP h¨ oherer Moden () √ w0x,m = w0x 2m + 1 √ Θx,m = Θx 2m + 1 √ w0y,n = w0y 2n + 1 √ Θy,n = Θy 2n + 1 Und dann ins SPP des Grundmodes einsetzen 7.3. Resonatoren Bei sph¨arischen Spiegeln gilt: L: L¨ange des Resonators ρ1 , ρ2 : Kr¨ ummungsradien der Spiegel z1 , z2 : Spiegelabst¨ande zum Tallienort w0 , w1 , w2 : Tallienradius, Radius der Spiegel 81 7. Photonik g-Parameter () L ρ1 L g2 = 1 − ρ2 g1 = 1 − Strahlweite () w12 s = = Lλ π 2 ρ2 − L ρ1 − L g2 g1 (1 − g1 g2 ) λρ1 π r  L ρ1 + ρ2 − L  Andersrum einfach Idices vertauschen. Gilt f¨ ur Strahlradius am Ort vom Spielgel 1 Taillenradius () w02 = Lλ π s g1 g2 (1 − g1 g2 ) (g1 + g2 − 2g1 g2 )2 Kleinsignalverst¨ arkung () gks λ2 = (N20 − N10 ) γ(t) 8πτspont γ(t): Linienprofilfunktion N20 − N10 : anf¨angliche Besetzugsdichtedifferenz () Gks = egks 2La Anschwingbedingung () Gks V = R1 R2 T e gks 2La ≥1 Da kann mit Kleinsignalverst¨arkung gerechnet werden Stabilit¨ atsbedingung () 0 ≤ g1 · g2 ≤ 1 82 Ansonsten kommt in der Wurzel was negatives 7.4. Gaslaser 7.4. Gaslaser Puh... 7.5. Laserdioden So funktionsweise und Aufbauten... DFB. Also mit dem lambda / 2... Schaff ich jetzt nur nimmer... Sorry! 7.6. Lichtwellenleiter Maximaler Einkopplungswinkel () Θi,c = arcsin 1 n0 q n2k − n2M Numerische Apertur () N A = sin Θi,c 1 = n0 q n2k − n2M Faserparameter V () 2πρ NA V = λ Multimodig ab V ≥ 2, 405. Anzahl der Mo2 den M ≈ V2 Dispersion und Dispersionskonstante () ∆T = D · L · ∆λ d β1 2πc D= = − 2 β2 dλ λ [D] = ps/nm km 83 7. Photonik 7.7. Photonik 2 7.7.1. Polarisation Stokes-Vektor ()     S0 2P0     ~S = S1  = 2P1 − 2P0  S2  2P2 − 2P0  S3 2P3 − 2P0 S0 : Gesamtleistung S1 : Linear H-V S2 : Linear ±45◦ S3 : RZP - LZP Bildung der Leistungen: Die Leistung wird auf vier Pfade aufgeteilt. P0 ist 50% ged¨ampfte Gesamtleistung, P1 ist die Leistung des linear horizontal Polarisierten Lichts, P2 die des um +45c irc polarisierten und P3 die des rechtszirkular polarisierten. Wird meist auf S0 normiert. Polarisationsgrad () p DOP = S12 + S22 + S32 S0 Poincare-Kugel () Fasst man den Stokes Vektor auf als ~S3D = ~ex S1 + ~ey S2 + ~ez S3 und spannt damit ein Koordinatensystem auf, so entsteht diese Poincare-Kugel. 84 8. Regelungstechnik 8.1. Regelungstechnik A Es empfiehlt sich, SiSy und GET3 nochmal anzuschauen. Die Beibl¨atter ( falls n¨ utzlich. Prinzipielles Vorgehen: ) sind eben- 1. Beschreibung des Systems im Frequenzbereich 2. Darstellen als System und Linearisierung gem¨aß Kapitel 8.1.1 3. Untersuchung auf Stabilit¨at gem¨aß Kapitel 8.1.2 4. Herauslesen von Anforderungen an den Regler aus den Stabilit¨atsbedingungen 5. Wahl eines Reglers und Auslegung gem¨aß Kapitel 8.1.3 8.1.1. Modellbildung Es sind grob folgende Schritte zu tun: 1. Bestimmen der beschreibenden Gleichungen und Zeichnen des Struckturbildes 2. Bestimmung des Betriebspunktes 3. Angeben der Betriebspunktabweichungen in der Form ∆x = x(t) − xB 4. Linearisierung aller nichtlinearen Gleider (also alles wie multiplizierer und nichtlineare Fkts) des Systems im Betriebspunkt (Taylorreihe) 5. Zeichnen des neuen, linearisierten Struckturbildes Einfaches ersetzen der Funktionalen Glieder durch die linearisierten Funktionen Beachten der linearisiert Gleichung der Multiplizierer: Diese werden zu Summen. Hierzu die Gleichungen vergleichen 85 8. Regelungstechnik Der Betriebspunkt Am Betriebspunkt gelten folgende Eigenschaften: • Alle geregelten Gr¨oßen haben einen konstanten Wert • Die Regelgr¨oße wird konstant, da das System in der gew¨ unschten Form l¨auft und ja die geregelten Gr¨oßen konstant sind • Folglich sind alle zeitlichen Ableitungen 0 Man muss also in seinem Regelkreis alle Gr¨oßen durch Einsetzen der obigen Eigenschaften bestimmen Betriebspunktabweichung () ∆f = f (t) − fB Linerarisierter Gr¨ oße nach nichtlinearem Block () g(t) = f (x(t)) d f (x(t)) g(t) ≈ f (xB ) + |x=xB (x(t) − xB ) | {z } d x(t) Hier wird lediglich die Taylorreihe nach dem gB d f (x) g(t) − gB ≈ | (x(t) − xB ) | {z } | d x{z x=xB} | {z } ∆g K ersten Glied abgebrochen ∆x ∆g ≈ K∆x 8.1.2. Stabilit¨ atskriterien und Systemtheorie Ein System ist dann stabil, wenn keine Polstellen einen positiven Realteil haben (HurwitzKriterium). Ebenso ist ein Regelkreis stabil, wenn die −1 immer links von der Ortskurve von G(r) · G(s) liegt (Nyquist-Kriterium). Generell gelten folgende Regeln: • GR (s) oder G1 (s) (also vor dem St¨oreingriff) hat I-Verhalten (Pol bei s = 0) => es kann station¨ar ausgeregelt werden 86 8.1. Regelungstechnik A Minimalphasiges System () Kontinuirliche Systeme, die keine Nullstellen in der rechten s-Halbebene haben, heißen minimalphasig. H(s) = HM (s) · HA (s) H(s) ist ein allpasshaltiges / nicht minimalphasiges System. Durchtrittsfrequenz () Sie befindet sich im Bode-Diagramm an der Stelle, wo die Phasenreserve ist. |GO (jωD )| = 1 Hurwitz-Kriterium • Alle Koeffizienten ai (i = 0, ..., n) von 1 + GO (s) sind positiv • Alle Hurwitz-Determinanten sind > 0 Hurwitz-Determinanten () D1 = an−1 an−1 an−3 D2 = an an−2 F¨ ur allgemeines Dn : D2 nehmen, u ¨ber an−1 mit an−2 , an−3 usw nach oben weitermachen und dann diagonal nach unten Nyquist-Kriterium Nyquist-Formel () W+ = r0 π + a0 π 2 Diese Winkel¨anderung muss die Ortskurve von ω = 0 bist ω = ∞ durchlaufen (heißt: St¨ockchen mit Reiszwecke auf −1 + 0j ranbabben und mit der Spize dir Kurve entlangfahrn) 87 8. Regelungstechnik vereinfachtes Nyquist-Kriterium () arg{GO (jωD )} > −π Sind im Nenner mehr s als im Z¨ahler (δ > 0) und es hat maximal 2 Pole bei s = 0 und V > 0, dann isses genau dann stabil, wenn die Ortskurve den Punkt −1 links liegen l¨asst. Dann liegt auch der Durchtrittspunkt durch die 0dB-Line oberhalb von −π 8.1.3. Reglerentwurf Ziel ist es, einen Regler zu entwerfen, der die Ausgangsgr¨oße durch ver¨andern der Eingangsgr¨oße trotz der St¨orgr¨oße auf dem Soll-Wert h¨allt. Hierzu muss die Strecke mit dem Regler stabil sein. Der Soll-Wert ohne St¨orung wird durch die Steuerung (Kap. 8.1.3) eingestellt. Steuerungsentwurf Anforderungen an die Sollverlaufsfkt Die Sollverlaufsfkt muss folgendes erf¨ ullen: ¨ u • Differenzgrad δ der UF ufen: Die Sollverlaufsfkt muss δ mal stetig diffbar ¨berpr¨ sein ¨ besitzen • Die Sollverlaufsfkt muss alle instabilen Pole der UF Steuersignal bestimmen Wie folgt wird nun das Steuersignal aus gegebenem Sollverhalten bestimmt 1. Sollverlaufsfkt abschnittsweise definieren 2. Konstanten durch Vergleich der Randpunkte der Fkt und Ableitungen bestimmen Hier die Stetigkeit beachten! (also es muss δ − 1 mal stetig diffbar sein, sprich nirgends springen) 3. Aus G(s) die DGL des Systems bilden 4. Sollverlaufsfkt in die DGL einsetzen (also auch die Ableitungen) 5. Steuersignal u(t) auslesen und als abschnittsweise definierte Fkt angeben 88 8.1. Regelungstechnik A Reglerauslegung Kriterien f¨ ur einen Regler Es m¨ ussen vom Regler also folgende Kriterien erf¨ ullt werden: • Niemals instabile Pol- / Nullstellen von GS (s) in GO (s) herausk¨ urzen! • G(s) hat stabile Polstellen der Form 1 + Ti s Der Regler muss diese im Nenner haben Der Regler wird nun ausgew¨ahlt (also P, I, D, PI, PID Regler) und anhand der Vorgaben dimensioniert. Als Vorgaben gibt es die Phasenreserve ϕR und die Amplitudenreserve AR . Die bestimmung der Reglerparameter erfolgt nun durch die Ortskurve, das Bode-Diagramm oder rechnerisch. Phasenreserve () Also bei geg. Phasenreserve ωD berechnen ϕR = | − 180◦ | − |arg(GO (jωD ))| und dann durch || = 1 KR bestimmen. |GO (jωD )| = 1 Die Ortskurve Bl¨od zu zeichnen Oft reicht folgendes aus: 1. lim G(jω) ω→0 2. lim G(jω) ω→∞ 3. Landet hier beides auf der Realachse ⇒ Faktor KR kann mehr oder weniger abgelesen werden 4. ={G(jω)} = 0 ⇒ gibt Schnittpunkt mit Realachse an 5. Jetzt sieht man ja, obs die bei −1 schneidet oder net. Kann man also das vereinfachte Nysquist-Kriterium heranziehen, braucht man die Kurve auch gar nicht malen. In allen anderen F¨allen gen¨ ugt das meist f¨ ur eine Skizze. Muss man Ortskurven Funktionen zuordnen, gen¨ ugt es oft auch, das Anfangs- und Endwerttheorem der Laplace-Trafo herzunehmen (geht auch bei Sprungantworten). 89 8. Regelungstechnik Bild fehlt! Abbildung 8.1.: Ortskurve Das Bode-Diagramm Siehe GET3 f¨ urs Zeichnen Abbildung 8.2.: Bode-Diagramm Nach dem Zeichnen mit KR = 1: • Bei −180◦ gerade Linie nach oben zur Betragskennlinie zeichnen • Von −180◦ + ϕR aufw¨arts eine Line zeichnen (kann mehrere M¨oglichkeiten geben) • Dort wo die 2. Linie die Betragskennlinie schneidet, muss 0dB sein → durch Wahl von KR Diagramm verschieben Jetzt hat man KR bestimmt. Auch liegt dort die Durchtrittsfrequenz ωD 90 8.1. Regelungstechnik A 8.1.4. Regelkreise ¨ Uberall ist die Strecke wie folgt drin: Abbildung 8.3.: Strecke im Regelkreis F¨ urungsgr¨ oßenaufschaltung Kommt an die Zwei-Freiheitsgrade-Regelung nan 1. Differenzgrad δ von G(s) bestimmen 2. Als Funktion GwS ein Teil nach BP 16 nehmen mit gleichem δ und nach Angabe allg. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung Simple Form: Steuerung erzeugt Steuerungssignal, Regler regelt die St¨orung raus. Bild fehlt! Abbildung 8.4.: allg. Zwei-Freiheitsgrade-Regelung Zwei-Freiheitsgrade-Regelung mit St¨ orgr¨ oßenaufschaltung bla fasel Bild fehlt! Abbildung 8.5.: Zwei-Freiheitsgrade-Regelung mit St¨orgr¨oßenaufschaltung Kaskadierte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung bla fasel Bild fehlt! Abbildung 8.6.: Kaskadierte Zwei-Freiheitsgrade-Regelung 91 A. Anhang A.1. Stromrichtung Oftmals wird die elektrische Stromst¨arke I als I= ∂Q . ∂t (A.1) definiert. Aber das gilt f¨ ur die physikalische Stromrichtung, obwohl im selben Zusammenhang von der technischen geredet wird und die Ladungen der Quelle betrachtet werden. Tats¨achlich m¨ usste es in diesem Fall I=− ∂Q . ∂t (A.2) heißen. Ansonsten w¨are die Sinke gemeint. A.1.1. Anschauliche Begr¨ undung Eine Anschauliche Begr¨ undung f¨ ur die These erh¨alt man, indem man sich die Anordnung in Abb. A.1 ansieht. Hier Treten von einer positiv geladenen Elektrode (in Blau dargestellt) positive Ladungen aus. Die technische Stromrichtung ist als die Richtung der positiven Ladungstr¨ager definiert. Ebenfalls zeigt das elektrische Feld, was ja die selbe Richtung hat, wie die Stromdichte, von der positiv geladenen Elektrode weg. Somit ist der Strom I positiv, wenn dieser Ebenfalls aus der H¨ ullfl¨ache mit der Fl¨achennormalen ~n austritt. +e ~n +Q Abbildung A.1.: Positive Ladungen, die von einer Elektrode durch eine H¨ ullfl¨ache tritt 93 A. Anhang Betrachtet man die Ladung Q auf der Elektrode, so nimmt diese durch einen Austritt von von positiven Ladungen ab. Dies bedeutet, dass ∂Q <0 ∂t (A.3) gilt. Da gem¨aß der Definition der technischen Stromrichtung der Strom gleich der Ladungs¨anderung ist, und dieser in diesem Falle positiv und in Bewegungsrichtung der positiven Ladungstr¨ager gerichtet sein muss, so muss I=− ∂Q ∂t (A.4) gelten, damit I > 0. A.1.2. Begr¨ undung durch die Maxwellschen Gleichungen Aus ~ rot H(t) = ~J(t) + ∂ ~ D(t) ∂t (A.5) folgt durch die Bildung der Divergenz ∂ ~ ~ div D(t) div rot H(t) = div ~J(t) + | {z } ∂t (A.6) =0 und Anwendung des Coulombschen Gesetzes div ~J(t) = − ∂ ρ(t) . ∂t (A.7) Diese Gleichung ist als Kontinuit¨atsgleichung bekannt. Man kann diese durch Integration u ¨ber das Volumen und durch Anwendung des Satzes von Gauß in die Integrale Form bringen: ˚ ˚ ∂ ~ ρ(t) d V (A.8) div J(t) d V = − ∂t V V ‹ ~J(t) d A~ = − ∂Q(t) . (A.9) ∂t A Hierbei bezeichnet ‹ ~J(t) d A~ A den Strom aus der H¨ ullfl¨ache A~ . Da ~J ebenfalls von der positiven Elektrode weg zeigt, ist das gesamte Integral positiv. Es gilt also I(t) = − 94 ∂Q(t) . ∂t (A.10) A.2. (Natur)konstanten A.1.3. Welche Ladungen beachtet werden... Betrachtet man statt der Quellladungen die Ladungen an der Sinke, so dreht sich das Vorzeichen um! Man u ¨berlege sich dies mit dem Quellen- und Lastz¨ahlpfeilsystem im . Dies l¨asst sich ebenfalls aus dem Hinterkopf. So gilt z. B. am Kondensator I(t) = ∂Q(t) ∂t dielektrischen Verschiebungsstrom herleiten. A.2. (Natur)konstanten µ0 = 4π · 10−7 AVms 0 = 8, 854 · 10−12 VAms ZF0 = 120π Ω kB = 1, 38 · 10−23 J/K = 8, 613 · 10−5 eV/K h = 6, 6262 · 10−34 J s = 4, 136 · 10−15 eV s A.3. Einheiten Da oftmals die ein- oder andere Einheit nicht so ganz bekannt ist: Hier eine kleine Liste. Watt: W = VA = Ohm: Ω = V A H s = s F C Farad: F = V = Ωs = AVs Henry: H = VAs = Ω s 95 A. Anhang A.4. Mathematik GET1 A.4.1. Geometrische Formeln Kreisfl¨ ache Kreisringfl¨ache AK = r2 π 2 2 AK = π(raußen − rinnen ) Mantelfl¨ ache Zylinder Zylindervolumen AM = 2πrh VZ = r2 πh Kugelvolumen Kugeloberfl¨ ache 4 AK = r3 π 3 AK = 4πr2 ~ eines Linienleiters in karthesischen Koordinaten (Aufgabe 22 L3) H ur einen um x0 und y0 verschobei −e~x (y − y0 ) + e~y (x − x0 ) Dies gilt f¨ i p e~ϕ = nen Linenleiter auf einen Punkt bei x und 2πρ 2πρ (y − y0 )2 + (x − x0 )2 y. Zur herleitung ersetzt man e~ϕ wie hinten i −e~x (y − y0 ) + e~y (x − x0 ) im Buch sowie ρ nach Pythagroas. = 2π (y − y0 )2 + (x − x0 )2 ~ = H A.4.2. Wichtige Stammfunktionen ˆ ˆ 1 1 dx = − + C 2 x x 1 dx = ln x + C x ˆπ sin θ d θ = − cos π−cos 0 = −(−1)−(−1) = 2 0 A.4.3. Komplexe Zahlen Umrechnung in Polarkoordinaten () z = a + b = |z| · eϕ b ϕ = arctan f¨ ur a > 0 a b f¨ ur a < 0 = arctan + π a 96 Die Unterscheidung bei der Phase ist f¨ ur den Taschenrechner wichtig da dieser sonst falsche Winkel liefert (negatives a und positives b w¨are wie positives a und negatives b) A.5. Mathematik GET2 A.5. Mathematik GET2 A.5.1. Mathematische Methoden Partialbruchzerlegung () A x − NS A B + (x − N S) (x − N S)2 (As + B) (x2 + x + 1) As x2 + a As + B (x + a)2 Dies sind g¨angige Ans¨atze f¨ ur die Paritalbruchzerlegung. Sie ist sehr n¨ utzlich.a a Man beachte: Wenn man eine komplexe holomorphe Funktion hat ist es bei der ersten Form schneller den Faktor a u ¨ber den Residuensatz zu bestimmen. Dies ist in Kapitel 1.3.1 erw¨ahnt. Partielle Integration () ˆ ˆ 0 u v d x = uv + uv 0 d x A.5.2. Diverses sin (φ) = cos (φ − π ) 2 97 A. Anhang A.6. Laplace A.6.1. Laplace-Korrespondenzen 38 ¨ 3 Ausgleichsvorg¨ ange, Frequenz-Transformation und Ubertragungsverhalten Tabelle 3.2. Laplace-Transformierte einiger wichtiger Zeitfunktionen f (t) F (s) δ(t) 1 ε(t) 1/s ε(t) · tn /n! (n = 0, 1, · · ·) ε(t) · tn e−αt /n! (n = 0, 1, · · ·) 1/(s + α)n+1 ε(t) · cos βt s/(s2 + β 2 ) ε(t) · sin βt β/(s2 + β 2 ) ε(t) · sin(βt + ϕ) (s · sin ϕ + β · cos ϕ)/(s2 + β 2 ) ε(t) · cos(βt + ϕ) (s · cos ϕ − β sin ϕ)/(s2 + β 2 ) ε(t) · e−αt sin(βt + ϕ) [(s + α) sin ϕ + β · cos ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ] ε(t) · e−αt cos(βt + ϕ) [(s + α) cos ϕ − β · sin ϕ]/[(s + α)2 + β 2 ]   (s + α)/ (s + α)2 + β 2   β/ (s + α)2 + β 2 ε(t) · e−αt cos βt ε(t) · e−αt sin βt ε(t) · t cos βt (s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )2 ε(t) · t sin βt 2βs/(s2 + β 2 )2 ε(t) · t2 sin βt 2β(3s2 − β 2 )/(s2 + β 2 )3 ε(t) · t2 cos βt 2(s3 − 3β 2 s)/(s2 + β 2 )3   (s2 + 2β 2 )/ s(s2 + 4β 2 )   2β 2 / s(s2 + 4β 2 ) ε(t) · cos2 βt ε(t) · sin2 βt ε(t) · cosh βt ε(t) · sinh βt ε(t) · t 2β ε(t) · sin βt t sinh(βt) √ ε(t) · 1/ πt p ε(t) · 2 t/π ¨ Ubernommen aus [4, S. 38] 98 1/(sn+1 ) s/(s2 − β 2 ) β/(s2 − β 2 ) s/(s2 − β 2 )2 arctan βs √ 1/ s √ 1/(s s) A.6. Laplace A.6.2. Laplace-S¨ atze 3.5 Analyse eines RC-Netzwerkes mittels Laplace-Transformation 35 3.5.10 Endwert-Theorem Mit Hilfe dieses Theorems kann aus einer Laplace-Transformierten F (s) direkt der Grenzwert f (t → ∞) der zugeh¨origen Zeitfunktion f (t) ermittelt werden, ohne diese direkt zu kennen [36] lim f (t) = lim sF (s). t→∞ (3.108) s→0 3.5.11 Tabelle mathematischer Operationen In Tabelle 3.1 sind nochmals die in den vorhergehenden Abschnitten diskutierten mathematischen Operationen bei der Laplace-Transformation zusammengestellt. Tabelle 3.1. Zusammenfassung der Laplace-Transformation einfacher mathematischer Operationen f (t) F (s) Bezeichnung c1 f1 (t) + c2 f2 (t) c1 F1 (s) + c2 F2 (s) ¨ (Uberlagerung) 1 s (Integration) Rt 0 f (τ ) dτ F (s) df (t) dt s F (s) − f (0+ ) dn f (t) dtn sn F (s) − sn−1 f (0+ ) − ... ... − sn−2 f ′ (0+ ) − · · · · · · − f (n−1) (0+ ) f1 (t) ∗ f2 (t) F1 (s) · F2 (s) tn · f (t) (−1)n ε(t − t0 ) · f (t − t0 ) e−st0 F (s) Zeitverschiebung e−s0 t f (t) F (s + s0 ) Frequenzverschiebung f (ct) 1 F c lim f (t) = f (0+ ) t↓0 lim f (t) t→∞ s c lim Re(s)→∞ Multiplikationssatz (c > 0) sF (s) lim sF (s) s→0 Produkt im Laplace-Ber. dn F dsn
(Differentiation) Dehnung/Stauchung (Anfangswert-Theorem) (Endwert-Theorem) ¨ Ubernommen aus [4, S. 35] 99 Smith-Diagramm A. Anhang (Impedanzdiagramm) Name: zu Aufgabe _____________ Nr.: ______ 80 0.9 1.0 70 60 0.6 2.0 6 0.0 0 14 5 0.0 3.0 4.0 0.3 1 50 0.21 0.8 30 0.04 0 0.4 ne n) 0.4 0.2 0.22 1.0 5.0 20 0.2 0.02 0.8 0.23 0.1 + ZX 1 90 50 20 10 5.0 4.0 3.0 2.0 0.9 1.0 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 1.5 10 0.8 1.0 5.0 0.47 0.2 0 22 0.4 4 0.4 5 0.4 0.6 2.0 0.3 0.2 1.5 0.35 1.0 0.9 0.34 2 90 2 80 0.36 2 70 0.37 0.38 0.8 3 2 40 0.7 0.3 3 00 0.6 2 0 31 0.5 1 0.39 2 60 2 50 0.40 23 0 3 0.4 2 0.4 0.41 100 0 0.3 Erläuterungen zum Transformationsweg: 0.3 0 32 0.4 3.0 0.46 0.8 2 10 1.0 4.0 0.29 3 30 0.3 0.28 3 40 2 00 0.48 0.27 0.6 3 50 0.4 0.26 20 - XZ 0.2 0.1 0.25 0 1 80 0.2 50 50 0.01 20 0.24 0.4 1 70 0.6 10 10 R Z 0.0 8 50 40 0 0.0 0.1 0.2 1.0 0.03 1 60 0.1 7 9 0 0.02 0.01 0.1 0.6 0.49 0.2 0.3 0.1 0.08 0.06 0.04 0.4 0.5 0.16 0.1 (in 0.15 0.5 0 13 0.14 90 1.5 1 20 7 1 10 0.8 8 0.0 0.0 g( r) ar 0.09 0.13 0.12 0.11 1 00 0.7 ( l l/ ß au ) en 0.2 0.6 reflektierte Leistung VSWR = Umax / Umin 0.10 0.3 0.4 0.7 0.5 0.8 0.6 0.7 0.9 0.8 0.9 1.0 1.0 1.0 1.0 0.9 0.8 1.2 0.7 1.4 0.6 1.6 0.5 Reflexionsfaktor r 2.0 1.8 0.4 0.3 3.0 0.2 5.0 4.0 0.1 10.0 20.0 ¥ 0.0 m = Umin / Umax Bezugswellenwiderstand Z = ______ A.8. Mathematik RT-A A.8. Mathematik RT-A Taylor-Polynom () tn (x) = n X dk f (x) k=0 d xk |x=x0 (x − x0 )k 101 A. Anhang A.9. Vektoranalysis A.9.1. Umformungen grad Der Gradient ist definiert als die Multiplikation des Nabla-Operators mit einer Skalaren Funktion: ∇ · ψ = grad ψ ~r 1 =− 3 r r ∂Φ(~r) ~er grad Φ(~r) = ∂r grad grad(ψ1 ψ2 ) = ψ1 grad ψ2 + ψ2 grad ψ1 A.9.2. Umformungen div Die Divergenz ist definiert als die Skalare Multiplikation des Nabla-Operators mit einer Vektoriellen Funktion: D E ~ = div B ~ ∇, B A.9.3. Umformungen rot Die Rotation ist definiert als die Vektorielle Multiplikation des Nabla-Operators mit einer Vektoriellen Funktion: ~ = rot B ~ ∇×B Kugelkoordinaten ()   1 ∂(Aϕ sin ϕ) ~er r sin (ϑ) ∂ϑ   1 1 ∂Ar ∂(rAϕ ) ~eϑ + − r sin ϑ ∂ϕ ∂r   1 ∂(˚ Aϑ ∂Ar ~eρ + − r ∂r ∂ϑ ~ = ∇×A 102 A.9. Vektoranalysis A.9.4. Laplace-Operator A.9.5. Integrals¨ atze Stokes (Albach 42, 43) ˛ ¨ ~ d~s B ~ dA ~ = rot B ¨ C A ˛ ~ =− grad ψ × d A ψ d~s C A Gauß (Albach 44, 45) ˚ ‹ ~ dV = div B ˚V ~ dA ~ B A ‹ ~ ψdA grad ψ d V = V A 103 Literaturverzeichnis [1] Albach, M.: Grundlagen der Elektrotechnik 1 M¨ unchen: Pearson Studium, 2008 [2] Albach,M: Grundlagen der Elektrotechnik 2 M¨ unchen: Pearson Studium, 2005 [3] Schmidt, L.-P.; Schaller, G.; Martius, S.: Grundlagen der Elektrotechnik 3 M¨ unchen: Person Studium 2006, ISBN 978-3-8273-7107-2 [4] Lerch, R.: Elektrische Messtechnik, 5. Auflage Berlin Heidelberg: Springer-Verlag 2010, ISBN 978-3-642-05454-9 [5] Albach, M.; Skript zur Vorlesung Elektromagnetische Felder 1 [6] L.-P. Schmidt, Skript zur Vorlesung Passive Bauelemente und deren HF-Verhalten 105 Stichwortverzeichnis ¨ Ahnlichkeitssatz, 18 Anfangswerttheorem, 31 Antireflexschicht, 64 Bauelemente nichtlinear, 33 Betriebs¨ ubertragungsfaktor, 24 Betriebsd¨ampfung, 24 Betriebspunkt, 86 Biot-Savart, 56 Bode-Diagramme, 32 Amplitudengang, 32 Phasengang, 33 Brechungsgesetz, 61 Coulomb, 3 cutoff-Frequenz, 73 Dezibel, 32 Diode, 43 Stromkennlinie, 43 Dipol, 52 magnetisch, 57 Divergenz, 102 Effektivwert, 14 Fourier-Reihe, 27 Endwerttheorem, 31 Energiedichte, 59 Fehler Absoluter Fehler, 35 Fortpflanzung systematischer, 35 Relativer Fehler, 35 Fehlerrechnung, 35 Feld elektrisches, 51 Raumladung, 51 Feldgleichung Str¨omungsfeld, 55 Formfaktor, 28 Fourier Momentanleistung, 29 Scheinleistung, 29 Wirkleistung, 29 Fourier-Koeffizienten, 26 Fourier-Reihen, 26 Amplituden-Phasen, 26 Komplex, 26 Sinus-Cosinus, 26 Frequenz Komplex, 22 Fresnelgesetze, 64 G¨ ute Dielektrikum, 66 Kondensator, 67 Gesetz Coulombsches, 45 Ohm, 55 Gleichrichtwert, 14 Gradient, 102 Grundschwingungsgehalt, 28 Hurwitz-Kriterium, 87 Hystereseverlustfaktor, 68 Induktivit¨at Doppelleitung, 11 Spule, 11 Induktivit¨aten 107 Stichwortverzeichnis Diverse, 11 Induktivit¨atsmatrix, 58 Integration Partiell, 97 Klirrfaktor, 28 Klirrkoeffizient, 28 Knotenpotentialverfahren, 21 Admittanzmatrix, 21 Inzidenzmatrix, 21 Knotenspannungen, 22 Koaxialleitung, 74 D¨ampfungsmaß, 75 Induktivit¨atsbelag, 75 Kapazit¨atsbelag, 75 Leitungswellenwiderstand, 75 Phasengeschwindigkeit, 74 Phasenmaß, 74 Komplexe Impedanzfunktion, 23 Kondensator Energie, 5 Impedanz, 15 Impedanz (Z(s)), 22 Kapazit¨at, 5 Schaltungen/Bauweisen, 5 Kontinuit¨atsgleichung, 47 L¨osungsverfahren I, 53 II, 53 III, 53 IV, 53 Laplace-Gleichung, 52 Laplace-Transformation, 30 einseitig, 30 Kondenstor, 31 Spule, 31 Widerstand, 30 Lecherleitung, 71 Leistung Blind-, 16 Komplex, 16 Schein-, 16 Wirk-, 16 108 Leistungsanpassung Gleichstrom/Spannung, 8 Komplex, 17 Leistungsbilanz, 59 Frequenzbereich, 59 Leitung Lecher, 71 Verlustarm, 71 Leitungstheorie, 69 Magnetfeld Energie, 57 Maschenstromverfahren, 20 Impedanzmatrix, 20 Inzidenzmatrix, 20 Zweigstr¨ome, 21 Maxwell differentielle Form, 46 Freuquenzbereich, 47 integrale Darstellung, 45 Randbedingungen, 48 Messbr¨ ucke Diagonalspannung, 36 Messschaltungen, 36 Miller Admittanz, 18 Impedanz, 18 minimalphasig, 87 Modellbildung, 85 Nyquist-Kriterium, 87 vereinfacht, 88 Operationsverst¨arker, 36 Partialbruchzerlegung, 97 Phasengeschwindigkeit, 60 Pointing-Vektor, 63 Poisson-Gleichung, 52 Quelle Ersatz, 17 Substitution, 18 Umrechnung, 17 Randbedingungen Stichwortverzeichnis station¨ares Str¨omungsfeld, 55 Rechteckhohlleiter, 73 H10 − W elle, 74 Wandverluste, 74 Reflexionsfaktor, 69 Reglerentwurf, 88 Residuensatz, 32 Rotation, 102 Satz Gauß, 103 Stokes, 103 Scheitelfaktor, 28 Schwingkreis G¨ ute, 15 Resonanzfrequenz, 14 Skintiefe, 61 Smith-Chart, 75 Spannungs¨ ubertragungsfaktor, 25 Spule Impedanz, 15 Impedanz (Z(s)), 22 Schaltungen/Bauweisen, 11 Stabilit¨atskriterien, 86 Stehwellenverh¨alltnis, 72 Steuerungsentwurf, 88 Strom¨ ubertragungsfaktor, 25 Vektorpotential, 56 Verlustwinkel Dielektrikum, 66 Permeabler, 68 Spule, 68 Wellenl¨ange, 61 Wellenzahl k, 60 Welligkeit, 29 Widerstand Hochfrequenz, 61 Wirbelstr¨ome, 69 Wirbelstromverlustfaktor, 68 Wirkungsgrad, 17 Zwei-Freiheitsgrade-Regelung all., 91 kaskadiert, 91 St¨orgr¨oßenaufschaltung, 91 Zweitor Kettenschaltung, 25 Parallelschaltung, 25 R¨ uckwirkungsfrei, 25 Serienschaltung, 25 Symmetrisch, 25 Zweitore Betriebsverhalten, 24 Teilkapazit¨aten, 54 Temperaturabh¨ahngigkeit Kondensator, 66 Spule, 67 Widerstand, 65 Theorem Anfangswert, 31 Endwert, 31 Reziprozit¨at, 19 Tellegen, 19 Transformation Laplace, 30 Transmittanz, 24 Umwandlung Dreieck-Stern, 19 Stern-Dreieck, 19 109