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Seminar für Lehramt Mathematik
Geodätische Kuppel Geodätische Kuppeln sind Konstruktionen von sphärischen Kuppeln mit einer Substruktur aus Dreiecken. Geschichte 1919 startet der Berliner Walther Wilhelm Johannes Bauersfeld (*1879 ; †1959) mit der Entwicklung einer freitragenden Kuppel für Projektionszwecke in Jena. Bauersfeld verfeinerte den Ikosaeder so weit, dass er die entstandene Konstruktion zur Bewährung einer 26m weiten Spritzbetonstruktur verwenden konnte. Das 1926 eröffnete Planetarium Jena der Carl-Zeiss-Werke gilt als die erste geodätische Kuppel der Welt. Weiterentwickelt wurde die Geodätische Kuppel von Richard Buckminster Fuller, (1895-1983), einem amerikanischen Architekt und Erfinder. Fuller unternahm in den 1940er Jahren systematische Untersuchungen räumlicher Tragwerkkonstruktionen. So entwickelte er die auf regelmäßigen Vielflächen basierenden geodätischen Kuppeln. Er benutzte dabei erstmals den Begriff „Geodesic“. Breite Aufmerksamkeit erfuhr die Fuller-Kuppel Biosphère 1967, die auf der Expo 67 in Montreal als US-Pavillon eröffnet wurde. Konstruktion Eine geodätische Kuppel ist ein konvexes unregelmäßiges Polyeder. Daher gilt für geodätische Kuppeln der Eulersche Polyedersatz: 𝐸+𝐹 −𝐾 =2 (E…Ecken, F…Flächen, K…Kanten) Möchte man eine Kuppel möglichst kugelförmig aus ebenen Flächen zusammensetzen, so sollte man Dreiecke verwenden, die möglichst gleichseitig sind und deren Ecken alle auf einer Kugeloberfläche liegen. Bei fünf gleichseitigen Dreiecken an jeder erhält man ein Ikosaeder. Leider ergeben sechs gleichseitige Dreiecke an einer Ecke keinen Körper mehr, da die entsprechenden sechs Innenwinkel der Dreiecke zusammen 360° ergeben. Deshalb ist der Gedanke naheliegend, Ecken mit fünf und sechs Dreiecken möglichst regelmäßig zu kombinieren. Deshalb ist der Gedanke naheliegend, Ecken mit fünf und sechs Dreiecken möglichst regelmäßig zu kombinieren. Allerdings geht das nicht mehr mit exakt gleichseitigen Dreiecken. Da wir nur Polyeder mit Dreiecksflächen betrachten, jedes Dreieck drei Kanten hat, sich die Kanten aber mit jeweils einem Nachbardreieck teilen muss, gilt hier außerdem: 3 𝐾= 𝐹 2 3 𝐹+𝐸− 𝐹 = 2 2 1 𝐸 = 𝐹+2 2 Von jeder Fünferecke (E5) gehen 5 Kanten aus. Jeder Kante gehört aber gleichzeitig zu einer anderen Ecke. Das gilt entsprechend für die Sechserecken (E6). Damit muss gelten:
Andreas Ortner
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5 6 3 𝐸5 + 𝐸6 = 𝐾 = 𝐹 2 2 2 5𝐸5 + 6(𝐸 − 𝐸5 ) = 3𝐹 𝐸5 = 6𝐸 − 3𝐹 𝐸5 = 3𝐹 + 12 − 3𝐹 𝐸5 = 12 Die geodätischen Kuppeln besitzen also immer genau 12 Fünferecken. Der einfachste Weg, geodätische Kuppeln zu konstruieren, besteht darin, das Ikosaeder als Ausgangskörper zu verwenden. Man teilt dabei die gleichseitigen Dreiecke des Ikosaeders in 4, 9, 16, usw. gleichseitige und gleich große Unterdreiecke auf (siehe Abbildung). Dabei entstehen auf den Seiten eines Ikosaederdreiecks gleich viele und gleich lange Abschnitte. Außerdem bilden sich zusätzliche Sechserecken. Diese projiziert man vom Ikosaeder-Mittelpunkt auf die Oberfläche der umgebenden Kugel. Die dabei neu entstehenden Dreiecke bilden in ihrer Gesamtheit eine geodätische Kuppel.
Nach der Projektion sind die Dreiecke allerdings weder gleichseitig noch gleich groß. Die Abbildungen zeigen die beiden einfachsten geodätischen Kuppeln, die man aus einem Ikosaeder konstruieren kann. Sie besitzen 80 bzw. 180 Dreiecke auf der Oberfläche.
Allgemein besitzen diese geodätischen Kuppeln F = 20 · n2 Dreiecke, wobei n eine natürliche Zahl größer Null ist. Praktische Anwendung Der „Sehnen“-Faktor (engl. Chord-factor) ist das Verhältnis von der Länge der Sehne zum Radius der umgebenden Sphäre. Für geodätische Sphären gibt es eine Formel um den „Sehnen“-Faktor η zu berechnen: 𝜃 𝜂 = 2sin( ) 2 𝜃 bezeichnet den Winkel des Bogens für die gegebene Sehne, das ist der Zentriwinkel von der Sehne in Bezug auf das Zentrum der Sphäre. Um solche Winkel explizit zu berechnen benötigt man sphärische Geometrie.
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