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Geometrische Methoden zur Analyse dynamischer Systeme Markus Sch¨oberl
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Institut f¨ ur Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Johannes Kepler Universit¨ at Linz
KV Ausgew¨ahlte Kapitel der Regelungstheorie 2016
M. Sch¨ oberl
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Teil IV
Mechanik und Maxwell
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¨ Ubersicht
Zeit-invarianter Fall Konfigurationsmannigfaltigkait M Bewegung ist eine Kurve in M parametriert in der Zeit
Zeit-varianter Fall Konfigurationsb¨ undel Q → T Bewegung ist ein Schnitt von Q → T Auch zeitinvarianter Fall beinhaltet, mit Q = M × T und speziellen B¨ undelmorphismen welche die Zeit nicht beinhalten.
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Punktmechanik I Konfigurationsmannigfaltigkeit M mit Koordinaten q α . Tangentialb¨ undel T (M ) mit Koordinaten (q α , q˙ α ). Bewegung q α = s α (t) und die zugeh¨ orige Geschwindigkeit α α ¨ (Anderung der Bewegung) q˙ ◦ s = v (s(t)) = ∂t s α . ¨ Zur Berechnung der Anderung der Geschwindigkeit (Beschleunigung) ben¨ otigt man einen linearen Zusammenhang auf T (M ) → M der Form Λ = dq α ⊗ (∂α + Λβαρ q˙ ρ ∂˙β )
∂ Λβαρ ∈ C ∞ (M ) , ∂˙β = ∂ q˙ β
Der Zusammenhang ist linear da Λβα = Λβαρ q˙ ρ gilt (Λβαρ sind die Christoffelsymbole mit anderer Vorzeichenkonvention). Des weiteren erh¨alt man das kovariante Differential DΛ : ((q˙ β )α − Λβαρ q˙ ρ )dq α ⊗ ∂˙β M. Sch¨ oberl
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Punktmechanik II F¨ ur die kovariante Ableitung in Richtung der Geschwindigkeit v gilt v ⌋∇Λ (v ) = v α (∂α v β − Λβαρ v ρ )∂β mit V (T (M )) ≈ T (M ) ×M T (M ), das heißt wir identifizieren ∂˙β mit ∂β , da sie sich gleich transformieren. Damit folgt aus ∂t (v β ◦ s) − Λβαρ ◦ s ∂t s α ∂t s ρ ∂β = ∂tt s β − Λβαρ ◦ s ∂t s α ∂t s ρ ∂β
(v ⌋∇Λ (v )) ◦ s =
das gew¨ unschte Resultat f¨ ur die vektorielle Darstellung der Beschleunigung. M. Sch¨ oberl
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Punktmechanik - Weitere Konzepte Eine Metrik ist eine Abbildung g : T (M ) → T ∗ (M ) der Form g = gαβ dq α ⊗ dq β F¨ ur die Christoffelsymbole (Koeffizienten des linearen Zusammenhangs) gilt 2Λκαρ = −ˆ g κε (∂α gρε + ∂ρ gεα − ∂ε gαρ ) und ∂ρ gαε = −gκεΛκαρ − gαβ Λβρε F¨ ur den Impuls gilt p = m (v ⌋g) ,
pα = mgαβ v β
mit der Masse m. Kovariante Ableitung β v ⌋∇Λ∗ (p) = v α ∂α pβ − Λρ∗ αβ pρ dq ρ ∗ ∗ ∗ mit Λρ∗ αβ = −Λαβ und V (T (M )) ≈ T (M ) ×M T (M ) M. Sch¨ oberl
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Konfigurationsbu ¨ndel Wir betrachten ein B¨ undel Q → T mit Koordinaten (t, x α ) f¨ ur Q und die Zeit t f¨ ur T . Wir betrachten ein triviales Bu ¨ndel Q = M × T wobei die α Koordinaten (x ) f¨ ur M sind. Eine Bewegung s(t) ist dann ein Schnitt des B¨ undels Q → T . Auf dem B¨ undel Q → T w¨ ahlen wir einen trivialen Zusammenhang, der Form γ = dt ⊗ ∂t also γ0α = 0, wenn man γ = dt ⊗ (∂t + γ0α ∂α ) betrachtet. Spezielle Koordinatenwechsel der Form x¯ = ϕ(x ) erhalten die B¨ undelstruktur, sowie das triviale B¨ undel und den trivialen Zusammenhang. Im allgemeinen d¨ urfte man auch x¯ = ϕ(t, x ) betrachten → mitbewegte (beschleunigte) Koordinatensysteme M. Sch¨ oberl
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Geschwindigkeit, Beschleunigung Die Geschwindigkeit kann nun als vertikales Vektorfeld in V (Q ) interpretiert werden. Die Koordinaten f¨ ur V (Q ) sind nun (t, x α , x˙ α ). Zur Berechnung der Beschleunigung ben¨ otigt man einen Zusammenhang auf dem B¨ undel V (Q ) → Q . Ganz allgemein gilt Γ = dt ⊗ (∂t + Γα0 ∂˙α ) + dx β ⊗ (∂β + Γαβ ∂˙α ) Wir w¨ahlen nun Γα0 = 0 und Γαβ = Λαβρ x˙ ρ . Das kovariante Differential folgt nun zu DΓ = (x˙ tα − Γα0 )dt ⊗ ∂˙α + (x˙ βα − Γαβ )dx β ⊗ ∂˙α und die Kovariante Ableitung des Vektorfelds v = (v α ◦ s)∂α entlang des Vektorfelds vs = ∂t + ∂t s α ∂α ergibt vs ⌋∇Γ (v ◦ s) = (∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s))∂α mit ∂˙α ≃ ∂α . M. Sch¨ oberl
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Newton und Maxwell I Das Gesetz von Newton lautet dann f¨ ur einen Massenpunkt m m(vs ⌋∇Γ (v ◦ s)) = (ˆ g ⌋F ) ◦ s mit F = F0 dt + Fα dx α In Koordinaten erh¨alt man m ∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s) = gˆακ Fκ Die Lorentzkraft erh¨alt man indem man den erweiterten Zusammenhang Γe = dt ⊗ (∂t + Γα ∂˙α ) + dx β ⊗ (∂β + Γα ∂˙α ) 0
β
betrachtet Γα0 = gˆακ F0κ , Γαβ = Λαβρ x˙ ρ + gˆακ Fβκ . mit F = F0α dx α ∧ dt + 21 Fαβ dx α ∧ dx β . M. Sch¨ oberl
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Newton und Maxwell II Dann gilt DΓe = (x˙ tα − gˆακ F0κ )dt ⊗ ∂˙α + (x˙ βα − Λαβρ x˙ ρ − gˆακ Fβκ )dx β ⊗ ∂˙α und somit vs ⌋∇Γe (v ◦ s) = (∂t (v α ◦ s) − (Λαβρ v β v ρ ◦ s) − gˆακ (F0κ + Fβκ v β ) ◦ s)∂α beziehungsweise vs ⌋∇Γe (v ◦ s) = vs ⌋∇Γ (v ◦ s) − (ˆ g ⌋fL ) ◦ s Anmerkungen: Im allgemeinen gilt f¨ ur die Geschwindigkeit v = ∂t ⌋∇γ (s) mit ∇γ (s) = (∂t s α − γ0α ◦ s)dt ⊗ ∂α ur den Fall, dass γ0α = 0 Γα0 = 0 bzw. Γα0 = gˆακ F0κ gilt f¨ M. Sch¨ oberl
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