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¨ Große Ubung zu Kapitel 1 der Vorlesung Verl¨asslichkeit von Rechnern: ¨ Verla¨sslichkeit, Modelle im Uberblick und Wiederholung Statistik Prof. G. Kemnitz Institut f¨ ur Informatik, Technische Universit¨ at Clausthal 27. April 2012
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1. Einleitung
Einleitung
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1. Einleitung
1. Verl¨asslichkeit
Verl¨asslichkeit
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1. Einleitung
1. Verl¨asslichkeit
1
Worin unterscheiden sich reale von idealen informationsverarbeitenden Systemen?
2
Was ist ein Fehler und was ist eine Fehlfunktion?
3
Wie groß darf die Summe aller Zeiten f¨ ur die Wiederherstellung der Betriebsbereitschaft f¨ ur ein System mit einer geforderten Verf¨ ugbarkeit von 99,9% innnerhalb eines Jahres maximal sein?
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1. Einleitung
1. Verl¨asslichkeit
L¨osung zu Aufgabe 4 Wie groß darf die Summe aller Zeiten f¨ ur die Wiederherstellung der Betriebsbereitschaft f¨ ur ein System mit einer geforderten Verf¨ ugbarkeit von 99,9% innnerhalb eines Jahres maximal sein? tB V = = 99,9% tB + tR Gesamtzeit : tB + tR = 1 Jahr Geforderte Zeit, die es betriebsbereit sein muss: tB = 99,9% · 1 Jahr Max. zul¨assige Zeit f¨ ur die Wiederherstellung der Betriebsbereitschaft: 1 Jahr ≈ 0,365 Tage tR = 1000 Prof. G. Kemnitz · Institut f¨ ur Informatik, Technische Universit¨ at Clausthal
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1. Einleitung
¨ 2. Modelle im Uberblick
¨ Modelle im Uberblick
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1. Einleitung
¨ 2. Modelle im Uberblick
1
Welche Zuverl¨assigkeit hat ein System im Dauerbetrieb, bei dem im Mittel pro Jahr 100 Fehlfunktionen durch St¨orungen, 200 Fehlfunktionen durch Bedienfehler und 500 Fehlfunktionen durch nicht erkannte Fehler auftreten? Nach Erkennung und Beseitigung eines Fehlers erh¨oht sich die Zuverl¨assigkeit um 10%. Mit welcher H¨ aufigkeit hatte dieser Fehler Fehlfunktionen verursacht? (Lsg.)
2
Die Ausgabekontrolle eines Systems erkennt 99% aller Fehlfunktionen. Wie hoch muss die Korrekturwahrscheinlichkeit sein, damit sich die Zuverl¨assigkeit verzwanzigfacht?(Lsg.)
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1. Einleitung
¨ 2. Modelle im Uberblick
3
Z¨ahlen Sie Gr¨ unde auf, warum sich die Fehler in einem System und die Fehlfunktionen bei der Nutzung eines Systems nicht exakt z¨ ahlen lassen?
4
Wie viele Bits muss das Gesamtcodewort eines fehlerkorrigierenden Codes mit Korrekturstellen mindestens haben, wenn die Anzahl der g¨ ultigen Codeworte 200 betr¨agt und f¨ ur jedes Gesamtcodewort alle Einzelbitfehler korrigierbar sein sollen? (Hinweis: Die Anzahl der erkennund korrigierbaren Datenverf¨ alschungen ist f¨ ur jedes g¨ ultige Codewort gleich der Bitanzahl des Gesamtcodeworts.) (Lsg.)
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¨ 2. Modelle im Uberblick
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Um welchen Faktor erh¨ oht sich die Sicherheit eines Systems, wenn die Fehler¨ uberdeckung des Tests von 80% auf 90% erh¨oht, und sich durch Beseitigung der Fehler, die am h¨aufigsten Fehlfunktionen verursachen, die mittlere Anzahl der Fehlfunktionen je Fehler halbiert? (Die H¨aufigkeit der Fehlfunktionen durch St¨ orungen und Fehlbedienungen sei vernachl¨assigbar und alle erkannten Fehler werden beseitigt.) (Lsg.)
6
Welche M¨oglichkeiten gibt es, Fehlfunktionen manuell oder automatisch korrigieren zu lassen?
7
Wie funktioniert die Fehlervermeidung f¨ ur informationsverarbeitende Systeme?
8
Nennen Sie Beispiele f¨ ur Systeme, in denen
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1. Einleitung
¨ 2. Modelle im Uberblick
sicherheitskritische Fehlfunktionen auftreten k¨onnen. 9
Was ist ein Phantomfehler?
10
Wie hoch muss die Fehlererkennungssicherheit der Kontrollfunktion mindestens sein, um die Zuverl¨assigkeit des Systems zu verdoppeln, wenn die Korrekturwahrscheinlichkeit 90% betr¨ agt? (Lsg.)
11
Ein zus¨atzliches technisches System sei in der Lage, die Zahl der sicherheitskritischen Fehlfunktionen auf ein drittel zu reduzieren und habe selbst eine Sicherheit von 20 Jahren zwischen selbstverursachten sicherheitkritischen Fehlfunktionen. Bis zu welcher Sicherheit Z†B des urspr¨ unglichen Systems bewirkt ein solches Zusatzsystem u ¨berhaupt eine Sicherheitsverbesserung?
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¨ 2. Modelle im Uberblick
1. Einleitung L¨osung zu Aufgabe 1
Welche Zuverl¨assigkeit hat ein System im Dauerbetrieb, bei dem im Mittel pro Jahr 100 Fehlfunktionen durch St¨orungen, 200 Fehlfunktionen durch Bedienfehler und 500 Fehlfunktionen durch nicht erkannte Fehler auftreten? ψ = (100 + 200 + 500)
Fehlfkt. Jahr
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¨ 2. Modelle im Uberblick
1. Einleitung
Nach Erkennung und Beseitigung eines Fehlers erh¨oht sich die Zuverl¨assigkeit um 10%. Mit welcher H¨ aufigkeit hatte dieser Fehler Fehlfunktionen verursacht? Zuverl¨ assigkeit mit dem Fehler: 1 Fehlfkt. 800 Jahr 10% h¨ ohere Zuverl¨ assigkeit ohne den beseitigten Fehler: Z=
1,1 Fehlfkt. 800 Jahr Fehlfunktionen durch den beseitigten Fehler: 800 Fehlfkt. Fehlfkt. ψi = 800 − ≈ 73 1, 1 Jahr Jahr Z=
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¨ 2. Modelle im Uberblick
1. Einleitung L¨osung zu Aufgabe 2
Die Ausgabekontrolle eines Systems erkennt 99% aller Fehlfunktionen. Wie hoch muss die Korrekturwahrscheinlichkeit sein, damit sich die Zuverl¨ assigkeit verzwanzigfacht? ZFK 1 = = 20 Z 1 − pB Erforderliche Beseitigungswahrscheinlichkeit: pB = pE · pK = 95% Erforderliche Korrekturwahrscheinlichkeit bei einer Erkennungswahrscheinlichkeit pE = 99%: 95% pK = ≈ 96% 99%
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¨ 2. Modelle im Uberblick
1. Einleitung L¨osung zu Aufgabe 4
Wie viele Bits muss das Gesamtcodewort eines fehlerkorrigierenden Codes mit Korrekturstellen mindestens haben, wenn die Anzahl der g¨ ultigen Codeworte 200 betr¨ agt und f¨ ur jedes Gesamtcodewort alle Einzelbitfehler korrigierbar sein sollen? Anzahl der g¨ ultigen Codeworte: NCWG = 200 Ein korrigierbares Codewort je Bit und g¨ ultiges Codewort: NCWK/CWG = NBit 2NBit
≥ NCWG + NCWG · NCWK/CWG
2NBit
≥ 200 · (1 + NBit )
NBit
4
...
10
11
2NBit
16
...
1024
2048
200 · (1 + NBit )
1000
...
1100
1200
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1. Einleitung
¨ 2. Modelle im Uberblick
L¨osung zu Aufgabe 5 Um welchen Faktor erh¨oht sich die Sicherheit eines Systems, wenn die Fehler¨ uberdeckung des Tests von 80% auf 90% erh¨oht, und sich durch Beseitigung der Fehler, die am h¨ aufigsten Fehlfunktionen verursachen, die mittlere Anzahl der Fehlfunktionen je Fehler halbiert? Unter Vernachl¨assigung der Fehlfunktionen durch St¨orungen und Fehlbedienungen verhalten sich Zuverl¨ assigkeit und auch die Sicherheit proportional zu: Z†2 KFFT1 · (1 − F C1 ) Z2 = = Z1 Z†1 KFFT2 · (1 − F C2 ) Fehler¨ uberdeckungserh¨ ohung von 80% auf 90%:
(1−80%) (1−90%)
=2
KFFT1 KFFT2
Halbierung der Fehlfunktion je Fehler: =2 Zuverl¨assigkeit und Sicherheit vervierfachen sich etwa. Prof. G. Kemnitz · Institut f¨ ur Informatik, Technische Universit¨ at Clausthal
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¨ 2. Modelle im Uberblick
1. Einleitung L¨osung zu Aufgabe 10
Wie hoch muss die Fehlererkennungswahrscheinlichkeit der Kontrollfunktion mindestens sein, um die Zuverl¨ assigkeit des Systems zu verdoppeln, wenn die Korrekturwahrscheinlichkeit 90% betr¨agt? Verdopplung der Zuverl¨ assigkeit bedeutet: ZFK 1 = =2 Z 1 − pB Erforderliche Beseitigungswahrscheinlichkeit: pB = pE · pK = 50% Erforderliche Erkennungswahrscheinlichkeit bei einer Korrekturwahrscheinlichkeit pK = 90%: 50% pE = ≈ 56% 90% Prof. G. Kemnitz · Institut f¨ ur Informatik, Technische Universit¨ at Clausthal
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1. Einleitung
¨ 2. Modelle im Uberblick
L¨osung zu Aufgabe 11 Ein zus¨ atzliches technisches System sei in der Lage, die Zahl der sicherheitskritischen Fehlfunktionen auf ein drittel zu reduzieren und habe selbst eine Sicherheit von 20 Jahren zwischen selbstverursachten sicherheitkritischen Fehlfunktionen. Bis zu welcher Sicherheit Z†B des urspr¨ unglichen Systems bewirkt ein solches Zusatzsystem u ¨berhaupt eine Sicherheitsverbesserung? Kehrwert der Gesamtsicherheit gleich dem Kehrwert der dreifachen Bezugssicherheit plus dem Kehrwert der Sicherheit des Zusatzsystems nicht gr¨ oßer als Kehrwert der bezugssicherheit: 1 1 1 1 = + ≤ Z†ges 3 · Z†B 20 Jahre Z†B 20 Jahre + Z†B ≤ 20 Jahre 3 Das Zusatzsystem verbessert nur die Gesamtsicherheit f¨ ur Systeme mit einer Sicherheit bis zu etwa 13 Jahren. Prof. G. Kemnitz · Institut f¨ ur Informatik, Technische Universit¨ at Clausthal
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1. Einleitung
3. Wiederholung Statistik
Wiederholung Statistik
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1. Einleitung 1 2
3. Wiederholung Statistik
Was ist eine Zufallsvariable und was ist eine Verteilung? Ein System habe vier potenzielle Fehler mit den Auftrittswahrscheinlichkiten hi und den Nachweiswahrscheinlichkeiten durch den Test pi : hi
0,1
0,2
0,15
0,4
pi
50%
80%
60%
80%
Wie groß sind die Erwartungswerte der Anzahl der vom Test nachweisbaren und der Anzahl der vorhandenen, aber nicht nachweisbaren Fehler? Welche Verteilung hat die Anzahl der vorhandenen, nicht nachweisbaren Fehler? (Lsg) 3
Wenn man zwei unabh¨ angige Zufallsvariablen addiert, was l¨asst sich dann u ¨ber den Erwartungswert und die
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1. Einleitung 4
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3. Wiederholung Statistik
Standardabweichung der Summe aussagen? Gegen welche Verteilung strebt die Anzahl der eingetretenen Ereignisse von sehr vielen unabh¨ angig voneinander auftretenenden seltenen Ereignissen? Was ist eine Fehlerbaumanalyse? Welches Problem verursachen rekonvergente Auff¨ acherungen in einem Fehlerbaum? Was ist eine Markov-Kette und was wird mit einer Markov-Kette berechnet? Ein Fehler habe eine Nachweiswahrscheinlichkeit je Testschritt von pi = 0,2 und es wird versucht, den Fehler mit f¨ unf Testschritten nachzuweisen. Welche M¨ oglichkeiten gibt es, wie oft der Fehler mit dem Testsatz nachgeweisen wird?
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1. Einleitung
3. Wiederholung Statistik
Wie lautet die Verteilung, der Erwartungswert und die Standardabweichung, f¨ ur die Anzahl, wie oft der Fehler nachgewiesen wird?
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1. Einleitung
3. Wiederholung Statistik
L¨osung zu Aufgabe 2 Ein System habe vier potenzielle Fehler mit den Auftrittswahrscheinlichkiten hi und den Nachweiswahrscheinlichkeiten durch den Test pi : hi
0,1
0,2
0,15
0,4
pi
50%
80%
60%
80%
Wie groß sind die Erwartungswerte der Anzahl der vom Test nachweisbaren und der Anzahl der vorhandenen, aber nicht nachweisbaren Fehler? Erwartungswerte der Anzahl der vom Test nachweisbaren Fehler: 4 X E ϕ√ = pi · hi = 0,05 + 0,16 + 0,09 + 0,24 = 0, 54 i=1
Erwartungswerte der Anzahl der vorhandenen und vom Test 27. April 2012
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1. Einleitung
3. Wiederholung Statistik
Welche Verteilung hat die Anzahl der vorhandenen, nicht nachweisbaren Fehler? Wahrscheinlichkeiten, dass die Fehler i vorhanden und nicht nachweisbar sind: p1 = 0,05, p2 = 0,04, p3 = 0,06, p4 = 0,08 i
pi
P (ϕ! =0)
P (ϕ! =1)
1
5%
0,95
0,05
2
4%
0,912
0,086
0,002
3
6%
0,857
0,136
0,07
0
4
8%
0,789
0,194
0,075
0,006
P (ϕ! =2)
P (ϕ! =3)
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P (ϕ! =4)
0?
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1. Einleitung
3. Wiederholung Statistik
L¨osung zu Aufgabe 7 Ein Fehler habe eine Nachweiswahrscheinlichkeit je Testschritt von pi = 0,2 und es wird versucht, den Fehler mit f¨ unf Testschritten nachzuweisen. Wie oft kann der Fehler mit f¨ unf Testschritten nachgeweisen werden? k ∈ {0, 1, . . . , 5} Verteilung (Summe unabh¨ angiger gleichwahrscheinlicher Ereignisse) ⇒ Binomialverteilung: P (ϕ = k) E (k) = 5 · 0,2
=
5
· 0,2k · (1 − 0,2)5−k
k p p D2 (k) = 5 · 0,2 · 0,8
k
0
1
2
3
4
5
E (k)
P (k)
0,328
0,410
0,205
0,051
0,006
0
1
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p
D2 (k)
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