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Prof. Dr. Reinhard H¨ opfner
Frederik Klement
Grundlagen der Stochastik Blatt 3 Aufgabe 1:(3 + 3 Punkte) Wir betrachten eine unendliche Folge von unabh¨angigen M¨ unzw¨ urfen, also einen Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) wie er in Bsp.1.7 aus der Vorlesung definiert wurde. Zeigen Sie a) P {ω ∈ Ω : ωn = 1 f¨ ur unendlich viele n ∈ N} = 1, b) P {ω ∈ Ω : ωn = 1 ab einem gewissen k ∈ N} = 0. Hinweis: Sie k¨ onnen die Stetigkeit von oben bzw. von unten des Maßes P benutzen. Aufgabe 2:(4 Punkte) Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum und An ∈ A ein Ereignis f¨ ur n ∈ N. Beweisen Sie die Siebformel von Sylvester, i.e. beweisen Sie f¨ ur alle N ∈ N : [ X N N P Ai = i=1
X
(−1)j+1
P[Ai1 ∩ Ai2 ∩ ... ∩ Aij ]
1≤i1 ≤i2 ≤...≤ij ≤j
j=1
Hinweis: Sie k¨ onnen die folgenden Identit¨aten verwenden: Sei I eine beliebe Indexmenge und sei B ⊂ Ω und Ci ⊂ Ω f¨ ur i ∈ I eine Teilmenge, dann gilt: [ [ \ \ B∩ Ci = Ci = B ∩ Ci , B ∪ B ∪ Ci . i∈I
i∈I
i∈I
i∈I
Aufgabe 3:(4 Punkte) Der ber¨ uhmte Mathematiker Stefan Banach hat in beiden Hosentaschen je eine Schachtel mit N Streichh¨ olzern. Jedesmal, wenn er ein Streichholz anz¨ unden m¨ochte, greift er mit gleicher Wahrscheinlichkeit in eine der beiden Hosentaschen und nimmt sich ein Streichholz aus der Schachtel. Falls die Schachtel dadurch leer wird, wirft er beide Schachteln weg. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau k Streichh¨olzer wegwirft? Aufgabe 4:(6 + 3 Punkte) Wir betrachten folgende Mengensysteme in R: E1 := {(a, b) ⊂ R : a, b ∈ R, a < b},
E2 :={(a, b] ⊂ R : a, b ∈ R, a < b},
E3 := {(−∞, a] ⊂ R : a ∈ R},
O :={A ⊆ R : A ist offen},
wobei O die Standardtopologie ist. a) Zeigen Sie, dass σ(E1 ) = σ(E2 ) = σ(E3 ). Extra: Zeigen Sie, dass σ(E1 ) = σ(O). Abgabe: Freitag, 13.11.15, 10 Uhr
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