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Privatdozent Dr. C. Diem
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GRUNDWISSEN SCHULMATHEMATIK ¨ UBUNGSBLATT NR. 13 Wie beim letzten Blatt fixieren wir eine euklidische Ebene E. Neben Resultaten aus der Vorlesung d¨ urfen Sie f¨ ur Ihre L¨osungen auch benutzen: • Gegeben seien zwei Tripel (A, B, C), (D, E, F ) von nicht-kollinearen Punkten mit ∠A ≃ ∠D, ∠B ≃ ∠E, ∠C ≃ ∠F (wobei sich die Winkel auf die entsprechenden Dreiecke beziehen). Dann gibt es ein a ∈ R>0 mit |DE| = a |AB|, |EF | = a |BC|, |F D| = a |CA|. • Wenn eine Gerade t eine Tangente an einen Kreis um den Mittelpunkt M ist und P der Ber¨ uhrpunkt ist, dann steht P M senkrecht auf t. • Den Satz des Thales. Aufgabe 1 Sei ein rechtwinkliges Dreieck ∆ABC mit Hypotenuse AB gegeben. Sei h die Senkrechte zu AB durch C. Diese geht durch einen Punkt P auf AB. Zeigen Sie: |AP | · |P B| = |CP |2 Benutzen Sie bei Ihrem Beweis wirklich nur die Axiome und Resultate aus der Vorlesung. Benutzen Sie insbesondere keine Fl¨acheninhalte. Bei den folgenden Konstruktionsaufgaben ist wieder jeweils eine Konstruktionsbeschreibung anzugeben sowie Argumente, warum die Konstruktionsbeschreibung richtig ist. Ein Beweis auf Basis der Resultate aus der Vorlesung und der oben angegebenen Aussagen ist am besten, Sie k¨ onnen zur Not aber auch “Offensichtlichkeiten” benutzen. Dann soll die Konstruktion an einem Beispiel graphisch illustriert werden. Beachten Sie auch das Folgende: Konstruieren beruht auf dem Durchf¨ uhren von aufeinanderfolgenden Konstruktionsschritten. In jedem Schritt wird dabei das Folgende gemacht: Gegeben ist eine “Figur”, die aus Punkten, Geraden und / oder Kreisen besteht. Die Geraden und / oder Kreise schneiden sich ggf. in Punkten. Aus diesen Schnittpunkten und den gegebenen Punkten w¨ ahlt man dann zwei verschiedene Punkte P, Q aus. Dann f¨ ugt man entweder die Gerade P Q oder den Kreis mit Mittelpunkt P und Radius |P Q| hinzu. Aus diesem geht hervor, dass es nicht erlaubt ist, Tangenten an Kreise durch “Anlegen des Lineals” zu konstruieren. Also ist insbesondere das Folgende nicht erlaubt: • Gegeben ist ein Kreis K und ein Punkt außerhalb des Kreises. Nun legt man das Lineal durch P “an den Kreis” K und zeichnet die Tangente. • Gegeben ist ein Kreis und ein Punkt P auf dem Kreis. Nun legt man das Lineal so an den Kreis, dass man die Tangente erh¨alt. • Gegeben sind zwei Kreise K1 und K2 . Nun legt man das Lineal “an beide Kreise”, um eine Gerade zu erhalten, die eine Tangente f¨ ur beide Kreise ist. Alle diese Tangenten sind jedoch konstruierbar, nur muss man daf¨ ur etwas mehr tun.
Aufgabe 2 a) Gegeben sei ein Kreis, jedoch nicht dessen Mittelpunkt. Wie kann man dann den Mittelpunkt des Kreises konstruieren? b) Seien nun zwei Kreise K1 und K2 gegeben, die sich in zwei Punkten schneiden. Sei P einer der beiden Schnittpunkte und Q der andere. Gesucht ist nun eine Gerade g durch P , die nicht durch Q geht, so dass f¨ ur die beiden Schnittpunkte von g mit K1 bzw. K2 gleich weit von P entfernt sind. Wie kann man so eine Gerade konstruieren? Illustrieren Sie die Konstruktion mit Kreisen K1 und K2 um Mittelpunkte M1 und M2 und |M1 M2 | = 10 mit Radien 5 bzw. 7.
Aufgabe 3 Seien zwei verschiedene Kreise K1 , K2 um Mittelpunkte P1 , P2 gegeben, die sich nicht schneiden, wobei keiner der Kreise im Inneren des anderen liegt. Seien r1 und r2 die Radien. Wir setzen r1 < r2 voraus. Sei g := P1 P2 . a) Seien s und t die beiden Geraden, die Tangenten an K1 und K2 sind und g nicht zwischen den Kreisen schneiden. - Zeigen Sie: Die Geraden s, t und g schneiden sich in einem einzigen Punkt Q. - Wie lautet der Abstand |P1 Q| in Abh¨angigkeit von |P1 P2 |, r1 und r2 ? b) Seien nun u und v die beiden Geraden, die Tangenten an K1 und K2 sind und g zwischen den Kreisen schneiden. Zeigen Sie wiederum, dass sich die Geraden g, u, v in einem einzigen Punkt R schneiden und berechnen Sie |P1 R| in Abh¨angigkeit von |P1 P2 |, r1 und r2 . c) Seien nun Kreise wie oben und die entsprechenden Mittelpunkte gegeben. Wie kann man dann die Tangenten s, t, u, v konstruieren? d) Seien nun Kreise wie oben mit den Parametern |P1 P2 | = 10, r1 = 4, r2 = 2 gegeben. • Wie lauten |P1 R| und |P2 R| in diesem Fall? • Illustrieren Sie die Konstruktion der Tangenten f¨ ur so eine Figur (mit bekannten Mittelpunkten).
Harte Nuss a) Seien verschiedene Punkte A, B gegeben. Sei g eine Parallele zu AB, die von AB verschieden ist und seien C, D Punkte auf g. Sei nun h eine Parallele zu g, welche zwischen AB und g liegt. Seien s bzw. t die Schnitte von h mit den Fl¨achen der Dreiecke ∆ABC bzw. ∆ABD. Zeigen Sie: Die Strecken s und t sind gleich lang. b) Sei nun ein Dreieck ∆ABC gegeben. Wie kann man nun ein Quadrat mit Eckpunkten P, Q, R, S und P, Q ∈ AB, R ∈ BC, S ∈ AC konstruieren? Illustrieren Sie die Konstruktion anhand eines Dreiecks ∆ABC mit |AB| = 12, |AC| = 11, |BC| = 9.
Abgabe.
In der Vorlesung am 27.1. oder bis dahin in meinem Briefkasten.
