Gruppenarbeit Federn, Kräfte Und Vektoren

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1 Gruppenarbeit Federn, Kr¨afte und Vektoren Abzugeben bis Woche 5. Oktober Der gesch¨ atzte Zeitaufwand wird bei jeder Teilaufgabe mit Sternen ⊛ angegeben. Je mehr Sterne eine Aufgabe besitzt, desto gr¨osser ist der gesch¨atzte Zeitaufwand. Dabei wird angenommen, dass man die fr¨ uheren Aufgaben gel¨ost hat und die dort erhaltenen Programme resp. Methoden beherrscht. 1. Federkonstante (⊛⊛) Bestimmen sie die Verl¨ angerung Ihrer Feder unter der Belastung durch verschiedene Gewichtssteine. Tragen sie die Daten grafisch auf und bestimmen sie die Federkonstante grafisch. Benutzen sie dazu das Federgesetz F = −D(x − x0 ). Skizzieren sie dazu die Situation und zeichnen sie alle auftretenden Kr¨ afte in die Skizze ein. 2. Beschleunigung(⊛ ⊛ ⊛) Bestimmen sie die Erdbeschleunigung indem sie einen Wagen mit genau bestimmter Masse auf einer Luftkissenbahn bei einem genau bestimmten Winkel eine schiefe Ebene herunter gleiten l¨asst. Messt dazu den Winkel mit allen 4 Lichtschranken die ben¨otigte Zeit um eine gewisse Strecke zur¨ uck zu legen. Tragen nun die erhaltenen Messwerte in ein Weg-Zeit Diagramm ein und legen sie eine der Theorie entsprechende Kurve durch die Messpunkte und bestimmen sie damit die Beschleunigung. Berechnen sie nun mithilfe der erhaltenen Beschleunigung die Erdbeschleunigung aus. 3. Vektoren Benutzen sie das Internet um die Addition von Vektoren und das Skalarprodukt zu studieren. (a) Addition von Vektoren (⊛) Berechnen sie die Summe der Vektoren ~u =  ux uy  und ~v =  vx vy  Zeichnen sie in einer Skizze die Addition von ~u + ~v und die Addition von ~v + ~u ein. Holen sie sich beim Dozenten f¨ ur die nummerische Rechnung ein Beispiel. (b) Parallele Vektoren (⊛) Ein Vektor w ~ wird parallel zu ~s genannt, falls eine reelle Zahl t existiert, so dass w ~ = t~s gilt (t ∈ R). Skizzieren sie die Situation und geben sie die Komponenten des Vektors w ~ explizit in Abh¨angigkeit des Vektors ~s in allgemeiner Form an. 2 (c) Skalarprodukt von 2 Vektoren Es existieren noch 2 verschiedene Multiplikationen von Vektoren. Es existiert das Skalarprodukt, welches wie der Name schon sagt, ein Skalar ergibt und das Vektorprodukt, welches auf einen Vektor f¨ uhrt. Wobei bei der Vektormultiplikation auch die Reihenfolge der Multiplikation eine Rolle spielt. Das Skalarprodukt von 2 Vektoren ~u und ~v , oft mit ~u · ~v oder auch (~u, ~v ) geschrieben, berechnet sich zu (~u, ~v ) = ux vx + uy vy . Die L¨ ange eines Vektors wird Betrag genannt. Man bezeichnet den q 2 Betrag mit |·| und berechnet ihn nach Pythagoras |~u| = ux + u2y . F¨ ur einen 3 dimensionalen Raum besitzen die Vektoren 3 Komponenten und der Betrag errechnet sich analog zu der obigen Formel. i. Betrag eines Vektors (⊛) Berechne das Skalarprodukt des Vektors ~u mit sich selber allgemein und stelle eine Beziehung zwischen dem Skalarprodukt und dem Betrag des Vektors ~u auf. ii. Linearit¨ at (⊛⊛) Zeige,dass die folgende Relation gilt: 2 (α~u + ~v , ~u) = α |~u| + (~u, ~v ) iii. Winkel zwischen Vektoren (⊛) Das Skalarprodukt kann geometrisch interpretiert werden und man erh¨ alt dabei, dass das Skalarprodukt gleich dem Produkt der beiden Betr¨age der beiden Vektoren multipliziert mit dem des Zwischenwinkels α zwischen diesen beiden Vektoren ist. (~u, ~v ) = |~u| · |~v | · cos(α) Berechne mit Hilfe des Skalarproduktes die Winkel zwischen den Vektoren ~u, ~v und w. ~ Hole dir dazu die Vektoren vom Dozenten. (d) Betrag der Summe von Vektoren (⊛⊛) Betrachten sie die Addition 2 beliebiger Vektoren ~c und d~ in einem 2dimensionalen Raum, was k¨onnen sie u ¨ber den Betrag der Summe ~c + d~ aussagen? Tipp: Zeichnen sie die Vektoren auf ein Papier. (e) Betrag vom skalaren Produkt (⊛) Berechnen sie allgemein den Betrag von t~s. Geben sie das Resultat in Abh¨ angigkeit des Betrages des Vektors ~s an. 3 (f) Bewegung(⊛) Betrachte den Vektor ~c = r ·  cos( α2 t2 ) sin( α2 t2 )  (⊛) Zeichne als erstes f¨ ur ein bestimmtes t diesen Vektor in ein 2DKoordinatensystem und berechne den Winkel φ zwischen der positiven x−Achse und dem Vektor. Zeichne als zweites die Bahn auf, was ist das in diesem Fall f¨ ur eine Bewegung? Tipp: Berechne den Betrag des Vektors ~c. (g) Schwimmer (⊛ ⊛ ⊛) Alle Berechnungen m¨ ussen hier mithilfe von Vektoren durchgef¨ uhrt werden. Selbstverst¨ andlich muss man bei gewissen Zwischenschritten mit den Komponenten des Vektors rechnen. Zwei Personen Schwimmer machen ein Wettrennen resp. Wettschwimmen. Sie starten  am  Ursprung des Koordinatensystems und m¨ochten 72 den Punkt erreichen. Sie m¨ ussen dazu 2 Fl¨ usse durchque30 ren. Das linke Ufer des ersten Flusses ist genau die y−Achse und das rechte Ufer dieses Flusses ist parallel zur y−Achse und geht durch den Punkt x = 12 und y =0. Das linke Ufer
des  2. Flusses ist in paπ 42 + u · sin
36 und das rechte Ufer rametrischer Form durch π u · cos 36
  π 62 + u · sin
36 durch gegeben. Das Wasser fliesst in beiden π u · cos 36 Fl¨ ussen in Richtung positiver y−Achse. Im ersten Fluss ist die Geschwindigkeit
|~vF 1 | = 4 und im zweiten Fluss ist die Geschwindigkeit  π sin 36
. 3· π cos 36 Die beiden Wettk¨ ampfer schwimmen mit einer Geschwindigkeit von 5m/s und rennen mit einer Geschwindigkeit von 10m/s. Wettk¨ ampfer A w¨ ahlt den Weg so, dass er bis nach dem 2. Fluss sich immer parallel zur x−Achse bewegt. Danach rennt er auf dem schnellsten Weg in Richtung Ziel. Der Wettk¨ampfer B w¨ahlt seinen Weg hingegen so, dass er in den Fl¨ ussen immer genau in Richtung der x−Achse schwimmt (Abtrieb nicht vergessen) und auf dem Land rennt er immer in Richtung vom Ziel. Wie lange ben¨otigen die Wettk¨ ampfer und welcher gewinnt? Anmerkung: Berechnet alles mit Hilfe von Vektoren. (h) Wie sie alle wissen betr¨ agt die Gravitationskraft auf der Erde FG = m · g, mit g = 9.81m/s2 . i. Beschleunigung(⊛) Wie gross ist die Beschleunigung auf dem Mond Titan (m = 1.345 · 1023 kg, d = 5150km)? 4 ii. Kr¨ afte addieren(⊛⊛) Berechne die Kraft auf einen K¨orper der Masse m = 3kg auf der Oberfl¨ ache von Titan. Ber¨ ucksichtige dabei die Gravitationskraft des Titan (siehe Aufgabe oben) und von Saturn (m = 5.685 · 1026 kg). Der Abstand vom Saturn zum Mond (MMP zu MMP) ist dadurch gegeben, dass ein Lichtstrahl 4s (c = 3 · 108 m/s) ben¨ otigt um vom Mond auf den Saturn zu gelangen. Vergleiche dazu die dem Saturn zugewandte Seite mit dem Punkt auf dem Nordpol des Mondes. Bemerkung: Die Gravitationskraft von einem K¨orper 1 mit der Masse m1 auf einen K¨orper 2 mit der Masse m2 auf den Positionen ~r1 und 1 m2 (~r − ~r2 ) gegeben. ~r2 wird durch F~ = G |~rm−~ r |3 1 1 2 (i) Massenmittelpunkt (⊛) Man betrachte nun das System Saturn, Sonne und Uranus. Die Sonne befinde sich bei der Koordinate ~rS = (−9, 8) · 101 1m, der Saturn bei ~rSa = (5, 9) · 101 1m und der Jupiter bei ~rJ = (8, 11) · 1011 m. Die Massen betragen mSa = 6 · 1024 kg, mS = 2 · 1030 kg und diejenige vom Jupiter mJ = 2 · 1027 kg. Berechne den Massenmittelpunkt ~rm ! Ist dieser innerhalb oder ausserhalb der Sonne? (Radius der Sonne= 6 · 108 m) ~rm = mE ~ rE +mS ~ rS +mV ~ rV mE +mS +mV 4. Federkombinationen (seriell)(⊛⊛) Es wird vorausgesetzt, dass es sich hier um Federn handelt, die dem Federgesetz F = −Dx mit D=konstant gehorchen. Ein Federsystem besteht aus n seriellen verschiedenen Federn mit den Federkonstanten Di . Wie gross ist die Federkonstante des Systems? Zeichnen sie eine Skizze mit den Kraftvektoren und berechnen sie die Summe. Machen zum Abschluss das Experiment mit 2 Federn vergleichen sie ob das Resultat stimmt. 5 5. Kr¨ afte H¨ angen sie die die Masse mittels einer Schnur an die zwei Federn im Abstand s. (a) H¨ angen sie die Masse so an die Federn, dass beide Federn gleich stark belastet werden. Bestimmen sie nun mittels der Kr¨afte auf den Federn, der Masse des Klotzes m und der H¨ohe h, den Abstand der beiden Aufh¨ angepunkte. Messt dazu die Kr¨afte auf die Federn, die H¨ ohe h. Skizziert auch hier das Experiment und zeichnet die auftretenden Kr¨ afte in die Skizze ein. (⊛) (b) Versetzt nun einen Aufh¨angepunkt einer der Federn, so dass diese nicht mehr auf der gleichen H¨ohe liegen und nehmen sie nun eine Stativstange und lenken sie die angeh¨angte Masse aus dem Gleichgewicht aus. Wie gross ist die Kraft auf die Stativstange?(⊛⊛) Hinweis: Hier m¨ usst ihr alle gr¨ ossen, wie Abstand, H¨ohe messen!