Transcript
Universit¨ at zu K¨ oln
WS 2015/16
Institut f¨ ur Mathematik Dozent: Prof. Dr. A. Drewitz Assistent: L. Schmitz ¨ Abgabe: 4.2. & 5.2. vor den Ubungen
¨ 12. Ubung Einfu ¨ hrung in die Stochastik (Maximum-Likelihood-Sch¨atzer, Cram´er-Rao, Tests)
Hausaufgaben 1. Aufgabe
(4 Punkte) Man betrachte das Modell (X , A, (Pϑ )ϑ∈Θ ), wobei Pϑ die Verteilung eines Vektors (X1 , . . . , Xn ) auf (X , A) = (Rn , B(Rn )) bezeichnet und X1 , . . . , Xn unabh¨angige, identisch N (µ, σ 2)-verteilte Zufallsvariablen sind. Ferner seien dabei µ ∈ R und σ 2 > 0 unbekannt, d.h. Θ = R × (0, ∞) und wir setzen ϑ := (µ, σ 2 ) ∈ Θ. Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨atzer f¨ ur τ (ϑ) = ϑ. Ist dieser erwartungstreu?
2. Aufgabe
(6 Punkte) Man betrachte das Modell (X , A, (Pν )ν∈Θ ), wobei Pν die Verteilung eines Vekn tors (X1 , . . . , Xn ) auf (X , A) = Nn0 , 2N0 bezeichnet und X1 , . . . , Xn unabh¨angige, identisch Poiν -verteilte Zufallsvariablen sind. Dabei ist ν ∈ (0, ∞) = Θ unbekannt. a) Bestimmen Sie den Maximum-Likelihood-Sch¨atzer νˆ f¨ ur τ (ν) = ν. (2 Punkte) b) Zeigen Sie, dass νˆ aus a) erwartungstreu ist.
(1 Punkt)
c) Verifizieren Sie, dass (Nn0 , 2N0 , (Pν )ν∈Θ ) ein regul¨ares parametrisches Modell ist und zeigen Sie, dass im Falle von νˆ aus a) die Cram´er-RaoUngleichung (Display (2.1.13)) zu einer Gleichung wird. (3 Punkte) n
3. Aufgabe
(0 Punkte) Es sei X die Anzahl der Unf¨alle in einer bestimmten Stadt in einer Woche. Wir nehmen dabei an, dass X Poiν -verteilt ist mit unbekanntem ν > 0. Wir wollen aus der Beobachtung von X die Wahrscheinlichkeit sch¨atzen, dass in den folgenden drei Wochen kein Unfall geschieht, d.h. τ (ν) := (Pν (X = 0))3 . Zeigen Sie, dass jeder erwartungstreue Sch¨atzer T keinen sinnvollen Sch¨atzwert f¨ ur τ (ν) liefert.
Einfu ¨ hrung in die Testtheorie Manchmal ist es nicht wichtig, Parameter genau zu bestimmen, sondern man interessiert sich f¨ ur Bereiche, in denen sich der gesuchte Parameter mit m¨oglichst großer, vorgegebener Wahrscheinlichkeit befindet. Man trifft also auf Grundlage einer Beobachtung x = (x1 , . . . , xn ) ∈ X eine Entscheidung zwischen zwei Hypothesen H : ϑ ∈ Θ0 , K : ϑ ∈ / Θ0 , wobei Θ0 ( Θ. Im einfachsten Fall (“nicht randomisiert”) wird die Entscheidung getroffen durch den Wert einer “Zweientscheidungsfunktion”ϕ mit ( 1, falls x ∈ S, , ϕ(x) = 0, falls x ∈ A = X \S. wobei S und A = X \S “geeignet“ zu w¨ahlen sind (s.u.). Mit Vorliegen der Beobachtung x gibt ϕ(x) die Wahrscheinlichkeit an, die Entscheidung f¨ ur K zu treffen. ¨ Fehlentscheidungen sind dabei m¨oglich. Ublicherweise unterscheidet man zwei Fehlerarten: • Fehler 1. Art: ϑ ∈ Θ0 , aber x ∈ S (oder ϕ(x) = 1). Man trifft also die falsche Entscheidung f¨ur K. • Fehler 2. Art: ϑ ∈ / Θ0 , aber x ∈ A (oder ϕ(x) = 0). Der Test wird nun so konstruiert (d.h. S darf nur so gew¨ahlt werden), dass die Fehlerw’keit 1. Art klein bleibt, d.h. !
Pϑ (ϕ(X) = 1) = Pϑ (X ∈ S) ≤ α ∀ϑ ∈ Θ0 ,
(1)
wobei α klein ist (¨ ublicherweise α = 0.1, 0.05, 0.01). Dann wird unter der Nebenbedingung (1) derjenigen Test ϕ∗ (oder derjenigen Bereich A∗ ) ausgew¨ahlt, der die Fehlerw’keit 2. Art minimiert, d.h. Pϑ (ϕ∗ (X) = 0) = min Pϑ (ϕ(X) = 0) = min Pϑ (X ∈ A) ∀ϑ ∈ / Θ0 . ϕ
A⊂X
(2)
Gem¨aß (2) sollte also S = X \A m¨oglichst groß gew¨ahlt werden, aber noch so klein, dass (1) erf¨ ullt ist. Ein Test, welcher (1) und (2) erf¨ ullt, wird auch Neyman-Person-Test zum Niveau α genannt. Das folgende Beispiel veranschaulicht, wie ein Test konkret konstruiert werden kann. Dabei verwendet der Test bereits als “gut“ (erwartungstreu, konsistent ˆ um zu entscheiden, ob der unbekannte etc.) verifizierte Parametersch¨atzer ϑ, Parameter ϑ in einem bestimmten Bereich liegt. Beispiel: X1 , . . . , Xn seien unabh¨angige und identisch Bin1,p -verteilte Zufallsvariablen, p ∈ (0, 1). Ein Neyman-Pearson-Test zum Niveau α = 0.1 f¨ ur H : p ≤ p0 ,
K : p > p0 ,
wobei 0 < pP onnte wiefolgt aussehen: 0 < 1 bekannt ist, k¨ n 1 ¯ ur p ist, spricht ein großer Wert Da X = n i=1 Xi eine “gute Sch¨atzung“ f¨ ¯ von X f¨ ur K, andernfalls spricht er f¨ ur H. Wir w¨ urden also den Test folgendermaßen konstruieren: ( 1, falls x¯ > c ϕ(x) = ϕ(x1 , . . . , xn ) = 0, falls x¯ ≤ c, wobei c noch gew¨ahlt wird. Der Test muss dann so konstruiert werden, dass (1) und (2) eingehalten werden, d.h. ¯ > c ≤ α ∀p ≤ p0 Pp (ϕ(X) = 1) = Pp X (3)
und gleichzeitig c m¨oglichst klein gew¨ahlt werden (unter Einhaltung von (3)), damit der Fehler 2. Art minimiert wird. Auf dieselbe Art kann die folgende Aufgabe bearbeitet werden:
4. Aufgabe
(0 Punkte) Es seien X1 , . . . , Xn unabh¨angige, identisch Poiν -verteilte Zufallsvariablen, ν > 0. a) Konstruieren Sie einen Neyman-Pearson-Test zum Niveau α f¨ ur die Hypothesen H : ν ≤ ν0 , K : ν > ν0 , wobei ν0 > 0 bekannt sei. b) Ein Zufallsgenerator liefert die folgenden Realisationen einer Poiν -verteilten Zufallsvariablen: 4, 2, 3, 5, 3, 3, 3, 3, 0, 2. Testen Sie die Hypothesen H : ν ≤ 2 gegen K : ν > 2 jeweils bei einem Niveau α = 0.05 bzw. α = 0.07.
Hinweis zu a): Sie d¨ uP rfen verwenden, dass die Summe X1 + . . . + Xn Poinν 1 ur Eν [X1 ] = ν ist. verteilt ist und dass n ni=1 Xi ein guter Sch¨atzer f¨ zu b): F¨ ur eine Poi20 -verteilte Zufallsvariable X gilt k 24 25 26 27 28 29 30 P20 (X ≤ k) 0.8432 0.8878 0.9221 0.9475 0.9657 0.9782 0.9865
Anmerkung: Es sind nur die Aufgaben einzureichen, welche strikt positive Punktzahlen haben. Sollten Sie f¨ ur eine Aufgabe mehrere Bl¨atter ben¨otigen, so sind diese zusammenzuheften. Bitte beschriften Sie Ihre L¨osungen in der ersten Zeile in der folgenden Reihenfolge: Gruppe, Name, Aufgabe. Gesamtpunktzahl: 10 4
