Hausaufgaben Zu: Komplexe Zahlen - Lehrer-uni

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LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2015/2016 Hausaufgaben zu: Komplexe Zahlen 1) Zeige: Für alle komplexen Zahlen z und w gilt 2 a) z  w  z  w ; b) z  w  z  w ; c) z  z  z ; d) z  w  z  w . Hinweis: Setze z  a  b i und w  c  d i . Berechne zunächst die linke Seite der Gleichung und anschließend die rechte Seite. 2) Gegeben ist die komplexe Zahl z1  2  2 i . Berechne die Zahlen z2  z1  i , z3  z2  i und z4  z3  i und stelle alle Zahlen in der komplexen Zahlenebene dar. 3) Gegeben ist die komplexe Zahl b) z  1  i . a) z  1  i ; Berechne die Potenzen z 2 , z 3 und z 4 und stelle alle Zahlen in der komplexen Zahlenebene dar. 4) Beweise mit vollständiger Induktion unter Verwendung von Hausaufgabe 1 b): n Für eine komplexe Zahl z und eine natürliche Zahl n gilt z n  z . 5) Beweise mit vollständiger Induktion unter Verwendung von Hausaufgabe 1 d): n Für eine komplexe Zahl z und eine natürliche Zahl n gilt z n  z . 6) Berechne. 4  5i a) 6  8i b) 4  5i 6  8i c) 4  5i 6  8i d) 4  5i 6  8i 7) Gegeben sind die Zahlen z  4  3 i und w  6  8 i . Bestimme die Polarform von z und von w. Berechne z  w und bestimme die Polarform von z  w . 8) Wie entsteht z   i  (als Punkt in der komplexen Zahlenebene) aus z? Begründe. Gib ein Beispiel an und zeichne. 9) Berechne  6  8 i  auf zwei verschiedene Arten. 3 10) Berechne die beiden Quadratwurzeln der Zahl. a) i b) 5  12 i c) 5  12 i 11) Berechne eine dritte Wurzel der Zahl. a) i b) 2  11i c) 2  11i 12) Bestimme alle dritten Wurzeln der Zahl. a) 8 b) 8 Stelle jeweils alle Wurzeln in der komplexen Zahlenebene dar. 13) Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung. a) x3  24 x  72  0 b) x3  24 x  32  0 3a_auf_komplexezahlen 1/2 LGÖ Ks VMa 12 Schuljahr 2015/2016 Standardaufgabe: Berechne eine n-te Wurzel w einer komplexen Zahl z  a  b i . Lösung: 1. Berechne z  a 2  b 2 . 2. Berechne tan  arg  z    b a arg  z    Achtung: Im Fall a  0 und b  0 muss man 180° zum GTR-Ergebnis addieren, und im Fall a  0 und b  0 muss man 180° vom GTR-Ergebnis subtrahieren!  arg  z    arg  z   3. Berechne Re  w   n z  cos   und Im  w   n z  sin  . n n     Standardaufgabe: Bestimme eine reelle Lösung der Gleichung x3  px  q  0 . Lösung: 3 2  p q 1. Berechne D       .  3  2 2. Fall D  0 : Berechne x  3  q q  D3  D. 2 2 Fall D  0 : 3. Berechne z   q  D mit 2 D 4. Berechne den Realteil Re  w   5. Berechne x  2  Re  w  . 3a_auf_komplexezahlen 3 D i.  arg  z   z  cos   einer dritten Wurzel w von z.  3  2/2