Transcript
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Herbst 2014
Herbst 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren K¨orpern, welche durch dehnstarre Seile miteinander verbunden sind. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen, wobei das Massentr¨agheitsmoment der gesamten abgesetzten Rolle 4 bez¨ uglich des zugeh¨origen Schwerpunktes D durch θ4 gegeben ist und die Rolle 2 als masselos angesehen werden soll. Der Kreisring 1 rollt dabei zu jedem Zeitpunkt schlupffrei ab und die Seile sind stets gespannt. ϕ3 m3 C r3
3 m4 , θ4
ϕ4 4
β g D
2 B
M0
r4 R4
ϕ2 2 r2 1
m1
y
α
x1
ϕ1 A
r1
x µ0
Erweitern Sie die folgenden Skizzen der Teilk¨orper 1, 3 und 4 zu vollst¨andigen Freik¨orperbildern (inklusive etwaiger Auflagerreaktionen). (2,0 Punkte) Massentr¨agheitskr¨afte und -momente wurden hier nicht bewertet! S1
m4 g
m3 g
θ1 θ3 Cx m1 g
Dx
H1 N1
θ4
S3
S3 S2 C y
Dy
M0
Herbst 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) a) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) des Kreisrings 1 bez¨ uglich der x1 -Koordinate an. (1,0 Punkte)
m1 x¨1 = S1 + H1 − m1 g sin(α)
b) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des Kreisrings 1 bez¨ uglich des Schwerpunkts und der ϕ1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das zu verwendende Massentr¨agheitsmoment mittels der gegebenen Gr¨oßen. (1,0 Punkte)
Θ1 ϕ¨1 = −S1 r1 + H1 r1
mit Θ1 = m1 r12
c) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Rolle 3 bez¨ uglich der y-Koordinate an. (1,0 Punkte)
m4 y¨4 = Cy − m3 g − S2 − S3 cos(β) | {z } =0
d) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 4 bez¨ uglich des Schwerpunkts und der ϕ4 -Koordinate an. (1,0 Punkte)
Θ4 ϕ¨4 = S3 r4 − M0
Herbst 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) e) Geben Sie die folgenden kinematischen Bindungen zwischen den Geschwindigkeiten der einzelnen Koordinaten und der Geschwindigkeit des Freiheitsgrades x1 an. (2,0 Punkte)
ϕ˙ 1 (x˙ 1 ) = −
x˙1 r1
ϕ˙ 2 (x˙ 1 ) = −2
x˙ 1 r2
ϕ˙ 3 (x˙ 1 ) = −2
x˙ 1 r3
ϕ˙ 4 (x˙ 1 ) = −2
x˙ 1 r4
Berechnen Sie die von dem Moment M0 vom Zeitpunkt t = 0 bis zum Zeitpunkt t = t1 verrichtete Arbeit WM0 . Das System befindet sich anf¨anglich in Ruhe (x1 (t = 0) = 0, x˙ 1 (t = 0) = 0) und es gilt x1 (t1 ) = a. (2,0 Punkte)
WM0 =
ˆ
M0 dϕ = 2 M0
a r4
Herbst 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Die unten gezeigte Bahn besteht aus zwei reibungsbehafteten Ebenen (Gleitreibungskoef¨ fizient µ, L¨ange l) sowie zwei als reibungsfrei anzunehmenden Kreisb¨ogen (Offnungswinkel α). Im Punkt D befindet sich das Ende einer elastischen Feder (Federsteifigkeit c), welche in der dargestellten Lage entspannt ist. Bis zu einem Zeitpunkt t ≤ t0 wird ein als Punktmasse anzusehender K¨orper (Masse m) im Punkt O in Ruhe gehalten. Dann wird dieser los gelassen, wobei vorausgesetzt werden soll, dass sich der K¨orper anschließend tats¨achlich in Bewegung setzt (Hangabtriebskraft gr¨oßer als Haftreibungskraft). m
O
µ l
α
g r
A
µ NN B
y
C
l
ϕ r
x
D
c
α
a) O Geben Sie die potenzielle Energie (Lageenergie) Epot des K¨orpers im Punkt O bez¨ uglich des angegebenen Nullniveaus NN an. (1,0 Punkte)
O Epot = m g (r (1 − cos(α)) + l sin(α))
Geben Sie die verrichtete Reibarbeit WROA auf der Strecke zwischen den Punkten O und A an. (1,0 Punkte)
WROA = −µ m g l cos(α)
TU Dortmund
Herbst 2014
Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) Berechnen Sie die Geschwindigkeit vB der Masse im Punkt B. (1,5 Punkte)
vB =
p
2 g (r (1 − cos(α)) + l sin(α) − µ l cos(α))
b) Die Geschwindigkeit des K¨orpers im Punkt B ist nun durch v¯B > 0 vorgegeben. Berechnen Sie die Geschwindigkeit im Punkt C. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert f¨ ur vB . (1,0 Punkte)
vC =
p
v¯B2 − 2 µ g l
c) Die Geschwindigkeit des K¨orpers im Punkt C ist nun durch v¯C > 0 vorgegeben. Geben Sie zun¨achst die Funktion der Geschwindigkeit v(ϕ) des K¨orpers in Abh¨angigkeit des Winkels ϕ an. Verwenden Sie nicht den oben berechneten Wert f¨ ur vC . (1,5 Punkte)
v(ϕ) =
p
v¯C2 + 2 g r (1 − cos(ϕ))
Herbst 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) Geben Sie des Weiteren die Funktion der Normalkraft N(ϕ) zwischen K¨orper und Bahn in Abh¨angigkeit des Winkels ϕ an. (1,5 Punkte)
v¯C2 N(ϕ) = m g (3 cos(ϕ) − 2) − r ¨ Geben Sie die Bedingung f¨ ur den Offnungswinkel α an, so dass der K¨orper an keiner Stelle der kreisf¨ormigen Bahn zwischen den Punkten C und D den Kontakt zu dieser verliert. (1,0 Punkte)
α ≤ arccos
2 v¯C2 + 3gr 3
d) Die Geschwindigkeit des K¨orpers im Punkt D ist nun durch vD > 0 vorgegeben. Geben Sie die Gleichung zur Bestimmung der Stauchung ∆l der Feder an. Ein Aufl¨osen dieser Gleichung nach ∆l ist nicht erforderlich. (1,5 Punkte) 1 1 2 c ∆l2 − m g ∆l sin(α) = m v¯D 2 2
Herbst 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Das dargestellte System besteht aus zwei starren Kreisscheiben (Masse M1 bzw. M2 , Radius jeweils R), welche u ¨ber eine starre Stange (Masse m, L¨ange l) verbunden sind und schlupffrei auf dem Untergrund abrollen. Die Bewegung findet auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α) und unter Einfluss der Erdbeschleunigung g statt. Die wie dargestellt angekn¨ upfte Feder ist f¨ ur den nicht n¨aher spezifizierten Wert ξ = ξ0 entspannt. Beachten Sie, dass ξ = 0 nicht die statische Ruhelage beschreibt.
g ξ
M2 , R
c
M1 , R m, l α
NN
x
a) Geben Sie den Zusammenhang zwischen den Geschwindigkeiten ξ˙ und x˙ an. (1,0 Punkte)
˙ x) ξ( ˙ =
x˙ cos α
b) Bestimmen Sie die potentielle Energie Epot in Abh¨angigkeit der Koordinate ξ und den gegebenen Gr¨oßen bezogen auf das dargestellte Nullniveau NN. (3,0 Punkte)
Epot (ξ) = M1 g [ ξ sin α + R1 cos α ] + m g
+ M2 g [ ( ξ + l ) sin α + R cos α ] +
l ξ+ 2
sin α + R cos α
1 c [ ξ0 − ξ ]2 2
Herbst 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) c) Bestimmen Sie die kinetische Energie Ekin in Abh¨angigkeit der Koordinate ξ und den gegebenen Gr¨oßen. Beachten Sie, dass insbesondere die Massentr¨agheitsmomente nicht als gegeben angesehen werden k¨onnen. (2,0 Punkte)
˙ = 1 M1 ξ˙2 + 1 m ξ˙2 + 1 M2 ξ˙2 Ekin (ξ) 2 2 2 " ˙ #2 " ˙ #2 1 1 ξ ξ 1 1 2 2 + + M1 R M2 R 2 2 R 2 2 R | {z } | {z } | {z } | {z } θ1 θ2 ϕ˙ 2 ϕ˙ 2 1
2
d) F¨ ur einen nicht n¨aher spezifizierten Sonderfall und unter Verwendung einer abweichenden Koordinate η ergeben sich im Folgenden die Energien des Systems zu Epot (η) = 3 m g η sin(α) + 1/2 c η 2
,
Ekin (η) = 2 m η˙ 2
.
Stellen Sie basierend auf diesen Energien die Bewegungsgleichung dieses Sonderfalls bez¨ uglich η auf. (2,0 Punkte)
4 η¨ +
c η + 3 g sin α = 0 m
Bestimmen Sie, basierend auf obiger Bewegungsgleichung, die Eigenkreisfrequenz ω0 sowie die Periodendauer T der Eigenschwingung des Systems. (2,0 Punkte)
ω0 =
r
c 4m
T = 2π
r
4m c
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Fru ¨ hjahr 2014
Fru ¨ hjahr 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren K¨orpern, die durch dehnstarre Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen, Massentr¨agheitsmomente und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Rolle 2 wird von dem konstanten Drehmoment M0 angetrieben. Der Haftreibungskoeffizient zwischen der Rolle 1 — welche zu allen Zeitpunkten schlupffrei abrollt — und der schiefen Ebene (Neigungswinkel α) betr¨agt µ0 . Das Massentr¨agheitsmoment der gesamten abgesetzen Rolle 3 ist durch θ3 gegeben. x1 ϕ2 ϕ1 g
m2
m1
1
2
r2
r1
m3 , θ3
M0
3
µ0
r3
α ϕ3
R3
x3 4 m4 x4
a) Tragen Sie im nachfolgenden Bild s¨amtliche fehlenden Kr¨afte bzw. Momente ein. Die Auflagersymbole sollen in der Zeichnung beibehalten und nicht freigeschnitten werden. (1,5 Punkte)
θ2 ϕ¨2 m3 x¨3 S1
θ1 ϕ¨1 S1 m1 x¨1 H1
S4
S2 M0
m2 g
S2
S3 m4 x¨4
θ3 ϕ¨3 m1 g
N1
m4 g
m3 g S3
TU Dortmund
Fru ¨ hjahr 2014
Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Rolle 1 bez¨ uglich der der x1 -Koordinate an. (1,0 Punkte) S1 + H1 − m1 g sin(α) − m1 x¨1 = 0 c) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ1 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ1 mittels der gegebenen Gr¨oßen. (1,0 Punkte) −H1 r1 − 21 m1 r12 ϕ¨1 = 0 d) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ2 mittels der gegebenen Gr¨oßen. (1,0 Punkte) M0 + [S2 − S1 ] r2 − 21 m2 r22 ϕ¨2 = 0 e) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Rolle 3 bez¨ uglich der x3 -Koordinate an. (1,0 Punkte) S3 − S2 − S4 + m3 g − m3 x¨3 = 0 f) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ3 -Koordinate an. (1,0 Punkte) S4 R3 − S2 r3 − θ3 ϕ¨3 = 0
TU Dortmund
Fru ¨ hjahr 2014
Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) g) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Masse 4 bez¨ uglich der x4 -Koordinate an. (1,0 Punkte) m4 g − S3 − m4 x¨4 = 0 h) Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten x˙ 1 , ϕ˙ 1 , x˙ 3 , ϕ˙ 3 , x˙ 4 in Abh¨angigkeit von ϕ˙ 2 an. (2,5 Punkte)
x˙ 1 = r2 ϕ˙ 2 r2 ϕ˙ 1 = ϕ˙ 2 r1 R3 r2 x˙ 3 = ϕ˙ 2 R3 + r3 r2 ϕ˙ 2 ϕ˙ 3 = R3 + r3 R3 r2 x˙ 4 = ϕ˙ 2 R3 + r3
Fru ¨ hjahr 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Eine Punktmasse m befindet sich auf der dargestellten Bahn und wird aus der Ruhe durch eine vorgespannte Feder auf reibungsfreiem Untergrund bis zum Punkt A beschleunigt. Die geraden Abschnitte der Bahn sind reibungsbehaftet (Reibkoeffizienten µ1 bzw. µ2 ) w¨ahrend die kreisf¨ormigen Abschnitte (Radien R1 bzw. R2 ) reibungsfrei sind. µ=0 E y
µ2
α
g
R2
D
x
l2
∆x
µ1
R1
c
C
ϕ m
N.N. µ=0
l1 µ=0
A
B
a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A in Abh¨angigkeit der aufgebrachten Federstauchung ∆x.
vA =
r
c ∆x m
Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt B in Abh¨angigkeit von ∆x an, nachdem diese u ¨ber den rauhen (Reibkoeffizient µ1 ) Bahnabschnitt AB der L¨ange l1 geglitten ist.
vB =
r
c [∆x]2 − 2µ g l1 m
Fru ¨ hjahr 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Berechnen Sie den Betrag der Bahngeschwindigkeit v(ϕ) der Punktmasse im Verlauf des ersten reibungsfreien Kreisbogens BC in Abh¨angigkeit des Winkels ϕ und einer als bekannt anzunehmenden Geschwindigkeit vB im Punkt B. Setzen Sie nicht die Geschwindigkeit vB aus dem vorigen Aufgabenteil ein!
v(ϕ) =
q
vB2 − 2 R1 g [1 − cos(ϕ)]
Geben Sie weiterhin die Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D in Abh¨angigkeit von vB an, nachdem diese u ¨ber den rauhen (Reibkoeffizient µ2 ) Bahnabschnitt CD der L¨ange l2 geglitten ist.
q vD = vB2 − 2 g [R1 [1 − cos(ϕ)] + l2 sin(α) + l2 µ2 cos(α)] c) Die beiden Bahnabschnitte AB und CD seien nun als reibungsfrei (µ1 = µ2 = 0) anzunehmen, die Punktmasse wird nochmals mit der Feder am Anfang der Bahn beschleunigt. Berechnen Sie die Vorspannkraft der Feder F0 so, dass die Punktmasse im oberen Kreisbogen DE (Radius R2 ) nicht von der Bahn abhebt.
v uc 2 vD = u u m [∆x] −2 g [R1 [1 − cos(ϕ)] + l2 sin(α) t| {z } F02 cm
mit
2 m vD ≤ m g cos(α) R2 p F0 = c m g [R2 cos(α) + 2 [R1 [1 − cos(ϕ)] + l2 sin(α)]]
Fru ¨ hjahr 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 1 von 3) Im dargestellten System wird ein K¨orper der Masse m reibungsfrei in einer Nut gef¨ uhrt und ist durch eine Feder (Federsteifigkeit c) und einen D¨ampfer (D¨ampfungskonstante ¨ d) innerhalb der Nut gest¨ utzt. Uber eine starre, masselose Stange der L¨ange l ist der K¨orper mit einer drehbaren Scheibe (Radius R, Masse M) exzentrisch (Exzentrizit¨at e) verbunden. Die Feder ist in der Lage ϕ = 0 ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu vernachl¨assigen. c ϕ
m
x
l d R e M
a) Bestimmen Sie mittels der gegebenen Gr¨oßen die kinetische und potentielle Energie des Gesamtsystems. Verwenden Sie dazu die Koordinaten ϕ und x. (2,0 Punkte)
1 1 Ekin = MR2 ϕ˙ 2 + m x˙ 2 2 2
1 Epot = c x2 2
Fru ¨ hjahr 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 2 von 3) b) Bestimmen Sie die virtuelle Arbeit δW der nichtkonservativen Lasten in Abh¨angigkeit der Koordinate x. (1,0 Punkte)
δW = −x˙ d δx
c) Geben Sie die kinematische Beziehung der Koordinate x als Funktion von ϕ f¨ ur große Auslenkungen an. (2,5 Punkte)
x(ϕ) = l
1−
r
e2 1 − 2 sin2 ϕ l
!
+ e (1 − cos ϕ)
mit cos(arcsin(a)) =
√
1 − a2
d) In dem unten dargestellten System rollt eine Scheibe (Masse M, Radius R) schlupffrei auf dem Untergrund ab. Eine Feder (Federsteifigkeit c) ist exzentrisch (Exzentrizit¨at e) an der Scheibe angebracht. An ihrem ¨außeren Rand ist die Scheibe des Weiteren mit einem D¨ampfer (D¨ampfungskonstante d) verbunden. In der dargestellten Ruhelage der Scheibe (ϕ˙ = 0) ist die Feder ungespannt. Die Erdbeschleunigung ist zu vernachl¨assigen.
ϕ
d
e y x R
c
M
Fru ¨ hjahr 2014
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 3 von 3) Bestimmen Sie die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems bez¨ uglich der Koordinate ϕ unter der Annahme kleiner Auslenkungen. Geben Sie unbedingt wesentliche Zwischenschritte an, welche zur L¨osung der Aufgabe notwendig sind. (3,5 Punkte)
ϕ¨ + ϕ˙
2 c e2 8d +ϕ =0 3M 3 R2 M
Wie lauten die Eigenkreisfrequenz ω0 und der Abklingkoeffizient δ des Systems? (1,0 Punkte)
ω0 =
r
2 c e2 3 R2 M
δ=
4d 3M
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Herbst 2013
Herbst 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren K¨orpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der K¨orper sind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Massen 1 und 6 auf rauhen schiefen Ebenen gleiten. ϕ2 R2
g
m
x1
1
r2 m2
r5
ϕ5
m5
x6 m
6
β α R3
x3
C m3 ϕ3 x4 m4
Herbst 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) a) Zeichnen Sie ein vollst¨andiges Freik¨orperbild (2 Punkte)
m5 g m2 g
S5
Ax
S3
m1 g
S2
S3
m6 g
H
6
m3 g Bx
S4
H
1
N
1
S2
S6
6
S
1
Ay
Dy
N
S1
Dx
m4 g S4
b) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Masse 1 bez¨ uglich der x1 -Koordinate an. (1 Punkt) m1 x¨1 = −S1 − H1 + m1 g sinβ c) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie das Massentr¨agheitsmoment θ2 mittels der gegebenen Gr¨oßen, wobei der kleinere Radius r2 zu vernachl¨assigen ist. (1 Punkt) 1 m R2 ϕ¨ 2 2 2 2
= S1 R2 − S2 r2
Herbst 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) d) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Rolle 3 bez¨ uglich der x3 -Koordinate an. (1 Punkt) m3 x¨3 = S2 + S3 − S4 − m3 g e) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bez¨ uglich des Punktes C und der ϕ3 -Koordinate an. Spezifizieren Sie die Massentr¨agheitsmomente θ3 mittels der gegebenen Gr¨oßen. (1 Punkt) 1 m R2 ϕ¨ 2 3 3 3
+ m3 R32 ϕ¨3 = 2S2 R3 − m3 gR3 − S4 R3
f) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Masse 6 bez¨ uglich der x6 -Koordinate an. (1 Punkt) m6 x¨6 = S5 − m6 g sinα − H6 g) Es sei nun das folgende modifizierte System gegeben. Geben Sie ϕ˙2 , ϕ˙3 und x˙3 in Abh¨angigkeit von x˙1 f¨ ur das modifizierte System an. (3 Punkte)
ϕ2 R2 x1 m1
ϕ˙2 (x˙1 ) =
x˙ 1 R2
x˙ 1 r2 ϕ˙3 (x˙1 ) = 2R2 R3 x˙ 1 r2 x˙3 (x˙1 ) = − 2R2
g
r2 m2
β R3 x3
m3 ϕ3
x4 m4
Herbst 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Ein punktf¨ormiger K¨orper der Masse m gleitet von einer Kraft F angetrieben auf einer reibungsbehafteten schiefen Ebene vom Punkt O zum Punkt A. Auf dem reibungsbehafteten Abschnitt betr¨agt der Gleitreibungskoeffizient µ. Die Kraft F wirkt ausschließlich im Abschnitt O − A auf das System ein. S¨amtliche Kreisb¨ogen weisen den Radius r auf. B A
ϕ0
C r
r
ϕ0
D
∆l
c µ g
α α
m N.N.
O
l1
F a) Berechnen Sie die Gr¨oße der richtungstreuen, zeitlich konstanten Kraft F , derart dass der Massenpunkt im Punkt A die Geschwindigkeit vA erreicht. Der Massenpunkt befindet sich im Punkt O in Ruhe. (3 Punkte)
F = 12 mvA2 cosl α + m g (µ cos α + sin α)
b) Wie groß muss der Betrag der Geschwindigkeit vA mindestens sein, damit der Massenpunkt den Punkt B erreicht? (1 Punkt) Hinweis: Es soll hier davon ausgegangen werden, dass die Kraft F nicht mehr auf die Masse einwirkt und diese st¨andigen Kontakt zur Bahn haben soll.
vA ≥
p 2gr (1 − sin ϕ0 )
TU Dortmund
Herbst 2013
Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) c) Wie groß darf die Geschwindigkeit vA des Massenpunkts maximal sein, damit der Massenpunkt die Bahn auf seinem Weg vom Punkt A zum Punkt B nicht verl¨asst? (3 Punkte)
vA ≤
√
gr sin ϕ0
d) Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt A ist nun durch vA so vorgegeben, dass beide Kriterien aus den vorherigen Teilaufgaben erf¨ ullt sind. Geben Sie die Geschwindigkeit des Massenpunktes in Abh¨angigkeit der Geschwindigkeit vA im Punkt D an. (1 Punkt)
vD = vA
e) Im Punkt D st¨oßt der Massenpunkt gegen eine starre Kontaktplatte, die mit einer Feder der Steifigkeit c verbunden ist. Legen Sie die Steifigkeit der Feder c so aus, dass sich eine maximale Stauchung der Feder von ∆l einstellt. Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt D ist durch vD gegeben. (2 Punkte)
c=
2 ) (2mg∆l sin α+mvD 2 ∆l
Herbst 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Ein System aus starren, homogenen St¨aben (L¨ange 2 l und L¨ange l) und einer starren, homogenen Kreisscheibe (Radius l/2) ist im Punkt A drehbar gelagert. Die Komponenten sind starr aneinander befestigt und das System ist dar¨ uber hinaus mit den dargestellten Federn und D¨ampfern (Materialkonstanten sind der Zeichnung zu entnehmen) verbunden. Im Punkt B wird das System durch eine zeitabh¨angige Kraft F (t) belastet, wobei in der gezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der Einfluss der Schwerkraft ist zu vernachl¨assigen. l d
l
D
C
c
l/2
F (t)
2m 8m
B
m
y ϕ
l
l
cT
x A
a) Berechnen Sie das Massentr¨agheitsmoment θ(A) des Systems bez¨ uglich des Punktes A. (1 Punkt) θ(A) = 28 m l2
b) Geben Sie die horizontale Verschiebung xB des Punkte B sowie die horizontale Geschwindigkeitskomponente x˙ D des Punktes D in Abh¨angigkeit von ϕ und ϕ˙ f¨ ur große Auslenkungen des Systems an.( 2 Punkte) xB =
√
10/2 l [− sin(ϕ + arctan(1/3)) + sin(arctan(1/3))]
√ x˙ D = − 5 l ϕ˙ cos(ϕ + arctan(1/3))
Herbst 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) c) Geben Sie die potentielle Energie Epot bez¨ uglich des Drehwinkels ϕ f¨ ur große Auslenkungen des Systems an. (1 Punkt) Epot = 1/2 cT ϕ2 + 5/2 c l2 [sin(arctan(1/2) − ϕ) − sin(arctan(1/2))]2 Das Massentr¨agheitsmoment des Systems sei nun als θ gegeben. Geben Sie die BewegungsDifferentialgleichung bez¨ uglich des Drehwinkels ϕ f¨ ur große Auslenkungen des Systems an. (3 Punkte)
ϕ¨ + 5 d l2/θ ϕ˙ cos(ϕ + arctan(1/2))2 + cT /θ ϕ + 5 c l2/(2 θ) [2 cos(arctan(1/2) − ϕ) [sin(arctan(1/2 − ϕ)) − sin(arctan(1/2))]] √ = 10 F (t) l/(2 θ) cos(ϕ + arctan(1/2))
d) Es ist nun folgende Bewegungs-Differentialgleichung f¨ ur große Auslenkungen in φ gegeben: 4 θ φ¨ + 3 d l2 cos(φ) φ˙ + c l2 7 sin(φ) cos(φ) + sin(φ) + 2 sin(φ)2 = l cos(φ) F (t)
Geben Sie die linearisierte Form der gegebenen Bewegungs-Differentialgleichung f¨ ur kleine Auslenkungen (φ ≪ 1) an. (1 Punkt)
φ¨ + 3 d l2 /θ φ˙ + 2 c l2 /θ φ = F (t) l/(4 θ)
Geben Sie f¨ ur F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion φ(t) f¨ ur den eingeschwungenen Zustand an. Spezifizieren Sie dazu die Konstanten der allgemeinen L¨osung: (2 Punkte) φ(t) = C cos(Ω t − φ0 ) q 2 2 2 2 2 C = F0 l/ 4 θ 4 δ Ω + [ω − Ω ] tan(φ0 ) = 2 δ Ω/(ω 2 − Ω2 )
δ = 3 d l2/(8 θ) p ω = 2 c l2 /θ
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Fru ¨ hjahr 2013
Fru ¨ hjahr 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren K¨orpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die beiden den Freiheitsgraden ϑ1 und ϑ2 zugeordneten Planetenrollen (je Radius r3 , Masse m3 ) sind an einen ortsfest drehbar gelagerten Planetentr¨ager (Gesamtmasse M2 ) angekn¨ upft und rollen in einem rauhen Hohlzylinder schlupffrei ab. Das Seil wird u ¨ber eine in Punkt A gelagerte Stufenrolle (Masse M1 ) gelenkt und von einem Masseklotz (Masse M0 ) gezogen. R1 ls
r1
α
ϑ2 µ
r3 , m3
M2
ψ
eϕ
r2 R2
A
ϕ r3 , m3
er
x0
M0
g
ϑ1 µ
a) Zeichnen Sie ein Freik¨orperbild ohne Tr¨agheitskr¨afte. G1ϕ
G1r
S2
N1
α H1
M2 g G1ϕ
m3 g
G1r
M1 g
α g S 2 Ax G2r
G2ϕ
Bx
H2
Ay S1 S1
By G2ϕ
m3 g G2r
N2 M0 g
TU Dortmund
Fru ¨ hjahr 2013
Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 2 von 3) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) des Klotzes (Masse M0 ) bzgl. der x0 -Koordinate an.
M0 x¨0 = M0 g − S1 Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der in Punkt A gelagerten Stufenrolle bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ψ-Koordinate an. Die schwerpunktsbezogene Massentr¨agheit sei als θ1 gegeben und soll hier nicht spezifiziert werden.
θ1 ψ¨ = S1 r1 − S2 R1 Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) des ortsfest drehbar gelagerten Planetentr¨agers (Gesamtmasse M2 ) bez¨ uglich seines Schwerpunktes und der ϕ-Koordinate an. Die schwerpunktsbezogene Massentr¨agheit sei als θ2 gegeben und soll hier nicht spezifiziert werden.
θ2 ϕ¨ = S2 r2 − G1ϕ [R2 + ls ] − G2ϕ [R2 + ls ]
b) Spezifizieren Sie nun das schwerpunktsbezogene Massentr¨agheitsmoment θ2 des Planetentr¨agers. Der Planetentr¨ager besteht aus einer Stufenrolle (kleine Stufung: Radius r2 , Masse M2 /3, große Stufung: Radius R2 , Masse 2 · M2 /3) und zwei angeschweißten St¨aben (je L¨ange ls , Masse ms ).
" 2 # l 1 M2 2 1 2 1 s r + M2 R22 + 2 ms ls2 + ms + R2 θ2 = 2 3 2 23 12 2
Fru ¨ hjahr 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 3 von 3) c) Geben Sie die Winkelgeschwindigkeit ϑ˙ 1 in Abh¨angigkeit von ϕ˙ an.
R2 + ls ϑ˙ 1 (ϕ) ˙ = ϕ˙ r3
d) ˙ ϕ, Geben Sie nun die Winkelgeschwindigkeiten ψ, ˙ ϑ˙ 1 und ϑ˙ 2 in Abh¨angigkeit von x˙ 0 an.
˙ x˙ 0 ) = x˙ 0 ψ( r1
R1 R1 = x˙ 0 ϕ( ˙ x˙ 0 ) = ψ˙ r2 r1 r2
R1 [R2 + ls ] ϑ˙ 1 (x˙ 0 ) = x˙ 0 r1 r2 r3
ϑ˙ 2 (x˙ 0 ) = ϑ˙ 1
(s.o.)
Fru ¨ hjahr 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 1 von 2) Ein punktf¨ormiger K¨orper der Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage heraus eine glatte, schiefe Ebene (L¨ange L, µ = 0) herunterzugleiten. Im Punkt 1 geht die schiefe Ebene tangential in eine rauhe Kreisbahn u ¨ber (Gleitreibungskoeffizient µ, Radius r, Winkel θ). Die Geschwindigkeit zwischen Punkt 1 und 2 ist mittels eines a¨ußeren Antriebs konstant gehalten, so dass in diesem Bereich v = const. und insbesondere |v 1 | = |v 2 | = v gilt. Die rauhe Kreisbahn m¨ undet im Punkt 2 tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel β, L¨ange L, µ=0). Im Punkt 3 befindet sich ein punktf¨ormiger K¨orper der Masse 2 m, welcher dort in Ruhe gehalten wird. Im Punkt 3 geht die glatte, schiefe Ebene tangential in eine glatte Kreisbahn u ¨ber (µ=0). Im Punkt 4 befindet sich das Ende einer elastischen Feder (Steifigkeit/Federkonstante c). Das System befindet sich im Schwerfeld der Erde (Erdbeschleunigung g). L
m
g
O
1 µ r θ
H
ψ
2
L
L/4
α β `
2m 3
ϕ
r C β 4
x
N.N.
a) O Geben Sie die potentielle Energie Epot im Punkt O bez¨ uglich des vorgegebenen Nullniveaus N.N. in Abh¨angigkeit der Gr¨oßen m, g, H, r und ϕ an.
O Epot = m g [H + r (1 − cos(ϕ/2))]
TU Dortmund
Fru ¨ hjahr 2013
Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 2 von 2) b) Geben Sie die Reibkraft R(ψ) als Funktion von ψ unter Ber¨ ucksichtigung der Vorgabe |v1 | = v bzgl. des Punktes 1 an. Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!
R(ψ) = µ [m g cos(π/2 − (θ + α) + ψ) − m v 2 /r]
Berechnen Sie die auf der Strecke von Punkt 1 zu Punkt 2 verrichtete Reibarbeit WR .
WR = µ m [−v 2 θ + g r cos(α) − g r cos(θ + α)]
c) Nehmen Sie an, dass nun |v3 | = v am Punkt 3 vorgegeben ist. Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit beider Massen v¯1 (f¨ ur Masse m) und v¯2 (f¨ ur Masse 2 m) unmittelbar nach dem vollplastischen Stoß an. Hinweis: Mit Ausnahme des Kraftstoßes sind alle etwaigen Kr¨afte w¨ahrend des Stoßvorgangs zu vernachl¨assigen! |¯ v1 | = v/3 |¯ v2 | = v/3 d) Bestimmen Sie die Federsteifigkeit/Federkonstante c derart, dass die maximale Stauchung der Feder l/5 betragen soll. Nehmen Sie hier an, dass nur ein K¨orper der Masse 3 m Kontakt mit der Feder hat. Die Geschwindigkeit dieser Masse ist im Punkt 4 zu v4 = |v4 | = 6 v vorgegeben. v 2 − 30 m g sin β C = 2700 m 2 L L
Fru ¨ hjahr 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
L¨ osung 3 (Seite 1 von 2) Das dargestellte System befindet sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g). Das masselose Seil rollt schlupffrei u ¨ber zwei homogene Kreisscheiben (Massen M, m und Radien R, r). Dessen Ende ist mit einer Parallelschaltung einer Feder (Federsteifigkeit c) und eines D¨ampfers (D¨ampfungskonstante d) verbunden. Das Seil soll als stets gespannt angenommen werden. Die Feder ist in der Ausgangslage ungespannt. c
d M, R
g h
y
N.N.
m, r
Geg.: m, M, r, R, c, d, g. a) Geben Sie die gesamte kinetische Energie Ekin sowie die gesamte potenzielle Energie Epot des Systems in Abh¨angigkeit des Freiheitsgrades y an.
Ekin = y˙ 2 (M + 34 m) Epot = 2cy 2 − mgy + Mgh 4
Fru ¨ hjahr 2013
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
L¨ osung 3 (Seite 2 von 2) b) Geben Sie die zugeh¨orige Bewegungs-Differentialgleichung an. 3 m¨ y+ 2
2M y¨ + 4cy − mg + 4dy˙ = 0
4 c) Bei vernachl¨assigter Schwerkraft und Federsteifigkeit (g = c = 0) sowie einem bestimmten, nicht n¨aher aufgef¨ uhrten Verh¨altnis zwischen den Massen hat die Bewegungsdifferentialgleichung die Form 5 m y¨ + d y˙ = 0. Geben Sie y(t) f¨ ur die Anfangsbedingungen y(t = 0) = 0, y(t ˙ = 0) =
d m
an.
d
y(t) = 5 − 5e(− 5m )t
2
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Herbst 2012
Herbst 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Ein System aus starren, homogenen St¨aben ist im Punkt A drehbar gelagert und des Weiteren mit den dargestellten Federn und D¨ampfern (Materialkonstanten sind der Zeichnung zu entnehmen) verbunden. Im Punkt D ist zus¨atzlich eine Punktmasse (Masse m) angebracht. Im Punkt E wird das System durch eine zeitabh¨angige Kraft F (t) belastet, wobei in der gezeichneten Ausgangslage F (t = 0) = 0 gilt und die Federn ungespannt sind. Der Einfluss der Schwerkraft ist zu vernachl¨assigen. y d
D l
m ϕ
F (t)
m cT
B
C x
E
c
l
A
l
4m
d
2l
a) Berechnen Sie das Massentr¨agheitsmoment θ(A) des Systems bez¨ uglich des Punktes A.
θ(A) =
20 m l2 3
b) Geben Sie die vertikale Verschiebung yB des Punktes B sowie die Geschwindigkeitskoordinate x˙ D des Punktes D in Abh¨angigkeit von ϕ und ϕ˙ f¨ ur große Auslenkungen des Systems an. yB = sin(ϕ) l
x˙ D = ϕ˙ cos(ϕ) l
Herbst 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) c) Das Massentr¨agheitsmoment des Systems sei nun als θ gegeben. Geben Sie f¨ ur die Annahme kleiner Auslenkungen (ϕ ≪ 1) die Bewegungs-Differentialgleichung bez¨ uglich des Drehwinkels ϕ an.
ϕ¨ +
5 d l2 c l 2 + cT 2 l F (t) ϕ˙ + ϕ= θ θ θ
Nennen Sie die Bedingung f¨ ur die Federkonstante c, so dass sich f¨ ur das gegebene System eine schwach ged¨ampfte Schwingung ergeben w¨ urde. 25 d2 l4 − 4 cT θ c> 4 θ2 l2 Spezifizieren Sie f¨ ur F (t) = F0 cos(Ω t) die Konstanten C und ϕ0 der allgemeinen L¨osung ϕ(t) = C cos(Ω t − ϕ0 ) f¨ ur den eingeschwungenen Zustand. 5 d l2 δ= C= p 2θ θ 4 δ 2 Ω2 + [ ω 2 − Ω2 ]2 r 2 2δΩ c l + cT ω= ϕ0 = arctan 2 2 ω −Ω θ 2 l F0
Herbst 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren K¨orpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen sind der Zeichnung zu entnehmen. Es wird davon ausgegangen, dass die Rollen 1 und 3 auf rauhen Ebenen schlupffrei abrollen. Dabei wird Rolle 1 von dem konstanten Drehmoment M0 die schiefe Ebene hinauf angetrieben. Die Umlenkrolle in Punkt A ist als masselos anzusehen. 1 2
ϕ1 R1 x1
g ϕ2
M0 r1
m1
m2
3 x3
r2
A
r3 α
ϕ3 m3 x4 4
m4
a) Zeichnen Sie ein vollst¨andiges Freik¨orperbild
M0
m1 g
m3 g S2 S3
S1
H1
H3 S3 N3
N1 S1 S2
m4 g
Herbst 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Rolle 1 bez¨ uglich der x1 -Koordinate an. −S1 + H1 − m1 g sin(α) = m1 x¨1 c) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 1 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ1 -Koordinate an. Nehmen Sie θ1 als gegeben an. M0 − S1 r1 − H1 R1 = θ1 ϕ¨1 d) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 2 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ2 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ2 mittels der gegebenen Gr¨oßen.
S2 r 2 − S1 r 2 =
1 m2 r22 ϕ¨2 2
e) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Rolle 3 bez¨ uglich der x3 -Koordinate an. S3 − S2 − H3 = m3 x¨3 f) Geben Sie die Drehimpulsbilanz (Drallsatz) der Rolle 3 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ3 -Koordinate an. Spezifizieren Sie θ3 mittels der gegebenen Gr¨oßen.
H 3 r 3 − S2 r 3 =
1 m3 r32 ϕ¨3 2
g) Geben Sie die Impulsbilanz (Kr¨aftesatz) der Masse 4 bez¨ uglich der x4 -Koordinate an. S3 − m4 g = m4 x¨4
TU Dortmund
Herbst 2012
Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) h) Geben Sie die (Winkel-)Geschwindigkeiten x˙ 1 , ϕ˙ 2 , x˙ 3 , ϕ˙ 3 und x˙ 4 in Abh¨angigkeit von ϕ˙ 1 an. x˙ 1 (ϕ˙ 1 ) = ϕ˙ 1 R1 R1 + r1 r2 R1 + r1 x˙ 3 (ϕ˙ 1 ) = −ϕ˙ 1 2 R1 + r1 ϕ˙ 3 (ϕ˙ 1 ) = −ϕ˙ 1 2 r3 R1 + r1 x˙ 4 (ϕ˙ 1 ) = ϕ˙ 1 2
ϕ˙ 2 (ϕ˙ 1 ) = −ϕ˙ 1
Herbst 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Eine punktf¨ormiger K¨orper der Masse m rutscht aus seiner Ruhelage (H¨ohe h bez¨ uglich N.N.) im Punkt O eine reibungslose Ebene hinab. Auf seinem Weg u ¨ber die Punkte A bis H passiert er 2 reibungsbehaftete Teilabschnitte mit den Gleitreibungskoeffizienten µ1 und µ2 . S¨amtliche Kreisb¨ogen weisen den Radius r auf.
y m
O
g
I
x D µ1
α r
C
l2
E r α
F
h l1
α rθ
N.N.
l3
B
α γ G φ
µ2
γ r H
A
a) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten A und B als Funktion des Winkels θ.
v(θ)A→B =
p 2g[h − r (1 − Cos(θ))]
b) Berechnen Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C. vC =
p
2g[h − r(1 − Cos(α)) − l1 (Sin(α) + µ1 Cos(α))]
Herbst 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) c) Der Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse im Punkt C ist nun durch vC vorgegeben, wobei diese als groß genug vorausgesetzt ist, um Punkt D zu erreichen. Geben Sie die Geschwindigkeit der Punktmasse in Abh¨angigkeit der Gr¨oße vC in den Punkten F und G an.
vF = vC vG =
p
vC2 + 2gl3(Sin(α) − µ2 Cos(α))
d) Im Punkt G st¨oßt die Punktmasse mit dem gegebenen Geschwindigkeitsbetrag vG gegen einen masselosen Stab, welcher mit einer Drehfeder (Federkonstante cT ) verbunden ist. Berechnen Sie die Winkelgeschwindigkeit der Punktmasse zwischen den Punkten G und H.
φ˙ =
q
2 [gr(1 r2
2 − Sin(γ)) + 21 vG − gr(1 − Sin(γ + φ)) −
1 c φ2 ] 2m T
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Fru ¨ hjahr 2012
Fru ¨ hjahr 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 1 von 2) Ein starrer Stab (L¨ange 2 l, Masse m) ist wie dargestellt gelagert. Die im Punkt A befindliche Drehfeder weist die Federsteifigkeit (Federkonstante) cT , der im Punkt B angeschlossene viskose D¨ampfer die D¨ampferkonstante d auf. Im Punkt C ist ein System aus parallel und seriell geschalteten Federn (Federsteifigkeiten bzw. /-konstanten c1 bis c4 ) angebracht. Zudem wird das unter dem Einfluss des Schwerefelds (Erdbeschleunigung g) stehende System im Punkt C durch eine zeitabh¨angige Kraft F (t) belastet. F¨ ur den Zeitpunkt t = t0 = 0 gelte F (t0 ) = 0 sowie, dass s¨amtliche Federn ungespannt sind.
c1 C
F (t)
l
c3
c2 c4
g
B d m l
ϕ
y cT x A
a) Geben Sie die effektive Steifigkeit (Federkonstante) ceff des Federsystems in Abh¨angigkeit der Werte c1 , c2 , c3 und c4 an. ceff = c1 +
1 1 1 + c +c c2 3 4
b) Berechnen Sie das Massentr¨agheitsmoment θ(A) des Stabes bez¨ uglich des Punktes A. θ(A) = 4/3 m l2
Fru ¨ hjahr 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 1 (Seite 2 von 2) c) Geben Sie die den Betrag der Geschwindigkeit vB des Punktes B sowie die horizontale Verschiebung xC des Punktes C in Abh¨angigkeit von ϕ und ϕ˙ f¨ ur große Auslenkungen des Systems an. vB = ϕ˙ l xC = −2 l sin(ϕ) Die effektive Steifigkeit (Konstante) des Federsystems ist nun durch den Wert c vorgegeben, ebenso ist der Wert f¨ ur das Massentr¨agheitsmoment des Stabes bez¨ uglich des Punktes A als θ festgelegt. F¨ ur die Federkonstante der Drehfeder gilt des Weiteren cT = m g l. Leiten Sie f¨ ur die Annahme kleiner Auslenkungen ϕ ≪ 1 die Bewegungs-Differentialgleichung des Systems bez¨ uglich des Drehwinkels ϕ her. ϕ¨ +
d l2 θ
ϕ˙ +
4 c l2 θ
ϕ=
2 F (t) l θ
Nennen Sie die systemspezifische Bedingung f¨ ur die D¨ampferkonstante d, so dass sich f¨ ur F (t) ≡ 0 und ϕ(t0 ) 6= 0 eine schwach ged¨ ampfte Schwingung ergeben w¨ urde. d<4
p θ c/l2
Geben Sie f¨ ur die Vorgaben F (t) = F0 cos(Ω t) die Weg-Zeit-Funktion ϕ(t) f¨ ur den eingeschwungenen Zustand an. Nennen Sie zun¨achst die allgemeine L¨osung und spezifizieren Sie dann die darin enthaltenen Konstanten. ϕ(t) = A cos(Ω t − ϕ0 ) mit: A = √ 2 2 2F0 l 2 2 2 θ
4 δ Ω +[ω −Ω ]
δΩ tan(ϕ0 ) = ω22 −Ω 2 d l2 δ = 2θ p ω = 2 l c/θ
Fru ¨ hjahr 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 1 von 3) Das dargestellte System besteht aus homogenen, starren K¨orpern, die durch dehnstarre, schlupffrei abrollende Seile miteinander verbunden sind und sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g) befinden. Die jeweiligen Massen und Abmessungen der K¨orper sind der Zeichnung zu entnehmen. Die abgesetze Rolle 3 weist eine Unwucht (Exzentrizit¨at e, Masse me ) auf, deren Lage im Ausgangszustand durch ϕ3 = 0 gegeben ist. Die Walze 4 rollt schlupffrei auf einer rauhen Ebene ab und wird dabei von dem konstanten Drehmoment M0 angetrieben.
e
me
g
R3 r3 m3 ϕ3 x2
2
m2
ϕ4
r4
M0 4
m4 x4
3
ϕ2
r2
x1
1 r1 m1
a) Erg¨anzen Sie die hier dargestellten Teilk¨orper des Systems zu vollst¨andigen Freik¨orperbildern. S2
S3
S4
m4 g
M0 H
S1 + m2 g S1 S4
m1 g
S3
me g
N
Fru ¨ hjahr 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 2 von 3) b) Geben Sie den Impulssatz (Kr¨aftesatz) der Rolle 1 bez¨ uglich der x1 -Koordinate an. S1 − m1 g = m1 x¨1 Geben Sie den Impulssatz (Kr¨aftesatz) der Rolle 2 bez¨ uglich der x2 -Koordinate an. S2 + S3 − S1 − m2 g = m2 x¨2 Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 2 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ2 -Koordinate an. S3 r 2 − S2 r 2 =
1 2
m2 r22 ϕ¨2
Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Rolle 3 bez¨ uglich des Drehzentrums und der ϕ3 -Koordinate an. S4 r3 − S3 R3 + me g e cos(ϕ3 ) = ( 21 m3 R32 + me e2 ) ϕ¨3 Geben Sie den Impulssatz (Kr¨aftesatz) der Walze 4 bez¨ uglich der x4 -Koordinate an. − S4 + H = m4 x¨4 Geben Sie den Drehimpulssatz (Drallsatz) der Walze 4 bez¨ uglich ihres Schwerpunktes und der ϕ4 -Koordinate an. − S4 r4 − H r4 + M0 =
1 2
m4 r42 ϕ¨4
Fru ¨ hjahr 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 2 (Seite 3 von 3) c) Geben Sie ϕ˙ 2 , x˙ 2 , ϕ˙ 3 , ϕ˙ 4 und x˙ 4 in Abh¨angigkeit von x˙ 1 an. ϕ˙ 2 (x˙ 1 ) = x˙ 1 / r2 x˙ 2 (x˙ 1 ) = x˙ 1 ϕ˙ 3 (x˙ 1 ) = 2 x˙ 1 / R3 ϕ˙ 4 (x˙ 1 ) = x˙ 1 r3 / (R3 r4 ) x˙ 4 (x˙ 1 ) = x˙ 1 r3 / R3
d) Betrachten Sie nun die rechts dargestellte Walze (Masse m, Radius r) auf einer um den Winkel α geneigten Ebene. Sie befindet sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g), wird von dem konstanten Drehmoment M0 angetrieben und rollt schlupffrei auf der rauhen Ebene ab.
g
x
ϕ r
M0 m α
√ Die Walze bewege sich mit x(t ˙ = 0) = 2 r g fort und es gelte x(t = 0) = − r. Wie groß muss M0 sein, so dass zum Zeitpunkt t∗ die Zusammenh¨ange x(t ˙ ∗ ) = 0 und x4 (t∗ ) = 3 r gelten? M0 = m g r [sin(α) −
3 ] 4
Fru ¨ hjahr 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 1 von 2) Eine punktf¨ormige Masse m beginnt im Punkt O aus der Ruhelage heraus eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel α, L¨ange l, Gleitreibungskoeffizient µ) herunterzugleiten. Im Punkt A geht die schiefe Ebene tangential in eine glatte Kreisbahn u ¨ber (µ = 0). Diese m¨ undet im Punkt B tangential in eine rauhe, schiefe Ebene (Neigungswinkel β, L¨ange l, Gleitreibungskoeffizient µ). Im Punkt C geht die schiefe Ebene in eine glatte Bahn u ¨ber, die im Punkt D tangential in eine glatte, schiefe Ebene (Neigungswinkel γ, L¨ange a, µ = 0) u ¨bergeht. Am Ende dieser schiefen Ebene ist eine Feder (Federkonstante c, ungespannte L¨ange a/6) befestigt. Das System befindet sich im Schwerefeld der Erde (Erdbeschleunigung g).
O
x1
m
l g
α
µ=0
A
µ
ϕ r
B
h
x2 l
µ
a
c
x3
β C
D
γ
a/6
N.N. µ=0
a) O Geben Sie die potentielle Energie Epot im Punkt O bez¨ uglich des vorgegebenen Nullniveaus N.N. an. O Epot = m g h oder m g [l (sin(α) + sin(β)) + r (cos(α) − cos(β))]
Berechnen Sie den Betrag |v A | der Geschwindigkeit im Punkt A. |vA | =
p 2 g l [sin(α) − µ cos(α)]
Fru ¨ hjahr 2012
TU Dortmund Fakult¨at Maschinenbau Institut f¨ ur Mechanik Prof. Dr.-Ing. A. Menzel Prof. Dr.-Ing. J. Mosler
Aufgabe 3 (Seite 2 von 2) b) Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt A sei nun als |v A | = vA gegeben. (Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!) Geben Sie den Betrag der Geschwindigkeit der Punktmasse auf der Bahn zwischen den Punkten A und B in Abh¨angigkeit von ϕ an. |v|(ϕ) =
p
vA2 − 2 g r [cos(ϕ) − cos(α)]
Wie groß darf vA maximal sein, so dass die Punktmasse nicht von der Kreisbahn abhebt? vA ≤
p
g r [3 cos(β) − 2 cos(α)]
c) Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt B sei nun als |v B | = vB gegeben. (Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen!) Bestimmen Sie die Gesamtenergie des Massepunktes bei x2 = l/2. Eges (x2 = l/2) =
1 2
m vB2 + m g l [sin(β) − µ cos(β) / 2]
Bestimmen Sie den Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D. |vD | =
p vB2 + 2 g l [sin(β) − µ cos(β)]
d) p Der Betrag der Geschwindigkeit im Punkt D sei nun als |vD | = vD = 5/3 g a sin(γ) vorgegeben. (Hinweis: Nicht mit dem Ergebnis der vorherigen Teilaufgabe weiterrechnen! Die gegebene Geschwindigkeit ergibt sich nicht aus dem System!) Um welchen Betrag ∆a wird die Feder gestaucht? ∆a = 0
