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Fachbereich Mathematik der Universit¨ at Hamburg Dr. K. Rothe
WiSe 2016/17
Analysis I f¨ ur Studierende der Ingenieurwissenschaften H¨ orsaal¨ ubung mit Beispielaufgaben zu Blatt 2
Aufgabe 5: F¨ ur folgende Funktionen f berechne man alle x ∈ IR f¨ ur die f (x) ≥ 0 gilt und zeichne die zugeh¨origen Funktionsgraphen a) f (x) = 1 − 2||x − 2| − 1| , b) f (x) = x4 − 5x2 + 4 .
L¨ osung: a) Fallunterscheidungen f¨ ur die in f (x) = 1 − 2||x − 2| − 1| auftretenden Betr¨age: (i) x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 : f (x) = 1 − 2|x − 2 − 1| = 1 − 2|x − 3| i. x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 : f (x) = 1 − 2(x − 3) = 7 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 3.5 ⇒ x ∈ [3, 3.5] ii. x − 3 < 0 ⇔ x < 3 : f (x) = 1 + 2(x − 3) = 2x − 5 ≥ 0 ⇒ x ≥ 2.5 ⇒ x ∈ [2.5, 3[ (ii) x − 2 < 0 ⇔ x < 2 : f (x) = 1 − 2| − (x − 2) − 1| = 1 − 2|1 − x| i. 1 − x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 : f (x) = 1 − 2(1 − x) = 2x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ 0.5 ⇒ x ∈ [0.5, 1] ii. 1 − x < 0 ⇔ x > 1 : f (x) = 1 + 2(1 − x) = 3 − 2x ≥ 0 ⇒ x ≤ 1.5 ⇒ x ∈]1, 1.5] Die L¨osungsmenge lautet IL = [0.5, 1.5] ∪ [2.5, 3.5].
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8)
2
y 1.0
0.5
1
2
3
4
x
-0.5 -1.0 -1.5 -2.0
f (x) = 1 − 2||x − 2| − 1|
Bild 5 a)
b) Berechnung der Nullstellen f¨ ur die biquadratische Funktion f (x) = x4 − 5x2 + 4 u ¨ber die p, q-Formel f¨ ur z 2 + pz + q = 0 mit z := x2 : r 25 5 3 5 − 4 = ± ⇒ x21,4 = 4 ∨ x22,3 = 1 . x21,2,3,4 = ± 2 4 2 2 Man erh¨alt die Nullstellen: x1 = −2 , x2 = −1 , x3 = 1 , x4 = 2. Zwischen den Nullstellen besitzt f (x) = x4 − 5x2 + 4 = (x + 2)(x + 1)(x − 1)(x − 2) einheitliches positives oder negatives Vorzeichen. Dieses l¨asst sich bestimmen durch das Vorzeichenverhalten der vier Linearfaktoren (x + 2) (x + 1) (x − 1) (x − 2) f (x) x < −2 − − − − + −2 < x < −1 + − − − − −1 < x < 1 + + − − + + + + − − 1 0) zum Nullpunkt und durch sein Argument ϕ, d.h. den Winkel −π < ϕ ≤ π zwischen seinem Ortsvektor (von 0 nach z) und der x-Achse. Die Zahlen r und ϕ werden als Polarkoordinaten von z bezeichnet. Es besteht also folgender Zusammenhang zwischen kartesische Koordinaten und Polarkoordinaten z = x + iy = r cos ϕ +i r sin ϕ = r (cos ϕ + i sin ϕ) . | {z } | {z } =x
=y
Im (z) ir
6
z
r 6
r sin(ϕ) ϕ
r cos(ϕ)
q ? -
-
r
Re (z)
Polarkoordinaten von z Wegen
y r sin ϕ = = tan ϕ l¨asst sich der Winkel ϕ aus x und y wie folgt berechnen: x r cos ϕ arctan (y/x) + π , x < 0, y ≥ 0 π/2 , x = 0, y > 0 arctan (y/x) , x > 0, ϕ= −π/2 , x = 0, y < 0 arctan (y/x) − π , x < 0, y < 0 .
Mit der abk¨ urzenden Bezeichnung eiϕ := cos ϕ + i sin ϕ (Eulersche Formel) gelten f¨ ur die Polardarstellung z = r (cos ϕ + i sin ϕ) = reiϕ die Potenzrechengesetze n z1 z2 = r1 eiϕ1 r2 eiϕ2 = r1 r2 ei(ϕ1 +ϕ2 ) , z n = reiϕ = rn einϕ und die Gleichung wn = z = reiϕ besitzt genau die n L¨osungen √ wk = n rei(ϕ+2kπ)/n , k = 0, 1, 2, . . . , n − 1. Beispiel:
w2 = −1 = eiπ
⇒
w0 = eiπ/2 = i , w1 = e3iπ/2 = e−iπ/2 = −i
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8)
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Aufgabe 6: a) F¨ ur die Funktion f mit f (x) = x3 − 4x2 + 13x zeichne man den Funktionsgraphen und berechne alle Nullstellen x ∈ C. b) Man berechne die folgenden Ausdr¨ ucke und gebe sie in kartesischer Darstellung an (i) z1 = 3 − 4i − (5 + 6i) , (ii) z2 = 3i7 − 2i5 + 6i4 + 5i2 + 4 , 2π 2π + i sin , (iii) z3 = cos 3 3 (iv) z4 = (3 − 4i)(5 + 6i) , 3 − 4i (v) z5 = . 5 + 6i L¨ osung: a) Ausklammern ergibt:
f (x) = x3 − 4x2 + 13x = x(x2 − 4x + 13).
Eine Nullstelle lautet x1 = 0. Die u ¨brigen erh¨alt man durch quadratische Erg¨anzung 0 = x2 − 4x + 13 = (x − 2)2 + 9 ⇒ (x − 2)2 = −9 ⇒ x − 2 = ±3i ⇒ x2 = 2 + 3i , x3 = 2 − 3i y
20
-2
-1
1
2
3
x
-20
-40
Bild 6
f (x) = x3 − 4x2 + 13x
b) (i) z1 = 3 − 4i − (5 + 6i) = −2 − 10i , (ii) z2 = 3i7 − 2i5 + 6i4 + 5i2 + 4 = −3i − 2i + 6 − 5 + 4 = 5 − 5i , √ 2π 2π 1 3 (iii) z3 = cos + i sin =− +i 3 3 2 2 (iv) z4 = (3 − 4i)(5 + 6i) = 15 + 18i − 20i + 24 = 39 − 2i , 3 − 4i (3 − 4i)(5 − 6i) 15 − 18i − 20i − 24 9 38 (v) z5 = = = =− −i . 5 + 6i (5 + 6i)(5 − 6i) 61 61 61
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8)
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Aufgabe 7: a) Mit Hilfe der Eulerschen Formel und unter Verwendung von cos2 x + sin2 x = 1 best¨atige man die G¨ ultigkeit der Additionstheoreme cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x , sin 3x = 3 sin x − 4 sin3 x . b) Gegeben seien die komplexen Zahlen z1 = 1 + i ,
z2 = −1 + i ,
z3 = i .
(i) Man berechne z¯1 + z2 ,
Re (¯ z2 + 3z3 ) ,
Im (2z1 + z2 ) ,
|z1 + z3 | .
(ii) Man bestimme die Polarkoordinatendarstellung von z1 ,
z2 ,
z3 ,
z¯16 ,
z212 ,
z¯16 z3 . z212
L¨ osung: a) Mit der Eulerschen Formel eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ erh¨alt man 3 cos 3x + i sin 3x = ei3x = eix = (cos x + i sin x)3 = cos3 x + 3i cos2 x sin x − 3 cos x sin2 x − i sin3 x = cos3 x − 3 cos x sin2 x + i(3 cos2 x sin x − sin3 x) . Mit einem Koeffizientenvergleich und cos2 x + sin2 x = 1 ergibt sich cos 3x = cos3 x − 3 cos x sin2 x = cos3 x − 3 cos x(1 − cos2 x) = 4 cos3 x − 3 cos x , sin 3x = 3 cos2 x sin x − sin3 x = 3(1 − sin2 x) sin x − sin3 x = 3 sin x − 4 sin3 x . b) (i) z¯1 + z2 = 1 − i − 1 + i = 0 , Re (¯ z2 + 3z3 ) = Re (−1 − i + 3i) = Re (−1 + 2i) = −1 , Im (2z1 + z2 ) = Im (2 + 2i − 1 + i) = Im (1 + 3i) = 3 , |z1 + z3 | = |1 + i + i| = |1 + 2i| =
√ √ 12 + 22 = 5 .
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8) (ii) Polarkoordinatendarstellung:
z = reiϕ mit r > 0 und −π < ϕ ≤ π
√ 1 π = ⇒ z1 = 2eπi/4 1 4 √ √ 1 π z2 = −1 + i : r = |z2 | = 2 , ϕ = π + arctan = π − ⇒ z2 = 2e3πi/4 −1 4 π z3 = i : r = |z3 | = 1 , ϕ = ⇒ z3 = eπi/2 2 √ −πi/4 6 z¯16 = 2e = 23 e−6πi/4 = 23 e−3πi/2 = 23 eπi/2 z1 = 1 + i : r = |z1 | =
√
7
2,
ϕ = arctan
√ 3πi/4 12 2e = 26 e9πi = 26 eπi
z212 =
z¯16 z3 23 eπi/2 eπi/2 23 eπi/2+πi/2 eπi 1 = = = 3 πi = . 12 6 πi 6 πi z2 2e 2e 2e 8
Funktionen Eine reellwertige Funktion (oder Abbildung) f einer reellen Ver¨anderlichen x ist eine Vorschrift, die jedem Element x ∈ D ⊂ IR des Definitionsbereiches D genau eine reelle Zahl f (x) ∈ W ⊂ IR aus dem Wertebereich W zuordnet: f :D → W x 7→ f (x) . Andere Bezeichnungen f¨ ur D bzw. W sind Urbildbereich bzw. Bildbereich. Funktionsgraph von f : graph(f ) := {(x, y) ∈ D × IR | y = f (x)}.
1
1
0.75
0.8 0.5
0.6
0.25
-1
-0.5
0.5
1
0.4
-0.25
0.2
-0.5 -0.75 -1
Bild 1: f (x) = x
-1
-0.5
Bild 2: f (x) = x2
0.5
1
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8)
-1
1
4
0.75
3
0.5
2
0.25
1
-0.5
1
0.5
-4
-2
8
4
2
-0.25
-1
-0.5
-2
-0.75
-3 -4
-1 3
1 Bild 4: f (x) = x
Bild 3: f (x) = x
1
3
0.8
2.5 2
0.6 1.5
0.4 1
0.2 -1
0.5
-0.5
1
0.5
-4
1
0.5
0.5 3
4
5
1
6
-0.5
-0.5
-1
-1
Bild 7: f (x) = sin x
1
Bild 6: f (x) = e
1
2
-1
-2 x
Bild 5: f (x) = |x|
1
-3
Bild 8: f (x) = cos x
2
3
4
5
6
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8)
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Eine Funktion f heißt surjektiv, wenn es f¨ ur jedes y ∈ W wenigstens ein x ∈ D gibt, so dass gilt y = f (x). Eine Funktion f heißt injektiv, wenn es f¨ ur jedes y ∈ W h¨ochstens ein x ∈ D gibt, so dass gilt y = f (x). Eine Funktion f heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, d.h. zu jedem y ∈ W gibt es genau ein x ∈ D. Damit ist die Funktion f dann umkehrbar, mit Umkehrfunktion:
f −1 : W → D y 7→ x = f −1 (y) .
2
1
1.5
0.5 1 1.5 2 2.5 3 -1
1 -2
0.5 -3
1
0.5
1.5
2
2.5
3
Bild 9:√ g(x) = x
-1
-4
Bild 10: g(x) = ln x 1.5
3
1
2.5
0.5
2
-0.5
0.5
1.5
1
-0.5
1
-1
0.5
-1.5
Bild 11: g(x) = arcsin x
-1
-0.5
Bild 12: g(x) = arccos x
0.5
1
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8)
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Aufgabe 8: a) F¨ ur die Funktion f :] − ∞, c] → IR mit y = f (x) := x2 + 8x + 15 bestimme man die gr¨oßte Zahl c, so dass f eine Umkehrfunktion f −1 besitzt. Man berechne die Umkehrfunktion, gebe deren Definitions- und Wertebereich an und zeichne den Funktionsgraphen von f −1 . b) Man entscheide, welche der folgenden Funktionen injektiv, surjektiv und bijektiv sind und zeichne die zugeh¨origen Funktionsgraphen: (i) f1 : [−5, 5] → [−2, 2] , (ii) f2 : [0, 1] → [0, 2] ,
f1 (x) = 1 − |2 − |x||,
f2 (x) = x4 ,
(iii) f3 : [0, π/2] → [0, 1/2] , (iv) f4 : IR → ]0, ∞[ ,
f3 (x) = sin x cos x,
f4 (x) = ex .
L¨ osung: a) Mit quadratischer Erg¨anzung erh¨alt man die Scheitelpunktform von f f (x) = x2 + 8x + 15 = (x + 4)2 − 1 mit dem Scheitelpunkt S = (xs , f (xs )) = (−4, −1). Damit ist ] − ∞, c] =] − ∞, xs ] =] − ∞, −4] das gr¨oßte Intervall in dem f invertierbar ist. Berechnung der Umkehrfunktion y = (x + 4)2 − 1
⇒
x = −4 ±
p y + 1 ≤ −4
⇒
f −1 (y) = −4 −
Definitionsbereich Df −1 = [−1, ∞[ , Wertebereich Wf −1 =] − ∞, −4]. x -2
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
-8
Bild 8.1
f −1 (y) = −4 −
√ y+1
12
y
p
y+1.
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8) b) (i) f1 ist weder injektiv noch surjektiv 2 1.5 1 0.5 -4
-2
4
2 -0.5 -1 -1.5 -2
Bild 8.2
f1 (x) = 1 − |2 − |x||
(ii) f2 ist injektiv aber nicht surjektiv 2 1.75 1.5 1.25 1 0.75 0.5 0.25 0.2
0.4
Bild 8.3
0.6
0.8
1
f2 (x) = x4
(iii) f3 ist surjektiv aber nicht injektiv 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.25
Bild 8.4
0.5
0.75
f3 (x) = sin x cos x =
1
1.25
1 sin 2x 2
1.5
11
Analysis I, K.Rothe, WiSe 2016/2017, H¨orsaal¨ ubung 2 (Beispielaufgaben 5-8) (iv) f4 ist bijektiv 70 60 50 40 30 20 10 -4
-2
Bild 8.5
2
f4 (x) = ex
4
12
