Kalte Und Dichte Quantengase

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Kapitel 15 Kalte und dichte Quantengase Der Übergang vom normalen zum entarteten Gas findet statt, wenn die Teilchen anfangen, sich zu überlappen. Das ist der Fall, wenn die thermische de-Broglie-Wellenlänge etwa dem mittleren Abstand zwischen den Teilchen entspricht. Entarte Elektronen-Gase findet man in sehr kalten Festkörpern oder in dichten weißen Zwergen. Entartete Neutronengase findet man in den noch viel dichteren Neutronensternen. Der Übergang zu einem entarteten FermiGas findet nicht durch einen scharfen Phasenübergang statt. Für ein System von identischen Bosonen ist die Situation eine andere. Man beobachtet einen Phasenübergang zwischen der normalen Gasphase und der kondensierten Tieftemperaturphase. 15.1 Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas Wir wollen die Eigenschaften eines nicht-relativistischen Fermi-Gases bei hinreichend tiefen Temperaturen oder bei hinreichend hohen Dichten etwas genauer untersuchen. Ausgangspunkt ist das Resultat für die mittlere Anzahl Teilchen in einem durch die Energie εi charakterisierten Einteilchenzustand, 1 n ¯ i = β(ε −µ) . (15.1) e i +1 Für T → 0 oder β → ∞ ist dies eine Stufenfunktion T →0 n ¯ i −→ θ(µ − εi ) (15.2) Am absoluten Temperatur-Nullpunkt sind alle Einteilchenzustände bis zur Fermi-Energie εF = µ besetzt und alle energetisch höher liegende Zustände unbesetzt. Die Fermi-Energie gibt die höchste Energie an, die ein Teilchen in einem Fermi-Gas haben kann, wenn das System in seinem Grundzustand ist. 178 15. Kalte und dichte Quantengase 15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas 179 n ¯i 1 εF εi Die Fermi-Energie definiert über die Energie-Impuls Beziehung den Fermi-Impuls εF = p2F . 2m (15.3) Das Resultat (14.66) für die (mittlere) Teilchendichte vereinfacht sich zu Z εF 2 N= D(ε)dε = D(εF )εF 3 0 und das Resultat (14.76) für innere Energiedichte des entarteten Fermi-Gases zu Z εF 2 εD(ε)dε = D(εF )ε2F . U= 5 0 (15.4) (15.5) Die Auflösung von (15.4) nach der Fermi-Energie führt zu folgender Beziehung zwischen Fermi-Energie und Teilchendichte n: εF = h2 2/3 n 8ma mit a =  gπ 2/3 6 , (15.6) beziehungsweise zwischen Fermi-Impuls und Teilchendichte h pF = √ n1/3 . 2 a (15.7) Die allgemeine Beziehung pV = 2U/3 ergibt mit (15.5) die thermische Zustandsgleichung am absoluten Temperatur-Nullpunkt: 2 h2 p = nεF = n5/3 . 5 20 ma (15.8) Der Druck des entarteten Fermi-Gases verschwindet also nicht wenn die Temperatur gegen Null strebt. Für T = 0 ist er proportional zur Potenz 5/3 der Dichte. Neben der Fermi-Energie und dem Fermi-Impuls führt man die Fermi-Temperatur, auch Entartungstemperatur genannt, ein kTF = εF bzw. TF = ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik h2 n2/3 8kma (15.9) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas 180 Teilchen in einem Ensemble der Temperatur TF haben im Mittel eine thermische Energie εF . Die Bedingung für starke Entartung ist offensichtlich T  TF . (15.10) Mit (15.9) schreibt sich diese Bedingung auch gemäß !2/3
2/3 TF 3π 1/2 3 = λdB n ≈ λ3dB n  1. T 4g (15.11) Die thermischen de Broglie Wellenlänge muss also deutlich größer als der typische Teilchenabstand sein, damit Entartung vorliegt. Nun erwärmen wir ein Fermi-Gas, wobei wir aber deutlich unterhalb der Fermi-Temperatur bleiben. Anstelle der Stufenfunktion als Verteilungsfunktion tritt dann eine „ausgewaschene Stufenfunktion“ wie in der Figur dargestellt. n ¯i 1 von oben na h unten: kT kT kT kT kT µ = µ/3 = µ/5 = µ/10 = µ/20 =0 εi /µ Für T > 0 sind nicht mehr alle Zustände mit Energien unterhalb µ besetzt. Umgekehrt gibt es besetzte Zustände mit Energien oberhalb µ. Sommerfeld-Entwicklung Bei endlichen Temperaturen sind das großkanonische Potential, die Teilchenzahl und die innere Energie (in beliebigen Dimensionen) proportional zu den Integralen Z ∞ Z ∞ βk εk−1 xk−1 1 (+) fk (z) = dε = dx, ϑ = βµ . (15.12) Γ(k) 0 eβ(ε−µ) + 1 Γ(k) 0 ex−ϑ + 1 (+) In diesem Abschnitt betrachten wir Fermionen und können das Plus-Symbol an fk sen. Wir betrachten hier etwas allgemeinere Integrale von der Form Z ∞ ϕ(x) Iϕ (θ) = dx x−ϑ e +1 0 ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik weglas- (15.13) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas 181 mit einer langsam variierenden Funktion ϕ und approximieren diese Integrale für tiefe Temperaturen β → ∞. Dies führt auf die Sommerfeld-Entwicklung in inversen Potenzen des bei tiefen Temperaturen großen Parameters ϑ = βµ für die Integrale fk . Zunächst wählen wir den Exponenten x − ϑ als neue Variable y, beziehungsweise setzen x = ϑ + y. Dann folgt Z 0 Z ∞ ϕ(ϑ + y) ϕ(ϑ + y) Iϕ (ϑ) = dy + dy . (15.14) y +1 e ey + 1 −ϑ 0 Im ersten Integral ersetzen wir y durch −y und benutzen dann 1 1 =1− y . −y 1+e e +1 (15.15) Danach finden wir Iϕ (ϑ) = Z ϑ 0 ϕ(ϑ − y) dy − Z ϑ 0 ϕ(ϑ − y) dy + ey + 1 Z ∞ 0 ϕ(ϑ + y) dy . ey + 1 Bis hierher haben wir noch nicht genähert. Nun wollen wir annehmen ϑ  1. Dann dürfen wir im zweiten Integral die obere Integrationsgrenze ϑ durch ∞ ersetzen, da der Integrand für große y exponentiell abfällt, und erhalten Z ϑ Z ∞ ϕ(ϑ + y) − ϕ(ϑ − y) dy + O(e−ϑ ) , (15.16) Iϕ (ϑ) = ϕ(z) dz + y +1 e 0 0 wobei wir im ersten Integral noch ϑ − y = z setzten. Für große ϑ dürfen wir auch die Funktion ϕ in Potenzen von y entwickeln, da nur Funktionswerte in der Umgebung von y = 0 zum Integral beitragen. Damit erhalten wir die Näherung Z ϑ Z ∞ 2n−1 X y 2 (2n−1) Iϕ (ϑ) ≈ ϕ(z) dz + ϕ (ϑ) dy . (15.17) (2n − 1)! ey + 1 0 0 n=1,2,3,... Das verbleibende Integral wird im Anhang ausgerechnet. Es ist proportional zu eine BernoulliZahl B2n : Z 2n−1
y (−1)n−1 2n−1 dy = 2 − 1 π 2n B2n . (15.18) y e +1 2n Die in den führenden Termen auftretenden Bernoulli-Zahlen sind 1 B2 = , 6 B4 = − 1 , 30 B6 = 1 . 42 Somit nimmt die Reihenentwicklung (15.17) folgende Form an: Z ϑ X (−1)n Iϕ (ϑ) ≈ ϕ(z) dz − π 2n (4n − 2) B2n ϕ(2n−1) (ϑ) . (2n)! 0 (15.19) (15.20) n≥1 Eingesetzt in die Entwicklung (15.17) erhalten wir Z ϑ π2 7π 4 000 31π 6 (5) Iϕ (ϑ) ≈ ϕ(z) dz + ϕ0 (ϑ) + ϕ (ϑ) + ϕ (ϑ) + . . . 6 360 15120 0 ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.21) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas Für die spezielle Wahl ϕ = xk−1 /Γ(k) ist Iϕ gleich dem gesuchten Integral fk und Z ϑ ϑk ϑ(k−m−1) ϕ(z) dz = und ϕ(m) (x)|x=ϑ = . Γ(k + 1) Γ(k − m) 0 182 (15.22) Setzen wir diese Resultate in (15.21) ein, dann erhalten wir die gesuchte Reihendarstellung       k X 2n ϑ k π 1 − . fk (ϑ) = (−1)n (4n − 2) · B2n (15.23) Γ(k + 1) ϑ 2n n≥1 Insbesondere haben die Funktionen f1/2 und f3/2 für große Argumente die Entwicklungen:   π2 1 7π 4 1 31π 6 1 ϑ3/2 1+ + + + ... , (15.24) f3/2 (ϑ) = Γ(5/2) 8 ϑ2 640 ϑ4 3072 ϑ6   ϑ5/2 5π 2 1 7π 4 1 155π 6 1 f5/2 (ϑ) 1+ − − + ... . (15.25) Γ(7/2) 8 ϑ2 384 ϑ4 21504 ϑ6 Die mittlere Teilchenzahl ist nun offensichtlich gV gV ϑ3/2 N = 3 f3/2 (ϑ) = 3 λdB λdB Γ(5/2)  π2 1 1+ + ... 8 ϑ2  . Für das großkanonische Potential finden wir entsprechend   gV gV ϑ5/2 5π 2 1 J = −kT 3 f5/2 (ϑ) = −kT 3 1+ − . . . . 8 ϑ2 λdB λdB Γ(7/2) (15.26) (15.27) Wir müssen noch das chemische Potential in ϑ = βµ durch die Teilchenzahl bzw. die Teilchenzahldichte ersetzen. Dazu dividieren wir (15.26) durch V und erhalten die Beziehung   π2 1 Γ(5/2) 3 3/2 ϑ 1+ + ... = λdB n ≡ `3 n . (15.28) 2 8 ϑ g wobei wir, um die Notation einfach zu halten, die Hilfslänge ` ∝ λdB einführten. Diese formale Potenzreihe in 1/ϑ2 invertieren wir bis zur gewünschten Ordnung und erhalten ϑ als Potenzreihe in (`3 n)−4/3  1: ϑ = (`3 n)2/3 − π2 1 π4 1 − ... . 12 (`3 n)2/3 80 (`3 n)2 (15.29) Nun ersetzen wir ϑ in der Entwicklung (15.27) für das großkanonische Potential um den Druck als Funktion der Teilchendichte, also die thermische Zustandsgleichung zu gewinnen,   2 3 2/3 π 2 1 π4 1 p = kT n (` n) + − + ... . (15.30) 5 6 (`3 n)2/3 40 (`3 n)2 Mit der für ideale Quantengase gültigen Relation 3pV = 2U gewinnen wir die Abhängigkeit der inneren Energie von der Teilchendichte, d.h. die kalorische Zustandsgleichung :   3 3 2/3 π 2 1 3π 4 1 U = kT N (` n) + − + ... . (15.31) 5 4 (`3 n)2/3 80 (`3 n)2 ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.1. Nicht-relativistisches entartetes Fermi-Gas 183 Die Entropie ist proportional zur Ableitung des großkanonischen Potentials bei konstantem chemischen Potential,     ∂J V 5/2 π 2 1 7π 4 1 31π 6 1 S=− =k 3ϑ − − + ... . (15.32) ∂T µ,V ` 2 ϑ2 240 ϑ4 1792 ϑ6 Setzen wir für ϑ wieder die Reihenentwicklung (15.29) ein, dann finden wir   2 1 2π 4 1 1 π 247 − + ... . S = kN − 2 (`3 n)2/3 40 (`3 n)2 315 (`3 n)10/3 (15.33) Für sehr kleine Temperaturen dominiert der erste Term, und S ≈ kN π2 1 ∝T. 2 (`3 n)2/3 (15.34) In Übereinstimmung mit dem dritten Hauptsatz verschwindet die Entropie am absoluten Nullpunkt der Temperatur. In führender Ordnung ist die Wärmekapazität CV = T (∂S/∂T )V,N gleich der Entropie und verschwindet ebenfalls linear mit der Temperatur. Übung: Ersetzen wir die Dichte durch die Fermi-Energie, dann vereinfachen sich einige Resultate. Zeige, dass !     εF π 2 kT 2 π 4 kT 4 (15.35) ϑ= − − ... . 1− kT 12 εF 80 εF Zeige weiterhin, dass daraus folgende Entwicklung für den Druck p = −J/V folgt, !     2 5π 2 kT 2 π 4 kT 4 p = nεF 1 + − − ... . 5 12 εF 16 εF (15.36) Beim Studium des Verhaltens eines Fermi-Gases über den gesamten Temperaturbereich muss man die auftretenden Integrale fk numerisch berechnen. Man kann zum Beispiel wie folgt vorgehen. Zuerst bestimmt man die Werte {n} für vorgegebene Werte {ϑ} mit Hilfe der Relation 1 n = 3 f3/2 (ϑ) . (15.37) λdB Für jedes ϑ muss dazu das Integral f3/2 (ϑ) berechnet werden. Nun bestimmen wir für jedes ϑ den Druck kT p = 3 f5/2 (ϑ) , (15.38) λdB ebenfalls mit Hilfe einer numerischen Integration. Für jedes ϑ kennen wir damit die Dichte n und den Druck p und dies ergibt die gesuchte Abbildung n → p für jedes gewählte ϑ. In der folgenden Figur sind die Integrale Z 1 xk−1 fk = dx (15.39) Γ(k) ex−θ + 1 für k = 3/2 und k = 5/2 geplottet. ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.2. Fermi-Gase in Metallen 184 f5/2 f3/2 5 ϑ −2 0 2 Die folgende Figur zeigt die thermische Zustandsgleichung für das Fermigas. Neben der numerischen Lösung sind auch die Näherungen O(n5/3 ) in grau, O(n1/3 ) in grün und O(n−1 ) in blau eingezeichnet. (15.30) p [kT /ℓ3 ] 10 numeris h   bis O n5/3 f  bis O n1/3 f  bis O n−1 f 8 6 4 2 nf [1/ℓ3 ] 0 15.2 1 2 3 4 5 Fermi-Gase in Metallen Alkalimetalle besitzen pro Atom ein Valenzelektron, das im Metall zu einem quasi-freien Leitungselektron wird. Die Konzentration der Leitungselektronen ist somit durch die Konzentration der Atome bestimmt. Wenn wir annehmen, dass sich die Leitungselektronen in guter Näherung wie ein ideales Elektronengas verhalten, dann finden wir für die Fermi-Energie εF =
2/3 2/3 ~2 3π 2 ne . 2m ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.40) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.2. Fermi-Gase in Metallen 185 und daraus den Fermi-Impuls und die Fermi-Geschwindigkeit vF = (2εF /m)1/2 sowie die Entartungstemperatur TF = εF /k. Beispiele sind in der folgenden Tabelle zusammengestellt. Da die Entartungtemperatur typisch einige zehntausend Grad ist, ist für Zimmertemperaturen die Tieftemperaturnäherung T /TF  1 eine sehr gute Näherung. Li Na K Rb Cs Cu Ag Au ne [1022 cm−3 ] 4.60 2.50 1.34 1.08 0.86 8.50 5.76 5.90 vF [108 cm s−1 ] 1.30 1.10 0.85 0.79 0.73 1.56 1.38 1.39 εF [eV] 4.7 3.1 2.1 1.8 1.5 7.0 5.5 5.5 TF [104 K] 5.5 3.7 2.4 2.1 1.8 8.2 6.4 6.4 Die spezifische Wärme bei konstantem Volumen ist die Summe der Beträge von den Elektronen und den Rumpfatomen, die zu Schwingungen im Gitter fähig sind. Bei niedrigen Temperaturen erwarten wir CV = AT + BT 3 + . . . , (15.41) Der Term linear in der Temperatur ist der Elektronenanteil und der kubische Term ist im wesentlichen der Beitrag der Gitterschwingungen. Für ein ideales Fermi-Gas mit g = 2 ist A= π2 N kTF−1 . 2 (15.42) Die folgende Tabelle zeigt den Vergleich zwischen den gemessenen Werten von A und den Werten für ein ideales Fermi-Gas. Li Na K Rb Cs Cu Ag Au A [mJ mol−1 K−1 ] 1.630 1.380 2.080 2.410 3.200 0.695 0.646 0.729 AR mJ mol−1 K−1 ] 0.75 1.14 1.69 1.97 2.36 0.50 0.65 0.65 A/AF 2.17 1.21 1.23 1.22 1.35 1.39 1.00 1.13 Man findet eine qualitativ gute Übereinstimmung zwischen den Werten A und AF . Die Abweichungen vom idealen Verhalten rühren von der Elektron-Elektron-Wechselwirkung sowie der Elektron-Gitter-Wechselwirkung her. ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.3 15.3. Weisse Zwerge 186 Weisse Zwerge In der Astrophysik werden Sterne im Hertzsprung-Russell-Diagramm eingeordnet, in dem die absolute Helligkeit MV über der inversen Temperatur dargestellten Spektralklassse aufgetragen wird. Die meiste Zeit ihres Lebens verbringen Sterne auf der Hauptreihe, in der sich auch unsere Sonne, ein gewöhnlicher G-Stern, befindet. Bei einem Hauptreihenstern sind der Gravitationsdruck, der den Stern zusammendrückt, und der Druck des heißen Gases im Gleichgewicht. Es werden jedoch auch weitere Objekte beobachtet – die sogenannten weißen Zwerge – die nicht durch den gewöhnlichen Gasdruck stabilisiert werden können, da deren Gravitationsdruck viel größer als der Gasdruck ist. Zum Beispiel hat Sirius B, der von W. A DAMS im Jahre 1925 als kompaktes Objekt identifizierte Begleiter von Sirius A, bei immerhin 1.05 Sonnenmassen einen Radius von nur 5160 km oder von 0.0074 Sonnenradien. Trotzdem beträgt seine effektive Temperatur nur Teff ≈ 27 000 0 K. Die Stabilität der weißen Zwerge war ein Rätsel, das von der klassischen Physik nicht gelöst werden konnte sondern erst von der Quantenphysik und zwar mit den Methoden der Quantenstatistik. Die Erklärung der Stabilität geht auf F OWLER zurück, der zeigte, dass der Nullpunkts-Druck des Elektronengases – ein reiner Quanteneffekt – für die Stabilität der weißen Zwerge verantwortlich ist. Die chemische Zusammensetzung von weißen Zwergen variiert und ist noch nicht in allen Details bekannt. Zum Beispiel haben viele Kerne von planetarischen Nebel, dies sind weiße Zwerge in ihrer Frühphase, keinen Wasserstoff mehr. Wenn weiße Zwerge abkühlen beginnen sie zu kristallisieren. Die Kühlrate ist allerdings so langsam, dass die Zeit zur Bildung eines kristallinen Festkörper sehr groß ist. Befindet sich ein kugelsymmetrischer Zwerg im hydrostatischen Gleichgewicht, dann ist dp(r) GM (r) =− ρ(r). dr r2 (15.43) Es sei p¯ der mittlere Druck, ρ¯ die mittlere Dichte und R der Radius des Zwergs. Dann gelten dp(r) p¯ ≈− dr R und ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik GM (r) GM ρ(r) ≈ 2 ρ¯ 2 r R (15.44) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.3. Weisse Zwerge 187 Es folgt dann p¯ GM ρ¯ p¯ Rs ≈ =⇒ f (¯ ρ, T ) ≡ 2 ≈ , 2 R R ρ¯c R wobei Rs = 2GM c2 (15.45) der Schwarzschildradius des weißen Zwerges ist. Kollabiert ein Stern bis zu seinem Schwarzschildradius dann ist die Fluchtgeschwindigkeit v 2 = 2GM/R gerade gleich der Lichtgeschwindigkeit. Der Faktor Rs /R in (15.45) ist ein Maß für die Rotverschiebung eines Photons, dass von der Oberfläche des Zwerges abgesandt wird. Das Verhältnis f (¯ ρ, T ) von Druck und Ruhemassendichte in (15.45), charakterisiert die Kompaktheit eines gravitativen Körpers. Es ist ≈ 10−6 für die Sonne, ≈ 10−4 für weiße Zwerge und ≈ 1 für Neutronensterne. Wird die Dichte eines Gases erhöht, dann nimmt der mittlere Abstand a zwischen den Atomen ab. Die Elektronen können dann von Atom zu Atom tunneln und dies führt zu einer Verbreiterung der Energieniveaus. Das Linienspektrum geht in ein Kontinuum über und wenn a kleiner als der Radius der K-Schale = C a0 /Z (mit Bohrradius a0 ) wird, dann werden die Atome ionisiert. Der mittlere Abstand zwischen den Atomen wird durch die Massendichte % bestimmt, so dass die Bedingung für Ionisation lautet   Amp Z 3 Amp , (15.46) %= 3 ≥ 3 a C a0 wobei A die Massenzahl und mp die Protonenmasse bezeichnen. Für Dichten größer als A Z4 · 10 g/cm3 , (15.47) Z C3 ist die Materie vollständig ionisiert und bildet ein Elektron-Kern Plasma. Quantenmechanische Rechnungen ergeben den Wert C ≈ 6. %0 = Zur Entartung des Kern- und Elektronengases: In einer ersten Näherung behandelt man die Elektronen und Kerne als Gas von nicht-wechselwirkenden Fermionen. Es sei N die Anzahl Teilchen im Volumen V . Für ein ideales klassisches Gas bei Temperatur T ist die Anzahl Teilchen in einer Impulsschale λ3dB −p2 /2mkT e 4πp2 dp. h3 Elektronen gehorchen dem Pauliprinzip und deshalb ist ihre maximal mögliche Anzahl im räumlichen Volumen V und Impuls-Intervall [p, p + dp ] proportional dem Volumen der Impulsschale, dNB = N V 2 · 4πp2 dp . (15.48) h3 Der Faktor 2 berücksichtigt den Elektronenspin. Für kleine Energien E  kT hat dNmax ≈ p2 dp die gleiche Impulsabhängigkeit wie dNB . Damit die klassische Boltzmannverteilung überhaupt realisiert werden kann muss offensichtlich gelten dNmax = dNB dNmax ≤ dp dp bzw. ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik N λ3dB ≤ 2V 15. Kalte und dichte Quantengase 15.3. Weisse Zwerge 188 Das Gleichheitszeichen markiert die Grenze zwischen dem klassischen idealen-Gas Verhalten und dem entarteten Fermigas. Diese wird erreicht für n∗ = N∗ 2 = 3 . V λdB (15.49) Für ein Elektronengas ist die Grenzdichte n∗e = 4.8 · 1015 T 3/2 cm−3 (T in 0 K). (15.50) Im Zentrum von Sirius B ist Tc ≈ 2.2 · 107 0 K und deshalb n∗e ≈ 5 · 1026 cm−3 . Die zentrale Massendichte in Sirius B ist %c ≈ 3.3 · 107 g/cm3 und ergibt ne ≈ 2 %c ≈ · 1031 cm−3 . Amp A Die Elektronendichte ne ist viel größer als die Grenzdichte n∗e . Die Elektronen in einem weißen Zwerg sind also in guter Näherung vollständig entartet. Sie werden durch das Pauli-Verbot zu höheren Impulsen gezwungen als der Maxwell-Boltzmann Verteilung entspräche. Für die Protonen ist die Grenzdichte größer als np ≈ ne , n∗p =  m 3/2 p m n∗e ≈ 4.5 · 1031 cm−3 , und deshalb können wir sie als nicht-entartetes klassisches Gas behandeln.. Die Dichte des vollständig entarteten Elektronengases ist proportional zur dritten Potenz des Fermi-Impulses, 8π ne = 3 h Z 0 pF 8π pF p dp = 3 p3F =⇒ = 3h me c 2  Z%6 A 1/3 , %6 = % 106 g/cm3 . (15.51) Der Fermi-Impuls wächst mit zunehmender Dichte. Im Zentrum von Sirius B ist der FermiImpuls der Elektronen etwa me c. Dies bedeutet, dass nahe der Fermi-Kante die Elektronen relativistisch sind. Für relativistische Elektronen ist die Beziehung zwischen Impuls und Energie ε2 − (pc)2 = (mc2 )2 =⇒ dε p = c2 . dp ε (15.52) Die Änderung der Energie-Impuls-Beziehung gegenüber der nichtrelativischen Näherung εp = p 2 /2m hat physikalische Konsequenzen. ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.3.1 15.3. Weisse Zwerge 189 Das entartete relativistische Elektronengas Das Pauli-Prinzip spielt eine wesentliche Rolle um weiße Zwerge gegen den Gravitationskollaps zu stabilisieren. Wir müssen die Elektronen deshalb als Quantengas behandeln und die Maxwell-Boltzmann Verteilung durch die Dirac-Fermi Verteilung ersetzen. Wir haben auch gesehen, dass die Elektronen in einem weißen Zwerg relativistisch sein können. Wir werden also die relativistische Beziehung (15.52) zwischen Energie und Impuls zugrunde legen. Ausgangspunkt unserer Untersuchungen sind die Formeln Z   8πV J = −kT log Zβ,µ = −kT 3 dp p2 log 1 + eβ(µ−εp ) h Z ∂J 8πV p2 N = − = 3 dp ∂µ h 1 + eβ(ε−µ) (15.53) (15.54) für das großkanonische Potential und die mittlere Teilchenzahl. Der erste Faktor in der Impulsverteilung     8πp2 V 1 dN = · dp (15.55) h3 1 + eβ(εp −µ) ist die maximale Zahl der Phasenraumzellen und der zweite Faktor ist der Auffüllfaktor. Für T → 0 ist er entweder 0 oder 1, je nach Vorzeichen von ε − µ, dN T →0 8πp2 V −→ θ(µ − εp ) dp h3 (15.56) Alle Impulseigenzustände mit εp ≤ µ sind besetzt und alle Zustände mit höherer Energie bleiben unbesetzt. Das chemische Potential ist also gleich der Fermi-Energie, µ = εF . (15.57) Die Impulse mit εp = εF liegen auf der Fermi-Fläche und wie für nicht-relativistische Fermionen ist dies eine Kugeloberfläche. Alle Zustände innerhalb der Kugel sind besetzt, alle Zustände außerhalb der Kugel sind unbesetzt. Damit ist die Teilchenzahldichte für T = 0 gegeben durch ne =  p 3 Amp 8π 3 F p =⇒ % = n = % , e ∗ h3 F Z mc %∗ = 106 A g · . Z cm3 (15.58) Diese Beziehung erlaubte es uns, den Fermi-Impuls der Elektronen durch die im Wesentlichen von den Kernen herrührende Massendichte auszudrücken. Zustandsgleichung: Nach einer partiellen Integration in (15.53) finden wir für den Druck des Fermi-Gases Z 8π dε/dp pe = 3 p3 dp. (15.59) 3h 1 + eβ(ε−µ) ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.3. Weisse Zwerge 190 Nach unseren früheren Abschätzungen sind Elektronen in weißen Zwergen hochgradig entartet und der Druck rührt im Wesentlichen von deren Nullpunktsbewegung. Wir setzen im Folgenden also T = 0. Für das vollständig entartete Elektronengas mit relativistischer EnergieImpuls-Beziehung ist dann Z pF p4 c2 8π p dp. pe = 3 3h 0 m2e c4 + p2 c2 Wir setzen x = p/me c und erhalten Z pe = p∗ xF 0 8x4 = p∗ · f (xF ), (1 + x2 )1/2 (15.60) wobei p∗ proportional zum Compton-Druck ist, p∗ = 1 me c2 dyn ≈ 6 · 1015 . 24π 2 λ3e cm2 (15.61) Nun können wir den reskalierten Fermi-Impuls xF = pF /mc mit Hilfe von (15.58) durch die Massendichte ersetzen und erhalten   (15.62) pe = p∗ · f (%/%∗ )1/3 . Für nicht-relativistische und relativistische Fermi-Impulse findet man folgende Entwicklungen für pe /p∗ : pe p∗    % 5/3 4 % 7/3 ∼ − + ... %∗ 7 %∗  4/3  2/3 % % ∼ 2 −2 + ... %∗ %∗ 8 5  xF  1 xF  1. (15.63) Der Druck in einem weißen Zwerg kommt von der Nullpunktsbewegung der leichten Elektronen, so dass p ≈ pe . Die Masse kommt dagegen von den schweren Kernen. Masse-Radius Beziehung Für %  %∗ oder %  %∗ erhalten wir in guter Näherung polytrope Zustandsgleichungen K 1+1/n dp K d% p= % =⇒ = %1/n . (15.64) n+1 dr n dr Für kleine Sterndichten bzw. nicht-relativistische Elektronen ist der Polytropenindex n = 3/2 und für große Sterndichten bzw. relativistische Elektronen ist n = 3. Es sei nun M (r) die Masse innerhalb des Radius r. Die Massenerhaltung dM (r) = 4πr2 %(r) dr (15.65) zusammen mit der hydrodynamischen Gleichgewichtsbedingung dp(r) GM (r) =− %(r) dr r2 ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.66) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.3. Weisse Zwerge ergeben die Differentialgleichung   d r2 dp d = −G M = −4πGr2 %. dr % dr dr 191 (15.67) Nach der Variablenänderung % = %c y n führt die Zustandsgleichung (15.64) auf 1 dp dy = K%1/n . c % dr dr (15.68) Reskalieren wir noch die radiale Variable gemäß r= α %(1−n)/n x, c α=  K 4πG 1/2 dann ergibt sich die bekannte Emden’sche Differentialgleichung   1 d 2 dy x = −y n . x2 dx dx , (15.69) (15.70) Analytische Lösungen sind bekannt für n = 0, 1 und 5. Eine Randbedingung ist offensichtlich y(x = 0) = 1. Um reguläre Lösungen zu erhalten fordern wir zusätzlich y 0 (x = 0) = 0. Man kann zeigen, dass für n < 5 die reskalierte Dichte y(x) eine Nullstelle x0 besitzt. Diese definiert den Sternradius R = αx0 . Benutzt man die Emden’sche Differentialgleichung dann findet man für die Massenfunktion Z r M (r) = 4π r2 %(r)dr = −4πα3 %c(3−n)/2n x2 y 0 (x). (15.71) 0 Die Gesamtmasse des Sterns ist M = −4πα3 %c(3−n)/2n x20 y 0 (x0 ) (15.72) Der Sternradius R = α%c(1−n)/2n x0 (15.73) bestimmt offensichtlich die Massendichte in Zentrum des Zwergs, %c = %c (R, x0 ). Diese Beziehung setzen wir in (15.72) ein und erhalten   K n/(n−1) (1+n)/(n−1) 0 x0 y (x0 )R(3−n)/(1−n) . (15.74) M = −4π 4πG Es folgt R3−n ∝ M 1−n oder dR 1 − n −2/(3−n) ∝ M . dM 3−n (15.75) Für weiße Zwerge ist 1 < n < 3 und für diese Werte des Polytropenindex n nimmt der Radius mit zunehmender Masse ab, dR < 0. dM ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.76) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.3. Weisse Zwerge 192 Kleine Dichten: Für Zwerge mit Dichten klein gegenüber %∗ sind die Elektronen nicht-relativistisch und der Nullpunktsdruck 8 p ≈ pe = p∗ 5  % %∗ 5/3 3 =⇒ n = , 2 K= 4p∗ 5/3 %∗ , nimmt relativ schnell mit der Dichte zu. Von der numerischen Lösung der Emdenschen Differentialgleichung findet man x0 = 3.65 und x20 y 0 (x0 ) = −2.71. Eingesetzt in (15.74) ergibt sich −3  5  2Z R M = 0.70 MSonne . (15.77) 104 km A √ Nach (15.72) wächst die Masse mit zunehmender Dichte gemäß M ∼ %c , bis die Dichte %∗ erreicht ist. Mit zunehmender Masse schrumpft der weißer Zwerg. Große Dichten: Für große Dichten (% ≥ %∗ ) werden die Elektronen im Zentrum ultra-relativistisch und der Nullpunktsdruck wächst langsamer mit der Dichte an, als für nicht-relativistische Elektronen,  4/3 % 8p∗ p ≈ pe = 2p∗ , n = 3, K = 4/3 . %∗ %∗ Von der numerischen Lösung der Emden’schen Gleichung findet man x0 = 6.90 und x20 y 0 (x0 ) = −2.02. Eingesetzt in (15.74) ergibt sich  2 2Z MCh = 1.46 MSonne . (15.78) A Für hohe Dichten ist die Masse also unabhängig von der zentralen Dichte und erreicht eine obere Grenze, die Chandrasekhar Masse MCh . Der Radius ist dann  −1/3  2/3 %c 2Z 4 R = 3.35 · 10 km. (15.79) 3 6 A 10 g/cm Für %c → ∞ werden alle Elektronen relativistisch und die Masse strebt gegen die Chandrasekhar Grenzmasse MCh . Diese hängt nur vom Verhältnis A/Z ab. Werden relativistische Elektronen dichter gepackt, können sie weniger Masse tragen als vorher. Im Falle einer Störung kann der zusätzliche Fermi-Druck das Mehr an Gravitationsdruck nicht ausgleichen. Die Kompression setzt sich fort, bis mit einem Neutronenstern oder schwarzem Loch ein neuer Gleichgewichtszustand erreicht ist. Löst man sich von der Polytropennäherung, dann findet man ganz ähnliche Resultate. Im Grenzfall εF (r = 0) → ∞ erhält man die Grenzmasse  2 2Z MCh ≈ 1.463 · MSonne . (15.80) A ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation 193 Für 56 Fe (mit 26 Protonen) ist MCh ≈ 1.26 MSonne . Bei einer genaueren Behandlung der weißen Zwerge berücksichtigt man noch die den negativen Druckbeitrag durch die Coulomb-Kräfte der Ionen und Temperatureffekte aufgrund der nicht vollständigen Entartung. Der Wert der Grenzmasse ändert sich nur unwesentlich. 15.4 Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation Das entartete Bose-Gas zeigt ein qualitativ anderes Verhalten als das entartete Fermi-Gas. Die mittlere Anzahl Teilchen im Zustand mit Energie εi , n ¯i = 1 eβ(εi −µ) −1 (µ < 0) (15.81) strebt für alle εi > 0 gegen Null wenn die Temperatur gegen Null strebt. Also halten sich bei tiefen Temperaturen die Teichen in den energetisch niedrigsten Zuständen mit εi → 0 auf. Wir erwarten, dass bei festgehaltener Teilchendichte das chemische Potential für T → 0 sehr klein wird, exp(−βµ) ≈ 1 und der Grundzustand mit einer makroskopischen Anzahl von Teilchen besetzt wird. Beim Übergang von den Summen X X X n ¯i, εi n ¯ i oder Ji (15.82) i zu den entsprechenden Integralen über die Impulse der Einteilchenzustände im Grenzfall V → ∞ ist nun Vorsicht geboten. Die Zustandsdichte ist proportional zu ε1/2 und bei einem sorglosen Übergang zum Integral über die Einteilchen-Energien fallen die Zustände mit verschwindender Energie heraus. Um dies zu verhindern zerlegen wir die Summe über einen Beitrag von der mittleren Anzahl Teilchen im Grundzustand und dem Beitrag der Gasteilchen in den angeregten Zuständen, X N = N0 + Ng , Ng = n ¯i . (15.83) i,εi >0 Der erste Beitrag ist N0 = g e−βµ − 1 =g z , 1−z  z = eβµ < 1  (15.84) während der zweite Term der normalen Materie wieder in gewohnter Weise in ein Integral überführt werden kann, so dass ng = Ng g (−) = 3 f3/2 (z) . V λdB Die Tatsache, dass das Bose-Integral Z ∞ X zn 1 xk−1 (−) fk (z) = dx = Γ(k) 0 ex−ϑ − 1 nk n ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.85) (z < 1) (15.86) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation 194 bei x = 0 beginnt ist unproblematisch, da für k > 1 der Integrand am Ursprung verschwindet. Die Bose-Integrale wachsen monoton zwischen 0 und 1 und divergieren für z > 1. Sie erreichen ihr Maximum bei z = 1, wo sie den Wert fk (1) = ζR (k) annehmen (wir schreiben nun f anstelle von f (−) ). Die Funktionen mit k ≤ 2 haben bei z = 1 eine vertikale Tangente. In der folgenden Abbildung sind die Bose-Integrale f3/2 und f5/2 geplotted. Bose-Integrals (−) 2.6124 f3/2 1.3415 f5/2 2.4 2.0 (−) 1.6 1.2 0.8 0.4 z 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Mit f3/2 ist auch die Dichte der Teilchen in den angeregten Zuständen nach oben beschränkt g ng ≤ nmax = 3 ζR (3/2) ∝ T 3/2 . (15.87) λdB Überschreitet die Teilchendichte n die Grenzdichte nmax , dann müssen die überzähligen Teilchen den Grundzustand bevölkern. Für diesen Zustand gibt es keine obere Grenze für die Teilchenzahl. Für n > nmax erhalten wir eine untere Schranke für die Dichte der Teilchen im Grundzustand: n0 = n − ng ≥ n − nmax . (15.88) Für genügend große Dichten oder genügend tiefe Temperaturen wird ein makroskopische große Anzahl von Atomen in Grundzustand kondensieren. Wegen (15.84) ist für eine makroskopisches N0 die Fugazität ganz nahe bei 1, z= 1 g ≈1− . 1 + g/N0 N0 (15.89) Im thermodynamischen Grenzfall divergiert bei konstanter Kondensatdichte n0 > 0 die Anzahl Teilchen im Grundzustand und z strebt gegen 1. Gleichzeitig nimmt ng seinen maximalen Wert nmax an. Die Bedingung ! n = nmax = gζR (3/2) ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (2πmkT )3/2 h3 (15.90) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation 195 unterscheidet die Phase ohne und mit Kondensation im Grundzustand und definiert bei gegebener Dichte die kritische Temperatur h2 Tc = 2πkm  n g ζR (3/2) 2/3 , (15.91) unterhalb welcher die Bose-Einstein Kondensation im Grundzustand einsetzt. Eine interessante Größe ist die relative Häufigkeit der Kondensatteilchen für T < Tc . Die Teilchendichte ist 3/2 nach (15.91) proportional zu Tc und nmax ist nach (15.87) proportional zu T 3/2 . Deshalb gilt n − ng n0 = n n V →∞ −→ 1 − nmax =1− n  T Tc 3/2 . (15.92) Das Kondensat trägt offensichtlich nicht zur inneren Energie bei und wir können in bekannter Weise von der Summen- zur Integration übergehen, so dass U= 3kT gV f (z) ∝ T 5/2 . 2 λ3dB 5/2 (15.93) Für hohe Dichten dürfen wir f5/2 durch ζR (5/2) nähern. Zustandsgleichung Die kondensierten Teilchen haben verschwindenden Impuls und liefern keinen Betrag zu Druck. Deshalb gilt weiterhin die Relation pV = 2U/3, so dass p g = 3 f5/2 (z) . kT λdB (15.94) In der kondensierten Phase mit z = 1 ist der Druck dann unabhängig von der Teilchendichte, p g = 3 ζR (5/2) . kT λdB (15.95) In der Gasphase können wir jedem negativen Wert der Fugazität mit (15.85) das (mit der Temperatur) reskalierte Volumen je Teilchen 1/(nλ3dB ) und mit (15.94) den (mit der Temperatur) reskalierten Druck pλ3dB /kT zuordnen. Ähnlich wie für das klassische ideale Gas liegen diese Größen auf einer universellen Kurve, die in der folgenden Abbildung gezeigt ist. Zum Vergleich haben wir die entsprechende Kurve für das klassische ideale Gas geplotted. ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation 196 pλ3dB /kT klassis hes ideales Gas 2 Phasenübergang ζR (5/2) 1 Gasphase kondensierte 0.5 Phase 1/ζR (3/2) 1.0 1.5 2.0 V /(N λ3dB ) Wir sehen hier sehr schön das nicht-klassische Verhalten für hohe Drucke. Spezifische Wärme Aus der Wärmekapazität des Gases erkennen wir, dass die Temperatur Tc einen thermodynamischen Phasenübergang kennzeichnet. Zur Bestimmung der Wärmekapazität benutzen wir das großkanonische Potential. Zuerst berechnen wir die Entropie aus   ∂J , (15.96) S=− ∂T V,µ und aus der Entropie dann die Wärmekapazität   ∂S CV = T . ∂T V,N (15.97) Da hier die Konstanz der Teilchenzahl explizit gefordert wird, lässt sich die Wärmekapazität nicht direkt als zweite Ableitung von J bestimmen, da J das chemische Potential und nicht die Teilchenzahl als Argument hat. Dieser Umstand wird durch einen Korrekturterm berücksichtigt, und man erhält die Wärmekapazität ganz allgemein       ∂S ∂N 2 ∂N −1 CV = T −T . (15.98) ∂T V,µ ∂T T,µ ∂µ T,V Wir wollen diese allgemeine und nützliche Formel beweisen. Dazu leiten wir S(T, N, V ) = S (T, µ(T, N, V ), V ) ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.99) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation nach bei festem Volumen und fester Teilchenzahl nach T ab,         ∂S ∂µ ∂S ∂S = + . ∂T V,N ∂T V,µ ∂µ T,V ∂T V,N 197 (15.100) Benutzen wir hier die Maxwell-Relation     ∂S ∂N = ∂µ T,V ∂T V,µ (15.101) für den zweitletzten Term, dann finden wir       ∂µ ∂N ∂S +T . CV = T ∂T V,µ ∂T V,µ ∂T V,N (15.102) Um den letzten Faktor umzuformen, betrachten wir       ∂N ∂N ∂N dT + dV + dµ dN = ∂T V,µ ∂V T,µ ∂µ T,V (15.103) für konstante Teilchenzahl und Volumen, d.h. für verschwindende dN und dV . Nach Division der resultierenden Relation durch dT ergibt sich       ∂N ∂µ ∂N + . (15.104) 0= ∂T V,µ ∂µ T,V ∂T V,N Damit können wir den letzten Faktor in (15.102) durch Ableitungen der mittleren Teilchenzahl ausdrücken, und erhalten die gesuchte Relation (15.98). Man beachte, dass das großkanonische Potential und die zugehörige Entropie gV f5/2 (z) λ3dB   gV 5 µ S = S0 + k 3 f5/2 (z) − f (z) kT 3/2 λdB 2 = J0 − kT J (15.105) (15.106) Kondensatbeiträge aufweisen, J0 = kT g log(1 − z) und S0 = k  µ J0 N0 − kT kT  , (15.107) ähnlich wie die Teilchenzahl N = N0 + g f3/2 (z), λ3dB N0 = gz 1−z (15.108) einen Kondensatanteil N0 aufweist. Wir wollen uns noch davon überzeugen, dass im thermodynamischen Limes die Kondensatbeiträge J0 und S0 langsamer als die Teilchenzahl und bei ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.4. Entartetes Bose-Gas und Bose-Einstein Kondensation 198 konstante Dichte dann auch langsamer als das Volumen anwachsen. Für große N0 folgt aus der Beziehung N0 = N0 (z) nämlich sofort g log(1 − z) = log − O (g/N0 ) N0 µ N0 = −g + O (g/N0 ) kT Die Beiträge von den Teilchen in den angeregten Zuständen sind extensiv und wachsen linear mit dem Volumen. Im thermodynamischen Limes für die Dichten J0 /V und S/V tragen die Kondensate dann nicht mehr bei. In der Gasphase gibt es auch in endlichen Systemen keine Kondensatbeiträge und mit Hilfe der Rekursionsrelation (14.72) erhält man ! 2 15k gV 3 f3/2 (z) CV = f5/2 (z) − für T > Tc . (15.109) 4 λ3dB 5 f1/2 (z) Im klassischen Grenzfall z → 0 strebt fk (z) gegen z und deshalb konvergiert die spezifische Wärme gegen den klassischen Wert   CV 15k f5/2 (z) 3 f3/2 (z) 3k CV = = − −→ . (15.110) N nV 4 f3/2 (z) 5 f1/2 (z) 2 In den kondensierten Phase entwickeln wir die Wärmekapazität in (15.98), worin wir die Potenziale J und S in (15.105) und (15.106) benutzen, in Potenzen von 1/V (dabei wird auch die Volumenabhängigkeit von z benötigt) und erhalten im thermodynamischen Grenzfall das einfache Resultat 15k gV CV = ζ(5/2) . (15.111) 4 λ3dB Division durch die Teilchendichte, ausgedrückt durch die kritische Temperatur, ergibt   CV 15k ζR (5/2) T 3/2 = für T < Tc . (15.112) N 4 ζR (3/2) Tc Die folgende Abbildung zeigt einen qualitativen Plot der spezifischen Wärme. CV /kN 3 2 1 ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik T /Tc 15. Kalte und dichte Quantengase 15.5. Hohlraumstrahlung 199 Der Knick bei Tc weist darauf hin, dass die Bose-Einstein-Kondensation ein thermodynamischer Phasenübergang ist. 15.4.1 Ultrakalte Gase Flüssiges 4 He geht unterhalb des λ-Punktes, bei etwa 2, 2 K, in den superfluiden Zustand über. Eine 4 He-Atom besteht aus 2 Protonen und 2 Neutronen und ist daher als Ganzes betrachtet ein Boson. Daher war es naheliegend, eine Verbindung zwischen der Bose-EinsteinKondensation und der Superfluidität von 4 He anzunehmen. Wenn man für die Dichte von 4 He % ≈ 145 kg m−3 und für die Atommasse m ≈ 4 m ansetzt, erhält man (15.91) eine Wert p von etwa 3, 1 K, was sehr dicht am tatsächlichen Wert des Übergangs zur Superfluidität ist. Allerdings kann 4 He nicht als ideales Bose-Gas beschrieben werden, da die Teilchendichte so hoch ist, dass die Wechselwirkung zwischen den Helium-Atomen nicht vernachlässigt werden kann. Tatsächlich gibt es viele Diskrepanzen zwischen den Eigenschaften von suprafluiden 4 He und den Vorhersagen für ein ideales Bose-Gas. Die Theorie des superfluiden Heliums ist wesentlich komplizierter als die Theorie der Bose-Einstein-Kondensation. Im Jahr 1995 gelang es erstmals, an einem realen physikalischen System die Bose-EinsteinKondensation zu realisieren. Dabei wurden stark verdünnt atomare Gase aus Alkalimetallen (Lithium, Natrium, Kalium, Rubidium, Caesium, Francium) verwendet. Diese werden in Magnet- und Laserfallen eingefangen und gekühlt. Die Atomdichten in den Fallen liegen typischerweise im Bereich von 1011 bis 1015 cm−3 , also um viele Größenordnungen unter der atomaren Dichte n ≈ 2 × 1022 cm−3 von 4 He. Dazu kommt, dass die Atome von Alkalimetallen wesentlich schwerer als die von 4 He sind. Ausgehend von (15.91) erwarten wir kritische Temperaturen im Bereich 10 nK bis 1 µK. Die Temperaturen, bei denen Bose-EinsteinKondensation beobachtet wurde, lagen tatsächlich im Bereich von 0, 5 bis 2 µK, wobei der genau Wert von der Atomsorte (87 Rb, 23 Na und 7 Li) und von der in der Falle erreichten Teilchendichte abhängt. 15.5 Hohlraumstrahlung Wir betrachten das elektromagnetische Strahlungsfeld in einem ideal reflektierenden Kasten. Die Strahlung sei im thermischen Gleichgewicht mit der Materie in den Kastenwänden. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem schwarzen Körper. Die Untersuchungen von Max Planck zur Schwarzkörperstrahlung markierten den Beginn der Quantenmechanik. Die Quanten des Strahlungsfeldes sind die masselosen Photonen mit der relativistischen Beziehung zwischen Energie und Impuls, ε = pc , (15.113) ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.5. Hohlraumstrahlung 200 was der Dispersionsrelation ω = kc elektromagnetischer Wellen im freien Raum entspricht, wenn die aus der Quantenmechanik bekannten Zuordnungen ε = hν = ~ω und p = ~k (15.114) vorgenommen werden. Photonen haben zwei Polarisationsfreiheitsgrade, so dass g = 2 ist. Wegen der verschwindenden Ruhemasse der Photonen können diese in beliebiger Anzahl erzeugt oder vernichtet werden. Die Photonenzahl ist also keine Erhaltungsgröße und wir können für Photonen kein chemisches Potential einführen. Die Anzahl der Photonenzustände mit Impulsbetrag zwischen p und p + dp ist D(p) = 4π 2V 2 p dp h3 (15.115) und ihre mittler Besetzungszahl ist N (p) = 1 epc/kT −1 . (15.116) Mit pc = hν erhalten wir die mittlere Anzahl Photonen im Frequenzintervall [ν, ν + dν] dNν = 8π 2 1 dν . ν V hν/kT c3 e −1 Die mittlere Anzahl Photonen im Hohlraum ist dann Z ∞ 8π ν2 N = 3V dν . c ehν/kT − 1 0 (15.117) (15.118) Die Energie des Strahlungsfeldes ist gegeben durch die Plancksche Strahlungsformel Z 8π hν U =V %(T, ν) dν mit %(T, ν) = 3 ν 2 hν/kT . (15.119) c e −1 Die folgende Figur zeigt die von Max Planck erstmalig abgeleitete spektrale Energiedichte %(T, ν) für drei verschiedene Temperaturen. Das Plancksche Strahlungsgesetz beschreibt die spektrale Energieverteilung der schwarzen Strahlung im gesamten Frequenzbereich richtig. RUBENS und K URLBAUM haben 1901 die verschieden Strahlungsformeln überprüft und Plancks Formel für richtig befunden. ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik 15. Kalte und dichte Quantengase 15.5. Hohlraumstrahlung 201 ρ T1 T1 > T2 > T3 T2 T3 hν RayleighJeans hνmax ∼ T Wien Zur Berechnung der Photonenzahl und Energie im Hohlraum setzen hν/kT = x und erhalten mit (siehe (14.70)) Z ∞ k−1 1 x (−) = fk (1) = ζR (k) (15.120) Γ(k) 0 ex − 1 das einfache Ergebnisse N 2ζR (3) = V π2  kT ~c 3 , U 6ζR (4) = V π2  kT ~c 3 kT . (15.121) Die Anzahl der Photonen wächst mit der dritten Potenz der Temperatur und die Energie mit deren vierten Potenz. Sie verschwinden beide für tiefe Temperaturen T → 0. Wegen µ = 0 ist das großkanonische Potential gleich der freien Energie,   X F = kT log 1 − e−εi /kT . (15.122) i Für große Volumen dürfen wir die Summe durch ein Riemannsches Integral nähern, Z ∞   8πV F = 3 kT dν ν 2 log 1 − e−hν/kT . (15.123) c 0 Die partielle Integration mit anschließender Variablensubstitution hν/kT = x führt auf   2V ζR (4) kT 3 4σ k4 π2 4 F =− kT = − V T , σ = . (15.124) π2 ~c 3c 60c2 ~3 Aus der freien Energie können wir in bekannter Weise die Entropie ausrechnen   16 σ ∂F S=− = V T3 ∂T V 3 c ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.125) 15. Kalte und dichte Quantengase 15.6. Anhang: Zur Sommerfeld-Entwicklung und genauso den Druck p=−  ∂F ∂V  = T 4σ 4 T . 3c 202 (15.126) Die aus freier Energie und Entropie berechnete innere Energie U = F + TS = 4σ V T4 c (15.127) ist natürlich identisch zum früheren Resultat in (15.121). Für das Photonengas ist die spezifische Wärme CV ∝ T 3 und verhält sich verschieden zur spezifischen Wärme eines Gases von nicht-relativistischen identischen Bosonen. 15.6 Anhang: Zur Sommerfeld-Entwicklung Zur Approximation des Integrals in (15.17) von 0 bis ∞ entwickeln wir den Integranden in Potenzen von exp(−x). Wegen (14.71) sind die entstehenden Integrale proportional zu Fakultäten: Z 2n−1 −x Z Z 2n−1 ∞ ∞ X X (−1)p−1 x x e 2n−1 p−1 −px dx = dx = x (−1) e dx = (2n − 1)! . ex + 1 1 + e−x p2n p=1 p=1 Die letzte Summe ist genau die η-Funktion an der Stelle 2n. Dies kann noch durch die Riemannsche ζR -Funktion ausgedrückt werden,
η(s) = ζR (s) 1 − 21−s . (15.128) Die Integrale in (15.17) sind deshalb proportional zu Werten der Riemannschen ζR -Funktion, Z 2n−1

x (−1)n−1 2n−1 1−2n dx = (2n − 1)! 1 − 2 ζ (2n) = 2 − 1 π 2n B2n . (15.129) R x e +1 2n In der letzten Gleichung benutzten wir, das ζR (2n) proportional zu der Bernoulli-Zahl B2n ist. Ganz analog findet man für die Bose-Integrale Z ∞ X x2n−1 1 (2π)2n dx = (2n − 1)! = (2n − 1)! ζ (2n) = (−1)n+1 B2n . R ex − 1 p2n 4n p=1 ———————————— A. Wipf, Thermodynamik und Statistische Physik (15.130)