Transcript
4 1) Atome mit einem Elektron 4.1) V( ) V(r) Wasserstoffatom Schrödingergleichung mit sphärischer Symmetrie V(r)
Trennung von Schwerpunktsund Relativbewegung „reduzierte Masse“: m
r
y
x
me mp
1 me 1 0.9995 me me mp 1836
2 V (r ) H T V 2m
1 1 sin 2 2 sin sin
2 1 1 2 2 r r r 2 , V (r ) r 2m r
Schrödingergleichung (SG) in sphärischen Koordinaten: 2 1 1 2 2 r r r 2 , V (r ) ( r ,, ) E (r ,, ) r 2m r
Lösungsweg Separationsansatz ( r ,, ) mit
R(r ) Y (, ) r
1 R(r ) 1 2 r 2 r r R(r ) 2 r r r r 2 r 2m 1 2r R( r ) r 2 2 E V (r ) ( 1) ,Y (, ) R(r ) Y (, ) radiale SG
mit V (r )
winkelabhängige SG
e2 r
2 ( 1) e 2 2 2 r R (r ) R ( r ) E R (r ) 2 2m r 2m r
„Zentrifugal“-potential:
2 ( 1) 2m r 2
V=0
klassisches Analogon: L r p mr 2 V
L2 2mr 2
L2 2( 1)
ℓ = 1 Vmin bei r = 2
analytische Lösung der SG:
(a )v x a x a(a 1) x 2 1 c 1! c (c 1) 2! 0 ( c )v !
F a, c, x
1 1
nm (r ) Cn r exp r / na0 1F1 nr ,2 2,2r / na0 Ym (, ) a0
azimuthale i th l Q Quantenzahl: t hl m
2 0 53 Å 1 a a.u. u 0.53 me 2
Drehimpuls-Quantenzahl: 0 n 1 Hauptquantenzahl: n nr 1
me 4 1 e2 ; E1 13.6 eV Bindungsenergie: En 2 2 2 n 2 a0n 2
n’ = 5 n’ = 4 n’ = 3
n’ = 2
0.85 eV EPaschen 1.5 eV
1.8 eV EBalmer 3.4 eV
1 1 E 13.6 eV 2 2 n' n
n’ = 1
10.2 eV ELyman 13.6 eV
UV
sichtbar
NIR
Kommentare:
En, ℓ
• Entartung des Zustandes mit Hauptquantenzahl n: n 1
n 1
1 (2 1) n 0 m
s
p
d
f
2
0
4 3 2
n=1
• Entartung aufgehoben durch externe Felder ( Zeemaneffekt, Zeemaneffekt Starkeffekt)
0
1
2
3
ℓ
• 3 unabhängig meßbare Eigenschaften: Energie E ( n), Drehimpuls L ( ℓ), z-Komponente des Drehimpulses Lz ( m) • Yℓm: Kugeloberflächenfunktionen Yl m (, ) ( 1)m
zugeordnete Legendrepolynome
2 1 ( m )! m P (cos )e im 4 ( m )!
• wasserstoffartige Ionen (ZZ-1+): En
1 Z 2e 2 1 Ze Z 2 ; a a0 Z 2 a0 n 2 2 an 2
Kugeloberflächenfunktionen Y0 0
1 4
Y 1 ei sin 1
Y 0 cos 1
Y 0 3 cos2 1 2
Y 1 ei sin cos 2 Y 2 e2i sin2 2
„Vektormodell“ für Drehimpuls ℓ : Drehimpuls p L2 m 2( 1) m Lz m m m m ( 1)
Ungewissheit der Lx, Ly: 1 m L2 L2z m 2 1 1 2 2 2 4
m L2x m
m Lx m 0 m Ly m 0
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
radiale Dichte R ( r )
2
numerische Lösung der SG für Differentialgleichungen u( x ) w ( x ) u( x ) 0
Numerov (Fox-Goodwin) Algorithmus u(x)
äquidistante Gridpunkte:
ui ui+1 ui-1 x xi-1
u ( x n ) un
xi
xi+1
x
1 2 1 1 un 3un 4un( IV ) 2 3! 4! 2 u 2un un 1 ( IV ) un n 1 u n O( 4 ) 2 12 w u 2w nun w n 1un 1 O( 2 ) un( IV ) (wu ) n 1 n 1 2 un 1 un un
Sammlung der Terme: 2 2 2 1 w u 2 10 w u w n 1 un 1 0 1 n 1 n 1 n n 12 12 12 2 Qn 1 12un 10Qn Qn 1 ; Qn 1 w n un 12 un, un-1 bekannt b k t (z.B. ( B aus Randbedingungen) R db di ) u(x) ( ) 2m e 2 ( 1) 2r u(r ) 2 E u(r ) 0 r r2 w (r )
Iterationsbeginn bei großen Abständen r: Randbedingung für große r: u(r ) C exp r
un 1 un 0
Randbedingung für r = 0: u(r) = 0 numerische Suche nach korrektem E, das gleichzeitig beide Randbedingungen erfüllt
0.2
ℓ=0
R(r) [arb. units]
E < E1
E = E1= -0.5
0.1
E > E1
0.1
0
Energie korrekt für u0 = 0 -0.1 0
1
2
3
r [a0]
4
5
Atome in Magnetfeldern: Zeemaneffekt (1896) a
„klassische“ Erklärung für das magnetische Moment: v r bewegtes Elektron Strom I e 2 r v magnetisches Moment Ia e v r 2 e evr e z z 2 r 2 Wechselwirkung mit externem magnetischem Feld: B || ez EB B ; mit L B LzB mB
L r p me rv ez
EB
e 2me
EB
e L B 2me
mB m BB
B>0
Etot
E En EB 21 m B B n
ℓ = 1, 1 B=0
m=1 m=0 m =-1
Nobelpreis 1902
Pieter Zeeman Hendrik Antoon Lorentz The Nobel Prize in 1902 was awarded jointly to Hendrik Antoon Lorentz and Pieter Zeeman “in recognition of the extraordinary service they rendered by their researches into the influence of magnetism upon radiation phenomena phenomena".
gemessenes Spektrum des Wasserstoffs; Lyman--Linie (n = 2 1)
gerade Anzahl von Linien!
„anomaler“ Zeemaneffekt (Spin war 1902 unbekannt) a
r s
v
Elektron hat nicht nur orbitalen Drehimpuls aufgrund g seiner Bewegung, g g, es hat auch „„Spin“ p s = ±1/2, 2s+1 = 2 gerade Anzahl von Zuständen
G Generalisierung: li i
B
B B S g sS 2 S
L
L
J L S
B
L 2S
Wechselwirkung mit externem magnetischen Feld: EB g J mJ BB
mit
gJ 1
J (J 1) S(S 1) L(L 1) 2J (J 1)
gemessenes Spektrum des Wasserstoffs; Lyman--Linie (n = 2 1)
mS 1 2 mL 1
1
0
mJ 1
1 2
1 2 1 mJ 0 2 mJ 1
mL 0
mL 0
mJ 0
1 2
Zeemaneffekt (Zusammenfassung) • schwaches Magnetfeld und Gesamtspin S = 0: Effekt proportional zu Magnetfeld g und magnetischer g Quantenzahl m; ungerade Anzahl von Zuständen (Zeemaneffekt) • schwaches Magnetfeld und S ≠ 0: Effekt proportional zu Magnetfeld; Orbital- und Spin-Drehimpuls koppeln; gerade Anzahl von Zuständen für ungerade Zahl von Elektronen („anomaler“ Zeemaneffekt) • starke t k Felder: F ld Effekt Eff kt nicht i ht linear li • sehr starkes Magnetfeld (B > 1 T): L und S entkoppeln, zusammen mit A Auswahlregeln hl l gleichbedeutend l i hb d t d mit S = 0 (Paschen-Back-Effekt)
Auswahlregeln für elektromagnetische Übergänge Wasserstoff-21-cm-Linie verboten wegen S S=L=0 L 0 Kopplung zum Kernspin ( yp (Hyperfeinaufspaltung) p g)
