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Kapitel 7: 7.1
Interpolation
Problemstellung
Gegeben:
Diskrete Werte einer Funktion f : R → R (Stutzstellen) ¨
(x0, f0 ), (x1, f1 ), . . . , (xn, fx ) Gesucht:
(x0 < x1 < . . . < xn)
Einfache Funktion p : R → R, die die Daten interpoliert: p(xi ) = fi
i = 0, 1, . . . , n
(p = Polynom, trigonometrisches Polynom, rationale Funktion) ¨ Zunachst:
Klassische Polynom–Interpolation
¨ Bestimme ein Polynom hochstens n–ten Grades p(x) = a0 + a1x + a2x2 + . . . + anxn, das die gegebenen Daten interpoliert. 51
¨ Erster Losungsansatz:
Interpolationsbedingungen ergeben ein LGS
n a 0 + a 1 x0 + a 2 x2 0 + . . . + a n x0 = f 0 n a 0 + a 1 x1 + a 2 x2 1 + . . . + a n x1 = f 1 . = . . . n a 0 + a 1 xn + a 2 x2 n + . . . + a n xn = f n
Vandermonde–Matrix
n 1 x 0 x2 0 . . . x0 a0 n 1 x 1 x2 a1 1 . . . x1 = · . .. . .. .. .. .. an n 1 x n x2 n . . . xn
f0 f1 .. fn
52
¨ Es gilt (Beweis mittels vollstandiger Induktion) det V (x0 , . . . , xn) =
Y
(xj − xi)
0≤i
