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Studienjahr FS 2015 ETH Zürich
D-MATH/D-PHYS Prof. K. Kirch
Klausur, 11. August 2015, Physik II Füllen Sie als erste die untenstehende Tabelle mit Namen und Legi-Nummer aus und kreuzen Sie Ihre Studienrichtung an. Bitte beachten Sie: • Nicht immer hängen Teilaufgaben von den Lösungen der vorhergehenden Teilaufgaben ab! • Die Aufgaben sind nicht nach Schwierigkeitsgrad sondern thematisch geordnet. • Setzen Sie Zahlen, sofern verlangt, nur am Ende einer Herleitung ein! • Schreiben Sie auf ALLE verwendeten Blätter rechts oben Ihren Namen und geben Sie sie ab. • Bitte verwenden Sie für jede Aufgabe ein separates Blatt und kennzeichnen Sie eindeutig für jedes Blatt zu welcher Aufgabe es gehört. Erlaubte Hilfsmittel: • Mathematische Formelsammlung • Handgeschriebene Zusammenfassung, 10 A4 Seiten (einseitig oder 5 Blätter doppelseitig) • Sämtliche Kommunikationsgeräte (Mobiltelephon, Laptop) sind auszuschalten und müssen offen auf den Tisch gelegt oder in einer verschlossenen Tasche unter dem Tisch verstaut werden.
Name Vorname Legi-Nummer Formelsammlung D-PHYS D-MATH CHAB-IN
Studienrichtung
Andere: Unter dieser Linie NICHTS AUSFUELLEN! Nur für Korrektur! Aufg a/2 b/3 c/4 d/5 e/6 f/7 g/8 h/9 Summe Max. Visum 1 Visum 2
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Totale Punktzahl:
Note 1
Aufg a/2 b/3 c/4 d/5 e/6 f/7 g/8 h/9 Summe Max. Visum 1 Visum 2
1 Multiple Choice (8 Punkte) 1.1 Wichtig! Überprüfen Sie, dass auf der ersten Seite alle Informationen eingetragen sind: Name, LegiNummer und Studienrichtung. Bitte schreiben Sie zudem auf jedes Blatt der Klausur oben rechts Ihren Namen. Ecke links oben zum Heften freilassen! Bei den Multiple Choice Aufgaben gibt es jeweils genau EINE richtige Antwort!
1.2 Influenz Ein positiv geladener Stab (aus einem Isolatormaterial) liegt neben zwei elektrisch neutralen Metallstäben, wie in der Abbildung gezeigt:
Welche der Abbildungen unten zeigt am besten die Ladungsverteilungen auf den beiden Metallstäben? a) b) c) d) e)
1.3 Glühbirnen Betrachte den in der Figur gezeigten Schaltkreis. Alle Glühbirnen haben den gleichen Widerstand.
Ordne die Helligkeiten der Glühbirnen, nachdem der Schalter S längere Zeit geschlossen ist! a) 1 = 2 > 3 b) 2 = 3 > 1 c) 1 = 2 = 3 d) 2 > 3 > 1
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1.4 Potential Wir messen die Kraft auf ein positiv geladenes Testteilchen (z. B. ein Proton) am Ort I bzw. am Ort II in der Abbildung unten. Die gestrichelten Linien beschreiben Äquipotentiallinien des elektrischen Feldes, in welches das Testteilchen gebracht wird.
Welche der unten gezeigten Pfeile zeigen die relativen Grössen und Richtungen der elektrostatischen Kräfte auf das Testteilchen an den Positionen I und II am besten? I II (a) (b) (c) (d) (e) 0 0
1.5 Stehende Welle Ein an beiden Enden eingespanntes Seil schwingt in der zweiten harmonischen Mode, wie in der Abbildung mit den gestrichelten Kurven gezeigt. Die durchgezogene Linie zeigt eine Momentaufnahme zu einer bestimmten Zeit mit den Seilstücken P und Q, und Q bewegt sich zu der Zeit nach oben. P und Q bewegen sich immer vertikal auf- und abwärts.
Welche der folgenden Aussagen über die Geschwindigkeiten der Seilstücke P und Q ist richtig? a) Die Geschwindigkeiten sind an den Umkehrpunkten gleich Null. b) Die Geschwindigkeiten sind immer entgegengesetzt gleich. c) Die Beträge der Maximalgeschwindigkeiten sind gleich.
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1.6 Induktion Zwei Spulen werden wie in der Figur (links, mit Stromrichtung) nebeneinander platziert. Der Strom I(t) in der linken Spule hat den gezeigten Verlauf (rechtes Diagram).
Welcher der gezeigten Graphen zeigt den zeitlichen Verlauf der Spannung V (t) in der rechten Spule?
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
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1.7 Kondensator mit Dielektrikum Die Abbildung zeigt einen Plattenkondensator, zwischen dessen Platten ein dielektrisches Material eingebracht wurde. Eine Platte ist geerdet, die andere Platte trägt die Ladung +Q.
Welcher der nachfolgenden Graphen zeigt am besten den Verlauf des Potentials entlang der x-Richtung zwischen den Platten?
(a)
(b)
(c)
(d)
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1.8 Lorentz-Kraft Die Abbildungen zeigen positiv geladene Teilchen, die sich durch homogene Magnetfelder bewegen. Die Magnetfelder sind in allen Fällen gleich gross und von links nach rechts gerichtet. Die Beträge der Teilchengeschwindigkeiten sind ebenfalls immer identisch und die Richtungen wie gezeigt.
(I)
(II)
(III)
(IV)
Welches ist die richtige Ordnung der Beträge der Kräfte welche in den Fällen I − IV auf das Teilchen wirken? a) I = II = III = IV b) IV > III > II > I c) II > I > III = IV d) I > II > III = IV e) IV = III > II > I
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1.9 Magnetfeld Welches der folgenden Feldlinienbilder kann nicht von einem Magnetfeld stammen?
(I)
(II)
(III)
(IV)
a) I b) II c) III d) IV e) Keines der Diagramme zeigt Magnetfeldlinien.
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2 Schiff und Satellit (9 Punkte) Ein Schiff befindet sich auf einem Bauch einer harmonischen stehenden Wasserwelle, wie die untenstehende Figur zeigt. Die Wasserwelle hat Wellenlänge λWasser und maximale Amplitude A0 . Die Wellengeschwindigkeit (Phasengeschwindigkeit) im Wasser sei vWasser . Das Schiff ist mit einem Radiosender ausgerüstet, der harmonische elektromagnetische Wellen mit Wellenlänge λradio ausstrahlt.
a) Schreiben Sie die Amplitude der Wasserwelle als Funktion von Zeit und Ort nieder. Geben Sie insbesondere die Amplitude am Ort des Schiffes als Funktion der Zeit an. (2 Punkte) b) Ein geostationärer Satellit, senkrecht oberhalb des Schiffes, empfängt die emittierte Radiowelle. Warum ist die Frequenz der empfangenen Welle nicht konstant? Zu welcher Position und Geschwindigkeit des Schiffes (in vertikaler Richtung) gehört die maximale empfangene Radiofrequenz? (1.5 Punkte) c) Berechnen Sie die maximale Frequenz, die vom Satelliten empfangen wird. Geben Sie das Resultat als Funktion von λradio , λWasser , vWasser und A0 an. (3 Punkte) d) Was ist die mittlere Energieflussdichte (Intensität) am Satelliten, wenn der Radiosender eine Leistung Pradio isotrop im dreidimensionalen Raum ausstrahlt und der Satellit in einem Abstand z0 vom Schiff ist (nehmen Sie an, dass der Abstand konstant und gleich z0 ist, da z0 A0 ). Wie gross ist die Amplitude des elektrischen Feldes der Radiowelle am Satelliten? Geben Sie die Resultate als Funktion von Pradio und z0 an. (2.5 Punkte)
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3 Kosmische Strahlung (8.5 Punkte) Betrachten Sie den Prozess, in dem ein extrem hochenergetisches Proton (p) ein Photon (γ) absorbiert und daraus ein schwereres Teilchen (∆) entsteht. Symbolisch: p + γ −→ ∆ .
(1)
Seien Σ das Bezugssystem der Erde und Σ0 das Bezugssystem, in dem das ∆-Teilchen in Ruhe ist. Die Masse vom Proton ist mp und die Masse des ∆-Teilchens ist m∆ ; das Photon ist masselos. Betrachten Sie diesen Prozess als eine eindimensionale Kollision, in welcher das Proton und das Photon anfänglich gegeneinander laufen und das ∆-Teilchen danach in die urspüngliche Richtung des Protons weiterläuft. a) Geben Sie die Viererimpulse von Proton, Photon und ∆-Teilchen im Bezugssystem Σ0 an. Berechnen Sie daraus die Energie Ep0 , gemessen im Bezugssystem Σ0 , die das Proton haben muss so, dass der Prozess p + γ → ∆ stattfinden kann. Geben Sie das Resultat als Funktion der Massen mp und m∆ an. (4 Punkte) Hinweis: Benutzen Sie die Energie-Impuls-Erhaltung. Es kann ausserdem vorteilhaft sein, das Vierer-Betragsquadrat der Viererimpulse zu bilden. Dazu beachten Sie dass für zwei Vierervektoren a = (a0 , ~a) und b = (b0 , ~b) das Vierer-Betragsquadrat der Summe a + b durch (a + b)2 = (a)2 + (b)2 + 2(a · b) (2) gegeben ist, mit dem Vierer-Skalarprodukt (a · b) = a0 b0 − ~a · ~b.
(3)
b) Berechnen Sie die Energie des Photons Eγ0 , gemessen im Bezugssystem Σ0 , die zur Protonenergie Ep0 aus Teilaufgabe a) passt. Geben Sie das Resultat als Funktion der Massen mp und m∆ an. (2 Punkte) c) Sei Eγ die Energie des Photons im Bezugssystem Σ; im Bezugssystem Σ0 hat es die oben berechnete Energie Eγ0 . Berechnen Sie die Relativgeschwindigkeit zwischen den Bezugssystemen Σ und Σ0 , d.h. die Geschwindigkeit des ∆-Teilchens im Bezugssystem Σ. (2.5 Punkte) Hinweis: Betrachten Sie dabei den relativistischen Dopplereffekt, unter Beachtung der Tatsache dass die Energie E und die Frequenz ν eines Photons durch E = hν verknüpft sind, wobei h das Planck’sche Wirkungsquantum ist.
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(4)
4 Zwei parallele Leiter (9.5 Punkte) Betrachten Sie zwei identische, parallele, zylindrische Leiter mit Radius r0 und Länge `, die in einem Abstand a voneinander liegen. Dabei gilt r0 a `. Die x-Achse des Bezugssystems ist so gewählt, dass sie senkrecht zu den Leitern steht und durch deren Mittelpunkte geht (mit einem Mittelpunkt als Ursprung), wie die Figur zeigt. Nehmen Sie an, dass die Leiter die Ladungen +Q bzw. −Q homogen verteilt tragen (kein Influenzeffekt) und dass es keine Randeffekte gibt.
a) Berechnen Sie das elektrische Feld auf der x-Achse, zwischen den Leitern (d.h. für r0 < x < a − r0 ). Verwenden Sie dabei, dass r0 a `. (2.5 Punkte) b) Berechnen Sie die Kapazität C dieses Leitersystems. Vereinfachen Sie das Ergebnis unter der Annahme r0 a und geben Sie das Resultat als Funktion von Q, `, a und r0 an. Hinweis: Benutze Q = CV . (2.5 Punkte) c) Berechnen Sie die elektrostatische Energie, die in diesem Leitersystem gespeichert ist, als Funktion von Q, `, a und r0 . (1 Punkt) d) Mit Hilfe der elektrostatischen Energie aus Teilaufgabe c) berechnen Sie die Kraft zwischen den zwei Leitern. (2 Punkte) e) Berechnen Sie diese Kraft direkt aus dem elektrischen Feld und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Resultat aus Teilaufgabe d). (1.5 Punkte)
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5 Spielt die Form keine Rolle? (8 Punkte) Zwei metallische Elektroden von unbekannter Form tragen die Ladungen +Q bzw. −Q und sind in einem unendlich ausgedehnten Material mit (Ohm’scher) Leitfähigkeit σ und Dielektrizitätskonstante ε0 (d.h. die Dielektrizitätskonstante des Vakuums) eingebettet.
a) Sei C die Kapazität des oben beschriebenen Systems. Zeigen Sie, dass der Widerstand R zwischen den zwei Elektroden durch R=
ε0 σC
(5)
gegeben ist. (4 Punkte) Hinweis: Um das zu beweisen, betrachten Sie zuerst den Strom, der aus einer dieser Elektroden herausströmt, und schreiben Sie ihn als Fluss der Stromdichte durch eine geschlossene Fläche, die die Elektrode vollständig umschliesst. b) Der Widerstand in Gleichung (5) scheint unabhängig von Form und Geometrie des Systems zu sein. Ist das wirklich so? Begründen Sie kurz Ihre Antwort. (1 Punkt) c) Nehmen Sie an, dass zur Zeit t = 0 die Elektroden die Ladungen +Q0 bzw. −Q0 haben. Mittels dem oben berechneten Strom entladen sich die Elektroden. Zeigen Sie, dass die zeitliche Entwicklung der Ladungen für t > 0 folgende Form hat: Q(t) = Q0 e−t/τ , wobei τ= (3 Punkte)
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ε0 . σ
(6)
(7)
6 Elektromagnetischer Generator (9 Punkte) Betrachten Sie den elektromagnetischen Generator in der untenstehenden Figur: er besteht aus einer Spule mit N Windungen und Fläche F , die von einer Turbine mit Winkelgeschwindigkeit ω um ihre Achse gedreht wird. Die Spule befindet sich in einem Gebiet mit homogenem Magnetfeld B, senkrecht zur Drehachse, und ist an einem Verbraucher mit Widerstand R angeschlossen.
a) Berechnen Sie die induzierte Spannung zwischen den Enden der Spule, als Funktion der Zeit. (2.5 Punkte) b) Berechnen Sie den Strom durch den Widerstand und die darin dissipierte Leistung. Berechnen Sie ausserdem die durchschnittliche (d.h. zeitlich gemittelte) dissipierte Leistung. (2.5 Punkte) c) Berechnen Sie das magnetische Moment der stromdurchflossenen Spule und das Drehmoment, das vom homogenen Magnetfeld B auf die Spule ausgeübt wird. (2 Punkte) d) Berechnen Sie die mechanische Leistung, die die Turbine gegen dieses Drehmoment leisten muss, um die Spule mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ω zu drehen. Kommentieren Sie das Resultat in Zusammenhang mit dem Ergebnis aus der Teilaufgabe b). (2 Punkte) Hinweis: Die mechanische Arbeit, die ein Drehmoment ~τ leistet, wenn die Spule sich um einen infinitesimalen Winkel dϕ dreht, ist gegeben durch dW = |~τ |dϕ.
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7 Gegenseitige Induktivität (8.5 Punkte) Die untenstehende Figur zeigt zwei gekoppelte Schaltkreise: der erste besteht aus einem Generator, der die Wechselspannung V = V0 cos(ωt) speist, einem Widerstand R und einer Spule mit Selbstinduktivität L1 ; der zweite besteht aus einem Kondensator mit Kapazität C und einer Spule mit Selbstinduktivität L2 . Die Kopplung erfolgt durch die zwei Spulen, die eine gegenseitige Induktivität L12 besitzen und einen entgegengesetzten Wickelsinn haben. Nehmen Sie an, dass L1 = L2 = L12 ≡ L ist.
a) Unter Berücksichtigung von L12 schreiben Sie die Kirchhoff’schen Maschenregeln für die zwei Schaltkreise auf. (2 Punkte) b) Berechnen Sie daraus den vom Generator gelieferten Strom I1 (t). (5 Punkte) Hinweis: Betrachten Sie die zetliche Ableitung der Gleichungen aus Teilaufgabe a) iωt und benutzen Sie die komplexe Darstellung V (t) = Re V0 e und In (t) = Re In,0 eiωt (für n = 1, 2). c) Berechnen Sie die momentane Leistung, die vom Generator geliefert werden muss. (1.5 Punkte)
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8 Rotierende Zylindermantel (10.5 Punkte) Ein dünner hohler Zylindermantel hat den Radius a und die Länge ` (siehe Figur). Er ist gleichmässig elektrisch geladen, mit Flächenladungsdichte σ > 0, und rotiert um seine Achse mit einer Winkelgeschwindigkeit, die langsam mit der Zeit zunimmt: ω(t) = k · t,
(8)
mit einer Konstanten k > 0. Es sei a ` so, dass Randeffekte vernachlässigt werden können.
a) Berechnen Sie das Magnetfeld innerhalb des Zylindermantels. (2 Punkte) Hinweis: Erkennen und benutzen Sie, dass dieses System äquivalent zu einer Zylinderspule mit vielen Windungen ist. b) Berechnen Sie das elektrische Feld innerhalb des Zylindermantels. (2.5 Punkte) Hinweis: Benutzen Sie das Faraday’sche Gesetz in Integralform. c) Berechnen Sie die gesamte elektrische Energie und die gesamte magnetische Energie innerhalb der Zylindermantels. (3 Punkte) d) Betrachten Sie nun einen vollen Zylinder (anstatt des hohlen Zylinders), der mit der Volumenladungsdichte ρ homogen geladen ist. Der Zylinder hat Länge `, Radius a ` und rotiert mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um seine Achse. Berechnen Sie das Magnetfeld im Inneren des Zylinders als Funktion des Abstands von der Zylinderachse. Lösen Sie dabei explizit das Ampère’sche Gesetz in Differentialform. (3 Punkte) ~ = Vr eˆr + Vϕ eˆϕ + Vz eˆz in ZylinderkoordiHinweis: Die Rotation eines Vektorfeldes V naten ist ∂Vϕ 1 ∂Vz ∂Vr ∂Vz 1 ∂ ∂Vr ~ ~ ∇×V = − eˆr + − eˆϕ + (rVϕ ) − eˆz . (9) r ∂ϕ ∂z ∂z ∂r r ∂r ∂ϕ Benützen (und begründen!) Sie die Randbedingung B(r = a) = 0.
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