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Knotentheorie und das Jones-Polynom Chr. Deninger, J. Scholbach WWU M¨ unster, Wintersemester 2015/2016 In diesem Seminar wollen wir einige Elemente der Knotentheorie kennenlernen. Knoten sind aus dem Alltag bekannt, spielen aber z.B. auch in der Genetik eine Rolle. Innerhalb der Mathematik sind sie in der Topologie angesiedelt. Sie lassen sich einerseits geometrisch sehr einfach zeichnen. Die naheliegende Frage jedoch, wann zwei Knoten stetig ineinander verformt werden k¨ onnen, ist keineswegs trivial und harrt bis heute einer vollst¨ andigen L¨osung. Im Laufe der Zeit wurden jedoch immer feinere Invarianten von Knoten entdeckt, die zudem oft den Vorzug haben, sehr elementar zug¨ anglich zu sein. Interessentenkreis: Das Seminar richtet sich Bachelor-Studierende (Lehramt). Als Vorkenntnisse wird nur (geometrische) lineare Algebra vorausgesetzt. Zeit und Ort: Mittwochs 14-16 Uhr im SR 4 Kontakt:
[email protected], Tel. 83-33735.
Literatur [Bar02] Dror Bar-Natan. On Khovanov’s categorification of the Jones polynomial. Algebr. Geom. Topol., 2:337– 370, 2002. [Hat02] Allen Hatcher. Algebraic Topology. 2002. Frei verf¨ ugbar unter https://www.math.cornell.edu/ hatcher/AT/ATpage.html. [JS06]
Jens Carsten Jantzen and Joachim Schwermer. Algebra. Berlin: Springer, 2006.
[Liv95] Charles Livingston. Knotentheorie f¨ ur Einsteiger. Wiesbaden: Vieweg, 1995. [L¨ u97] Wolfgang L¨ uck. Das Jones-Polynom und Entwirrungs-Invarianten in der Knotentheorie. Math. Semesterber., 44(1):37–72, 1997. [Oss92] Erich Ossa. Topologie. Wiesbaden: Vieweg, 1992. [Sch]
Markus Schmetkamp. Khovanov-Homologie. Bachelorarbeit Universit¨at M¨ unster 2014, bitte bei mir erfragen.
[Tur]
Paul Turner. Five lectures on Khovanov homology. http://arxiv.org/abs/math/0606464v1.
Vortragsthemen 1
¨ Knoten und Aquivalenz von Knoten [Liv95, §2, §3.1], Valentin B¨ oswald, 13.4.16
Wir legen fest, was ein Knoten (f¨ ur uns) sein soll und stellen uns die Frage, wann man Knoten ineinander verformen kann. Wie sich zeigt, sind drei m¨ ogliche Manipulationen, die sog. Reidemeister-Bewegungen, die einzigen M¨oglichkeiten, wie man Knoten in ¨ aquivalente Knoten u uhrt. ¨berf¨ ¨ • Definiere die Begriffe Knoten, Unknoten, Verschlingung, Aquivalenz von Knoten. Illustriere sie jeweils mit geeigneten Beispielen. • Definiere regul¨ are Projektion und zeige Satz 2.3. (Es gen¨ ugt hierbei, wenn die Idee der im Beweis verwendeten S¨atze 2.1, 2.2 durch geeignete Illustrationen erl¨autert wird.) • Definiere die Reidemeister-Bewegungen und zeige Satz 3.1. 1
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Etikettierungen modulo p [Liv95, §§3.3–3.4], Miriam Klein, 20.4.16
Eine M¨oglichkeit, Knoten zu unterscheiden, ist ihre Kanten mit 0, 1, . . . , p − 1 zu beschriften, wobei p eine Primzahl ist und gewisse nat¨ urliche Regeln befolgt werden m¨ ussen. Je nach Knoten und je nach p ist dies m¨ oglich oder nicht. Die L¨osbarkeit dieses Etikettierungsproblems l¨asst sich mittels linearer Algebra sehr konzise erfassen. Dies ist gleichzeitig eine sch¨ one Motivation daf¨ ur, dass in der linearen Algebra beliebige K¨orper (f¨ ur uns der K¨ orper mit p Elementen) betrachtet werden. • Definiere Etikettierbarkeit modulo p und zeige den Etikettierungssatz 3.3. (Der Fall p = 3 wird vorher unter dem Namen “F¨ arbung” besprochen, vgl. Satz 3.2. Bei Zeitnot gen¨ ugt die Betrachtung einer Reidemeisterbewegung im Beweis.) • Illustriere den Nutzen des Konzepts mit Aufgabe 3.18 (zwei der drei Knoten gen¨ ugen uns). • Setze die Etikettierbarkeit und die L¨ osbarkeit des durch den Knoten bestimmten Gleichungssystems in ¨ Beziehung (Satz 3.4; die Uberlegungen vor diesem Satz sollten als Teil des Beweises sorgf¨altig ausgearbeitet werden)
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Determinante und Rang eines Knotens, Laura Lockhorn, 27.4.16
Aus der linearen Algebra sind Determinante und Rang einer Matrix bekannt. Diese beiden Konzepte werden nun auf die Matrix, die im vorigen Vortrag zu einem Knoten assoziiert wurde, angewendet. • Definiere Determinante und Rang(defekt) eines Knotens und zeige ihre Wohldefiniertheit [Liv95, Satz 3.5] (die ben¨otigten Tatsachen aus der linearen Algebra sollten klar benannt und m¨oglichst nochmals begr¨ undet werden, im Sinne von [Liv95, Aufgabe 3.21]) • Diskutiere Beispiele, z.B. wie in [Liv95, Aufgabe 3.20]
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Das Alexander-Polynom, Theresa Bru ¨ mmer, 4.5.16
Das Alexander-Polynom ist eine weitere Invariante, um Knoten zu unterscheiden. Wie zuvor ist zu pr¨ ufen, dass es tats¨achlich konstant bleibt, wenn man den Knoten in einen ¨aquivalenten Knoten u uhrt. Es berechnet sich als ¨berf¨ Determinante einer ¨ ahnlichen Matrix wie in den vorigen beiden Vortr¨agen. ¨ • Definiere orientierte Knoten und Verschlingungen und orientierte Aquivalenz [Liv95, §2.5] • Definiere das Alexander-Polynom einer orientierten Verschlingung (d.h. wir k¨onnen von Anfang an davon ausgehen, dass die Verschlingung orientiert ist) • Zeige, dass das Alexander-Polynoms eines orientierten Knotens wohldefiniert ist ([Liv95, Satz 3.6], als Beispiel sollte wenigstens eine Reidemeister-Bewegung im Detail u uft werden) ¨berpr¨ • Zeige, dass das Alexander-Polynom einen Knoten und seine Spiegelung nicht unterscheidet [Liv95, Aufgabe 3.30]
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Die Knotengruppe, Dustin Hoppius, 11.5.16
Wir verlassen die Welt der linearen Algebra und wenden uns der Gruppentheorie zu. Die Knotengruppe wird wieder u ¨ber ein elementares Rezept definiert. Im Vergleich zu den bisherigen Invarianten ist es jedoch nicht so einfach zu zeigen, dass die Knotengruppe ¨ aquivalenter Knoten gleich ist. Daher werden wir uns in diesem Vortrag ausnahmsweise nur der Beschreibung dieser Gruppe widmen. • Erinnere im Laufe des Vortrags kurz an die Begriffe Gruppe, Konjugation, Erzeuger einer Gruppe, Darstellung einer Gruppe mittels Erzeugern und Relationen (diese sind alle in [Liv95] oder alternativ einem beliebigen Buch u ¨ber Gruppen enthalten) • Definiere die Etikettierung eines Knotens mit einer Gruppe G [Liv95, S. 80]; erl¨autere, dass der Fall G = Z/p der Etikettierung modulo p entspricht • Erkl¨are ein Beispiel (Bild 5.2) 2
• Formuliere [Liv95, Satz 5.2] (ohne Beweis) • Definiere die Gruppe G, die zu einem Knotendiagramm assoziiert ist • Bestimme die Gruppe des Knotens in Bild 5.8 und vereinfache sie wie auf S. 90 angegeben
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Das Jones-Polynom I, Melina Schlawne, 25.5.16
Das Jones-Polynom ist eine weitere, besonders einfach zu definierende, und dennoch aussagekr¨aftige Knoteninvariante. Z.B. ist es, im Gegensatz zum Alexander-Polynom, (prinzipiell) in der Lage, einen Knoten von seinem Spiegelbild zu unterscheiden! Der Rest des Seminars befasst sich direkt oder indirekt mit diesem Polynom. Zun¨ achst definieren wir das Jones-Polynom und etablieren erste Eigenschaften. • Definiere die Kauffman-Klammer mittels der rekursiven Formeln in [Sch, Definition 2.1] oder [Tur, Lecture 1, §2] und davon ausgehend das Jones-Polynom • Illustriere es am Beispiel des rechts- und linksh¨andige Kleeblattknotens (am besten selbst berechnen, vgl. auch [L¨ u97, vor Def. 1.19], beachte die unterschiedlichen Notationen) • Zeige die geschlossene Formel (Zustandssummenformel) f¨ ur das nicht normierte Jones-Polynom, d.h. erl¨ autere [Sch, Bemerkung 2.6] bzw. [Tur, Exercise 2.1]
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Das Jones-Polynom II, Jana Reher, 1.6.16
Wie bei den vorigen Invarianten u ¨berzeugen wir uns, dass es sich tats¨achlich um eine Invariante des Knotens handelt. Außerdem u ¨berlegen wir uns, dass das Beispiel aus dem vorigen Vortrag mit dem Kleeblattknoten und seiner Spiegelung kein Zufall war. • Zeige, dass das Jones-Polynom invariant unter Reidemeisterbewegungen ist [Sch, Satz 1] oder [L¨ u97, Abschnitte 1.16-1.17] (wir folgen der Notation in [Sch] bzw. [Tur]) • Diskutiere das Verhalten des Jones-Polynoms unter Orientierungs¨anderung bzw. Spiegelung [L¨ u97, Satz 1.18], der Beweis f¨ ur die Spiegelungsaussage sollte erbracht werden
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Euler-Charakteristik und Kettenkomplexe I, Maurice Krause, 8.6.16
Unser Ziel ist die Verfeinerung des Jones-Polynoms, indem wir es als sog. Euler-Charakteristik eines bestimmten Kettenkomplexes ansehen (der sog. Khovanov-Komplex). Hierzu ben¨otigen wir zun¨achst einige Begriffe aus der sog. homologischen Algebra, dies ist f¨ ur unsere Belange nicht mehr als geschickt arrangierte lineare Algebra. • Definiere Kettenkomplexe, Zykel, R¨ ander, Homologie ([Oss92, §5.2] oder [Hat02, S. 106], wir k¨onnen anstelle von abelschen Gruppen Vektorr¨ aume nehmen) • Zeige folgendes Lemma: Sei C ein beschr¨ankter Komplex (d.h. fast alle P Cn = 0) so dass außerdem Cn P i ein endlich-dimensionaler Vektorraum ist. Dann gilt (−1) dim Hi (C) = (−1)i dim Ci [Hat02, Theorem 2.44]. • Erkl¨are ∆-Komplexe (die pr¨ azise Definition ist z.B. in [Hat02, Section 2.1], wir sind aber nicht interessiert an den technischen Verwickelungen, sondern es gen¨ ugt hier, die Intuition des Begriffs zu vermitteln • Definiere den Komplex ∆n (X) [Hat02, S. 105, Lemma 2.1] und definiere die simpliziale Homologie, berechne sie in einigen Beispielen (z.B. ein Tetraeder und ein Torus [Hat02, Example 2.3])
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Euler-Charakteristik und Kettenkomplexe II, Jonas Hilbert, 15.6.16
Wir vertiefen den vorigen Vortrag durch weitere Beispiele f¨ ur Homologien. F¨ ur sp¨ater stellen wir noch einen wichtigen algebraischen Begriff bereit. • Konstatiere die Eulersche Polyederformel E − K + F = 2 f¨ ur konvexe zusammenh¨angende Polyeder. Skizziere den Beweis. 3
• Erl¨autere die Konstruktion des Torus und von Fl¨achen mit h¨oherem Geschlecht wie in [Hat02, S. 5], berechne allgemein die simpliziale Homologie einer solchen Fl¨ache [Hat02, Example 2.36] • Definiere Homotopie¨ aquivalenz von Kettenkomplexen. Zeige, dass die Homologie von homotopie-¨aquivalenten Komplexen isomorph ist [Oss92, 5.2.13 und 5.2.14]
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Das Tensorprodukt, Claudia Kons, 22.6.16
Um den Khovanov-Komplex einf¨ uhren zu k¨ onnen, ben¨otigen wir den Begriff des Tensorprodukts.1 Aus der linearen Algebra ist bereits die direkte Summe V ⊕W bekannt, sie erf¨ ullt dim(V ⊕W ) = dim V +dim W . Das Tensorprodukt ist quasi das “Produkt” von Vektorr¨ aumen, im Sinne von dim(V ⊗W ) = dim V ·dim W . Dieser Vortrag ist klassische lineare Algebra und unabh¨ angig von den bisherigen Vortr¨agen. • Definiere das Tensorprodukt V ⊗W zweier Vektorr¨aume (in [JS06] wird das Tensorprodukt f¨ ur Moduln u ¨ber einem kommutativen Ring definiert, f¨ ur unsere Zwecke gen¨ ugt es, u orper” ¨berall das Wort “Ring” durch “K¨ und “Modul” durch “Vektorraum” ersetzen) • Zeige die Existenz des Tensorprodukts und die Eindeutigkeit bis auf eindeutigen Isomorphismus • Gegeben eine Basis von V und W , gib die Basis von V ⊗W an. Folgere dim(V ⊗W ) = dim V · dim W • Gegeben zwei Abbildungen f : V → V 0 , g : W → W 0 , erkl¨are f ⊗g : V ⊗V 0 → W ⊗W 0
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Die Kategorifizierung des Jones-Polynoms I [Tur, Lecture 1, §3], Anna Gesa Kuhlmann, 29.6.16
Die folgenden beiden Vortr¨ age h¨ angen eng zusammen. Unser Ziel ist es, nicht nur das Jones-Polynom zu erhalten, sondern einen Komplex, dessen (graduierte) Euler-Charakteristik das Jones-Polynom ist. • Definiere graduierte Vektorr¨ aume und qdim, berechne qdim(V ⊗k ) [Tur, Exercise 3.1] • Definiere den Khovanov-Komplex C ∗,∗ (D) eines Verschlingungsdiagramms D • Illustriere es mit einem (einfachen) Knoten als Beispiel • Zeige, dass sich das Jones-Polynom aus C ∗,∗ (D) berechnen l¨asst
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Die Kategorifizierung des Jones-Polynoms II [Tur, Lecture 1, §3], Philipp Geiger, 6.7.16 • Zur Motivation: gib zwei Knoten an, f¨ ur welche das Jones-Polynom gleich ist, die Khovanov-Homologie jedoch nicht [Bar02, S. 357] (die Berechnungen m¨ ussen hier nicht im Detail erl¨autert werden) • Skizziere, dass es sich beim Khovanov-Komplex in der Tat um einen Komplex handelt [Tur, Proposition 3.3] ¨ • Skizziere, dass der Khovanov-Komplex bis auf Homotopie¨aquivalenz nur von der Aquivalenzklasse des Kno¨ tens abh¨angt und damit (siehe Vortrag 9) seine Homologie nur vom Knoten bis auf Aquivalenz abh¨ angt [Tur, Lecture 2, Proposition 2.1]
1 Eine Referenz f¨ ur diesen Vortrag wird noch bereit gestellt. Das Material ist in jedem Buch u ¨ber (lineare) Algebra enthalten, siehe z.B. [JS06, Kapitel 10, S. 180]
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