Lineare Gleichungen Mit Einer Unbekannten

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Lineare Algebra Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten • • • • Die Grundform der linearen Gleichung g mit einer Unbekannten x lautet Ax=a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben, g , die für x eingesetzt g die Gleichheitsbedingung g g erfüllen. Man kann beide Seiten einer Gleichung mit der gleichen Zahl multiplizieren, ohne die Gleichheit zu verletzen Da die Division durch A ≠ 0 der Multiplikation mit 1/A äquivalent ist ist, ist die einzige mögliche Lösung von A x = a. a 58 Lineare Algebra Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten • Ist dagegen g g A = 0,, so sind zwei Fälle zu unterscheiden – – • a ≠ 0, dann lautet die Gleichung 0 · x = a, was einen Widerspruch an sich darstellt. Es existiert in diesem Fall keine reelle Zahl x, die diese Gleichung erfüllt a = 0, dann lautet die Gleichung 0 · x = 0. Diese Gleichung ist für alle reellen c erfüllt. Man schreibt auch x = bel. bel (beliebig) Es gilt also: Die Gleichung A x = a hat für A ≠ 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a ≠ 0 existiert keine Lösung. Für A=0 A 0 und a = 0 ist jede reelle Zahl x Lösung. 59 Lineare Algebra Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten • • Liegt g eine lineare Gleichung g ((eine Gleichung, g, die auf beiden Seiten nur Summen linearer Terme enthält) nicht von vorneherein in der Normalform vor, so führt man sie durch zielgerichtete Addition (bzw. Subtraktion) von linearen Termen auf beiden Seiten darauf zurück. Ist zum Beispiel eine Gleichung in der Form gegeben, so kann man auf beiden Seiten b2 x + d1 addieren und a2 x + c1 subtrahieren, so dass man erhält Hier stehen die x enthaltenen Glieder auf der linken Seite und die konstanten Glieder auf der rechten Seite der Gleichung 60 Lineare Algebra Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten • Setzt man so ist die Gleichung identisch mit der Grundform 61 Lineare Algebra Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten • Ist eine Gleichung g in der Form gegeben (sie hat nur einen Sinn, wenn a2 ≠ 0, b2 ≠ 0 gilt), so kann man die Gleichung nach x auflösen, indem man sie mit a2 multipliziert und im Fall a1 ≠ 0 durch a1 dividiert: 62 Lineare Algebra Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten • Eine solche Gleichung g kann dargestellt g werden durch • Hierin können die unbekannten Größen x und y beliebige reelle Zahlen sein,, die in der angegeben g g Weise miteinander verknüpft p sind. Mit andern Worten: x und y sind Variablen. Die Gleichung stellt eine lineare Funktionsgleichung dar, deren Bild eine gerade im x,y-Koordinatensystem ist Die Sonderfälle a=0 a 0 oder b=0 b 0 beschreiben insbesondere Geraden, die parallel zur y- bzw. x-Achse verlaufen Fasst man die Gleichung als Bestimmungsgleichung für die beiden Unbekannten x und y auf so erhebt sich die Frage Frage, was man unter der Lösung dieser Gleichung versteht. Die Lösung ist offenbar die Menge aller Wertepaare (x,y), die die Gleichung erfüllen • • • 63 Lineare Algebra Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten • Betrachten man den Hauptfall p a,, b ≠ 0,, so kann man die Gleichung g nach y auflösen: • Man kann x völlig beliebig wählen und hat dann y nach der Formel zu ermitteln. Man erhält also unendlich viele Lösungen, nämlich die Lösungsmenge Man schreibt dafür auch kurz: 64 Lineare Algebra Eine lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten • Selbstverständlich kann man auch nach x auflösen und y beliebig g wählen,, also Lösung der Gleichung • Anstatt die Variablen mit x, y, z, … zu benennen ist es zweckmäßig bei mehren Variablen diese mit x1, x2, x3 zu benennen: 65 Lineare Algebra Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten • Ein System y von zwei Gleichungen g mit zwei Unbekannten hat die allgemeine g Gestalt • Diese Bestimmungsgleichungen können als Funktionsgleichung mit den Veränderlichen x1 und x2 aufgefasst und im x1,x2-Koordinatensystem als geraden dargestellt werden werden. Schneiden sich die geraden in einem Punkt Punkt, so sind die Koordinaten dieses Schnittpunktes die einzige Lösung des Gleichungssystems Fallen die beiden Geraden zusammen zusammen, so bedeutet dies dies, dass die Gleichung II die gleiche Gerade darstellt wie die Gleichung I. Es existiert dann wiederum nur eine Gleichung mit einer unbekannten und somit ∞1 Lösungen Lösungen. • 66 Lineare Algebra Zwei lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten • • • Es können formal aber auch ∞2 Lösungen g auftreten,, wenn alle aik und alle ai gleich null sind. Der Fall, dass keine Lösung existiert, tritt dann ein, wenn die durch I und II dargestellten g Geraden p parallel verlaufen,, aber nicht zusammenfallen Bei zwei Gleichungen mit zwei Unbekannten können also folgende vier Fälle auftreten: – – – – Es existiert eine eindeutig bestimmte Lösung (Hauptfall) Es existiert keine Lösung (das System enthält Widersprüche) Es existieren ∞1 Lösungen g ((die II. Gleichung g ist g gleich der I. bzw. ein Vielfaches davon)) Es existieren ∞2 Lösungen („ausgearteter“ Fall: alle aik =0 und alle ai =0) ∞i (i=1,2,…) bedeutet, dass für i Unbekannte beliebige Werte eingesetzt werden können. 67 Lineare Algebra Das Gleichsetzungsverfahren • Man löst beide Gleichungen g nach der g gleichen Unbekannten ((z.B. x2) auf,, setzt sie gleich und erhält dabei eine Gleichung mit einer Unbekannten (z.B. x1) • Beispiel 1 68 Lineare Algebra Das Gleichsetzungsverfahren • Beispiel p 2 69 Lineare Algebra Das Gleichsetzungsverfahren • Beispiel p 3 Das ist ein Widerspruch, denn keine reelle Zahl x2 kann diese Gleichung erfüllen. Demnach gibt es keine Lösung. 70 Lineare Algebra Das Einsetzungsverfahren • Man löst eine Gleichung g nach einer Unbekannten ((z.B. x2) auf und setzt dass Ergebnis in die andere Gleichung ein. Dann erhält man eine Gleichung mit der anderen Unbekannten (z.B. x1). • Beispiel 1 71 Lineare Algebra Das Einsetzungsverfahren • Beispiel p 2 72 Lineare Algebra Das Einsetzungsverfahren • Beispiel p 3 D iistt ein Das i Wid Widerspruch, h es gibt ibt kkeine i Lö Lösung. 73 Lineare Algebra Das Additionsverfahren • Man addiert ein bestimmtes ((evtl. auch negatives) g ) Vielfaches der II. Gleichung zu einem bestimmten Vielfachen der I. Gleichung derart, dass eine Unbekannte nicht mehr auftritt. Mit dem Ergebnis ermittelt man dann die andere Unbekannte. Dies kann man für beide Unbekannte machen. • Beispiel 1 74 Lineare Algebra Das Additionsverfahren • Beispiel p 2 75 Lineare Algebra Das Additionsverfahren • Beispiel p 3 Das ist ein Widerspruch, es gibt keine Lösung. 76 Lineare Algebra Nichtlineare Gleichungen • Alle Gleichungen, g , die nicht zu Normalform der linearen Gleichung g äquivalent sind heißen nichtlineare Gleichungen. Ihre allgemeine Form lautet wobei F(x) ein nichtlinearer Ausdruck in x ist. Die Gleichung lösen heißt, alle Werte x zu bestimmen, für die die Gleichung gilt. Dabei ist es wichtig festzulegen, ob man nur reelle Lösungen x sucht oder ob man auch k komplexe l W Werte t für fü die di Lösung Lö zulässt. lä t 77 Lineare Algebra Nichtlineare Gleichungen • So hat zum Beispiel p die nichtlineare Gleichung g die beiden reellen Lösungen • Dagegen g g hat die Gleichung g keine Reelle Lösung, sondern die imaginäre Lösungen 78 Lineare Algebra Nichtlineare Gleichungen • • • Bei Funktionen nennt man die Beziehung g y = F(x) ( ) Funktionsgleichung g g und x dabei (unabhängige) Variable. Eine nichtlineare Gleichung ist allerdings eine Bestimmungsgleichung und x dort eine Unbekannte. Die Lösung g einer Gleichung g nennt man auch Nullstelle von F(x) ( ) oder Wurzel der Gleichung F(x) = 0. Gleichungen, die nicht in der Form F(x) = 0 gegeben sind, können durch Umformen auf diese Form gebracht werden. So erhält man zum Beispiel für die Gleichungen die Normalform in folgender Weise 79 Lineare Algebra Quadratische Gleichungen • • Die einfachste nichtlineare algebraische g Gleichung g ist die q quadratische Gleichung Sie hat die allgemeine Form • Die Division durch b2 liefert die äquivalente Normalform • Zu ihrer Lösung g macht man von der q quadratischen Ergänzung g g Gebrauch,, die auf den biomischen Formeln beruht: 80 Lineare Algebra Quadratische Gleichungen • Damit kann die Ausgangsgleichung g g g g in folgender Weise umgeformt werden: bzw. 81 Lineare Algebra Quadratische Gleichungen • Gilt so hat man zwei Möglichkeiten, die Gleichung zu erfüllen. Es gilt oder denn durch quadrieren beider Seiten erhält man bei beiden Gleichungen die ursprüngliche ü li h Gl Gleichung i h zurück. ü k 82 Lineare Algebra Quadratische Gleichungen • Aus den Gleichungen g erhält man zwei reelle Lösungen: g Dafür schreibt man auch vereinfacht: 83