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Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seite 10 Aufgaben Zentrische Streckung 1 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden 2. Die Strecke ZC halbieren (das entspricht der Streckung mit k = 0.5)  C’ 3. Parallelverschieben CB // durch C’  B’ 4. AB // durch B’  A’ 5. AE // durch A’  E’ 6. vervollständigen. b) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden 2. Die Strecke ZD verdoppeln (hier mit dem Kreis, es geht auch mit einer anderen Verbindung mit Z). Das entspricht der Streckung mit k = 2  D’ 3. Parallelverschieben CD // durch D’  C’ 4. CB // durch C’  B’ 5. BA // durch B’  A’ 6. vervollständigen. c) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden 2. Die Strecke ZC auf die andere Seite abtragen (hier mit dem Kreis gezeigt)  P. Die Strecke ZP halbieren und von P aus noch weiter abtragen (so ergibt sich eine Streckung mit k = (-1.5)  C’ 3. vervollständigen durch Parallelverschieben. d) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden (Dreiecksseiten verlängern) 2. Die Strecke ZC halbieren  M 3. MC auf die andere Seite von C abtragen (hier mit dem Kreis). Das entspricht der Streckung mit k = 1.5  C’ 4. Parallelverschieben CB // durch C’  B’ 5. vervollständigen. LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 1 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seite 11 Aufgaben Zentrische Streckung 2 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. 2. 3. 4. b) AB verlängern CB // durch C’ schneiden mit AB  B’ vervollständigen. Z = A = A’, weil A Fixpunkt ist (wird auf sich selber abgebildet) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. AB // durch A’ 2. ED // durch E’ 3. AD verbinden, AD // durch A’ schneiden mit Parallele ED durch E’  D’ 4. EB verbinden, EB // durch E’ schneiden mit Parallele AB durch A’  B’ 5. BC // durch B’ schneiden mit DC // durch D’  C’ 6. vervollständigen. 7. Z muss auf AA’ und EE’ liegen. Somit genügt es, einen weiteren Punkt mit seinem Bild zu verbinden (hier BB’). Der Schnittpunkt dieser Verbindungen ist Z. c) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. AE // durch A’ schneiden mit DE // durch D’  E’ 2. EB verbinden 3. EB // durch E’ schneiden mit AB // durch A’  B’ 4. DC // durch D’ schneiden mit BC // durch B’  C’ 5. vervollständigen. 6. Z muss auf AA’ und DD’ liegen. Somit genügt es, einen weiteren Punkt mit seinem Bild zu verbinden (hier EE’). Der Schnittpunkt dieser Verbindungen ist Z. LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 2 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 11 / 12 Aufgaben Zentrische Streckung 3 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. 2. 3. 4. 5. b) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. 2. 3. 4. 5. 6. c) DZ schneiden mit g  D’ DC // durch D’ schneiden mit CZ  C’ CB // durch C’ schneiden mit BZ  B’ BA // durch B’ schneiden mit AZ  A’ vervollständigen EZ schneiden mit g  E’ ED // durch E’ schneiden mit DZ  D’ DC // durch D’ schneiden mit CZ  C’ CB // durch C’ schneiden mit BZ  B’ AB // durch B’ schneiden mit AZ  A’ vervollständigen Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Eckpunkte mit Z verbinden. 2. Für jede Lösung jeweils beim jeweiligen Schnittpunkt mit g beginnen und parallel verschieben. So entstehen die drei Lösungen. 3. Die grösste Bildfigur rot markieren, die anderen beiden mit anderen Farben. d) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Alle Bildpunkt mit Z verbinden. 2. Nun betrachten wir die Möglichkeiten und entdecken, dass die Version mit B’ auf g am kleinsten wird (Die Strecke wird deutlich verkürzt. Bei C’ auf g würde CZ etwa halbiert, bei A’ auf g wird die Figur enorm vergrössert). 3. Parallelverschieben 4. Vervollständigen. LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 3 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 12 / 13 Aufgaben Zentrische Streckung 4 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): b) 1. Die Figur kann als zentrische Streckung bezüglich des markierten Punktes Z betrachtet werden. Wir beginnen mit einem Rechteck (dazu brauchen wir die Winkelhalbierende w und dazu ein Lot  D’, C’) 2. Ein beliebiges Hilfsrechteck zeichnen, dessen Breite der Hälfte der Länge entspricht (A’, B’) 3. Dieses Hilfsrechteck von Z aus strecken, bis A und B auf dem Dreieck liegen. 4. Parallelverschieben 5. Vervollständigen. Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Den Mittelpunkt des Durchmessers bestimmen (M) 2. Einen Punkt A’ auf dem Kreisdurchmesser bestimmen, den Punkt A’ 3. Parallelverschieben 4. Vervollständigen. 5 Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Einen beliebigen Winkel an A anlegen. 2. Auf diesem Schenkel 13 gleiche Stücke abtragen 3. Endpunkt auf dem Schenkel mit B verbinden. 4. Parallelverschieben 6 a) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen, welche g schneidet (dort liegt A’) 2. Die Strecke PA’ verdoppeln ( Q) 3. Die Strecke A’Q halbieren und A’Q um diese Hälfte verlängern (so erzeugen wir die um zweieinhalb mal längere Strecke PB’) 4. g // durch B’ verschieben schneiden mit h  B 5. BP verbinden, der Schnittpunkt mit g ist A. LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 4 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 13 / 14 Aufgaben Zentrische Streckung 6 b) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen, welche h schneidet (dort liegt B’) 2. Die Strecke PB’ auf die andere Seite von P abtragen und verdoppeln ( A’) 3. h // durch A’ verschieben schneiden mit g  A 4. AP verbinden, der Schnittpunkt mit h ist B. c) Konstruktionsbericht (Vorschlag): 7 1. Eine beliebige Strecke durch P zeichnen, welche h schneidet (dort liegt B’) 2. Hilfswinkel zeichnen für Streckenteilung. Darauf tragen wir 5 gleiche Stücke ab (das Verhältnis 3:2 ergibt 5 Stücke!) 3. Den dritten Teilpunkt mit B’ verbinden, diese Strecke parallel durch den letzten Teilpunkt auf dem Hilfswinkel verschieben. Der Schnittpunkt mit der Geraden PB’ ist A’. 4. h // durch A’ verschieben schneiden mit g  A 5. AP verbinden, der Schnittpunkt mit h ist B. Konstruktionsbericht (Vorschlag): 8 1. An den Punkt C einen Hilfswinkel anlegen. 2. Auf diesem Strahl neun (Verhältnis 5:4 ergibt 9 Stücke) gleiche Stücke abtragen. 3. Den letzten Punkt (9) mit dem Endpunkt D verbinden. 4. Die Strecke 9D // durch den Teilpunkt 5 verschieben.  T Konstruktionsbericht (Vorschlag): 1. Auf dem Kreis einen beliebigen Punkt P wählen. 2. Den Punkt P und den Kreismittelpunkt M von Z aus mit k= 1.5 strecken.  M’, P’ 3. Den Kreis o’ zeichnen: o’ (M’, r= M’P’) LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 5 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 14 / 15 Aufgaben Zentrische Streckung 9 1. Parallele zu BC irgendwo in der Nähe von A legen (da eine Seite auf BC liegt, ist die gegenüberliegende Seite dazu parallel 2. Die Seite S’P’ mittels Konstruktion in drei Teile teilen. 3. Einen Teil von S senkrecht abtragen  R’ 4. Hilfsrechteck vervollständigen. 5. Hilfsrechteck von A aus strecken, so dass R und Q auf BC liegen 6. Vervollständigen 10 1. Parallele zu zur Z gegenüberliegenden Dreieckseite irgendwo in der Nähe von Z legen ( aus der Skizze kann diese Lage entnommen werden) 2. So finden sich A’ und B’. 3. Nun einen Thaleskreis über A’B’ (wegen dem rechten Winkel!) 4. Die Seite A’B’ halbieren und diesen Abstand von A’ aus abtragen (weil AB = 2AC) 5. Der Schnittpunkt mit dem Thaleskreis ist C’. 6. Das Hilfsdreieck von Z aus strecken, dass C auf der dritten Dreiecksseite liegt. 7. Vervollständigen 11 1. Jeden Eckpunkt der Originalfigur mit dem Streckzentrum Z verbinden. 2. Eine Verbindungsstrecke (hier EZ) in drei gleichgrosse Teile teilen (konstruktiv). Zwei weitere Teile anhängen auf dem Hilfswinkel und diesen Endpunkt parallel zur Strecke Punkt3-E durch den Endpunkt 5 verschieben  P’ (ist jetzt die um 5 3 gestreckte Strecke EZ) 3. P’ an Z punktspiegeln (somit ist der 5 Faktor (–3 ) 4. Parallelverschieben und so vervollständigen. LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 6 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 23 / 24 / 25 Aufgaben Ähnlichkeit 1 Vorbemerkung: Alle abgebildeten Dreiecke sind ähnlich (weil sie lauter gleiche Winkel haben). Also gilt jeweils: kurze Seite Dreieck 1 lange Seite Dreieck 1 Basis Dreieck 1 kurze Seite Dreieck 2 = lange Seite Dreieck 2 = Basis Dreieck 2 a) b) c) d) 14 8 x 12 x 30 x 36 x = 18 40 = 16 36 = 48 35 = 45 14  18  x=31.5 8 40  12  16x =4012  x = 16  x = 30 30  36  48x =3036  x = 48  x=22.5 35  36  45x =3536  x = 45  x = 28  8x =14  18 x = 8 y 8  21 14 = 21  15y =218  y = 14  y = 12 16 y 22  16 40 = 22  40y =2216  y = 40  y = 8.8 48 y 48  54 =  36y =4854  y = 36 54 36  y = 72 y mit Pythagoras: y = z mit Pythagoras: z = 452 - 362 = 27 352 - 282 = 21 (ginge auch mit Ähnlichkeit) e) a) b) c) d) e) a) Nach 2. Strahlensatz gilt: 6m 3 1.69 m 2 x 40 40  36 y 32 37  32 36 = 32 32x =4036  x = 32  x = 45 37 = 40  40y =3732  y = 40  y = 29.6 x 144 144  100 100 = 120 120x=144100x= 120 x=120 x 1.2 2.1  1.2 y 2.1+x 6.  2.8 2.1 = 4.6 4.6x=2.11.2 x= 4.6  x = 0.55 6 = 2.1  2.1y =6  2.8  y = 2.1  y = 8 x 1.5 4  1.5 y 2.5 2.5  7 z 6 67 4 = 2.5  x= 2.5  x = 2.4 7 = 2.5 + 1.5  y= 4 y = 4.375 7 = 4  z = 4  z = 10.5 x 12 25  12 y 16 16  30 25 = 16  x = 16  x = 18.75 30 = 25  y = 25  y =19.2 x 5g 5g  9f y 12f 6g  12f  y = 9f 9f = 6g  x = 6g  x = 7.5f 6g = 8g  y = 8g 3.5 m x x+3.5 6 = 3.5 1.69 ¦¦ HN 1.69(x+3.5) = 63.5 ¦¦ vereinfachen ¦¦ -5.915 ¦¦ : 1.69 1.69x + 5.915 = 1.69x = x = 21 15.058 8.926 Der Scheinwerfer steht 8.926m entfernt. b) 3.6 m 1.69 m Nach 2. Strahlensatz gilt: 15m 4 x x+15 3.6 = x 1.69 1.69(x+15) = 3.6x 1.69x + 25.35 = 25.35 = x = ¦¦ HN ¦¦ vereinfachen 3.6x ¦¦ -1.69x 1.91x ¦¦ : 1.91 13.27225 Der Schatten wird 13.27m lang. Konstruktionsbericht: a) 1. 2. 3. 4. Hilfsrechteck mit Seitenlängen 4cm und 5cm (richtiges Seitenverhältnis) Auf der Diagonale von A aus 5cm abmessen  C Strecken des Hilfsrechteckes (Parallelverschieben durch C) Lösung rot markieren (Lösung ist verkleinert gezeichnet) LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 7 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 25 /26 / 27 Aufgaben Ähnlichkeit 4 b) Konstruktionsbericht: 1. Diagonale BD’ = 5cm 2. Mittelsenkrechte auf diese Diagonale (Im Rhombus stehen die Diagonalen senkrecht aufeinander) 3. k (B, r= 3cm) schneiden mit Mittelsenkrechte  C’, A’  Hilfsrhombus mit Verhältnis 5:3 von B’D’ zu B’C’ 4. Auf der Diagonale BD 7cm abmessen (dies ist, wie man sieht, die längere Diagonale)  D 5. Strecken des Hilfsrhombus (D’C’ // durch D und D’A’ // durch D, mit dem Strahl BC’ rsp. BA’ schneiden) 6. Lösung rot markieren Konstruktionsbericht: 1. Hilfstrapez zeichnen (rechtwinklig, Parallelseiten verhalten sich wie 3:2, Höhe zur kürzeren Parallelseite wie 2:1  Also längere Parallelseite 3cm, kürzere 2cm, Höhe 4cm.) 2. Auf zweiter Schrägseite 5.5 cm abmessen  C 3. Strecken des Hilfstrapezes an B. 4. Lösung rot markieren (Lösung ist verkleinert gezeichnet) c)  Hier wäre auch eine „umgekehrte Lösung denkbar, wo der rechte Winkel bei B liegt. (Lösung ist verkleinert gezeichnet) d) Konstruktionsbericht: 1. Hilfsdreieck zeichnen (Winkel β = 65°, A’B’ = 5cm, B’C’ = 4cm) 2. Im Hilfsdreieck die Höhe einzeichnen ( F’) 3. Einen Höhenstreifen // zu A’B’ mit Abstand 5cm (für die Höhe des gesuchten Dreiecks) 4. Strecken des Hilfsdreiecks an B (BC’ schneiden mit Höhenstreifen = C, danach A’C’ durch C parallel verschieben  A) . 5. Lösung rot markieren (Lösung ist verkleinert gezeichnet) e) Konstruktionsbericht: 1. Hilfshypothenuse mit Länge 9cm zeichnen (wegen Teilverhältnis 4:5), darauf den Punkt F’ (A’F’ = 4cm, F’B’ = 5cm) 2. Höhe als Senkrechte auf Hypothenuse einzeichnen und mit Thaleskreis über A’B’ schneiden  C’ 3. Das Hilfsdreieck ist fertig 4. Auf der kürzeren Kathete 4.5cm abtragen  C 5. Hilfsdreieck an A strecken (B’C’ // durch C  B) 6. Lösung rot markieren. AB AC BC Wegen der Ähnlichkeit gilt: A'B' = A'C' = B'C' (Lösung ist verkleinert gezeichnet) 5 a) Skizze: C C’ 2cm 4cm B A A’ AC 4 44.5 1. AC: 4.5 = 6.5  AC = 6.5 = 2.769cm 4.5 cm B'C' 6.5 cm LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx 6.5 26.5 2. B’C’: 2 = 4  B’C’ = 4.5 = 2.889cm B’ A. Räz / 17.08.2015 Seite 8 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 27 / 28 Aufgaben Ähnlichkeit 5 b) Skizze: C 90cm2 1. ha berechnen (damit man zugeordnete C’ ha Verhältnisse erhält)  AABC = 15cm Also ha =180 : 15 = 12 cm 4cm 18cm B A AB 12 2112 18 = 14 cm 2. AB: 21 = 18  AB = 21 cm A’ B’ B'C' 18 3. B’C’: 15 = 12  B’C’ = 6 1518 12 = 22.5 cm Alle Dreiecke sind ähnlich (gleiche Winkel) AB 45 1. Es gilt: 45 = 36  AB = 25mm 36mm BC 45 4545 36 = 56.25mm 2545 2. Ebenso: 25 = 36  BC= 36 =31.25 mm 45mm ED 25 3. und 36 = 45  ED = 7 ha15 2  2536 45 = 20 mm 4. Damit ist der Streckenzug ABCDE = 56.25+31.25 + 25 + 20=132.5 mm Dies ist eine Strahlensatzfigur (1.Strahlensatz). Daher gilt: a) x 15 cm 4.5 cm 18 cm hc x + 4.5 18 5(x+4.5) 5x +22.5 22.5 x 15 6x 6x x = = = = ¦¦  HN (90) ¦¦ v ¦¦ - 5x Das Dreieck war 27cm hoch (hc = x + 4.5). b) 21 a 1. Es gilt: 30 = 12  a= c 27 2112 30 = 8.4 2. Ebenso: a = 21  c = b 13 8.427 21 = 10.8 2113 3. und 21 = a  ED = 8.4 = 32.5 c) Die Dreiecke AFC und CFB sind ähnlich. Dabei haben die Seiten folgende Funktion: 5 x 8 AF: kurze Kathete im Dreieck AFC CF: kurze Kathete im Dreieck BFC und lange Kathete im Dreieck AFC FB: lange Kathete im Dreieck BFC. kurze Kathete kurze Kathete AF CF Also gilt: lange Kathete = lange Kathete  CF = FB x 5 55 somit : 5 = 8  x = 8 = 3.125 LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 9 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seiten 28 / 29 / 30 Aufgaben Ähnlichkeit 7 d) Die Dreiecke AFC und BFC sind ähnlich. Dabei haben die Seiten folgende Funktion: AF: kurze Kathete im Dreieck AFC CF: kurze Kathete im Dreieck BFC und lange Kathete im Dreieck AFC FB: lange Kathete im Dreieck BFC. AC: Hypotenuse im Dreieck AFC CB: Hypotenuse im Dreieck BFC 10 8 Mit Pythagoras lässt sich die Seite CF berechnen: x CF = 102 - 82 = 6 Durch Ähnlichkeit gilt: kurze Kathete kurze Kathete CF BF =  lange Kathete lange Kathete AF = CF 6 8 a) Seitenverhältnis = 1 : b) x 66 somit : 8 = 6  x = 8 = 4.5 Das Flächenverhältnis beträgt 3 : 9. Dies entspricht dem Verhältnis 1: 3. Das heisst, dass das Seitenverhältnis = 1 : 3 und damit 3  Der Streckfaktor ist also k = 3 Das grössere Quadrat hat eine Fläche von 100cm2. Also ist die Seitenlänge im grossen Quadrat = 100 = 10 3 x Das Seitenverhältnis ist 3:5, somit gilt 5 = 10 , also x = 6 cm. anderer Weg: Seitenverhältnis 3:5  Flächenverhältnis 9 : 25. Somit ist die Fläche des kleinen Quadrates 36cm2. Also x = 6cm c) Das kleinere Quadrat hat eine Seitenlänge von 6cm. Seitenverhältnis: 3 :6  Flächenverhältnis 9 : 36. Das grössere Rechteck hat 504cm2 Fläche und eine Seite von 42cm. Also ist die andere Seite = 504 : 42 = 12cm. Entsprechend die Seitenlängen im kleinen Rechteck: 3 Länge 6 = 42  Länge = 21cm 9 a) 3 Breite 6 = 12  Breite = 6cm Somit hat das kleine Rechteck die Länge 21cm und die Breite 6cm. Das Flächenverhältnis entspricht 9:36 oder 1:4 Idee: Vierfache Fläche heisst doppelte Seitenlänge (weil Flächenverhältnis 1:4  Seitenverhältnis 1:2) Konstruktionsbericht: 1. AB verdoppeln  B’ 2. Figur von A aus strecken (mit Parallelverschieben zur Lösung kommen!) 3. Lösung rot markieren LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx A. Räz / 17.08.2015 Seite 10 Lösungen Geometrie-Dossier 2 – „Ähnlichkeit“ Seite 30 Aufgaben Ähnlichkeit 9 b) Idee: Doppelte Fläche heisst 2 -fache Seitenlänge (weil Flächenverhältnis 1:2  Seitenverhältnis 1: 2 ). eine um 2 längere Strecke kann mittels Diagonale im Quadrat konstruiert werden (siehe Pythagoras, „Die Diagonale im Quadrat“ 10 a) Konstruktionsbericht: 1. halbes Quadrat zeichnen (hier z.B. über AC  ergibt Punkt H. Die Strecke AH ist jetzt 2 länger als AC. 2. AH auf dem Strahl AC abtragen  C’ 3. Figur strecken (Parallelverschieben ausnützen) 4. Lösung rot markieren. Konstruktionsbericht: 1. AA’ und BB’ schneiden  Z 2. TZ mit A’B’ schneiden  T’ b) LoesungenGeometrie-Dossier 3-2 Ähnlichkeit.docx Konstruktionsbericht: 1. Parallele zu D’C’ durch C 2. T und D auf die Parallele drehen ( Zentrische Streckung funktioniert nur bei parallelen Geraden, also bringen wir die Strecke CD in eine parallele Lage zu C’D’. 3. D1 mit D’ und CC’ verbinden , schneiden Z 4. T1 mit Z verbinden, mit C’D’ schneiden  T’ A. Räz / 17.08.2015 Seite 11