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Lösungen
Lösung 17 1. (a) 720 (b) 42 und 990 2. 37 = 2187 (Bonus: 182′ 509′367′ 040′ 000) 3. 5 · 4 · 3 · 3 · 2 = 360
4. 39 · 37 = 1443
5. (a) 9 · 9 · 9 · 9 = 94 = 6561
(b) 9 · 8 · 7 · 6 = 3024 verschiedene solche Zahlen.
6. 15! = 1′ 307′ 674′ 368′ 000 7.
21 !"#$
+
einstellige
8. 2
10
= 1024
22 !"#$
zweistellige
+
23 !"#$
dreistellige
+
24 !"#$
= 2 + 4 + 8 + 16 = 30
vierstellige
9. (24 + 1) · (27 + 1) = 25 · 28 = 700
10.
10! 10
= 9! = 362880
11. Behauptung: (2n)! > (n!)2 . Beweis: Sind a und b zwei positive Zahlen, so ist a genau dann grösser als b, wenn ab grösser als 1 ist. Wir setzen a = (2n)! und b = (n!)2 und erhalten: (2n)! (2n) · (2n − 1) · . . . · (n + 1) · n · (n − 1) · . . . · 1 a = = 2 b (n!) n · (n − 1) · . . . · 1 · n · (n − 1) · . . . · 1 ! "# $ ! "# $ n!
n!
n+1 n n−1 1 2n 2n − 1 ·...· ·...· = · · · >1 n n − 1 1 n n − 1 1 !"#$ ! "# $ ! "# $ !"#$ ! "# $ !"#$ >1
>1
>1
=1
=1
=1
12. Beweis: n! n! n! · (k + 1) n! · (n − k) + = + k! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k − 1)! (k + 1)! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k)! n! · (k + 1) + n! · (n − k) = (k + 1)! · (n − k)! n! · (k + 1 + n − k) (n + 1)! = = (k + 1)! · (n − k)! (k + 1)! · (n − k)!
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Lösungen
Lösung 18 1. (a) 1, 5, 10, 10, 5, 1 und es gilt 2. 161700
%n& k
=
%
n n−k
& . (b) 100, 1999000, 1
3. 45 4. 497634306624 5. 121 6. höchstens 66 7. 56 8. 816 9. 94143280 10. (a) 45; (b) 24310 11. (a + b)n = (a + b) · (a + b) · . . . · (a + b) "# $ ! n Faktoren
n−k k
Wie bekommt man a b ? Indem %n& man aus k Klammern b und aus n − k Klammern a auswählt. Dies ist auf k Arten möglich und deshalb ist der Koeffizient % & von an−k bk nk .
12. Beweis (mittels Formel):
2n = (1 + 1)n =
n ( ) n ( ) ' n n−k k ' n 1 1 = k k k=0
k=0
Beweis (mit vollständiger Induktion): Induktionsverankerung (n = 1): ( ) ( ) 1 1 + = 1 + 1 = 2 = 21 ! 0 1
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Lösungen Induktionsschritt (n → n + 1): n+1 '( k=0
) ( ) ' ) ( ) n ( n+1 n+1 n+1 n+1 = + + k n+1 k 0 k=1 ( ) ' ) ( )) ( ) n (( n+1 n n n+1 = + + + n+1 k−1 k 0 k=1 ( ) ( ) n n ' ' n n =1+ + +1 k−1 k k=1 k=1 * n ( ) + * n ( ) + ' n ' n =1+ −1 + −1 +1 k k k=0 k=0 n ( ) ' n I.A. =2· = 2 · 2n = 2n+1 k k=0
Im zweiten Gleichheitszeichen haben wir die Aufgabe 12 von Blatt 17 verwendet.
Lösung 19 1. (a) 91 , (b) 92 , (c) 2. (a)
3 35 ,
(b)
4 35 ,
1 3
(c)
und (d) 23 . 8 35
und (d)
27 35 .
3. (a) 1.228 · 10−7 , (b) 2.873 · 10−5 und (c) 0.0014.
4. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf sei p (0 < p < 1). Wahrscheinlichkeit für Kopf–Zahl = p · (1 − p) = p − p2
Wahrscheinlichkeit für Zahl–Kopf = (1 − p) · p = p − p2
Also sind diese beiden Wurffolgen gleich wahrscheinlich und das Verfahren ist fair. % &n % &n % & % &n 5. (a) 12 , (b) 41 , (c) 12 und (d) 34 , (e) 12 (f) 21 · nk , (g) 1 − 12 .
6. Die Wahrscheinlichkeit in vier Würfen mindestens eine sechs zu werfen beträgt 0.5177 und die Wahrscheinlichkeiz in 24 Würfen mindestens eine Doppelsechs zu werfen beträgt jedoch nur 0.4914 = 1 − 0.5086.
7. (a) 11, 7% und (b) 23
8. Wir überlegen, wo das Zentrum des Balls durch fliegen darf. Die Fläche einer Masche ist 8cm × 8cm = 64cm2 . Durch kommt der Ball aber nur, wenn sein
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Lösungen Zentrum mehr als 2.5cm Abstand vom Draht hat i.e. durch das 3cm × 3cmQuadrat in der Mitte einer Masche fliegt. Dies verhält sich auf dem ganzen Zaun 9 . so. Darum ist die Wahrscheinlichkeit=Günstige Fläche : Mögliche Fläche = 64
Lösung 20 1. Unabhängigkeit bedeutet ja: P (A) · P (B) = P (A ∩ B) Die folgenden Wahrscheinlichkeiten können mit Hilfe eines Wahrscheinlichkeitsbaums berechnet werden. (a) P („1. Kugel weiss“) = 12 , P („2. Kugel weiss“) = 12 und P („1. und 2. Kugel weiss“) = 1 4 . Und es gilt 1 1 1 · = 2 2 4 Also sind die Ereignisse unabhängig voneinander.. (b) P („1. Kugel weiss“) = 21 , P („2. Kugel weiss“) = 12 und P („1. und 2. Kugel weiss“) = 1 6 . Und es gilt 1 1 1 · ̸= 2 2 6 Also sind die Ereignisse nicht unabhängig voneinander. 2. (a) 10.1% und (b) 0.03%. 3. 90.9% 4.
1 3
5. (a) 14 , (b)
1 2
und (c)
1 3
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