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Eichendorffschule
30. November 2015
Übungsklausur Q3 Mt LK 1. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Würfelsumme dreier Würfel.
E(x)= 3⋅3,5=10,5
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Var (x )=∑i=3 p (i)⋅(i−E ( x ))2=8,76
Man kann auch die Varianz eines Würfels verdreifachen!
2. Die Lösung zu dieser Aufgabe ist unter www.hamburg.de/contentblob/.../pdf-lernaufgaben-abitur-stochastik.pdf zu finden. Für einige Krankheiten, die erst relativ spät zutage treten, gleichwohl aber im Körper vorhanden
sind, gibt es Diagnosetests. Wenn diese Tests für eine große Gruppe angewendet werden, spricht man von Screening. So wird zur Früherkennung einer Hörstörung bei Neugeborenen standardmäßig für alle ein Test angeboten. Fast alle Eltern haben bei einer Studie dieses Angebot für ihre Kinder angenommen. Es waren 100 000 Neugeborene. Dieser Test hat eine hohe Qualität: Bei 98,9 % der schwerhörigen Kinder wird die Schwerhörigkeit auch erkannt. Man sagt auch, die Sensitivität des Testes beträgt 0,989. Bei 10 % der gesunden Kinder wird fälschlicherweise eine Schwerhörigkeit angezeigt. Man sagt auch, die Spezifität des Testes beträgt 1 – 0,1, also 0,9. Die relative Häufigkeit der Erkrankung unter allen Neugeborenen in der untersuchten Gruppe – die Prävalenz – beträgt 0,002. Fassen Sie in dieser Aufgabe die genannten drei relativen Häufigkeiten (Sensitivität, Spezifität, Prävalenz) als Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten auf. 1. Erstellen Sie für dieses Screening ein Baumdiagramm oder mit den entsprechenden Werten für die 100 000 Neugeborenen eine Vierfeldertafel mit erwarteten Anzahlen. 2. Bestätigen Sie, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein als schwerhörig getestetes Neugeborenes auch tatsächlich schwerhörig ist, knapp 2 % beträgt. 3. Einige der untersuchten 100 000 Neugeborenen haben eine Hörstörung und werden aber nach der Untersuchung als gesund betrachtet. Berechnen Sie deren erwartete Anzahl. An Neugeborenen, bei denen das Testergebnis auf eine Hörstörung hinweist, wird ein zweiter andersartiger, aber kostenintensiver Test durchgeführt. Dabei geht man von der nicht unproblematischen Annahme aus, dass sowohl bei hörgestörten als auch bei gesunden Säuglingen die Testergebnisse der ersten und der zweiten Testung stochastisch unabhängig voneinander sind. Erst wenn beide Testergebnisse auf eine Hörstörung hinweisen, wird der Gesamttest als deutlicher Hinweis auf eine Hörstörung gewertet. Für den zweiten Test gilt: Die Sensitivität ist 0,99 und die Spezifität ist 0,985. 4. Ein Neugeborenes, bei dem beide Tests auf Schwerhörigkeit hinweisen, ist mit einer Wahrscheinlichkeit von ungefähr 57 % auch wirklich schwerhörig. Bestätigen Sie diesen Wert. K. Lorey
27. November 2015 13:22
5. Bestimmen Sie die erwartete Anzahl der Säuglinge, bei denen beide Tests auf Schwerhörigkeit hinweisen. 6. Der erste Test kostet 18 € und der zweite 25 € pro Kind. Bestimmen Sie den Erwartungswert der Kosten für die gesamte Durchführung des Screenings. Vergleichen Sie diesen Wert mit den Kosten, die für die Behandlung von Schwerhörigkeit entstehen: Nehmen Sie dafür an, dass bei jedem rechtzeitig behandelten Kind die Schwerhörigkeit mit geringen Kosten geheilt oder zumindest deutlich gemindert wird, so dass nach der Therapie durchschnittlich 5000 € pro Jahr und pro Kind für viele Jahre eingespart werden.
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a) Beurteilen Sie, ob die erwartete Anzahl der Kinder,die eingehender untersucht werden müssen, von der Reihenfolge der Untersuchungen abhängt, indem Sie auch auf die Sensitivität und Spezifität des Doppeltests eingehen.
3. Eine Firma stellt DVD-Hüllen her, in denen entweder eine, zwei, drei oder vier DVDs Platz finden. Die Anteile sind wie folgt: Einfach-Hüllen (für eine DVD) 50%, Zweifach-Hüllen (für zwei DVDs) 20%, Dreifach- bzw. Vierfach-Hüllen (für drei bzw. vier DVDs) jeweils 15%. Laut Angabe der Firma sind unabhängig von der Hüllenart 4% der hergestellten Hüllen Ausschussware. 1. Aus der laufenden Produktion werden zufällig 10 Hüllen entnommen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse: A: Keine der entnommenen Hüllen ist Ausschuss. B: Alle 10 Hüllen sind von der gleichen Art. C: Mindestens 2, höchstens aber 4 Hüllen sind Zweifach-Hüllen. Bei einer Qualitätskontrolle wählt ein Mitarbeiter der Firma 20 DVD-Hüllen zufällig aus. Unter diesen Hüllen befindet sich genau eine Zweifach-Hülle, die Ausschussware ist. 2.
Der Mitarbeiter erklärt: „Die Wahrscheinlichkeit für eine Zweifach-Hülle liegt bei 0,2, die Wahrscheinlichkeit für Ausschussware bei 0,04. Demzufolge beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Hülle zugleich eine Zweifach-Hülle und Ausschuss ist, 0,2 0,04 = 0,008. Unter den 20 Hüllen befindet sich also mit der Wahrscheinlichkeit p = 20 0,008 = 0,16 genau eine ZweifachHülle, die Ausschussware ist.“
Begründen Sie, dass die Rechnung des Mitarbeiters einen Fehler enthält, und berichtigen Sie die Rechnung. 3.
Eine DVD-Hülle ist Ausschuss, wenn sie mindestens einen der beiden Fehler F1: „Riss in der Folie“ oder F2: „Bruch im Kunststoff“ aufweist. Andere Fehlerarten kommen nicht vor. Beide Fehler treten unabhängig voneinander auf. Die Wahrscheinlichkeit für Fehler F1 beträgt P(F1) = 0,025. Erläutern Sie die Rechnung in nebenstehendem Kasten im Sachzusammenhang. Stellen Sie die der Rechnung zugrunde liegende Situation in einem Baumdiagramm dar.
4. Die Firma behauptet, dass der Anteil der Ausschussware weiterhin höchstens 4% beträgt. Ein misstrauischer Kunde untersucht 300 zufällig ausgewählte Hüllen, um die Behauptung der Firma zu widerlegen. Entwickeln Sie einen Hypothesentest zur Formulierung einer Entscheidungsregel, mit dem der Kunde die Behauptung der Firma bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% widerlegen kann. 5.
Der Kunde lehnt die Behauptung der Firma ab, wenn mindestens 18 Hüllen defekt sind. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde den Anteil der fehlerhaften Hüllen als nicht gestiegen 3
einstuft, obwohl der tatsächliche Anteil der fehlerhaften DVD-Hüllen auf 6% gestiegen ist.
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