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GW 4 – H Grundkurs Wahrscheinlichkeitsre. / Statistik, Aufgabe 4 – Hinweise zur Lösung 1. Entweder du wählst zunächst 4 von den 8 freien Haken aus [Zwischenergebnis: 70 Möglichkeiten] und ordnest dann jedes Mal die 4 Mäntel auf alle möglichen Weisen auf den 4 ausgewählten Haken an… …oder (noch einfacher) du hängst zuerst den ersten Mantel an einen der Haken, dann den zweiten an einen der übrigen usw. 2. a) Es sind drei, vier, fünf oder sechs Pizzazutaten aus den 6 möglichen auszuwählen. Damit das Berechnen der Binominalkoëffizienten nicht zu mühsam wird, verwende 6 6 deren Symmetrie: Berechne z.B. 1 statt 5 . b) Hinter der Frage verbirgt sich kein Tiefsinn. Es ist einfach eine mögliche Zutat weniger.
3. Du hast es hier mit einer Bernoullikette von unbekannter Länge zu tun. In den Tabellen dafür stehen immer die Werte für P(X£k); deshalb benutzt du das Gegenereignis, nämlich dass es £1mal (0 oder 1mal) Lamm gibt. Dessen Wahrscheinlichkeit soll < 0,2 sein. Die Grundwahrscheinlichkeit ist 0,3, die Länge n, wie gesagt, unbekannt. Wahrscheinlich musst du etwas mühsam die Tabellen der kumulierten Binominalverteilung durchsuchen, denn dort sind in der Regel nicht die Werte für verschiedenes n, sondern für verschiedenes p nebeneinander abgedruckt – wenn du überhaupt eine Tabelle hast, die Werte für mehr als nur ein paar ausgesuchte Kettenlängen enthält. Sicherheitshalber findest du am Ende der dieser Hinweise einen Tabellenausschnitt, mit dem es ganz bequem geht: Offenbar musst du bei k = 1 nachschauen und den ersten Wert suchen, der kleiner als 0,2 ist. 4. a) Wieder eine Bernoullikette, diesmal mit bekannter Länge. Gesucht ist P(X£13) (Bei all diesen Aufgaben musst du sehr genau auf die Formulierungen achten: „nicht mindestens 14mal“ – das heißt halt 13mal oder weniger.) Die Schwierigkeit liegt in der Höhe der Grundwahrscheinlichkeit: Die meisten Tabellen enthalten nur p-Werte bis 0,5. Die Werte für höheres p findest du aber auch, und zwar in der Tabelle für 1 – p, wobei die k-Werte rückwärts gezählt werden und der in der Tabelle gefundene Wert erst noch von 1 abgezogen werden muss, bevor er richtig ist. Wie das geht wird klarer, wenn du bei der Tabelle unten auf die getönten Felder achtest. [Ablesung: 0.7858] b) Auch hier liegt die Schwierigkeit wieder in den Formulierungen: Da ist z.B. die Wahrscheinlichkeit dafür angegeben, dass der Wirt kein Essen ausgeben muss; du wirst besser die Wahrscheinlichkeit dafür benutzen, dass er ein Essen ausgeben muss. Das tritt ein, wenn die Zahlen der Treffer kleiner ist als das vom Wirt angegebene k – also £ k – 1! Dies hat zur Folge, dass der k-Wert, den du in der Tabelle findest, erst der Wert k – 1 aus der Aufgabe ist! Die nötigen Werte für die kumulierte Binominalverteilung stehen ebenfalls weiter unten – für den Fall, dass der etwas ungewöhnliche Wert p = 0,45 in deiner Tabelle nicht vorkommt.
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GW 4 – H 5. a) Erste Möglichkeit: Diesmal keine Bernoullikette, weil es ja nicht um die Frage „Pizza oder Nichtpizza“ geht, sondern um „Pizza oder Nudeln“. Such dir 6 Pizzaesser aus (oder – einfacher zu rechnen – 2 Nudelesser) und berechne, auf wie viele Arten die in der Schlange verteilt sein können. Bestimme dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass genau diese Leute wirklich Pizza bestellen, und die beiden restlichen Nudeln. Diese Wahrscheinlichkeit gilt dann für jede der möglichen Aufstellungen. Das Ergebnis erinnert sehr an die Bernoullizahlen – nur ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten hier nicht 1. Deshalb hilft dir keine Tabelle, sondern nur der Taschenrechner. [Zwischenergebnis: 28⋅0,004199] Zweite Möglichkeit: Wenn es keine Bernoullikette ist, kannst du eine daraus machen: Bestimme zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass von den 8 Leuten genau 6 eine Pizza bestellen, und 2 irgend etwas anderes. Das ist offenbar eine 8 8 Bernoulliwahrscheinlichkeit! (Taschenrechner, wieder mit 2 statt 6!) Von den beiden Übrigen – von denen nun schon klar ist, dass sie keine Pizza bestellen – bestellt 30 nun jeder mit der Wahrscheinlichkeit = 0,75 Nudeln; daraus bekommst du leicht die 40 Wahrscheinlichkeit dafür, dass sie’s beide tun. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich die ganze Reihe so verhält, wie es die Aufgabensteller nun mal wünschen, ist dann das Produkt dieser beiden Zahlen. b) Hier geht es um „Gemüse oder Nichtgemüse“ – also wieder eine Bernoullikette. Für „Gemüse“ ist p = 0,1. Damit eine Gemüseplatte übrig bleibt, muss X £ 2 sein. Wenn du keine passende Tabelle zur Hand hast, kannst du die drei Zahlen auch mit dem Taschenrechner ausrechnen. Die versprochenen Tabellen folgen auf Seite 3.
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GW 4 – H Kumulierte Wahrscheinlichkeiten P(X£ £k)der Binominalverteilung; Grundwahrscheinlichkeit p = 0,3 k n=2 n=3 n=4 n=5 n=6 n=7 n=8 n=9 n=10 n=11 0 0.4900 0.3430 0.2401 0.1681 0.1176 0.0824 0.0576 0.0404 0.0282 0.0198 1 0.9100 0.7840 0.6517 0.5282 0.4202 0.3294 0.2553 0.1960 0.1493 0.1130 2 1.0000 0.9730 0.9163 0.8369 0.7443 0.6471 0.5518 0.4628 0.3828 0.3127 3 1.0000 0.9919 0.9692 0.9295 0.8740 0.8059 0.7297 0.6496 0.5696 4 1.0000 0.9976 0.9891 0.9712 0.9420 0.9012 0.8497 0.7897 5 1.0000 0.9993 0.9962 0.9887 0.9747 0.9527 0.9218 6 1.0000 0.9998 0.9987 0.9957 0.9894 0.9784 7 1.0000 0.9999 0.9996 0.9984 0.9957 8 1.0000 1.0000 0.9999 0.9994 9 1.0000 1.0000 1.0000 Kumulierte Binominalverteilung n = 20 k P(X£ £k) ↓ p = 0.25 p = 0.45 0 0.0032 0.0000 19 1 0.0243 0.0001 18 2 0.0913 0.0009 17 3 0.2252 0.0049 16 4 0.4148 0.0189 15 5 0.6172 0.0553 14 6 0.7858 0.1299 13 7 0.8982 0.2520 12 8 0.9591 0.4143 11 9 0.9861 0.5914 10 10 0.9961 0.7507 9 11 0.9991 0.8692 8 12 0.9998 0.9420 7 13 1.0000 0.9786 6 14 1.0000 0.9936 5 15 1.0000 0.9985 4 16 1.0000 0.9997 3 17 1.0000 1.0000 2 p=0.75 p = 0.55 ↑ k 1-P(X£ £k)
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