Matematică

Transcript

MINISTERUL EDUCAŢIEI ȘI CERCETĂRII Proiect Phare „Acces la educaţie pentru grupuri dezavantajate” Programul „A doua șansă” ARIANA-STANCA VĂCĂREŢU MATEMATICĂ Modulul 1 Numere Ghidul elevului Această primă ediţie (pilot) este finanţată de Uniunea Europeană. Aceste materiale – publicate în cadrul Proiectului Phare „Acces la educaţie pentru grupuri dezavantajate” 2003 – au fost realizate de o echipă de experţi ai Ministerului Educaţiei și Cercetării, pentru a fi folosite în primul an de aplicare experimentală a programului educaţional revizuit „A doua șansă” – învăţământ secundar inferior. Membrii echipei care a elaborat materialele sunt: Lucia Copoeru, coordonatoarea componentei „A doua șansă”– învăţământ secundar inferior Dorina Kudor, autoare „Limba și literatura română” Carmen Costina, autoare „Limba engleză” Ariana-Stanca Văcăreţu, autoare „Matematică” Nicolae Pellegrini, autor „Matematică” Luminiţa Chicinaș, autoare „Știinţe” Ioana Mihacea, autoare „Știinţe” Mihai Stamatescu, autor „Istorie” dr. Horaţiu Popa-Bota, autor „Geografie” dr. Doina-Olga Ștefănescu, autoare „Cultură civică” Paul Vermeulen, expert U.E., componenta „Elaborare curriculum și materiale educaţionale” Ghidul este realizat în conformitate cu programa școlară pentru disciplina Matematică din cadrul programului „A doua șansă” – învăţământ secundar inferior, aprobată de Ministerul Educaţiei și Cercetării prin Ordinul nr. 5375/29.12.2005 și este distribuit gratuit cursanţilor înscriși în acest program educaţional. Toate materialele din cadrul programului educaţional „A doua șansă” vor fi modificate, conform sugestiilor de îmbunătăţire formulate în urma utilizării lor în școală. În acest sens, trimiteţi comentariile și sugestiile dumneavoastră pe adresa [email protected] Coordonator editorial: Laura Codreanu Design copertă, layout: Elemér Könczey Design și dtp: András Tánczos Ilustraţii: Levente Szekeres Corectură: Mirabela Mitrică Acest material este publicat în scopuri educaţionale, non-profit, pentru a fi folosit în primul an de aplicare experimentală a programului educaţional „A doua șansă” – învăţământ secundar inferior. Autorii s-au străduit să intre în legătură cu proprietarii imaginilor pentru a obţine permisiunea de a le folosi în această ediţie. Îi rugăm pe aceia pe care nu i-am putut contacta să ia legătura cu noi la [email protected]. Această publicaţie face parte din Programul Phare 2003 „Acces la educaţie pentru grupuri dezavantajate”, componenta „A doua șansă”. Editorul materialului: Ministerul Educaţiei și Cercetării Data publicării: februarie 2006 Conţinutul acestui material nu reprezintă în mod necesar poziţia oficială a Uniunii Europene. © Ministerul Educaţiei și Cercetării Cuprins 1. Lecþie introductivã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Capitolul I. Numere naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2. Numere naturale: comparare, reprezentare, operaþii de bazã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 3. Ordinea efectuãrii operaþiilor cu numere naturale . . . . . 10 4. Aplicaþii cu numere naturale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Capitolul II. Numere întregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 5. Comparare, reprezentare; adunarea ºi scãderea numerelor întregi negative . . . . . . 16 6. Adunarea ºi scãderea numerelor întregi . . . . . . . . . . . . . 18 7. Înmulþirea ºi împãrþirea numerelor întregi . . . . . . . . . . . 20 8. Aplicaþii cu numere întregi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Capitolul III. Numere raþionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 9. Fracþii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 10. Compararea fracþiilor ºi operaþii cu fracþii . . . . . . . . . . . 28 11. Aplicaþii practice ale fracþiilor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 12. Fracþii zecimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 13. Operaþii cu fracþii zecimale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34 14. Numere raþionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36 15. Numere raþionale în probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .38 Reflecþie la final de modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 Proiecte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Rezumatul modulului . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Ghid de studiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Indexul cuvintelor-cheie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 3 NUMERE Lecţie introductivă 1 De ce este important modulul „Numere”? Din jurnalul meu… M-am trezit la ora 6 ºi un sfert. Ar fi trebuit ca la ora 7 sã fiu la muncã, aºa cã m-am spãlat ºi m-am îmbrãcat cu repeziciune, mi-am luat ºi al doilea pulover ºi mi l-am pus în geantã – pãrea destul de frig afarã –, am mâncat douã felii de pâine ºi am bãut o canã cu lapte, am luat 3 lei ca sã îmi pot cumpãra ceva de mâncare în pauza de masã ºi am ieºit valvârtej din casã… Trebuia sã aºtept în staþie autobuzul 30… ºi, ca de fiecare datã când sunt în întârziere, autobuzul nu vine. Mã uit la ceas… deja e ora 6 ºi 35 de minute… Am sã ajung oare la timp? Autobuzul face 15 minute, apoi, pe jos, încã 5 minute… Îmi bag mâna în buzunar ºi dau de cei 3 lei pe care îi luasem înainte de a pleca… Îmi vor ajunge pentru a-mi cumpãra 3 cornuri ºi un iaurt în pauza de masã?… Nu am vreme sã îmi rãspund la întrebare pentru cã vine autobuzul. Urc repede în el, mã uit la ceas din nou, fac un calcul ºi mã liniºtesc… La ora 7 voi fi pe Strada Meseriei la numãrul 10… adicã în atelierul în care lucrez… Parcã ºi aud vocea maistrului: „Azi vei avea de fãcut 45 de piese… Sper cã te-ai odihnit bine azi-noapte pentru cã trebuie sã onorãm azi cele 2 comenzi!” Reciteºte textul ºi eliminã toate numerele din text. Cum þi se pare textul în aceastã variantã? Cum ar fi viaþa noastrã fãrã numere? Acest modul te va ajuta sã cunoºti mai bine numerele ºi sã faci calcule cu ele în diferite situaþii: sã prepari o mâncare dupã o reþetã din cartea de bucate, sã calculezi dacã îþi ajung banii pentru a-þi cumpãra un tricou, sã decizi care dintre reducerile de preþuri din magazine este mai convenabilã, sã calculezi dacã îþi ajunge timpul pentru a ajunge într-un anume loc, sã lucrezi… Credem cã ºtii sã faci calcule cu numerele naturale (0, 1, 2, 3, 4, 5,…) dar oare sunt toate numerele naturale? Parcurgând acest modul, vei afla ºi despre „altfel de numere” ºi vei putea face calcule cu acestea pentru a rezolva probleme diferite. Vei studia acest modul pe parcursul a 50 de ore alocate în cadrul curriculumului trunchi comun ºi a 15 ore de curriculum la decizia ºcolii. În cele 50 de ore vei parcurge lecþiile ºi, evident, activitãþile din acest ghid. Cele 15 ore de curriculum la decizia ºcolii sunt alocate pentru a-þi da posibilitatea sã lãmureºti chestiuni ce au rãmas neclare în activitãþile de la clasã, sã aprofundezi noþiuni ºi tehnici pe care le-ai învãþat la orele de matematicã sau, de ce nu?, sã înveþi tehnici ºi noþiuni noi despre numere. Ghidul este structurat pe 3 capitole: numere naturale, numere întregi ºi numere raþionale. Fiecare capitol conþine descrierea lecþiilor corespunzãtoare ºi se finalizeazã cu o activitate care îþi va da posibilitatea sã verifici progresul pe care l-ai fãcut. La finalul ghidului ai sã gãseºti o fiºã pentru reflecþia de modul, informaþii referitoare la proiectele acestui modul, rezumatul modulului, un ghid de studiu ce te va ajuta în pregãtirea evaluãrii de modul ºi indexul cuvintelor-cheie. De ce este important acest ghid? El te va conduce în activitãþi care te vor sprijini în învãþare ºi este un instrument util în vederea achiziþionãrii rapide a unor tehnici de lucru. În paginile ghidului vei gãsi 15 lecþii, 14 dintre ele fãcând parte din capitolele pe care le-am menþionat anterior. Fiecare lecþie se desfãºoarã pe 4 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI parcursul a 3 ore ºi este structuratã pe trei faze/etape: faza de familiarizare cu problema, cea a achiziþiilor noi ºi cea a aplicãrii în contexte simulate sau autentice. În cadrul primei faze se lanseazã problema în faþa întregii clase ºi, împreunã, veþi clarifica definiþii/noþiuni, veþi repeta noþiunile deja învãþate. Faza a doua este, de fapt, dedicatã structurãrii problemei ºi veþi lucra individual, în perechi, în grupuri mici sau, câteodatã, toþi împreunã, pentru a rezolva problema. În timp ce lucraþi, veþi împãrtãºi idei, veþi cãuta modele de rezolvare, veþi face presupuneri. Ultima fazã este cea a aplicãrii noilor achiziþii în alte contexte, a reflecþiei. Pe parcursul acestei etape vei dobândi deprinderi de a utiliza ideile ºi tehnicile care au rezultat prin explorarea problemei. Fiecare fazã a lecþiei este construitã pe baza a 2-3 activitãþi ce presupun, de fapt, rezolvãri de exerciþii ºi probleme. Exerciþiile ºi problemele propuse te vor ajuta sã descoperi „aproape” singur Lumea Numerelor. Spunem „aproape singur” deooarece cadrul didactic de matematicã va fi lângã tine pentru a te sprijini – atunci când vei avea nevoie. Ideile matematicii sunt îmbrãcate în exerciþii ºi probleme interesante. Sperãm ca aplicaþiile propuse, majoritatea lor fiind puse în context, sã te ajute sã înþelegi ºi sã reþii mai uºor conceptele ºi regulile matematicii. Pentru a înþelege mai bine ideea pe care încercam sã o exprim, am sã dau un exemplu. Ieri, patru prieteni ºi-au cumpãrat fiecare câte o franzelã micã. Toate franzeluþele erau la fel. Mihai ºi-a tãiat franzela în 4 felii egale ºi a mâncat 3, Corina a tãiat-o în 5 felii egale ºi a mâncat 4, Maria a tãiat-o în 10 felii egale ºi a mâncat 9, Sami a tãiat-o în 20 de felii egale ºi a mâncat 17. Cine a mâncat mai multã pâine? De unde ºtii? Pentru a rezolva aceastã problemã, poþi folosi ce materiale doreºti: hârtie cu pãtrãþele, calculator, cercuri din hârtie… De fapt, vei lucra cu fracþii: vei gãsi o modalitate de a le reprezenta, vei efectua operaþii cu fracþii ºi le vei compara. Problema este doar un pretext pentru înþelegerea fracþiilor ºi operarea cu ele. În paginile acestui ghid, vei întâlni simbolurile: Simbol Semnificaþie Simbol Semnificaþie Simbol Semnificaþie include pagina în portofoliu informaþie nouã utilizeazã computerul ºi resurse web se recomandã sã rezolvi sarcina de lucru în caiet ar fi util sã îþi reaminteºti proiect Ce știu? Rezolvã problemele de mai jos în caietul tãu. Dupã ce ai terminat, comparã rezultatele pe care le-ai obþinut cu rezultatele colegilor tãi. 1. Am intrat în supermarket ºi aveam 16 lei. Am luat o pâine de 2 lei, o cutie cu margarinã de 4 lei ºi am vãzut un tricou – pe care mi-ar fi plãcut sã-l am – cu 11 lei. Îmi ajung banii ºi pentru tricou? 2. Vecina mea, Ana, doreºte sã plece în concediu în Grecia sau în Tunisia. A cumpãrat ziarul Piaþa de la A la W ºi m-a rugat sã o ajut sã decidã la ce hotel sã se cazeze. „Ciudatã rugãminte!… Cum pot eu sã o ajut în alegerea hotelului?!” – m-am întrebat ºi apoi i-am adresat întrebarea cu voce tare. „Foarte simplu – mi-a rãspuns ea – te rog sã-mi scrii ofertele de preþ din ziar în ordinea crescãtoare a preþului.” Imagineazã-þi cã eºti vecinul Anei ºi cã vrei sã o ajuþi. Scrie lista ofertelor din ziar în ordinea crescãtoare a preþurilor în caietul tãu. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 5 Reflecţie Marcheazã cu × cãsuþele prin care afirmaþiile 1, 2, 3, 4 devin adevãrate. 1. Sunt pus în situaþia de a face calcule cu numere când: o fac cumpãrãturi; o citesc ziarul; o mã uit la televizor; o lucrez; o îmi planific timpul; o îmi planific banii; o altele (te rog sã specifici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Calculez uºor cu numere dacã: o numerele sunt naturale de la 0 la 10; o numerele sunt naturale de la 10 la 100; o numerele sunt naturale ºi mai mari ca 100; o numerele sunt cu virgulã; ( o numerele sunt fracþii ex.: 1  4 ); o numerele sunt sub formã de procente (ex.: 20%); o alte situaþii (te rog sã specifici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Calculez uºor dacã în calcul sunt operaþii de: o adunare ºi scãdere; o înmulþire; o împãrþire; o alte situaþii (te rog sã specifici) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Calculez uºor: o în minte; o utilizând creionul ºi hârtia; o utilizând calculatorul. 5. Completeazã propoziþia: Aº dori sã învãþ despre numere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 6 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Numere naturale I Parcurgând acest capitol, vei fi capabil: • să scrii și să citești numere naturale; • să compari și să ordonezi numere naturale; • să reprezinţi pe axă numere naturale; • să efectuezi calcule cu numere naturale; • să rezolvi probleme cu numere naturale. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 7 NUMERELE NATURALE Numere naturale: comparare, reprezentare, operaţii de bază 2 Pentru început… 1. ªtiaþi cã? Din ceea ce arheologii au descoperit, se pare cã matematica a precedat scrisul. Un mod simplu de reprezentare a numerelor, folosit în Orientul Mijlociu cu peste 5 000 de ani în urmã, este cel cu ajutorul rãbojurilor. Reprezentarea numerelor a evoluat de-a lungul timpului în sensul simplificãrii ºi concentrãrii scrierii. Cum credeþi cã s-ar fi scris, în Orientul Mijlociu, acum 5 000 de ani, numãrul 11? Discutaþi. 2. Scrie 5 motive pentru studiul numerelor. Listeazã 10 meserii în care este necesar sã lucrezi cu numere. Dacã þi-a plãcut aceastã activitate, îþi sugerez sã o dezvolþi prin proiectul „Numere în meserie”, a cãrui descriere o gãseºti la pagina 44 a acestui ghid. Numerele naturale sunt: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6… Cele trei puncte scrise dupã cifra 6 aratã cã ºirul numerelor naturale continuã, fãrã a se termina vreodatã. Mulþimea numerelor naturale se noteazã cu N. Cele patru operaþii de bazã cu numere naturale sunt: (+) adunarea (de ex.: 3 + 6 = 9), (–) scãderea (de ex.: 6 – 3 = 3), (·) înmulþirea (de ex.: 3 · 6 = 18) ºi (:) împãrþirea (de ex.: 6 : 3 = 2). Numãrul natural b divide numãrul natural a sau numãrul natural b este divizor al numãrului natural a dacã existã numãrul natural c astfel încât a = c · b. De exemplu, 3 este divizor al lui 21 pentru cã 21 = 7 · 3. Numãrul natural a este mai mare sau egal decât cu numãrul natural b (ºi scriem a ≥ b) dacã existã c un numãr natural astfel încât a = b + c. De exemplu, 8 ≥ 6 pentru cã 8 = 6 + 2. Dacã a ≥ b, atunci spunem ºi cã b este mai mic sau egal cu a ºi scriem b ≤ a. Axa numerelor naturale este: Fiecãrui numãr natural îi corespunde un punct pe axã. Numerele mai mari se reprezintã în dreapta numerelor mai mici. Descoperă și învaţă 3. 8 Citeºte întregul text ºi apoi citeºte doar numerele din text. Lista monumentelor protejate de organizaþia naturale ale lumii din 1972 încurajeazã coopeUNESCO World Heritage include 788 de mo- rarea internaþionalã pentru a pãstra aceste numente ce sunt parte a moºtenirilor culturale monumente. Comitetul World Heritage suºi naturale situate în 134 de state. Din cele 788 pervizeazã distribuirea celor peste 2.000.000 de monumente, 611 sunt monumente cultu- de dolari pe an pentru acþiuni de urgenþã, rale, 154 sunt monumente naturale ºi 23 sunt formarea experþilor ºi încurajarea cooperãrii monumente naturale ºi culturale. Convenþia tehnice. România este prezentã în lista moasupra protecþiei monumentelor culturale ºi numentelor protejate UNESCO cu 7 poziþii: MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Delta Dunãrii (anul înscrierii 1991), sate cu biserici fortificate din Transilvania (anul înscrierii 1993, anul extinderii 1999), Mãnãstirea Horezu (anul înscrierii 1993), biserici din Moldova (anul înscrierii 1993), centrul istoric al oraºului Sighiºoara (anul înscrierii 1999), biserici din lemn din Maramureº (anul înscrierii 1999), Fortãreaþa dacã din Munþii Orãºtiei (anul înscrierii 1999). (informaþie preluatã de pe site-ul web UNESCO http://portal.¬ unesco.org/en ºi web-site-ul World Heritage http://¬ whc.unesco.org/en) Rãspunde la urmãtoarele cerinþe, ºtiind cã toate fac referire la numerele naturale din textul anterior. Scrie fiecare numãr ca o sumã de cel puþin alte 2 numere naturale diferite. Scrie numerele mai mari decât 10 ca sumã de 3, 4 ºi 5 numere naturale diferite. Scrie numerele mai mari decât 2 ca sumã în care unul din termeni este un alt numãr natural din text. Scrie toate numerele în ordine crescãtoare. Scrie toate numerele în ordine descrescãtoare. Reprezintã numerele mai mici decât 30 pe axa numerelor. Rotunjeºte numerele naturale mai mari decât 100 ºi mai mici decât decât 1000. Identificã 4 divizori diferiþi ai numãrului 788. 4. Calculeazã mintal: 80 – 49; 48 : 3; 15 · 6; 35 + 36; 12 + 39 + 8 + 1. Aplică 5. 6. Citeºte textul ºi apoi, împreunã cu colegii tãi, rãspunde la întrebãri. Sunt iniþiatorul proiectului „Graffiti – artã ºi nu vandalism”. Avem de fãcut un graffiti pe unul din pereþii ºcolii. Mã pregãtesc sã merg cu prietenii mei, Tudor ºi Ana, la Braºov, la depozit, pentru a cumpãra 58 de spray-uri de vopsea superpigmentatã la un preþ mai mic. Un bilet de tren dus-întors costã 27 de lei, cu mâncarea ne putem descurca cu 6 lei/persoanã ºi un spray cumpãrat din depozit costã 14 lei. Estimeazã ºi apoi calculeazã ce sumã trebuie sã obþin ca sponsorizare pentru a acoperi costul drumului la Braºov. Cât ne costã spray-urile? Cu cât plãtim mai puþin pe spray-uri, dacã un spray în magazin costã 18 lei? Cât economism fãcând acest drum pânã la depozitul din Braºov, în loc sã cumpãrãm spray-urile dintr-un magazin din oraºul nostru? Este important de ºtiut cã în oraºul nostru nu avem un depozit de spray-uri. Scrie expresia aritmeticã a calculelor fãcute pentru a rãspunde la ultima întrebare. Aºazã toate numerele naturale din textul problemei pe axa numerelor. Temã suplimentarã 1. Calculeazã: a) 1 + 23 + 45 + 54 + 32 + 1; b) 45 – 17; c) 345 – 194; d) 63698 – 3333; e) 4963 – 232; f) 253 + 121 – 323; g) 120 · 5; h) 3 · 5 · 20. 2. Fie numerele: 5; 12; 3; 1; 7; 17; 8; 11; 6; 13. Citeºte-le, aºeazã-le în ordine crescãtoare ºi reprezintã-le pe axa numerelor. Aratã cã 3 ≤ 17 ºi cã 12 ≥ 6. Aratã cã 6 este divizor al lui 12. Rezolvã problemele: 3. Am 17 ani ºi mama m-a nãscut când avea 20 de ani. Câþi ani are mama? 4. Am ajutat-o pe vecina mea sã culeagã caise ºi, drept rãsplatã, mi-a dat 15 kg de caise. Am preparat gem din 6 kg, am mâncat 1 kg ºi restul le-am vândut. Câþi lei am obþinut, dacã am vândut restul caiselor la preþul de 4 lei/kg? Cât m-a costat zahãrul pentru gem dacã am pus 1 kg de zahãr la 2 kg de caise ºi 1 kg de zahãr costã 2 lei? PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 9 NUMERE NATURALE Ordinea efectuării operaţiilor cu numere naturale 3 Pentru început… 1. ªtiaþi cã? Într-unul din cele mai vechi manuale de matematicã, atribuit lui Ahmes (1700 î.Hr.), apare urmãtoarea problemã: 7 persoane au câte 7 pisici, fiecare pisicã mãnâncã 7 ºoareci, fiecare ºoarece mãnâncã 7 spice de orz, din fiecare spic pot rãsãri 7 plante noi. Câte plante noi ar rãsãri? Rezolvaþi problema în grup. Ce operaþie aþi utilizat pentru rezolvarea problemei? De câte ori? Între ce numere? Descoperă și învaţă Ridicarea la putere este o altã operaþie cu numere naturale. Produsul a n factori egali cu a se numeºte ridicarea lui a la puterea n ºi se noteazã an. Produsul a doi factori egali cu a se numeºte pãtratul numãrului a, iar produsul a 3 factori egali cu a se numeºte cubul numãrului a. De exemplu, pãtratul numãrului 5 este 52, adicã 5 · 5 = 25, iar cubul numãrului 5 este 53, adicã 5 · 5 · 5 = 125. În scrierea an, a se numeºte bazã ºi n se numeºte exponent. Ordinea efectuãrii operaþiilor este foarte importantã în rezolvarea exerciþiilor ce presupun mai multe operaþii diferite. Ar fi bine sã reþii regula: Parantezele – Ridicarea la putere – Înmulþirea/Împãrþirea – Adunarea/Scãderea. 2. 3. Citeºte textul ºi utilizeazã un calculator de buzunar pentru a rãspunde la întrebãri. Ce se întâmplã dacã utilizezi un calculator ºi rezultatul calculului este prea lung pentru a putea fi scris pe ecranul calculatorului? Utilizeazã un calculator pentru a efectua urmãtoarea înmulþire: 4.000.000.000.000 · 2.000.000.000. Vei descoperi o modalitate de a scrie numere foarte lungi utilizând puþin spaþiu. Aceastã scriere se numeºte „notaþie ºtiinþificã” sau „notaþia E” pe calculator („E” vine de la „exponent”). Scrierea ºtiinþificã înseamnã scrierea unui numãr ca un produs dintre un numãr de la 1 la 10 ºi o putere de-a lui 10. Utilizeazã scrierea ºtiinþificã pentru a scrie numerele: 2.000.000; 5.000.000.000 ºi apoi efectueazã, cu ajutorul calculatorului, înmulþirea 2.000.000 · 5.000.000.000. Completeazã tabelul. Problema Baza 23 2 32 4 72 43 (2 · 3)3 (2 · 5)2 Exponentul Ce înseamnã 3 2·2·2 2 5 2 5 3 Soluþia 8 6·6 8·8 Sã ne reamintim cum aplicãm ordinea efectuãrii operaþiilor. Dacã avem de fãcut urmãtorul calcul: 8 + 4 · (10 – 7), vom proceda în felul urmãtor: 8 + 4 · (10 – 7) 8+4·3 8 + 12 10 =8+4·3 = 8 + 12 = 20 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI paranteza înmulþirea adunarea 4. Estimeazã, calculeazã, fãrã a uita sã þii cont de ordinea efectuãrii operaþiilor, ºi aºazã rezultatele obþinute pe axa numerelor naturale. a) 18 + 36 : 32; b) 52 · 24 – 10 · 4; c) 289 – (3 · 5) 2 – 54; d) 8 + (2 · 5) · 34 : 9 – 89. Aplică 5. Rezolvã, împreunã cu colegii tãi, problemele: 1. Un grup de 28 de persoane este împãrþit în mod egal, în 4 echipe. Câte persoane sunt în fiecare echipã? 2. Leo, Vlad ºi Tudor au lucrat la o spãlãtorie de maºini pe timpul verii. Ei au primit 210 lei. Câþi lei a primit fiecare, dacã au decis sã împartã banii primiþi în mod egal? 3. 58 de prieteni s-au hotãrât sã sãrbãtoreascã majoratul Mariei într-o discotecã. Câte mese au rezervat, dacã o masã are 8 locuri? 4. Un decorator de apartamente încaseazã 12 lei/m2 pentru a lipi tapetul ºi 150 de lei preþ de lucrare. Câþi lei trebuie sã îi plãtesc, dacã doresc sã tapetez doi pereþi în formã de pãtrat cu latura de 3 metri? Îþi reamintim cã suprafaþa pãtratului de laturã L este L2. 6. Estimeazã 182; 292; 112; 12 · 23; 59 · 98; 26 · 101; 71 · 69. Calculeazã mintal: 70 – 19; 12 · 11; 120 : 4; 100 – 18; 43 + 45; 202. Dacã aveþi conexiune internet la ºcoalã, rezolvã exerciþiile de la adresa http://www.edhelper.com/math/order_of_operations105.htm 7. Temã suplimentarã 1. Calculeazã: a) 32 · 43; b) 27 – 256 : 43; c) 9 · (5 +3)2 – 144; d) 7 + 3 · 24 : 6 e) 9 – 5 : (8 – 3) · 2 + 6; f) 159 : (6 + 3 · 8) – 5; g) (36 – 6) : (12 + 3); h) (36 – 3 · 4) : (15 – 9 : 3). Reprezintã printr-un desen expresia aritmeticã de la e). Desenul va conþine obiecte din viaþa realã ºi cifre. Rezolvã problemele: 2. Un parchetar încaseazã 20 de lei/m2 pentru a pune parchet. Dacã el pune parchet într-un hol în formã de pãtrat cu o lungime de 6 m ºi oferã o reducere de 25 de lei la aceastã lucrare, cât va fi costul lucrãrii? 3. Vasile i-a cerut Mihaelei 32 de lei pentru piese ºi 10 lei/orã pentru repararea maºinii. Dacã el a lucrat 3 ore pentru a repara maºina, cât are Mihaela de plãtit? 4. O firmã de catering cere pentru organizarea unei mese 50 de lei plus 20 de lei/persoanã. Cât trebuie sã plãtesc firmei dacã la petrecere participã 35 de persoane ºi beneficiez de o reducere de 100 de lei? 5. Un grãdinar încaseazã 8 lei/m2 pentru a monta gazon. Dacã o gradinã are forma unui pãtrat cu latura de 15 m, cât va încasa grãdinarul pentru a acoperi cu gazon grãdina? 6. ªase persoane vor împãrþi în mod egal consumaþia pe care au fãcut-o într-un club. Cât va avea Anca de plãtit, dacã întreaga consumaþie a fost de 150 de lei ºi are un cupon de reducere în valoare de 8 lei? 7. Dana mãnâncã la cantinã, ºi prânzul o costã în fiecare zi 4 lei. Cât trebuie sã plãteascã pentru o cartelã sãptãmânalã? Dar pentru una lunarã? Stabileºte o formulã de calcul. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 11 NUMERE NATURALE Aplicaţii cu numere naturale 4 Pentru început… 1. 2. Despre rezolvarea problemelor „Fiecare problemã pe care am rezolvat-o a devenit o regulã pe care am utilizat-o mai târziu în rezolvarea altor probleme.” (René Descartes – filosof ºi matematician francez 1596 – 1650) Gândiþi-vã la etapele parcurse pentru rezolvarea problemelor din cadrul lecþiilor 2 ºi 3. Discutaþi ºi stabiliþi care sunt etapele de rezolvare a unei probleme. Gãseºte-þi perechea ºi aliniazã-te! Vei primi o „carte de joc” dintr-un pachet de cãrþi de joc mai special. De data aceasta, cãrþile de joc nu sunt aºi, dame, regi sau valeþi, ci conþin exerciþii numerice. În setul de cãrþi de joc sunt câte douã cãrþi care au aceeaºi valoare, adicã rezultatul exerciþiilor de pe cele douã cãrþi este acelaºi. Vei avea de aflat valoarea cãrþii de joc pe care ai primit-o ºi apoi va trebui sã îþi gãseºti perechea. Dupã ce toþi elevii din clasã ºi-au gãsit perechea, vei scrie valoarea cãrþii pe partea nescrisã a acesteia ºi, împreunã cu colegii tãi, veþi realiza o linie valoricã, aºezându-vã într-un rând în ordinea crescãtoare a valorilor cãrþilor de joc. Un exemplu de douã cãrþi de joc cu aceeaºi valoare este urmãtorul: 72 + 3 – (5 + 10) + 13 · 2 8 + (9 · 7) – 82 : 8 Descoperă și învaţă 3. Citeºte textul ºi rãspunde împreunã cu colegii tãi cerinþelor din text. Reflectaþi împreunã asupra etapelor parcurse pentru rezolvarea problemei. Am gãsit o ofertã specialã (în lei vechi) în ziar ºi m-am hotãrât sã merg la cumpãrãturi. Doresc sã cumpãr 2 cutii de detergent la 500 de grame, 2 cutii termorezistente, 20 de bucãþi de bureþi de vase, 20 de bucãþi de hârtie igienicã, un lighean ºi 2 seturi de condimente. Aproximeazã suma de bani de care am nevoie pentru a cumpãra produsele enumerate mai sus. Calculeazã suma exactã pe care o voi plãti. Cât voi primi rest dacã plãtesc cu o hârtie de 50 de lei noi? Citeºte toate preþurile din ofertã ºi scrie-le apoi în ordine descrescãtoare. 12 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Aplică 4. 5. Rezolvã problema împreunã cu colegii tãi. Echipa de majorete pe care o antrenez a fost invitatã la Campionatul European de Majorete. Este o recunoaºtere a valorii echipei, dar participarea la campionat înseamnã ºi un efort financiar mare. Va trebui sã gãsesc ºi niºte sponsori. Am început prin a-mi pregãti o listã cu tot ceea ce ar fi necesar pentru a onora participarea noastrã la campionat cum se cuvine. Pentru fiecare membrã a echipei trebuie cumpãrate: un costum nou, adicã: o bluzã (aproximativ 15 lei), o fustã (aproximativ 17 lei), o pereche de cizme (aproximativ 70 de lei), o pereche de adidaºi (depinde de marcã, dar hai sã spunem 50 de lei), 3 perechi de ciorapi (o pereche costã aproximativ 4 lei), 2 perechi de ºosete albe (o pereche costã aproximativ 2 lei), o pereche de cercei – toate fetele trebuie sã aibã cercei identici (aproximativ 2 lei), 3 elastice de pãr (1 bucatã costã 1 leu). Ar mai trebui sã refacem pompoanele, ceea ce înseamnã cã ar trebui sã cumpãrãm panglici de hârtie (dintr-o rolã se pot confecþiona douã pompoane ºi costã 2 lei) ºi bandã adezivã groasã (o rolã e suficientã pentru 20 de pompoane ºi costã 2 lei). Vã rog sã mã ajutaþi sã calculez cât este costul echipamentului de concurs pentru una dintre majorete ºi cât costã echipamentul pentru întreaga echipã, dacã în echipã sunt 30 de fete. Estimaþi ºi apoi calculaþi suma pe care ar trebui sã o obþin ca sponsorizare pentru a achiziþiona bluzele, fustele ºi cizmele pentru toate fetele din echipã ºi suma pe care ar trebui sã o cheltuiascã fiecare fatã pentru restul obiectelor din echipament în condiþiile în care obþin sponsorizarea. Verificã-þi progresul! Realizaþi o brainstorming pentru a rãspunde la întrebãrile: Ce înseamnã progres? De ce e util sã ne verificãm progresul? Rezolvã exerciþiile ºi problemele de mai jos. 1. Scrie semnul „≥” sau „≤”, astfel încât urmãtoarele afirmaþii sã fie adevãrate: a. 19 … 12; b. 83 … 75; c. 101 … 111; d. 2050 … 2500. 2. Câte sute are numãrul: a. 745; b. 3657? 3. Completeazã urmãtoarele propoziþii: – Numãrul …… este cu 3 mai mare decât 15. – Numãrul …… este cu 26 mai mic decât 78. – Numãrul …… este de 5 ori mai mic decât 20. – Numãrul …… este de 15 ori mai mare decât 24. 4. Subliniazã rãspunsul corect: 4 + 2 · 3 este a. 18 b. 10 c. 8 d. 12. 29 + 2 · 33 : 6 este: a. 139 b. 32 c. 38 d. 46. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 13 5. Subliniazã numerele din textul urmãtor: „Speranþa de viaþã a românilor e sub 70 de ani, cu 10 – 15 ani mai micã decât în þãrile Uniunii Europene. (…) De ce mor românii: 1) Boli cardiovasculare (735 decese la 100.000 de locuitori); 2) Cancerele (203 decese la 100.000 de locuitori); 3) Bolile aparatului digestiv (70 decese la 100.000 de locuitori); 4) Bolile aparatului respirator (63 decese la 100.000 de locuitori). 5) Accidentele au reprezentat a cincea cauzã de deces în România în anul 2004, înregistrându-se 62 de decese la 100.000 de locuitori.” (articolul „Românii trãiesc cu 15 ani mai puþin ca occidentalii”, din ziarul Libertatea nr. 4774, din 22 august 2005) Citeºte numerele pe care le-ai subliniat. 6. Distanþa de la Cluj-Napoca la Budapesta este de 480 km. Dacã microbuzul parcurge aproximativ 80 km într-o orã, estimeazã câte ore dureazã cãlãtoria. 7. Vasile lucreazã ca voluntar la un centru pentru copii. El trebuie sã cumpere 14 tricouri pentru echipa de volei a centrului. La magazinul Tineret, un tricou costã 12 lei. La magazinul Kervelo un tricou costã 16 lei, dar în aceastã perioadã magazinul are o ofertã specialã: dacã cumperi 3 produse, unul dintre produse este gratis. Vasile doreºte sã cheltuiascã cât mai puþin. De la care magazin sã cumpere tricourile? Argumenteazã-þi rãspunsul. 6. Completeazã fiºa de autoevaluare. 1. Am învãþat despre numerele naturale cã: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 2. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere naturale dacã în expresie apar operaþiile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Paginile . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele de la 1 ºi 2. 4. Am încã dificultãþi cu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 5. Cred cã întâmpin aceste dificultãþi pentru cã: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 6. Paginile . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele la 4 ºi 5. 7. Am contribuit la activitãþile în perechi/pe grupe/cu întreaga clasã atunci când: .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... 14 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Numere întregi II Parcurgând acest capitol, vei fi capabil: • să scrii și să citești numere întregi; • să compari și să ordonezi numere întregi; • să reprezinţi pe axă numere întregi; • să efectuezi calcule cu numere întregi; • să rezolvi probleme cu numere întregi. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 15 NUMERE ÎNTREGI Comparare, reprezentare; adunarea și scăderea numerelor întregi negative 5 Pentru început… 1. Despre numere: „Dumnezeu a fãcut numerele naturale; toate celelalte numere sunt rezultatul muncii omului.” – Leopold Kronecker, matematician (1823 – 1891). „Natura nu numãrã ºi nici numerele naturale nu apar în naturã. Omul a creat toate numerele, în ciuda celor spuse de Kronecker.” – P. W. Bridgman, matematician ºi fizician (1882 – 1961), laureat al Premiului Nobel pentru fizicã în 1946. Comentaþi citatele de mai sus. Descoperă și învaţă 2. Citeºte textele de mai jos ºi împreunã cu colegul tãu rãspunde cerinþelor. Priviþi hotelul din imagine. Proprietara lui doreºte sã introducã un lift care sã îi transporte pe turiºti la fiecare etaj (pânã la etajul 4) ºi în discoteca, barul ºi parcarea aflate în cele douã nivele din subsolul hotelului. Desenaþi în caiete panoul de comandã cu butoanele pentru lift. Scrieþi pe fiecare buton numãrul etajului. Registrul de casã al firmei A & V pentru data de 30 octombrie se prezintã astfel: Nr. Nr. Nr. act casã crt. anexã Report/ sold ziua precedentã 1. Chit. 12 2. DP 20 3. Chit. 2 4. Chit. 72 5. Chit. 98 De reportat pagina/TOTAL Explicaþii Achiziþie calculator Salarii Chirie Protocol Hârtie copiator Încasãri 4000 500 Plãþi Simbol cont corespondent 1500 2300 100 600 X Efectuaþi totalul pe cele douã coloane (încasãri ºi, respectiv, plãþi) ºi stabiliþi ce sumã va avea firma de reportat pentru ziua urmãtoare (suma de reportat este diferenþa dintre total încasãri ºi total plãþi). Refaceþi calculele pentru situaþia în care suma plãtitã la poziþia 5 ar fi fost 700 (adicã dacã firma ar fi cumpãrat hârtie de copiator în valoare de 700 de lei). Cum aþi reprezenta în scris suma de reportat pentru ziua urmãtoare în aceastã situaþie? Azi, la Helsinki sunt 5 grade sub zero. Scrieþi, utilizând simboluri matematice, temperatura aerului din Helsinki. Numerele „sub zero” care au intervenit în cadrul activitãþii 2 sunt numere negative. Ele se noteazã cu „minus” în faþa numãrului. Mulþimea numerelor întregi (se noteazã cu Z) conþine numerele naturale ºi numerele negative, adicã:…, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,… Numerele negative sunt mai mici decât 0, iar numerele pozitive sunt mai mari decât 0. Numãrul –2 este opusul numãrului 2, ºi reciproc. Pentru a reprezenta numerele negative pe axã, ar trebui sã prelungim spre stânga axa numerelor naturale. În aceastã situaþie, axa numerelor este reprezentatã ca în desenul alãturat: Dacã numãrul a se aflã în stânga numãrului b (pe axã), spunem cã a ≤ b. 16 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI 3. Reprezintã pe axa numerelor valorile celor mai scãzute temperaturi lunare (în °C) înregistrate în ultimii 21 de ani la Deva (informaþia este preluatã de pe site-ul web http://www.weatherbase.com) Luna Temp. Ian. –23 Feb. Martie Apr. –19 –19 –3 Mai 2 Iunie Iulie Aug. Sept. Oct. 1 6 7 –1 –5 Nov. –13 Dec. –15 Citeºte numerele din tabel. Comparã numerele 1 ºi –23; –19 ºi –13; –3 ºi –2; –15 ºi –13; 2 ºi 1; 2 ºi –1. Aºazã valorile din tabel în ordine crescãtoare. Determinã numãrul de unitãþi de pe axa numerelor dintre punctele reprezentate pe axã. 4. Rezolvã împreunã cu colegii tãi problemele: Am o datorie de 50 de lei ºi, pentru a plãti consumul de energie electricã la timp, mã împrumut cu încã 55 de lei. Care este suma totalã pe care am împrumutat-o? Dacã la primul salariu pot achita 75 de lei din datorie, ce sumã voi mai avea de achitat? Temperatura creºte sau descreºte în cursul zilei sau/ºi de la o zi la alta. Rãspunde în scris, folosind reprezentarea valorilor pe axa numerelor, la urmãtoarele întrebãri: a) cu câte grade a crescut temperatura, dacã dimineaþa au fost 3°C ºi la prânz au fost 11°C?; b) cu câte grade a scãzut temperatura, dacã la prânz au fost 14°C ºi seara au fost 9°C?; c) cu câte grade a crescut temperatura, dacã dimineaþa au fost –4°C ºi la prânz au fost 5°C?; d) cu câte grade a scãzut temperatura, dacã la prânz au fost 3°C ºi noaptea au fost –2°C?; e) cu câte grade a crescut temperatura, dacã dimineaþa au fost –20°C ºi la prânz au fost –8°C? Discutaþi rezultatele obþinute ºi deduceþi o regulã pentru adunarea ºi scãderea numerelor întregi. Adunarea a douã numere negative are ca rezultat un numãr mai mic decât ambele numere (ex.: –3 + (–5) = –8). Scãderea unui numãr negativ înseamnã de fapt adunarea cu opusul sãu (ex.: –4 – (–3) = –4 + 3 = –1) Aplică 5. Calculeazã –10 + (–5); –2 – (–9); –4 –(–11); –21 + 35; –1 + (–3); –33 – (–35); –5 + 16; –2 +1; –7 + 4; –32 – (–23); –31 + 42. Verificã rezultatele reprezentând numerele pe axã. –12 + (–17); –21 – (–14); –15 – (–12); Dacã aveþi la ºcoalã conexiune internet, exerseazã adunarea ºi scãderea numerelor întregi rezolvând exerciþiile de la adresa http://www.edhelper.com/math/integers110.htm. 6. Temã suplimentarã 1. Reprezintã pe axa numerelor ºi comparã: –4 cu –6; –5 cu –3; –2 cu 5; –3 cu –7; 4 cu 3; 2 cu 8; 2 cu –8; 0 cu –6; 2 cu –4; –5 cu –2; –8 – (–4) cu 4. –5 cu 5; 2. Calculeazã: –2 – (–14); 5 – (–3); –16 + 20; –1 + 49; (–15) + (–20); –43 + 38; –16 + 41; 46 – (–35); 46 + (–35); –9 + (–21); –9 – (–21); –7 + (–34); –25 + 31. Aºazã rezultatele obþinute în ordine crescãtoare. Reprezintã pe axa numerelor valorile obþinute care sunt mai mari decât –10 ºi mai mici decât 12. 3. Rezolvã problema: Era atât de frig afarã, încât þi se tãia rãsuflarea. Dimineaþa a debutat cu o temperaturã de –20°C, pânã la prânz temperatura a crescut cu 5°C, iar spre searã gerul s-a lãsat din nou ºi temperatura a scãzut cu 7°C. Ce temperaturã a fost în acea searã? PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 17 NUMERE ÎNTREGI Adunarea și scăderea numerelor întregi 6 Pentru început… 1. ªtiaþi cã? Introducerea conceptului de numãr negativ a fost un proces surprinzãtor de lent. Bineînþeles cã nu putea fi vorba de numere negative, atâta timp cât nu exista numãrul 0. Cei care ºi-au dat seama de existenþa independentã a lui 0 au fost matematicienii Indiei, în secolul al VI-lea. Numãrul 0 reprezenta din punct de vedere cantitativ nimicul. Pentru prima datã, „nimicul” a primit o reprezentare simbolicã. Numãrul 0 a „ajuns” în Europa la începutul secolului al XV-lea. Discutaþi textul. Faceþi o predicþie referitoare la perioada introducerii numerelor întregi. Descoperă și învaţă 2. Gãseºte-þi perechea ºi aliniazã-te! Vei primi o „carte de joc” dintr-un pachet în care fiecare carte de joc conþine exerciþii numerice. În setul de cãrþi de joc sunt câte douã cãrþi care au aceeaºi valoare, adicã rezultatul exerciþiilor de pe cele douã cãrþi este acelaºi. Vei avea de aflat valoarea cãrþii de joc pe care ai primit-o ºi apoi va trebui sã îþi gãseºti perechea. Dupã ce toþi cursanþii din clasã ºi-au gãsit perechea, vei scrie valoarea cãrþii pe partea nescrisã a acesteia ºi, împreunã cu colegii tãi, veþi realiza o linie valoricã aºezându-vã într-un rând în ordinea descrescãtoare a valorilor cãrþilor de joc. Un exemplu de douã cãrþi de joc cu aceeaºi valoare este urmãtorul: –13 + 5 – (–4) +7 –3 – (–7) + (–2) +1 Adunarea numerelor întregi se efectueazã astfel: a) dacã numerele sunt ambele pozitive sau ambele negative, se efectueazã operaþie de adunare, ºi rezultatul va fi pozitiv, respectiv negativ, dacã numerele au fost pozitive, respectiv negative (ex.: –5 + (–3) = –8; 5 + 3 = 8); b) dacã numerele au semne diferite, se efectueazã operaþie de scãdere, ºi rezultatul va avea semnul numãrului mai mare în valoare absolutã (ex.: –5 + 3 = –2; –5 + 7 = 2). Valoarea absolutã a unui numãr este distanþa pe axa numerelor dintre punctul corespunzãtor numãrului ºi punctul corespunzãtor numãrului 0 (de ex.: valoarea absolutã a numãrului –1 este 1). Valoarea absolutã a numãrului a se noteazã |a |. Scãderea numerelor întregi se efectueazã dupã regula adunãrii, adicã a – b = a + (–b), unde (–b) este opusul numãrului b. 3. Determinã valoarea absolutã ºi opusul pentru fiecare dintre numerele: –5; 10; –2; –14; 4; –2 + (–4); 7; –5 – (–2); –3; 15; –28 + 30; 32 – 36. Comparã ºi discutã rezultatele. Identificã o regulã (care sã nu presupunã reprezentarea numerelor pe axã) pentru determinarea valorii absolute a unui numãr. Aplică 4. 18 Lucrând în grupe, rezolvaþi problema: Am un „card de salariu” – adicã firma la care lucrez îmi vireazã în fiecare lunã salariul în contul cardului. Mi s-a pãrut o variantã foarte avantajoasã, mai ales cã banca mi-a oferit posibilitatea de a cheltui mai mult decât câºtig. Ea mã crediteazã (dacã am nevoie) cu o sumã egalã cu salariul meu pe o lunã, urmând ca mai apoi MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI sã returnez suma cu care am fost creditatã (ºi, evident, dobânda aferentã). Extrasul meu de cont pe o anumitã perioadã a lunii martie arãta astfel (am notat cu „…” sumele pe care nu pot sã le citesc de pe extras din cauza unei erori de imprimare): Data Denumire Sold iniþial la 1.03.2005 1.03.05 Dobândã sold 3.03.05 ATM (retragere) 4.03.05 Tranzacþie Oranges 6.03.05 Tranzacþie S&V 8.03.05 Alimentare automatã Suma miºcãrilor Sold la 9.03.05 Debit (plãþi din cont) 320 Credit (intrãri în cont) 3 120 286 224 … … 50 … Estimeazã suma plãtitã din cont ºi sumele de bani care au intrat în cont. Înlocuieºte „…” din tabel cu valorile corespunzãtoare. Adaugã o coloanã la dreapta tabelului, coloanã ce se va numi „Balanþã” ºi care va conþine soldul contului dupã fiecare transfer de sumã în ºi din cont. Completeazã coloana pe care ai adãugat-o. 5. 6. Calculeazã: 29 –15 + 40; –45 + (–7) + (–32); –5 + (–44) + 24; –45 + (–19) + (–1); –23 + (–7) – (–30); – |–5 | + 3 –10 – (–4); |–18 + 36 |; 42 – (–17) + 30; Verificaþi rezultatele cu ajutorul unui calculator. –26 + (–14) + 20; –8 + 46 – (–4); –24 – (–32 + 12 – 6 +7); |–5 – 10 + 3 | – |–23 + 20 – 14 |; Temã suplimentarã 1. Scrie numãrul –4 ca sumã de patru numere întregi diferite. 2. Efectueazã calculele: 2 – 34 – 14; –12 + 20; 32 – (–42); –48 – (–32) –12; 25 – 30 + 12 – 14; –43 +12 – (–13 – 12 + 2); –12 – 46; 22 – 30 – (–27) – 9 – (–38). 3. Alegeþi 11 jucãtori din Campionatul Naþional (feminin sau masculin) de Fotbal. Punctajul fiecãrui jucãtor din echipa ta îl vei stabili utilizând tabelul de mai jos ºi informându-te despre activitatea jucãtorilor aleºi de tine în ultimul meci din Campionatului Naþional. Punctajul echipei tale va fi suma punctajelor jucãtorilor. Pentru toþi jucãtorii punctaj Pentru apãrãtori ºi portari punctaj Joacã tot meciul +2 Nu are sancþiuni ºi a jucat întreg meciul +4 Joacã doar o anumitã perioadã din meci +1 Nu are sancþiuni ºi a jucat numai o perioadã din meci +2 Gol primit ºi recunoscut de arbitru –1 Gol marcat (inclusiv din penalti) +10 Pasã decisivã de gol +3 Ratarea unui penalti (unei lovituri de la 11 m) –5 Eliminat din joc –5 Primeºte cartonaº galben –2 Dacã þi-a plãcut aceastã problemã, îþi sugerez sã o dezvolþi prin proiectul „Divizia punctajelor” a cãrui descriere o gãseºti la pagina 43 a acestui ghid. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 19 NUMERE ÎNTREGI Înmulţirea și împărţirea numerelor întregi 7 Pentru început… 1. 2. 3. ªtiaþi cã existã glume cu matematicieni?! Un matematician, un biolog ºi un fizician stau la o terasã. Cei trei beau cafea ºi se uitã la oamenii care intrã ºi ies din casa de peste drum. Ei vãd doi oameni intrând în casã. Timpul trece ºi, dupã o vreme, ei observã trei oameni care ies din casã. Fizicianul spune: „Mãsurarea nu este corectã”. Biologul spune: „S-au reprodus”. Matematicianul spune: „Dacã acum ar intra o persoanã în casã, atunci casa ar fi din nou goalã”. Explicaþi afirmaþia matematicianului. Calculeazã mintal: –40 – 22; –14 – 30; 21 – (–43); –4 + 42; 8 + (–14); –15 – 45; –7 + (–38); –(–20 – 44); |–61 |; |80 – 21 |. Mãsoarã temperatura de afarã cu ajutorul unui termometru ºi noteazã valoarea temperaturii pe tablã. Reprezintã aceastã valoare, în scris, pe cartonaºe separate, în cel puþin cinci moduri (de ex.: numãrul –4 poate fi reprezentat în scris ca –6 + 2 sau –10 + 6 sau –1 – 3 sau „minus patru” sau…). Discutã cu ceilalþi reprezentãrile pe care le-ai scris. Câte astfel de reprezentãri are un numãr întreg? Descoperă și învaţă 4. Efectueazã în scris urmãtoarele calcule: 4 + 4 + 4; (–4) + (–4) + (–4); – (–4) – (–4) –(–4); – [(–4) + (–4) + (–4)]. Identificã modalitãþi de scriere ale exerciþiilor anterioare cu ajutorul operaþiei de înmulþire. Prezintã ºi discutã modalitãþile identificate. Pentru a înmulþi douã numere întregi, se efectueazã înmulþirea dintre valorile absolute ale numerelor ºi în faþa rezultatului se pune semnul „+” dacã numerele au acelaºi semn, respectiv semnul „–” dacã numerele au semne diferite. De ex.: 4 · 3 = 12 Înmulþim douã numere pozitive, rezultatul este pozitiv. | |· |–3 | = 4 · 3 = 12; rezultatul este pozitiv pentru cã cele (–4) · (–3) = 12 (–4) · (–3) = –4 · douã numere au acelaºi semn. |–4 | · |3 |= 12 ºi în faþa rezultatului punem semnul minus pentru cã (–4) · 3 = –12 numerele au semne diferite. |4 | · |–3 |= 12 ºi în faþa rezultatului punem semnul minus pentru cã 4 · (–3) = –12 numerele au semne diferite. Aceeaºi regulã este valabilã ºi pentru împãrþirea numerelor întregi; evident cã între valorile absolute vom avea operaþie de împãrþire. Ex: 15 : 3 = 5; (–15) : (–3) = 5; (–15): 3 = –5; 15: (–3) = –5. Regula semnelor de la înmulþirea ºi împãrþirea numerelor întregi este reprezentatã sugestiv în urmãtorul tabel: ·/: + – 20 + + – – – + MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Aplică 5. Estimeazã ºi apoi efectueazã urmãtoarele calcule: (–6) · (–44) (–11) · 1 35 · (–48) (–3) · (–3) 27 : (–3) (–35) : 7 (–38) · (–25) 35 · (–21) 8 : (–8) (–12) · 1 (–13) · (–7) 21 · 49 (–11) · (–10) (–10) : (–5) (–120) : (–40) 14 · (–22) (–198) · 0 108 : (–6) 41 · (–9) (–18) · 14 (–4) · (–31) (–12) · 12 196 : (–14) (–72) : 9 (–38) · 30 (–12) · 30 (–51) : 3 (–49) · 30 (–19) · 15 5 · (–39) 10 · (–34) 150 : (–3) (–63) : (–7) (–99) : (–3) 8 · (–22) (–14) : 14 29 · 13 (–2) · (–2) (–3) · 13 15 · (–40) (–44) : 2 40: (–8) 0 : (–3) 960 : (–32) (–154) : 11 (–19) · 4 (–11) · 29 (–6) · (–6) 18 · (–25) 125 : (–5) 55 : 11 (–54) : 9 172 : (–43) (–240) : (–16) Ordinea efectuãrii operaþiilor cu numere întregi este aceeaºi cu ordinea efectuãrii operaþiilor cu numere naturale. 6. Determinã valorile urmãtoarelor expresii numerice: [11 – (–35) · (–3) + (9)] + 25 (–35) + [(–37) – 1 · 15] 26 + [(–42) – 17 · (–33) + 31] –31 + 3 + (–6)2 : 4 – (–8) [(–30) : (–3) + (–42)] + (–38) –12 + (–32) · 31 – (–25) –41 – (–104) : (–2)3 –21 – [(–5) · 2 + 2 · (–46)] : 2 Dacã aveþi la ºcoalã conexiune internet, rezolvã exerciþiile de la adresa http://www.edhelper.com/math/integers113.htm. 7. Temã suplimentarã 1. Scrie numerele întregi care sã reprezinte fiecare descriere din tabel. 6 unitãþi la stânga lui 11 pe axa numerelor 20°C sub 0 o pierdere de 3 kg un câºtig de 15 kg retragere de 956 de lei de la ATM 7 unitãþi la dreapta lui –15 pe axa numerelor o creºtere de 80 de lei 120 m sub nivelul mãrii un profit de 14356 lei la o investiþie 4 unitãþi la stânga lui –5 o reducere de 35 de lei opusul numãrului –47 Ordoneazã descrescãtor numerele întregi obþinute. 2. Ordoneazã crescãtor numerele: –75, 29, –12, –76, –14, 0, –5, 10; –25, 7, –28, 22, 8, –27, –9, –22, 16, –16, –24; –15, 12, 53, 60, 7, 3, 32, –38; –43, –7, –22, 7, 23, 19, 26. 3. Alege un numãr întreg negativ. Reprezintã valoarea lui, cu ajutorul celor patru operaþii de bazã, în cel puþin 10 moduri. 4. Rezolvã problema: Maria doreºte sã participe la o întâlnire a reprezentanþilor unor organizaþii de tineret din Europa de Est care se organizeazã la Budapesta. Ea trebuie sã achite taxa de participare de 30 de euro ºi costul drumului dus-întors cu microbuzul. Drumul pânã la Budapesta costã 18 euro. Dacã Maria are în cont 45 de euro, ce sold va avea dupã efectuarea plãþilor? PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 21 NUMERE ÎNTREGI Aplicaţii cu numere întregi 8 Pentru început… 1. Când te-ai nãscut? Scrie pe foaie toate numerele de la 1 la 12. Rãspunde apoi în scris, notând rãspunsul tãu lângã numãrul cerinþei. 1. Scrie numãrul care 8. înmulþeºte cu 2; reprezintã luna în care 9. scade 40; te-ai nãscut. 10. înmulþeºte cu 50; 2. înmulþeºte-l cu 4; 11. adunã ultimele 2 cifre 3. adunã 13; ale anului în care te-ai 4. înmulþeºte cu 100; nãscut; 5. împarte la 4; 12. scade 10500. 6. scade 200; 7. adunã numãrul care reprezintã ziua în care te-ai nãscut; Rezultatul ar trebui sã fie un numãr care conþine (de la stânga spre dreapta) luna, ziua ºi ultimele douã cifre ale anului în care te-ai nãscut. Este aceasta data la care te-ai nãscut? Dacã nu, reia paºii pe care i-ai parcurs ºi gãseºte greºeala. Puteþi explica de ce aceastã regulã este valabilã, indiferent de data naºterii? Descoperă și învaţă Fiecare cifrã a unui numãr are semnificaþia ei. De exemplu, în cazul numãrului 367, 3 reprezintã cifra sutelor, 6 reprezintã cifra zecilor ºi 7 reprezintã cifra unitãþilor. Ca urmare, putem scrie: 367 = 3 · 100 + 6 · 10 + 7 sau 367 = 3 ·102 + 6 ·10 + 7. Reprezintã numãrul 91063, punând în evidenþã semnificaþia fiecãrei cifre. 2. 3. 4. 22 Deseneazã ºi utilizeazã axa numerelor pentru a identifica numãrul care este: a) cu 4 mai mare decât –1; f) cu 3 mai mic decât –1; b) cu 6 mai mic decât 3; g) cu 8 mai mare decât –2; c) cu 8 mai mare decât –10; h) cu 5 mai mic decât –4; d) cu 4 mai mare decât 0; i) cu 2 mai mic decât 0; e) cu 7 mai mic decât –4; j) cu 5 mai mare decât –8. Identificã numãrul: a) cu 10 mai mare ca –20; b) cu 200 mai mare decât –300; c) cu 80 mai mic decât 50; d) cu 170 mai mare decât –700; e) cu 70 mai mic decât –225; Completeazã tabelul urmãtor: Temperatura Diferenþa de Temperatura în timpul temperaturã la prânz (°C) nopþii (°C) (°C) –14 (a scãzut 6 –8 cu 14 °C) 4 –7 –1 –6 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI f) g) h) i) j) cu cu cu cu cu 400 mai mic decât 60; 150 mai mare decât –500; 40 mai mic decât –20; 200 mai mare decât –200; 50 mai mic decât –60. Temperatura la prânz (°C) –5 –4 3 Temperatura Diferenþa de în timpul temperaturã nopþii (°C) (°C) 0 –19 –18 –5 5 –7 –8 5. Determinã valorile expresiilor numerice: (–3) · (–5) – [-3 – (–4) : (–2) + 10 – (–8) – 20] + 1; –7 + (–24) : (6) – (–5 + 4 – 7 + 5) : 3 + (–5) · 2; –8 : (–2)3 – |–5 | + |21 – 48 | – |–45 –30 | : (–6); 5 – (–5) + 125 : (–5) + (–6 + 4 – 12 – 24) : (–2). Aplică 6. Lucrând în grupe, rezolvaþi problemele: Lavinia ºi-a propus sã sarã în înãlþime 1 m, adicã 100 cm. Ea ºi-a notat cum s-a poziþionat la fiecare sãriturã faþã de performanþa pe care ºi-a propus-o. Dacã a sãrit mai mult cu 1 cm faþã de rezultatul pe care ºi l-a propus, a notat +1, iar dacã a sãrit mai puþin cu 1 cm, a notat –1. Foaia ei de hârtie arãta astfel: –3 –2 +1 0 +2 –1 Câþi centimetri a avut cea mai înaltã sãriturã a ei? Câþi centimetri a avut cea mai „slabã” sãriturã a ei? Andra ºi Mihai, prietenii mei, au plecat în Statele Unite într-un turneu cu ansamblul de dansuri populare. Primul spectacol era programat în Los Angeles. Ei au decolat la ora 4 dimineaþa din Bucureºti ºi au cãlãtorit timp de 36 de ore – cu escale la Amsterdam ºi Alabama. La ce orã ar trebui ca organizatorii americani sã fie în aeroport pentru a-i întâmpina pe dansatori, ºtiind cã ora localã din Los Angeles este UTC/ GMT –8 ºi ora localã din Bucureºti este UTC/ GMT +2 (UTC înseamnã Universal Time Coordinated ºi este termenul oficial pentru timpul mãsurat atomic, iar GMT înseamnã Greenwich Mean Time ºi denumeºte „timpul de bazã” faþã de care toate celelalte fuse orare sunt relative ºi este determinat de observaþiile astronomice realizate la Greenwich, Regatul Unit al Marii Britanii). 7. Verificã-þi progresul! 1) Completeazã textul astfel încât afirmaþia sã fie adevãratã. La prânz, temperatura aerului a fost de –3 °C, iar spre searã s-a rãcit foarte tare ºi au fost –15°C, deci temperatura aerului a ………………… cu ……… °C. 2) Completeazã textul astfel încât afirmaþia sã fie adevãratã. Te gãseºti pe axa numerelor exact în punctul care reprezintã numãrul 0. Dacã faci 7 paºi la dreapta, apoi 8 paºi la stânga, apoi 2 paºi la dreapta, 4 paºi la stânga ºi încã 3 la dreapta, te vei gãsi pe axa numerelor în punctul care reprezintã numãrul ……… Precizãm cã pasul tãu are lungimea de o unitate. 3) Subliniazã rãspunsul corect. Care dintre urmãtoarele numere este pozitiv? a. +10 + |–20 |; b. (–5) – (–25); c. –(25 – 5); d. |–5 – 25 |. 4) Subliniazã rãspunsul corect. Care dintre numerele de mai jos este mai mare decât 200? b. 142; a. (–7)3; 3 d. (–16)2. c. 5 ; 5) Subliniazã rãspunsul corect. Rezultatul calculului [3 – 3 · (2 – 3 · 2)] : 3 este: a. 0; b. –9; c. 7; d. 5. 6) Subliniazã rãspunsul corect. Rezultatul calculului [10 – (- 2) 3 · 2 – 6] este: a. 32; b. 28; c. 4; d. 20. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 23 7) Subliniazã rãspunsul corect. Dacã |a | = 3, care este valoarea lui a? a. –3; b. 3; c. 0; d. 9. 8) Rezolvã problema: Mihai are pe cardul sãu de credit suma de 300 de lei. El se pregãteºte sã plece în vacanþã ºi face ultimele cumpãrãturi: o pereche de adidaºi cu 75 de lei, un geamantan cu 80 de lei, 3 prosoape a 21 de lei bucata. κi plãteºte asigurarea la maºinã cu 156 de lei ºi abonamentul la telefon cu 99 de lei. Ce sumã are Mihai pe card dupã ce achitã cu cardul de credit toate cele enumerate mai sus? 9) Scrie numerele întregi care sã reprezinte fiecare descriere din tabel. 7 unitãþi la stânga lui 20 pe axa numerelor 27°C sub 0 o pierdere de 10 kg un câºtig de 15 lei retragere de 847 de lei de la ATM 9 unitãþi la dreapta lui –14 pe axa numerelor 8. o creºtere de 1200 de lei 140 m sub nivelul mãrii un profit de 238.769 lei la o investiþie 5 unitãþi la stânga lui –9 o reducere de 25 de lei opusul numãrului –36. Completeazã fiºa de autoevaluare. 1. Am învãþat despre numerele întregi: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 2. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere întregi dacã în expresie apar operaþiile: .......................................................................... .......................................................................... 3. Rezolv corect probleme care presupun utilizarea numerelor întregi dacã: . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 4. Paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele de la 1, 2 ºi 3. 5. Am încã dificultãþi cu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 6. Cred cã întâmpin aceste dificultãþi pentru cã: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 7. Paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele de la 5 ºi 6. 8. Am contribuit la activitãþile în perechi/pe grupe/cu întreaga clasã atunci când: . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... 24 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Numere raţionale III Parcurgând acest capitol, vei fi capabil: • să scrii și să citești fracţii, fracţii zecimale, procente; • să compari și să ordonezi numerele raţionale (inclusiv fracţii, fracţii zecimale și procente); • să reprezinţi numere raţionale pe axă • sa utilizezi diferite reprezentări ale fracţiilor • să efectuezi operaţii cu numere raţionale • să rezolvi probleme cu fracţii, fracţii zecimale și procente. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 25 NUMERE RAŢIONALE Fracţii 9 Pentru început… 1. ªtiaþi cã? „Urmãtoarea invenþie dupã numerele necesare numãrãrii a fost descoperirea fracþiilor – acel tip de numere pe care azi le simbolizãm cu 2/3 (douã treimi), sau 22/7 (douãzeci ºi douã de ºeptimi sau, echivalent, trei întregi ºi o ºeptime). Cu ajutorul fracþiilor nu se poate numãra – deºi 2/3 dintr-o cãmilã pot fi mâncate, dar nu pot fi numãrate –, în schimb se pot face multe alte lucruri interesante.” (Stewart Ian, Numerele naturii – Irealã realitate a imaginaþiei matematice, Humanitas, Bucureºti, 1999, p. 42) Discutã cu ceilalþi citatul de mai sus ºi realizaþi împreunã o listã cu lucrurile interesante care se pot face cu fracþiile. Descoperă și învaţă 2. Copiazã figurile geometrice din desenul alãturat în caiet ºi, în dreptul fiecãrui desen, scrie în câte pãrþi este împãrþitã figura geometricã, câte dintre pãrþi sunt colorate cu gri ºi câte pãrþi sunt albe. 3. Studiazã desenele. Reprezintã tabelul în caiet (cu atâtea linii câte figuri sunt) ºi completeazã-l: Numãrul figurii Numãrul de pãrþi în care este împãrþitã figura geometricã Numãrul de pãrþi colorate Discutã cu colegii semnificaþia semnului „—” din scrierea a Scrie  , unde a este numãrul b de pãrþi colorate ºi b este numãrul total de pãrþi a . b a Numerele de forma  b , cu a ºi b numere naturale, b ≠ 0 se numesc fracþii (sau fracþii ordinare); a se numeºte numãrãtorul fracþiei, b se numeºte numitorul fracþiei, iar semnul „—” se numeºte linie de fracþie ºi semnificã împãrþirea. O fracþie se citeºte punând în evidenþã atât numitorul (numãrul de pãrþi în care a fost împãrþit întregul), cât ºi numãrãtorul (numãrul de 3 se citeºte „trei pãtrimi”. pãrþi luate în considerare). De exemplu, fracþia  4 1 1 , o jumãtate se reprezintã ca  . „Un sfert” se poate scrie cu ajutorul fracþiilor ca  4 2 4. Citeºte ºi rãspunde cerinþelor. Citeºte urmãtoarele fracþii: 1 1 3 1 1 3 3 7 3 5 2 , , , , , ,  , , , ,  4 2 4 8 3 5 10 9 6 8 4 ºi apoi citeºte numãrãtorul ºi numitorul fiecãreia. Deseneazã un dreptunghi pentru fiecare dintre ele ºi reprezintã-le prin colorare. Scrie sub formã de fracþie porþiunea necoloratã a 26 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI dreptunghiului pentru fiecare caz în parte. Discutã cu colegul tãu rezultatele obþinute ºi apoi discutaþi în clasã paºii pe care i-aþi parcurs pentru rezolvarea acestei sarcini de lucru. 5. Lucrând în grupe, rezolvaþi problema: Camelia ºi Adrian au fãcut o prãjiturã cu mere pentru prietenii lor care au venit în vizitã. Era prima lor încercare ºi a fost o adevãratã reuºitã! Dupã ce fiecare s-a servit din prãjiturã, Camelia a spus: „A mai rãmas un sfert din prãjiturã!” ºi Adrian a replicat: „Ba nu, au mai rãmas douã optimi”. Cine are dreptate: Camelia sau Adrian? Pentru a putea rãspunde la întrebare, am fotografiat prãjitura rãmasã. Douã fracþii care sunt reprezentate (în scris) diferit ºi au aceeaºi valoare se numesc fracþii echivalente. De exemplu, 6. 1  2 ºi 2  4 sunt fracþii echivalente. Citeºte ºi îndeplineºte sarcinile. În cele trei desene am reprezentat aceeaºi fracþie; scrie cele trei fracþii diferite (dar echivalente) reprezentate de cele trei diagrame. Gãseºte o regulã de obþinere a fracþiilor echivalente. Discutã cu colegii tãi regula pe care ai gãsit-o. Dacã înmulþim sau împãrþim atât numãrãtorul, cât ºi numitorul fracþiei cu acelaºi numãr (diferit de 0), atunci obþinem o fracþie echivalentã cu fracþia datã. Dacã înmulþim numitorul ºi numãrãtorul unei fracþii cu un acelaºi numãr n diferit de 0, spunem cã amplificãm fracþia cu n. Dacã împãrþim numitorul ºi numãrãtorul unei fracþii cu un acelaºi numãr n diferit de 0, n fiind divizor al numitorului ºi al numãrãtorului, spunem cã simplificãm fracþia datã. Aplică 7. Identificã valoarea lui x ºi pe cea a lui t din urmãtoarele egalitãþi: 1  2 = x ; 8 1  5 x = ; 10 3  4 x = ; 12 1  8 2 = ; x 16  40 x = ; 5 3  12 = x ; 4 1  3 = x  15 ; 1  6 2 = ; x 1  4 2 t = = . x 16 Comparã rezultatele pe care le-ai obþinut cu rezultatele obþinute de colegi. Discutaþi modalitatea pe care fiecare dintre voi a utilizat-o în rezolvarea exerciþiului. Dacã aveþi la ºcoalã conexiune internet, exerseazã simplificarea ºi amplificarea fracþiilor rezolvând exerciþiile de la adresa http://www.edhelper.com/math/fractions_ft105.htm. 8. Temã suplimentarã. Rezolvã problemele: 1. 4 prieteni cumpãrã o pizza ºi doresc sã o împartã în mod egal. Câte bucãþi va lua fiecare dintre ei, dacã bucãtarul a tãiat pizza în: a) 8 pãrþi egale; b) în 16 pãrþi egale; c) în 4 pãrþi egale. 2. Marian are lipsã de calciu. Medicul i-a recomandat sã ia calciu sub formã de pastile ºi sã bea cât mai mult lapte. Singura problemã este cã lui Marian nu-i place laptele. De aceea, fraþii lui cautã reþete de bãuturi rãcoritoare pe gustul lui Marian care sã conþinã cât mai mult lapte. Tudor a gãsit urmãtoarea reþetã: „Într-un pahar de 250 ml se pun 25 ml sirop de fragi, se completeazã cu lapte rãcit ºi se amestecã bine”. Daniela a gãsit urmãtoarea reþetã: „Într-un pahar de 200 ml se pun 25 ml sirop de portocale, se completeazã cu lapte rãcit ºi se amestecã bine”. Care dintre reþete conþine mai mult lapte? Argumenteazã-þi rãspunsul. De cât lapte este nevoie pentru a prepara 1 l de „fragi cu lapte”? Dar pentru a prepara un 1 l de „portocale cu lapte”? PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 27 NUMERE RAŢIONALE Compararea fracţiilor și operaţii cu fracţii 10 Pentru început… 1. Egalitatea de ºanse pentru femei ºi bãrbaþi în România prin fracþii – În 2002, femeile reprezentau 3  10 din numãrul membrilor corpurilor legislative ºi al directorilor de instituþii publice ºi unitãþi socio-economice ºi politice. – În urma alegerilor din 2004, 1  10 din numãrul membrilor Parlamentului României sunt femei. (Date preluate din Raportul Equal Opportunities for Women and Men – Monitoring Law and Practice in New Member States and Accession Countries of the European Union realizat de Open Society Institute ºi dat publicitãþii în mai 2005.) Reprezintã fracþiile din textul de mai sus. Comparã fracþiile din text cu fracþia reprezintã numãrul femeilor din totalul populaþiei României. Discutaþi despre semnificaþia comparaþiei. 51 , 100 care Descoperă și învaţă 2. 3. Citeºte textul ºi îndeplineºte sarcinile. Corina a tãiat prãjitura în 10 pãrþi egale. Ea mãnâncã 3 bucãþi din prãjiturã ºi Marius mãnâncã 4 bucãþi. Scrie fracþiile care completeazã afirmaþia: Corina a mâncat ……… din prãjiturã, Marius a mâncat ……… din prãjiturã, împreunã au mâncat ……… din prãjiturã. Dedu care este regula de adunare a douã fracþii care au numitor comun. Rezolvã problema împreunã cu un coleg ºi apoi prezentaþi celorlalþi colegi rãspunsurile la întrebãri ºi modul în care aþi rezolvat problema. Ieri, patru prieteni ºi-au cumpãrat fiecare câte o franzelã micã. Toate franzeluþele erau la fel. Mihai ºi-a tãiat franzela în 4 felii egale ºi a mâncat 3, Corina a tãiat-o în 5 felii egale ºi a mâncat 4, Maria a tãiat-o în 10 felii egale ºi a mâncat 9, Sami a tãiat-o în 20 de felii egale ºi a mâncat 17. Cine a mâncat mai multã pâine? De unde ºtii? Cui i-a rãmas mai multã pâine? De ce? Dacã Sami ar fi mâncat cu o felie în plus, ar fi mâncat cel mai mult din pâine? Dar dacã ar fi mâncat cu douã felii mai mult? Reprezintã pe axa numerelor fracþiile: 3 4 9 17 18 , ,  ,  ,  . 4 5 10 20 20 Ai fi putut rezolva problema utilizând aceste reprezentãri? Discutã cu colegii tãi pentru a gãsi rãspunsul la aceastã întrebare. Pentru a compara douã fracþii, vom þine cont de urmãtoarele: a  b ≤ c  b dacã ºi numai dacã a ≤ c (b ≠ 0); a  b ≤ a  c dacã ºi numai dacã b ≥ c, (b ≠ 0, c ≠ 0); pentru a compara douã fracþii care nu au nici acelaºi numitor, nici acelaºi numãrãtor, se scriu forme echivalente ale celor douã fracþii care fie au acelaºi numitor, fie au acelaºi numãrãtor ºi se aplicã una din regulile anterioare. 28 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Pentru a efectua adunarea sau scãderea a douã fracþii, vom þine cont de urmãtoarea regulã: a  b ± c  b a±c = b (b ≠ 0). Dacã cele douã fracþii nu au acelaºi numitor, atunci ele se vor aduce la numitor comun, utilizând echivalenþa fracþiilor. Înmulþirea a douã fracþii se efectueazã astfel: a  b c · = d (b ≠ 0, c ≠ 0) a·c  b·d ºi împãrþirea a douã fracþii se efectueazã astfel a  b : c  d = a  b · d  c (b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0). Înainte de a efectua înmulþirea ºi împãrþirea fracþiilor, simplificaþi fracþiile. a se numeºte subunitarã dacã a < b. O fracþie  b 4. Citeºte textul de mai jos ºi îndeplineºte sarcinile. Scrie 4 fracþii subunitare diferite, utilizând numerele 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9. Reprezintã-le pe axa numerelor. Ordoneazã-le descrescãtor. Efectueazã patru operaþii de adunare diferite cu fracþiile pe care le-ai scris. Efectueazã patru operaþii de înmulþire diferite cu operaþiile pe care le-ai scris. Efectueazã patru operaþii de împãrþire diferite cu fracþiile pe care le-ai scris. Simplificã rezultatele pe care le-ai obþinut, dacã este posibil, ºi reprezintã-le pe axa numerelor. Împãrtãºeºte-i colegului tãu rezultatele obþinute. Discutaþi. Aplică 5. 6. 7. Dacã aveþi la ºcoalã conexiune internet, exerseazã adunarea fracþiilor la http://www.aaamath.com/fra57a-addfractld.html, înmulþirea fracþiilor la adresa http://www.aaamath.com/B/fra66mx2.htm sau http://www.aplusmath.com/Flashcards/fractions-mult.html, împãrþirea fracþiilor la http://www.aaamath.com/B/fra66ox2.htm. Lucrând în grupe, rezolvaþi problema: Ca în fiecare an, în luna mai se organizeazã Zilele ªcolii. Cu toþii, elevi ºi profesori, ne aducem contribuþia la organizarea diferitelor momente. Maria ºi Mihai se oferã sã prepare sucul de fructe pentru copiii care participã la acest eveniment. Ei preparã sucul amestecând concentratul de suc de fructe cu apã. Ca sã fie siguri cã sucul va fi apreciat de copii, Maria ºi Mihai încearcã mai multe reþete de amestec: reþeta A: 2 cãni de concentrat ºi 3 cãni de apã rece; reþeta B: 1 canã de concentrat ºi 4 cãni de apã rece; reþeta C: 4 cãni de concentrat ºi 8 cãni de apã rece; reþeta D: 3 cãni de concentrat ºi 5 cãni de apã rece. Care reþetã ar trebui utilizatã pentru ca sucul sã aibã cel mai pronunþat gust de fructe? Care dintre reþete este cea mai ieftinã? Dacã fiecare copil va primi o jumãtate de canã de suc ºi la eveniment vor participa 360 de copii, calculaþi cât concentrat ºi câtã apã vor fi necesare pentru prepararea sucului (consideraþi fiecare din cele 4 reþete). Argumentaþi-vã rãspunsul. Temã suplimentarã 1. Reprezintã fracþiile pe axa numerelor: 3 2 1 2 , , , . 8 5 3 4 Scrie 2 fracþii echivalente pentru fiecare fracþie. Amplificã prima fracþie cu 5. Verificã dacã vreuna dintre fracþii poate fi simplificatã ºi dacã da, simplificã fracþia. 2. Efectueazã operaþiile: 2  3 + 5 ; 6 3  4 – 1 ; 3 3  5 · 2 ; 3 2  3 + 1 ; 6 2  3 : 1 1 ;  6 4 + 1  6 · 2 2 ;  3 5 : 5 . 20 Stabileºte care dintre rezultate este fracþie subunitarã. Reprezintã rezultatele pe axa numerelor. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 29 NUMERE RAŢIONALE Aplicaţii practice ale fracţiilor 11 Pentru început… 1. Umor cu fracþii Un matematician îi spune soþiei sale cã se va întoarce acasã la 12 fãrã un sfert. Ajungând acasã la ora 3 dimineaþa, soþia lui îi reproºeazã cu nu s-a þinut de cuvânt. Rãspunsul matematicianului a fost: „M-am þinut de cuvânt, draga mea… Doar þi-am spus cã voi veni acasã la un sfert din 12” Explicaþi rãspunsul matematicianului. Descoperă și învaţă 2. Rezolvã urmãtoarele probleme: 1. Determinã 3  5 din 60 de lei. 2. Marin are trei copii. Fiind foarte bãtrân, el ºi-a scris testamentul. Jumãtate din averea sa o lasã soþiei, un sfert celui mai mare dintre copii, o cincime mijlociului ºi restul celui mai mic. Ce parte din avere va primi cel mai mic dintre copiii lui Marin? Dacã averea lui Marin este 51.000 de lei, ce sumã reprezintã moºtenirea fiecãruia? Discutã cu ceilalþi modalitatea de rezolvare a fiecãrei probleme. Pentru a determina 3. 4. a  b Determinã mintal: 1  2 2  5 din 20, din 25, 1  3 3  5 din 60, din 45, dintr-o cantitate n se efectueazã 1 1  din 100,  din 5 4 20 40  din 50,  100 100 28, 3  7 din 63, 3  8 a  b · n. din 64, 3  4 din 100, 1  2 din 10, din 300. Rezolvã problemele ºi discutaþi în grup modalitatea de rezolvare a fiecãreia. 1. Punctajul maxim care poate fi obþinut la testul scris de la examenul pentru obþinerea carnetului de ºofer este de 26 de puncte. Mãdãlina a obþinut 12  13 din punctaj. 2. Câte puncte a obþinut la test? 3. Într-un departament al unei firme lucreazã 32 de persoane, dintre care autobuzul. Câte persoane vin la firmã cu autobuzul? 4. Într-o ºcoalã sunt 798 de elevi. 3  10 1  2 vin la firmã cu din numãrul elevilor sunt fete. Câte fete sunt în ºcoalã? din angajaþii unei firme nu au copii. Firma are 510 angajaþi. Determinaþi numãrul de angajaþi care au copii. 5. Unul din cinci tineri între 16 ºi 20 de ani au condus în anul 2004 sub influenþa alcoolului – dezvãluie raportul guvernamental al Statelor Unite ale Americii din decembrie 2004. Dacã în S.U.A. sunt 20 de milioane de tineri cu vârste între 16 ºi 20 de ani, câþi tineri au condus sub influenþa alcoolului în 2004? (informaþie preluatã de pe site-ul ASAP Family http://www.asapfamily.com/news/drive.htm) 30 3  8 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI 5. Lucrând în perechi, rezolvaþi problemele: 6 . Dacã am un salariu de 400 de lei, cu cât Patronul a anunþat o creºtere salarialã de  100 îmi va creºte salariul? Doar doi tineri din cinci au un loc de muncã – spune un articol citat de revista Presei On-Line dupã Cotidianul (http://www.cafeneaua.com/node/view/2407). Determinã câþi tineri din 100 au un loc de muncã. Fracþia  100 se noteazã cu p% ºi se numeºte procent. Cuvântul „procent” provine din limba latinã, „percent” însemnând „la fiecare sutã”. p 6. Rezolvã problemele de mai jos. Discutã cu colegii modalitatea de rezolvare a fiecãrei probleme. Stabileºte „cunoscutele” ºi „necunoscuta” în fiecare caz ºi identificã reguli de rezolvare. Patru stomatologi din cinci recomandã guma de mestecat fãrã zahãr. Care este procentul de medici stomatologi care recomandã guma de mestecat fãrã zahãr? 80% din costul transportului este suportat de organizatori. Dacã contravaloarea transportului este de 50 de lei, cât vor acoperi organizatorii din costul biletului? Din cauza unor probleme financiare, firma a putut onora în aceastã lunã doar 80% din salarii. Dacã am primit 320 lei, care este salariul meu lunar? Aplică 7. Rezolvã problemele, comparã rezultatele cu colegul tãu ºi discutã modalitãþile de rezolvare cu toþi colegii. La alegerile pentru preºedinþie în Asociaþia TIME, 2268 persoane au votat pentru Mirela V., 8820 persoane au votat pentru Leo T. ºi 1512 persoane au votat pentru Vlad G. Ce procent din voturi a avut fiecare candidat, ºtiind cã fiecare membru al asociaþiei a votat pentru unul din candidaþi? Dobânda oferitã de o bancã pentru depozitele în lei este 11% pe an. Ce dobândã voi primi dupã un an, dacã depozitul meu este 500 de lei? Dar dupã 5 luni? Dar dupã 2 ani, dacã dobânda primitã pe primul an s-a capitalizat (adicã, a fost depusã automat în cont)? 8. Temã suplimentarã 1. Eva cheltuieºte jumãtate din salariul ei pe mâncare ºi chirie, 25% din salariu pe haine, pentru petrecerea timpului liber ºi reuºeºte sã economiseascã în fiecare an 120 de lei. Maria cheltuieºte 50% din salariul ei pe mâncare ºi chirie, 1  3 pe haine, 1  12 1  12 pentru petrecerea timpului liber ºi reuºeºte sã economiseascã în fiecare an 120 de lei. Estimeazã cine câºtigã mai mult, Eva sau Maria? Argumenteazã-þi rãspunsul. Reprezintã prin desen fiecare din cele douã situaþii. Calculeazã venitul anual al Evei în mai multe moduri. Calculeazã venitul anual al Mariei. 2. O pereche de blugi costã 80 de lei la magazinul de pe strada mea. Luna aceasta, magazinul oferã o reducere de 20%. Pot sã îmi cumpãr blugii, dacã am 60 lei? Argumenteazã-þi rãspunsul. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 31 NUMERE RAŢIONALE Fracţii zecimale 12 Pentru început… 1. ªtiaþi cã procentele comunicã?! În anii 1995, 1999 ºi 2003, România a participat împreunã cu alte þãri din lume la studiul TIMSS (The Trends in International Mathematics and Science Study) iniþiat de Asociaþia Internaþionalã pentru Evaluarea Rezultatelor din Educaþie. În anul 1995, elevii testaþi la matematicã (clasa a VIII-a) din România au obþinut 474 de puncte, în 1999 au obþinut 472 puncte ºi în 2003, 475 puncte. Cel mai mare punctaj a fost obþinut de elevii din Singapore: 609 puncte în 1995, 604 în 1999 ºi 605 în 2003. Pentru a interpreta corect rezultatele obþinute de elevi, s-a fãcut un studiu (realizat de Eric A. Hanushek ºi Javier A. Luque, http://edpro.stanford.edu/eah/papers/TIMSS.pdf) legat de condiþiile pe care le au acasã elevii care au participat la test. Datele acestui studiu se gãsesc în tabelul de mai jos. % elevi % elevi % elevi % elevi % elevi care au care au care au Punctaj care au care au acasã un acasã mai acasã un obþinut în Þara acasã un acasã un calculator mult de 25 calculator 1999 birou dicþionar de buzunar de cãrþi (computer) România 472 58% 68% 55% 49% 17% Hong Kong 582 97% 78% 97% 50% 37% S.U.A. 502 96% 87% 95% 75% 54% Ce vã „spun” datele din tabel? Discutaþi. 2. Gãseºte-þi perechea ºi aliniazã-te! Vei primi o „carte de joc” dintr-un pachet în care fiecare carte de joc conþine o problemã. În setul de cãrþi de joc sunt câte douã cãrþi care au aceeaºi valoare, adicã rezultatul problemelor de pe cele douã cãrþi este acelaºi. Vei avea de aflat valoarea cãrþii de joc pe care ai primit-o ºi apoi va trebui sã îþi gãseºti perechea. Dupã ce toþi elevii din clasã ºi-au gãsit perechea, vei scrie valoarea cãrþii pe partea nescrisã a acesteia ºi, împreunã cu colegii tãi, veþi realiza o linie valoricã, aºezându-vã într-un rând în ordinea crescãtoare a valorilor cãrþilor de joc. Un exemplu de douã cãrþi de joc cu aceeaºi valoare este urmãtorul: Un costum costã 150 de lei. Magazinul a anunþat o reducere de preþ de 20%. Cu cât a scãzut preþul costumului? Preþul unui kilogram de salam este de 24 lei. De luna viitoare, preþul salamului va 1 creºte cu  . Cât va costa un kilogram de 4 salam? Descoperă și învaţă 3. Citeºte textul ºi îndeplineºte sarcinile. Linia de fracþie înseamnã operaþie de împãrþire. Utilizând un calculator de buzunar, determinã valorile urmãtoarelor fracþii prin împãrþirea numãrãtorului la numitor: 1 1 3 7 4 1 1 2 5 , ,  , , , , , , , 4 2 10 2 8 3 5 9 4 14 5 25 245 ,  , ,  . 10 100 1000 100 Scrie toatele rezultatele obþinute în caiet. Lucreazã în perechi pentru a rãspunde la urmãtoarele întrebãri: Ce au în comun toate valorile pe care le-ai obþinut lucrând cu fracþii subunitare? Câte cifre ai obþinut dupã virgulã în fiecare caz? Ce crezi cã determinã numãrul de cifre de dupã virgulã? Comparã scrierea fiecãrei fracþii cu scrierea valorii pe care ai obþinut-o. Se regãsesc aceleaºi cifre? Dacã da, în ce situaþii? Crezi cã ai putea scrie valoarea unei fracþii fãrã a utiliza calculatorul? Dacã da, în ce condiþii? 32 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Valoarea unei fracþii ce se obþine prin împãrþirea numãrãtorului la numitorul fracþiei se numeºte fracþie zecimalã. Fiecare cifrã dintr-o fracþie are o semnificaþie legatã de poziþia ei în numãr. De ex.: pentru numãrul 34,56 avem 3 – cifra zecilor, 4 – cifra unitãþilor, 5 – cifra zecimilor, 6 – cifra sutimilor; numãrul se poate descompune ca sumã astfel: 3 · 10 + 4 + 5 · 1  10 1 . 100 +6· Numãrul 34,56 se citeºte „treizeci ºi patru ºi 56 de sutimi” sau, în limbajul curent, se utilizeazã varianta „treizeci ºi patru virgulã cincizeci ºi ºase”. Fracþiile care au la numitor puteri ale lui 10, 100, 1000 se scriu foarte uºor ca fracþii zecimale. De ex.: 3  10 = 0,3; 234  100 = 2,34; 45  1000 = 0,045. Fracþiile zecimale se pot reprezenta pe axa numerelor. Douã fracþii scrise sub formã zecimalã se comparã prin compararea cifrelor care ocupã aceeaºi poziþie în cadrul numãrului. De exemplu: 2,34 ≤ 2,39 pentru cã: 2=2, 3=3 ºi 4<9. Dacã fracþiile zecimale au mai mult de trei cifre dupã virgulã, lucreazã cu aproximãrile lor prin lipsã; altfel spus, considerã doar primele douã cifre de dupã virgulã. 4. Citeºte textele de mai jos ºi rãspunde cerinþelor. 1. Scrie urmãtoarele fracþii ca fracþii zecimale: 4 2 12 3  , ,  , . 10 4 5 2 Citeºte fracþiile zecimale pe care le-ai scris. Reprezintã-le pe axa numerelor ºi ordoneazã-le crescãtor. Comparã rezultatele obþinute cu cele obþinute de unul dintre colegii tãi. 2 ºi 0,65; 2. Comparã:  3 face comparaþia. 1  4 ºi 2,5; 0,5 ºi 360  720 . Explicã-i colegului cum ai procedat pentru a 1 . Scrie douã fracþii zecimale mai mari decât 3. Scrie douã fracþii zecimale mai mici decât  2 1,2 ºi mai mici decât 1,3. Discutã cu ceilalþi colegi. Aplică 5. 6. Gândiþi împreunã ºi rezolvaþi problema: Dobânzile la vedere (pe an) acordate de diferite bãnci pentru depozite în lei sunt de 0,5% (Alpha Bank, BCR, CEC, Banca Transilvania,…), 1% (Banca Carpatica, HVB,…), 0,25%(Banca Ion Þiriac, BRD – GSG,…) sau 0,1% (Volksbank) (informaþii preluate din ziarul România liberã – ghid financiar, 17 iunie 2005.). Care dintre bãnci oferã cea mai mare dobândã? Care oferã cea mai micã dobândã? Ce dobândã vei primi dupã 6 luni, la BRD – GSG, dacã ai depus în cont 500 de lei? Temã suplimentarã 1. Citeºte fracþiile zecimale 0,23; 1,25; 3,25; 4,5; 0,75; 4,24. Ordoneazã-le crescãtor ºi reprezintã-le pe axa numerelor. Scrie-le sub formã de fracþii. 2. Pânã în 5 iunie 2000, Hagi a jucat în 748 de meciuri ºi a marcat 301 de goluri. Raportul dintre numãrul de meciuri jucate ºi numãrul de goluri marcate de Michael Owen pânã în ianuarie 2000 este de 0,54. Estimeazã care jucãtor are raportul dintre numãrul de goluri înscrise ºi cel al meciurilor jucate mai mare. Reprezintã ambele rapoarte, scrise sub formã zecimalã, pe axa numerelor. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 33 NUMERE RAŢIONALE Operaţii cu fracţii zecimale 13 Pentru început… 1. Numere la ºtiri „La nivel naþional, aproape douã treimi dintre tineri sunt întreþinuþi de pãrinþii lor ºi numai 30% au declarat cã pot sã trãiascã din salariul pe care îl câºtigã” – ºtire citatã de Revista Presei On-Line dupã Cotidianul http://www.cafeneaua.com/node/view/2407. „Procentul elevilor care au abandonat studiile în învãþãmântul obligatoriu a cunoscut o evoluþie ascendentã, ajungând de la 0,6% în 1993 la 0,8% în 1998.” – raport al Organizaþiei Salvaþi Copiii România cãtre Comitetul Naþiunilor Unite pentru Drepturile Copilului – Geneva, referitor la al doilea raport periodic al Guvernului României pentru intervalul 1995 – 2002 (www.salvaticopiii.ro/romania/resurse/¬ RAPORTUL_ALTERNATIV_SC.pdf). „La nivel mondial 4 din 5 copii cu vârste cuprinse între 10 ºi 15 ani sunt cuprinºi în învãþãmântul gimnazial.” – raport UNESCO pentru Educaþie Globalã (http://www.uis.unesco.org/template/pdf/ged/2005/ged2005_en.pdf). Lucraþi pe grupe. Fiecare grup analizeazã una dintre ºtiri. Calculaþi procentele care rezultã din ºtirile de mai sus. Comparaþi procentele pe care le-aþi calculat ºi cele care 1 1 ºi cu 100  . Discutaþi rezultatele. Comentaþi. intervin în text cu  10 Descoperă și învaţă 2. Rezolvaþi problemele. Discutaþi despre modalitatea de rezolvare a fiecãrei probleme ºi despre cum aþi efectuat calculele. 1. Un kilogram de zahãr costã 1,9 lei ºi un ou costã 0,4 lei. Cumpãr 2 kg de zahãr ºi 4 ouã. Câþi lei voi primi rest la o bancnotã de 10 lei? 2. Pentru 4 porþii de gãluºte din cartofi cu brânzã ºi ceapã sunt necesare: 0,6 kg cartofi, 0,25 kg fãinã, 0,2 kg brânzã de vaci, 0,2 kg ceapã, 0,15 kg margarinã. Ce cantitãþi sunt necesare pentru 10 porþii? 3. Un trening costã 40,95 de lei la magazinul Sport ºi 40 de lei la magazinul unde lucrez. La magazinul Sport au reducerea „cumperi ºi plãteºti douã treimi din preþ” ºi la magazinul unde lucrez avem o reducere de 30%. Unde costã treningul mai puþin? Operaþiile de bazã cu fracþii zecimale sunt: adunarea, scãderea, înmulþirea, împãrþirea. Pentru a aduna sau scãdea douã fracþii zecimale, acestea se aºazã una sub alta, în aºa fel încât virgulele sã ocupe aceeaºi poziþie. Dacã unul din numere este natural, atunci considerãm cã dupã virgulã are cifre de 0. Ex.: 234,34 + 1,40 235,74 72,36 – 23,45 48,91 Pentru a înmulþi douã fracþii zecimale, se efectueazã înmulþirea numerelor neþinând seama de virgulã, iar la rezultat despãrþim atâtea cifre zecimale câte au cele douã numere zecimale împreunã; ex.: 0,175 · 3,5 = 0,6125. Împãrþirea fracþiilor zecimale se face în 34 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI acelaºi mod ca în cazul numerelor naturale. Înmulþim atât deîmpãrþitul cât ºi împãrþitorul cu acea putere a lui 10 care transformã împãrþitorul în numãr întreg; ex.: 33 : 6,5 = 330 : 65 = 5,07. Împãrþirea unei fracþii zecimale cu o putere a lui 10 se face mutând virgula spre stânga peste un numãr de cifre egal cu exponentul puterii. Ordinea efectuãrii operaþiilor este aceeaºi cu ordinea efectuãrii operaþiilor cu numere întregi. 3. Lucrând în grupe, estimaþi rezultatele ºi apoi efectuaþi calculele: 23,02 + 32,56 102,34 – 51,35 5,1 · 2 45,24 + 6,09 42,39 – 25,391 2,31 · 4,5 81,23 + 55,29 14,23 – 0,9 10,5 · 0,2 94,37 + 101,235 324,25 – 102,45 35,3 · 0,1 81,24 + 0,24 56,22 – 20,44 235,6 · 0,01 85,32 + 34,21 81,34 – 0,23 8,34 · 50 8 32,14 45 74,24 45,13 1,6 : : : : : : 1,6 10,3 2 0,1 12,1 4,8 Verificaþi rezultatele pe care le-aþi obþinut cu ajutorul calculatorului de buzunar. Comparaþi estimãrile pe care le-aþi fãcut cu rezultatele operaþiilor. Discutaþi despre modalitãþile în care aþi realizat estimãrile. 4. Lucrând 80,7 830 343 76,5 21,8 în grupe, efectuaþi calculele: : 0,3 · 2,7 : 5 + 4,4 + 3,1 : 7 · 2,8 : 0,5 – 3,9 – 2,7 · 2,4 : 0,2 + 1,7 · 2 (630 1,5 726 918 0,63 : : : : : 7) – (4,80 + 35,46) 0,03 + (51,2 – 2) 6 · (5,24 +1) 6 – 4,80 + 2 + 48,62 0,7 · 25,6 + 22 Verificaþi cu ajutorul calculatorului de buzunar dacã aþi lucrat corect. Aplică 5. Gândiþi împreunã ºi rezolvaþi problemele de mai jos. Gelu lucreazã la cantina unei firme. El îºi începe munca în fiecare dimineaþã la ora 5:20 ºi pleacã acasã la ora 11:20. Lucreazã 5 zile pe sãptãmânã ºi este plãtit cu 3,5 lei pe ora lucratã. Cât câºtigã Gelu într-o sãptãmânã? Dar într-o lunã? Un euro este 3,55 lei. Fratele meu mi-a trimis din Spania 350 de euro. Pot sã îmi cumpãr din aceastã sumã un calculator ce costã 1301,5 de lei? 6. Temã suplimentarã: 1. Efectueazã calculele: 23,4 + (5,34 – 0.02) · 0,1 2,6 : 0,7 · 4,5 + 5 7,2 : 0,8 · 1,8 32 : 4 + (2,5 – 1,49) – 1,23 7,8 : 0,2 + 2 · (3,2 – 2,29) 7,2 : 0.9 – 3,1 – 4,2 2. Rezolvã problema: Corina ºi Daniel au invitaþi. S-au gândit sã îi serveascã pe prietenii lor cu o prãjiturã cu 1 kg zahãr, 0,2 kg unt, 3 ouã, mere. Pentru o tavã de prãjiturã au nevoie de 1 kg de mere,  4 0,30 kg fãinã, 1 plic de zahãr vanilinat ºi o lãmâie. Pentru cã vor veni 15 persoane ºi pentru cã prãjiturile fãcute de cele douã gazde sunt foarte apreciate, Corina ºi Daniel doresc sa facã douã tãvi de prãjiturã. Mergi la magazin ºi aflã preþurile tuturor produselor necesare pentru prãjiturã ºi calculeazã suma necesarã pentru achiziþionarea lor. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 35 NUMERE RAŢIONALE Numere raţionale 14 Pentru început… 1. Numere în ziare „În ultimii 15 ani, în þara noastrã au dispãrut, ca urmare a defriºãrile ilegale, pãdurile de pe o suprafaþã de peste trei sute de mii de hectare. La ora aceasta, în România, suprafaþa declaratã a pãdurilor este de 6,3 milioane de hectare, ceea ce reprezintã doar 26,7% din suprafaþa totalã a þãrii.”… „Toate aceste lucruri au accentuat eroziunea solului ºi schimbãrile climaterice, fenomen care, de altfel, se manifestã la nivel global.” (România liberã, 15 iulie 2005). Reprezintã prin desen suprafaþa declaratã a pãdurilor ºi suprafaþa defriºatã în ultimii 15 ani. Pornind de la textul preluat din ziar ºi de la afirmaþia: „Calamitãþile naturale se datoreazã ºi defriºãrii pãdurilor”, discutaþi în grup ºi rãspundeþi la întrebarea: Ce putem face noi acasã, la ºcoalã sau în comunitate pentru a diminua defriºarea pãdurilor? Rezolvã problema: Familia Gaºpar colecteazã separat deºeurile de hârtie. În fiecare sãptãmânã se strâng aproximativ 0,5 kg de hârtie. Câte kg de hârtie colecteazã familia Gaºpar într-un an? Dacã prin reciclarea a 50 kg de hârtie se salveazã o zecime dintr-un copac, în câþi ani va salva familia Gaºpar un copac? 2. Eu am… Cine are…? Fiecare va primi o „carte de joc”. De data aceasta, cãrþile de joc vor fi astfel: Start Cine are 0,4 · 7? Eu am 2,8. Cine are 0,73 + 1,26? Eu am 1,99. 3 Cine are  scris sub formã 4 zecimalã? Fiecare din voi va avea o carte de joc… ºi, pentru cã profesorii sunt întotdeauna privilegiaþi, prima carte de joc este a profesorului voastru/profesoarei voastre. Trebuie sã fiþi atenþi ºi sã efectuaþi calculul pe care îl propune cel care citeºte cartea. Cu siguranþã cã unul dintre voi are rãspunsul. Citeºte rãspunsul ºi adreseazã întrebarea scrisã pe cartea ta de joc. Ultima carte de joc nu va mai conþine nici o întrebare. Ea va conþine doar rãspunsul la întrebarea precedentã ºi apoi este scris „sfârºit”. Descoperă și învaţă 3. Citeºte textul de mai jos ºi îndeplineºte sarcinile. Acesta este extrasul meu de cont din prima sãptãmânã a lunii august (am notat cu „…” sumele pe care nu pot sã le citesc de pe extras din cauza unei erori de imprimare): Data Denumire Sold iniþial la 1.08.2005 1.08.05 Dobândã sold 3.08.05 ATM (retragere) 4.08.05 Tranzacþie Oranges 6.08.05 Tranzacþie M & N 8.08.05 Alimentare automatã Suma miºcãrilor Sold la 9.08.05 36 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Debit (plãþi din cont) Credit (intrãri în cont) 325,7 2,88 120 290,34 226,12 50 … … … Te rog sã estimezi suma plãtitã din cont ºi sumele de bani care au intrat în cont. Înlocuieºte „…” din tabel cu valorile corespunzãtoare. Adaugã o coloanã la dreapta tabelului, coloanã ce se va numi „Balanþã” ºi care va conþine soldul contului dupã fiecare transfer de sumã în ºi din cont. Completeazã coloana pe care ai adãugat-o. a , unde a ºi b sunt numere întregi ºi b ≠ 0, se numesc numere Numerele de forma  b raþionale. Mulþimea numerelor raþionale se noteazã cu Q. Numerele naturale, numerele întregi ºi, evident, fracþiile (scrise sub orice formã) sunt numere raþionale. Operaþiile de bazã cu numere raþionale sunt: adunarea, scãderea, înmulþirea, împãrþirea. Aceste operaþii se efectueazã þinând cont de regulile efectuãrii operaþiilor cu numere întregi ºi, respectiv, cu fracþii. De ex.: 1 5 – =– – 4 4 2  3 4. 6  4 =– ( 21 ) = 1 + 21 = 23 ; 3 ; 2 ( 51 ) = – 152 ; · – 1– – (–0,25) · (–0,5) = 0,125. Citeºte textele de mai jos ºi rãspunde cerinþelor. 1. Se considerã numerele 1 5 , , 4 2 1 9 – , – . Reprezintã-le pe axa numerelor, ordoneazã-le 3 2 crescãtor, scrie-le sub formã de fracþii zecimale, comparã-le cu 0, apoi cu 1 , 2 1 apoi cu –  . 2 Reprezintã numerele pozitive cu ajutorul figurilor geometrice. Discutaþi în grup. 2. Se considerã numerele: 0,75; – 1,25; 2,5; –3,25. Reprezintã-le pe axa numerelor, ordoneazã-le crescãtor, scrie-le sub formã de fracþii, comparã-le cu 0, apoi cu 0,5, apoi cu –1,5. Reprezintã numerele pozitive cu ajutorul figurilor geometrice. Discutaþi în grup. 3. Argumenteazã afirmaþia: „Numerele naturale ºi numerele întregi sunt numere raþionale”. Lucreazã împreunã cu unul dintre colegii tãi. Prezentaþi argumentul vostru celorlalþi colegi. Aplică 5. Efectueazã calculele ºi apoi verificã rezultatele cu ajutorul unui calculator de buzunar. 0,5 + 1,3 – 1,5 13  36 92  10 1 + 9 + –3,2 · 4,51 · 0 5 (–  ) 9 1 · (–0,75) + 0,5 · 2 5 5  –  ·2 6 6 2 1 0,5 –  :  3 0,3 2 7 (–  – 0,5) :  + 3 3 + (–7,5) – 2,7 –1 – 1,65 2 – 2,3 (–0,25) (–0,1) Rezolvã problema: Dacã, pe o hartã, 1 cm reprezintã 30,5 km în teren, câþi kilometri reprezintã în teren 4,8 cm de pe hartã? 6. Temã suplimentarã Rezolvã problema: Vaca lui Ion este destul de slabã, ºi totuºi încã dã 11,5 l lapte pe zi. Ion are patru copii, astfel cã el vinde doar 4  5 din lapte la o firmã de comercializare a laptelui, care îi plãteºte 0,9 lei pe litrul de lapte. Ce cantitate de lapte dã vaca lui Ion într-o lunã (considerã cã luna are 31 de zile)? Ce cantitate de lapte vinde Ion într-o lunã? Cât câºtigã Ion din vânzarea laptelui într-o lunã? Ce cantitate de lapte bea zilnic fiecare copil din familia lui Ion, dacã laptele nevândut este împãrþit în mod egal între copii? PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 37 NUMERE RAŢIONALE Numere raţionale în probleme 15 Pentru început… 1. 2. Despre probleme. „Problema nu este cã existã probleme. Problema este cã gândim cã este o problemã dacã avem probleme.” – Theodore Isaac Rubin, scriitor, 1923. Comenteazã citatul. Citeºte cu atenþie textul de mai jos. Doresc sã mã duc împreunã cu prietena mea, Mãdãlina, la Sãrbãtoarea Castanelor din Baia Mare. Douã zile de distracþii, nu e puþin lucru… Cristina ºi Andrei au fost anul trecut ºi impresiile lor au fost grozave!… Singura problemã este cã trebuie sã facem rost de bani ca sã putem merge. Ne-am gândit împreunã la cheltuielile presupuse de un astfel de drum ºi le-am scris într-un tabel: Tip de cheltuialã Transport cu trenul personal clasa a II-a de la Cluj-Napoca la Baia Mare 2 nopþi de cazare Mâncare pentru 2 zile ºi jumãtate Distracþie – douã zile Cost 19,3 lei/persoanã 6,5 lei/persoanã/noapte 6,2 lei/zi/persoanã Aici e clar cã putem scrie oricât… dar, hai, sã spunem cã ar trebui cel puþin 15 lei/persoanã/zi Avem 100 de lei. Nu am fãcut calculul, dar se pare cã nu ne ajung. Mãdãlinei i-a venit o idee grozavã. Ea ar putea obþine aprobare ca sã vindem prãjituri de casã la meciurile de baschet de la Sala Sporturilor. Ideea e cu atât mai bunã, cu cât noi facem niºte preparate delicioase. Specialitãþile noastre sunt iºlerele ºi covrigeii sãraþi. Pentru 20 de iºlere avem nevoie de 0,3 kg fãinã, 1 pachet de unt de 200 de grame, 200 de grame de zahãr, 150 de grame de nuci mãcinate, 3 linguri de cacao ºi jumãtate de borcan de gem. Nuci nu trebuie sã cumpãrãm, pentru cã are bunica un nuc în grãdinã ºi ne dã câte nuci vrem. Putem vinde iºlerele cu 0,9 lei bucata. Pentru 60 de covrigei sãraþi avem nevoie de 0,5 kg fãinã, 150 de grame unt, douã ouã, 200 ml smântânã, 20 de grame drojdie, o linguriþã rasã de zahãr, o linguriþã de sare, o linguriþã de chimion. Covrigeii îi putem vinde în pungi de 300 de grame (adicã 20 de covrigei) la un preþ de 3 lei punga. Preþul ingredientelor este în tabelul de mai jos. Ne-am luat inima în dinþi ºi am cumpãrat din economiile noastre ingredientele pentru prãjituri ºi i-am plãtit lui Tudor 5 lei pentru un afiº de reclamã. Am fãcut 120 de iºlere ºi 18 pungi de covrigei. Am vândut tot, ba am mai fi putut vinde dacã am fi avut mai multe. 38 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Produs 1 kg fãinã 200 g unt 1 kg zahãr 200 g cacao 1 borcan de gem 1 ou 300 g smântânã drojdie 1 pungã chimion pungã alimentarã ºerveþel pentru ambalat/servit iºler Preþ 2,1 lei 2,5 lei 1,9 lei 3,65 lei 1,8 lei 0,4 lei 2,3 lei 1 leu 2 lei 0,05 lei 0,005 lei Întorºi acasã, am vrut sã vedem dacã am câºtigat sau am pierdut bani în aceastã primã afacere. Aºa cã ne-am gândit cã ar trebui sã avem în vedere: a) suma câºtigatã Suma câºtigatã din vânzarea iºlerelor: …… buc · 0,9 lei = ……… lei Suma câºtigatã din vânzarea covrigeilor …… pungi · 3 lei = + ……… lei TOTAL câºtig ……… lei b) suma cheltuitã Suma cheltuitã pentru ingrediente – iºlere ……… lei Suma cheltuitã pentru ingrediente – covrigei + ……… lei Suma cheltuitã pentru ambalaj + ……… lei Suma cheltuitã pentru reclamã + ……… lei TOTAL cheltuit ……… lei c) câºtig sau pierdere? Sumã câºtigatã …………… lei Sumã cheltuitã – …………… lei Profit/pierdere …………… lei Am câºtigat sau am pierdut? Încã nu ºtim, dar se poate afla. Oricum, a fost o experienþã interesantã. ªi dacã am ºi câºtigat din aceastã primã afacere pe care am fãcut-o, mã gândesc serios sã-mi fac o micã firmã, sã amenajez un mic laborator, sã-mi cumpãr ustensile performante, un cuptor mai mare… Va trebui atunci sã plãtesc ºi gazul, apa, salubritatea ºi chiar sã cumpãr de la bunica nucile de care am nevoie la prepararea prãjiturilor. Descoperă și învaţă 3. Lucraþi în grupe ºi faceþi calculele în caiet pentru a rãspunde la urmãtoarele întrebãri: De ce sumã minimã au nevoie Mãdãlina ºi prietenul ei pentru a merge la Sãrbãtoarea Castanelor de la Baia Mare? Cât au câºtigat ei din vânzarea iºlerelor? Cât au câºtigat din vânzarea covrigeilor? Cât au cheltuit pentru prepararea ºi comercializarea iºlerelor? Cât au cheltuit pentru prepararea ºi comercializarea covrigeilor? Ce este mai convenabil sã vândã: covrigei sau iºlere? Ce sumã au câºtigat? – completeazã enunþurile din chenarul a) de mai sus. Ce sumã au cheltuit? – completeazã enunþurile din chenarul b) de mai sus. Au avut profit sau pierdere? – completeazã enunþurile din chenarul c) de mai sus. Le ajung banii câºtigaþi pentru a merge la Sãrbãtoarea Castanelor? Dacã nu, ce sugestie le dai? Discutã cu întreaga clasã rãspunsurile pe care le-ai dat. Aplică 4. Lucraþi în grupe ºi rãspundeþi la întrebãrile de mai jos. Dacã Mãdãlina ºi prietenul ei doresc sã-ºi cumpere un calculator la un preþ de 1500 de lei, ce strategie de vânzare a iºlerelor ºi a covrigeilor le sugeraþi? Propuneþi strategii realiste… nu vã gândiþi cã ar putea vinde la un meci de baschet, unde sunt cam 1000 de spectatori, 3 milioane de iºlere! Nu uitaþi cã ei nu au ajutor la bucãtãrie. Argumentaþi strategia propusã prin calcule. Dacã þi-a plãcut sã afli rãspunsurile la întrebãrile care þi-au fost adresate pe parcursul acestei lecþii, îþi recomand sã realizezi unul din proiectele: „Sã plãnuim o excursie (un turneu)” sau „Reþete de Crãciun”. Descrierea proiectelor se gãseºte la paginile 43 ºi 44 a acestui ghid. 5. Verificã-þi progresul! 1) Citeºte textul ºi subliniazã numerele din text. „Compania Naþionalã de Autostrãzi ºi Drumuri Naþionale (CNADNR) are în administrare 210 km de autostrãzi ºi o reþea de 15.700 km de drumuri naþionale, din care 5.774 km drumuri naþionale europene, 4.538 km drumuri naþionale principale ºi 5.178 km drumuri naþionale secundare. În contextul integrãrii României în Uniunea Europeanã ºi al creºterii PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 39 valorii medii de trafic cu 70%, CNADNR deruleazã programe de reabilitare ºi modernizare a drumurilor naþionale, de fluidizare a traficului, de construcþie a variantelor ocolitoare pentru marile oraºe, precum ºi programe de construcþie de autostrãzi. Stadiu Autostrãzi în execuþie Autostrãzi cu contracte încheiate Autostrãzi în pregãtire Autostrãzi în perspectivã TOTAL Lungime 260,4 km 337,2 km 539,7 km 649,0 km 1.786,3 km Fonduri necesare 1.190 milioane 1.780 milioane 3.527 milioane 4.268 milioane 10.765 milioane EUR EUR EUR EUR EUR Un articol de Carmen Andrei, preluat de pe site-ul: http://www.romanialibera.ro/editie/index.php?url=articol&tabel=z19082005&idx=9 Procent 2) Completeazã tabelul: Fracþie Fracþie zecimalã 3  5 1,25 40% 3) Subliniazã rãspunsul corect. Care dintre regiuni reprezintã 25% din cerc? a. a; b. b; c. c; d. d? a b d c 4) Reprezintã fracþiile urmãtoare cu ajutorul figurilor geometrice. Scrie câte douã fracþii 5 10 3 ; ;  . echivalente cu fracþiile:  8 12 2 5) Reprezintã numerele descrescãtor. 2 ; 4 75%; 3 3 ; ; 2 5 1 – ; 0,55; 4 7 ; 8 –0,5 pe axã ºi ordoneazã-le 6) Dacã din 5 aruncãri libere la jocul de baschet Ana înscrie 4, care este procentul cu care Ana înscrie din aruncãri libere: a. 20%; c. 80%; b. 40%; d. 90%. 7) Subliniazã rãspunsul corect. Un aparat de radio costã 80 lei. Dacã magazinul oferã o reducere de 20%, care este preþul de vânzare al aparatului de radio: a. 16 lei; c.64 lei; b. 60 lei; d.96 lei? 2 1 : este: 8) Subliniazã rãspunsul corect. Rezultatul calculului 0,4 –  3 0,6 ; a. – 32 45 ; c. – 16 9 4 b. –  ; 9 d. 0. Rezolvã problemele: 9) Vasile locuieºte în comuna Miereni ºi are 3 ha de pãmânt pe care cultivã grâu. Ieri l-am auzit spunându-i Rodicãi: „Cultivã ºi tu 3 ha de pãmânt, sã te coste 1400 RON/ ha, sã obþii 4,2 t grâu la hectar ºi sã vinzi cu 0,25 lei/ kg de grâu, sã vedem: îþi acoperi cheltuiala?” Rãspunde la întrebarea adresatã de Vasile ºi argumenteazã-þi rãspunsul prin calcule. . . . . . 10) Viorica ºi Mihai au de pregãtit o salatã de cartofi cu ciuperci. Pentru 4 porþii de salatã, în reþetã scrie cã sunt necesare urmãtoarele: 0,25 kg ciuperci, 0.3 kg cartofi, 2 cepe, 2 linguri de oþet, 3 linguri de ulei, 2 linguriþe de muºtar, 2 roºii, mãrar, sare ºi piper. Care sunt cantitãþile necesare pentru a prepara o salatã de cartofi cu ciuperci pentru 10 persoane? 40 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI 6. Completeazã fiºa de autoevaluare. 1. Am învãþat despre numerele raþionale: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 2. Reprezint numere raþionale prin desen cu ajutorul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 3. Compar numere raþionale dacã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 4. Calculez corect valoarea unei expresii cu numere raþionale dacã în expresie apar operaþiile: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Lucrez cu uºurinþã cu procente dacã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 6. Rezolv corect probleme care presupun utilizarea numerelor raþionale dacã: . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... 7. Mi se pare mai uºor sã rezolv exerciþii ºi probleme în care apar (marcheazã cu × cãsuþa prin care afirmaþia devine adevãratã): o fracþii o fracþii zecimale 8. Paginile . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele de la 1, 2 ºi 3. Paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele de la 4 ºi 6. Paginile . . . . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele de la 5. 9. Am încã dificultãþi cu: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 10. Cred cã întâmpin aceste dificultãþi pentru cã: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... 11. Paginile . . . . . . . . . . . . din portofoliu ºi paginile . . . . . . . . . . . . din caiet demonstreazã afirmaþiile mele la 9 ºi 10. 12. Am contribuit la activitãþile în perechi/pe grupe/cu întreaga clasã atunci când: . . . . . . . . . .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 41 Reflecţie la final de modul M Marcheazã cu × cãsuþele prin care afirmaþiile 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 devin adevãrate. 1. În cadrul lecþiilor din acest modul mi-a plãcut: o ce am lucrat; o cum am lucrat; o modul în care am colaborat cu colegii; o modul în care am colaborat cu profesorul/profesoara de matematicã. 2. Cred cã ceea ce am învãþat în acest modul: o îmi foloseºte; o nu îmi foloseºte; o îmi va folosi. 3. Reprezint pe axã cu uºurinþã o numerele naturale; o fracþiile; o numerele raþionale. o numerele negative; o fracþiile zecimale; 4. Compar cu uºurinþã: o numere naturale; o fracþii; o numere raþionale; o numere întregi negative; o fracþii zecimale; o procente. 5. Calculez o o o o numere întregi negative; o fracþii zecimale; uºor cu numere dacã acestea sunt: numere naturale; fracþii; numere raþionale. 6. Calculez uºor dacã lucrez cu operaþii de: o adunare ºi scãdere; o împãrþire; 7. Calculez o o o o înmulþire; o ridicare la putere. uºor: în minte; utilizând creionul ºi hârtia; utilizând calculatorul. 8. Completeazã propoziþia: Parcurgând acest modul, mi-am demonstrat cã sunt capabil sã rezolv probleme în care . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 9. Completeazã propoziþia: În parcurgerea acestui modul, m-am simþit bine atunci când .......................................................................... pentru cã . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................... 10. Completeazã propoziþia: Mi-ar fi plãcut ca pe parcursul acestui modul sã .......................................................................... .......................................................................... .......................................................................... 42 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Proiecte În cadrul acestui modul, vei avea de realizat o activitate de proiect în care sã demonstrezi cã eºti capabil sã rezolvi o situaþie problemã prin operare cu numere. Îþi propunem patru teme de proiect ºi o scurtã descriere a fiecãreia, dar poþi realiza un proiect pe o altã temã, dacã pentru realizarea acestuia eºti pus în situaþia de a opera cu numere. 1. 2. „Sã plãnuim o excursie (un turneu)” În cadrul proiectului vei avea de realizat planul/proiectul unei excursii (unui turneu) în 3 þãri din Europa. Vei face calcule referitoare la distanþa parcursã, costul total al excursiei/turneului, vei prezenta informaþii despre moneda þãrii respective, rata de schimb ºi vei calcula costurile excursiei/turneului pe teritoriul fiecãrei þãri în moneda þãrii. Câteva idei despre aspectele pe care ar trebui sã le iei în consideraþie în calculul costului total al excursiei/turneului le gãseºti în cadrul activitãþii 2 din lecþia 15. Îþi recomandãm ca la acest proiect sã lucrezi în pereche cu un coleg/o colegã. „Divizia punctajelor” Îþi vei forma o echipã de fotbal alegând 11 jucãtori din Campionatul Naþional (feminin sau masculin) de Fotbal. Punctajul fiecãrui jucãtor din echipa ta îl vei stabili utilizând tabelul de mai jos ºi informându-te despre activitatea jucãtorilor aleºi de tine în cadrul Campionatului Naþional. Punctajul echipei tale va fi suma punctajelor jucãtorilor. Vei stabili punctajul echipei tale pe o perioadã cuprinsã între 5 ºi 8 sãptãmâni. Pentru toþi jucãtorii punctaj Pentru apãrãtori ºi portari punctaj Nu are sancþiuni ºi a jucat tot Joacã tot meciul +2 +4 meciul Joacã doar o anumitã perioadã Nu are sancþiuni ºi a jucat numai +1 +2 din meci o perioadã din meci Gol primit ºi recunoscut de Gol marcat (inclusiv din penalti) +10 –1 arbitru Pasã decisivã de gol +3 Ratarea unui penalti (unei lovituri de la 11 m) –5 Eliminat din joc –5 Primeºte cartonaº galben –2 O idee despre ce înseamnã acest proiect þi-ai putut forma dacã ai rezolvat problema 3 din cadrul temei suplimentare de la lecþia 6. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 43 3. 4. „Numere în meserie” În cadrul acestui proiect vei realiza o descriere a utilizãrii numerelor ºi a operaþiilor cu numere în meseria pe care o practici sau în meseria pe care þi-ai ales-o. „Reþete de Crãciun” Popoare diferite sãrbãtoresc Crãciunul diferit. În cadrul acestui proiect vei prezenta reþete de mâncãruri tradiþionale de Crãciun care se servesc în diferite þãri ale lumii. Vei putea alege cel puþin cinci þãri. Prezentarea reþetelor înseamnã o listã a ingredientelor ºi a cantitãþilor corespunzãtoare necesare pentru prepararea mâncãrii. Apoi vei calcula cantitãþile necesare pentru a pregãti respectivul fel de mâncare pentru 25 de persoane. În realizarea proiectului, vei parcurge urmãtorii paºi: 1. Alege tema de proiect care te intereseazã (în prima lunã de ºcoalã); 2. Prezintã-i profesorului/profesoarei de matematicã tema aleasã ºi discutã termenele la care trebuie sã prezinþi ceea ce ai lucrat în cadrul proiectului. 3. Informeazã-te despre tema aleasã ºi stabileºte aspecte concrete legate de proiect; de ex.: stabileºte cele 3 þãri din Europa pe care le vei avea în vedere în cadrul primului proiect, sau cei 11 jucãtori pe care þi i-ai ales în echipã pentru proiectul al doilea, meseria pe care o ai în vedere pentru proiectul al treilea, sau þãrile din care alegi mâncarea tradiþionalã de Crãciun pentru proiectul al patrulea. 4. Prezintã-i profesorului/profesoarei cum ai de gând sã abordezi proiectul ºi cum te gândeºti sã te informezi. Sursele de informare pentru realizarea proiectului pot fi diverse; poþi cãuta informaþia în cãrþi (proiect 1 ºi 4), pe internet (proiect 1, 2 ºi 4), în ziare (proiect 2), la radio sau la televizor (proiect 2), intervievând persoane resursã din comunitate (în special pentru proiectul 3, dar poate fi o variantã bunã ºi în cazul celorlalte proiecte). 5. Stabileºte-þi un program pentru realizarea proiectului. Nu lãsa totul pe ultimul moment, pentru cã îþi va fi greu sã realizezi un proiect de calitate. 6. Comunicã-i profesorului/profesoarei dacã întâmpini dificultãþi în realizarea proiectului. 7. Dupã ce ai obþinut toate informaþiile de bazã necesare, trebuie sã începi sã faci calculele. În cazul proiectului 2, nu este recomandabil sã te apuci de calcule doar dupã ce aduni toate datele. În situaþia acestui proiect, dupã fiecare etapã a Campionatului Naþional de Fotbal este bine sã calculezi punctajul fiecãrui jucãtor. 8. Pregãteºte prezentarea scrisã a proiectului. Pe prima paginã trebuie sã aparã numele proiectului, numele tãu ºi al coechipierilor tãi (dacã aþi lucrat în echipã), clasa, ºcoala, perioada în care l-ai realizat. Pe pagina a doua, va trebui sã faci o prezentare a situaþiei concrete pe care ai ales-o (þãrile din Europa în care planifici cãlãtoria – ºi eventual harta –, numele jucãtorilor din echipa ta, meseria pe care ai ales-o sau bucãtãriile tradiþionale din care provin mâncãrurile de Crãciun). Începând cu pagina 3, va trebui sã prezinþi date concrete ºi calculele pe care le-ai realizat. Poþi alege ce variantã doreºti pentru aceasta: poþi utiliza tabele (ai avut ocazia sã vezi astfel de tabele în cadrul lecþiilor din ghid), sau poþi scrie întrebãrile pe care þi le-ai pus ºi apoi sã prezinþi modalitatea prin care ai gãsit rãspunsul la ele, sau… Orice variantã este bunã atâta timp cât existã o ordine în informaþia ºi în calculele pe care le-ai fãcut. Pe penultima paginã scrie un foarte scurt raport al etapelor pe care le-ai parcurs pentru realizarea proiectului, iar pe ultima paginã scrie de unde sau de la cine ai obþinut informaþiile cu care ai lucrat la proiect (numele persoanei pe care ai intervievat-o sau cãrþile, ziarele, numele ºi adresa siteurilor web). 9. Pregãteºte prezentarea oralã a proiectului. Aceasta nu trebuie sã fie mai lungã de 10 minute. Prezintã rezultatele pe care le-ai obþinut ºi modalitatea în care le-ai obþinut. Realizarea unui proiect poate fi o activitate foarte plãcutã ºi utilã, dacã îþi alegi o temã care te intereseazã ºi dacã îþi planifici munca la proiect. 44 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Rezumatul modulului R Numerele sunt un produs al inteligenþei omului. Cu ajutorul numerelor, oamenii au numãrat, au exprimat cantitãþi din lumea înconjurãtoare ºi au stabilit relaþii de ordine între ele. Cele mai simple numere sunt cele pe care le folosim la numãrat: 0, 1, 2, 3, 4, 5… Ele alcãtuiesc mulþimea numerelor naturale, mulþime pe care am notat-o cu N. Cu siguranþã cã oamenii au numãrat ºi înainte de apariþia simbolurilor pentru numere, pentru cã ºi-au folosit degetele, au zgâriat pe bucãþi de lemn sau de os, au folosit jetoane. Un alt tip de numere, numerele întregi, au fost „produse” tot pentru a numãra, dar, de data aceasta, pentru a numãra datoriile. Pare straniu sã-þi reprezinþi (–2) lãzi de grâu, dar dacã datorezi cuiva 2 lãzi de grâu, numãrul lãzilor pe care le ai este cu 2 mai mic. Existã ºi alte moduri de a interpreta acest tip de numere; de exemplu, o temperaturã negativã în grade Celsius caracterizeazã un corp mai rece decât punctul de îngheþ al apei. În felul acesta, un singur simbol matematic poate reprezenta mai mult decât un singur aspect al naturii. Mulþimea numerelor întregi am notat-o cu Z ºi ea conþine numerele: …, –4, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4… Fracþiile au apãrut înaintea numerelor întregi, poate pentru cã oamenii au avut de împãrþit un întreg în mai multe pãrþi înainte de a-ºi socoti datoriile. Fracþiile nu au ajutat oamenii la numãrat, dar cu siguranþã cã i-au ajutat la împãrþirea unei pâini sau a unei moºteniri. ªi astfel a fost necesarã introducerea unei alte mulþimi, mulþimea numerelor raþionale, pe a , unde a ºi b sunt numere care am notat-o cu Q ºi care conþine toate numerele de forma  b 1 7 3 , ºi pe –  , ºi pe  , întregi ºi b ≠ 0. În aceastã mulþime gãsim, printre alte numere, ºi pe  2 4 1 4 0  = 0. Numerele raþionale reprezintã tot ceea ce este necesar pentru , dar ºi pe ºi pe –  2 1 tranzacþii comerciale, dar ele nu sunt suficiente pentru matematicã. Mai existã ºi alte mulþimi de numere, pe care nu le-am tratat în cadrul acestui modul. Relaþia dintre mulþimile N, Z ºi Q poate fi redatã printr-o diagramã sugestivã. ªi pentru cã numerele sunt doar produsul inteligenþei omului, pentru a putea lucra cu ele, pentru a le compara, este esenþial sã ni le reprezentãm. În cadrul acestui modul, ne-am întâlnit ºi cu un altfel de obiect al gândirii matematice, cu operaþia; exemple ale acesteia ar fi adunarea, scãderea, înmulþirea, împãrþirea ºi ridicarea la putere. Fiecare operaþie îºi are regula ei de calcul, indiferent de numerele cu care lucrãm, dar ele sunt toate legate printr-o regulã care ne spune care este ordinea efectuãrii acestora: Parantezele – Ridicarea la putere – Înmulþirea/Împãrþirea – Adunarea/Scãderea. Aceastã regulã nu trebuie uitatã. Azi, orice calculator poate efectua o operaþie. Dar nici un calculator nu va afiºa cu ce operaþie trebuie sã începi când ai un ºir de operaþii. Dacã ai de fãcut calculul 2 + 4 : 2 ºi vei tasta la calculator numerele ºi operaþiile în ordinea în care sunt scrise, nu vei obþine rezultatul corect. Numerele ºi operaþiile sunt importante, dar nu au nici un fel de valoare dacã nu sunt utilizate în rezolvarea de probleme. Toþi oamenii, indiferent ce meserie au, trebuie sã calculeze cu numere din domeniul în care lucreazã. Cu toþii suntem puºi în situaþia de a rezolva probleme mai grele sau mai uºoare, acasã, la locul de muncã sau în comunitate. Cum abordãm rezolvarea unei probleme? Numeroasele probleme pe care le-ai rezolvat pe parcursul acestui modul credem cã te-au condus spre algoritmul urmãtor: PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 45 Citeºte problema. Acordã importanþã întrebãrii. Subliniazã cuvintele-cheie din text. Decide care sunt paºii ce trebuie parcurºi, ce date trebuie aflate ºi ce operaþii sunt necesare pentru a rezolva problema. Estimeazã rezultatul calculului. Scrie calculele pe care ai de gând sã le efectuezi. Nu uita sã foloseºti paranteze, dacã ele sunt necesare Efectueazã calculele. S-ar putea sã ai nevoie de un calculator de buzunar, dacã numerele sunt prea mari sau au multe cifre dupã virgulã. Interpreteazã rezultatul – este necesar sã aproximezi numãrul? Nu uita de unitãþile de mãsurã. Verificã dacã rezultatul problemei are sens. Comparã rezultatul cu estimarea pe care ai fãcut-o ºi vezi dacã rezultatul pe care l-ai obþinut este de bun-simþ. Un sfat Este important sã efectuezi calcule în scris cu numerele pe care le-ai învãþat pe parcursul acestui modul. Dar este ºi mai important sã utilizezi proprietãþi ale operaþiilor pentru ca sã calculezi mintal mai uºor (de ex.: 19 + 45 + 1 = 19 + 1 + 45 = 20 + 45 = 65) ºi sã gândeºti corect rezolvarea problemelor. Dacã îþi este dificil sã aduni fracþii care au numitori diferiþi, atunci, nu uita cã linia de fracþie înseamnã împãrþire, utilizeazã calculatorul ºi scrie fracþia sub formã de fracþie zecimalã. Exerseazã calculul mintal ºi fã estimãri ori de câte ori ai ocazia: când citeºti un ziar, când auzi o ºtire la radio, când faci cumpãrãturi, când dai un telefon ºi te gândeºti cât costã… În felul acesta, vei putea foarte repede sã stabileºti în ce constã anunþata mãrire de salariu cu 5%, vei putea alege reducerea de preþ care te avantajeazã etc. … Și acum, evaluarea! Evaluarea este conceputã pentru a da ocazia celui care este evaluat sã demonstreze ceea ce ºtie. Deci nu te stresa! Dacã ai rezolvat toate sarcinile de lucru din acest ghid, cu siguranþã cã efectuezi operaþii cu numere ºi rezolvi o mulþime de probleme. Dacã nu ai apucat sã rezolvi temele suplimentare, poate cã îþi gãseºti acum timp ca sã o faci. Citeºte fiºele de autoevaluare pe care le-ai completat la finalul fiecãrei teme ºi insistã mai mult pe aspectele la care ai semnalat probleme. Dacã nu te descurci singur/singurã, cere ajutorul profesorului tãu/profesoarei tale în timpul orelor de matematicã din curriculumul la decizia ºcolii. În paginile urmãtoare vei gãsi un ghid de studiu care te va ajuta în pregãtirea evaluãrii de modul. 46 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Ghid de studiu G Ghidul de studiu este un instrument util în pregãtirea evaluãrii de modul. El te pregãteºte pentru a putea demonstra ceea ce ai acumulat parcurgând acest modul. El conþine informaþii, exerciþii ºi probleme care sã te ghideze într-o recapitulare eficientã. Fiecare sarcinã de lucru este urmatã de soluþia/soluþiile acesteia. Nu este suficient sã citeºti soluþia exerciþiului. Îþi recomand sã încerci sã rezolvi singur/singurã exerciþiile ºi problemele ºi apoi sã te verifici urmãrind soluþia descrisã în ghidul de studiu. Ce trebuie sã demonstrezi cã ºtii sã faci la evaluarea finalã a acestui modul? Evaluarea de modul urmãreºte sã stabileascã dacã þi-ai format ºi þi-ai dezvoltat competenþa generalã a acestui modul, adicã dacã operezi cu numere. Întrebãrile (exerciþiile ºi problemele) îþi vor cere: – sã recunoºti numerele raþionale dintr-un text; – sã compari ºi sã ordonezi (crescãtor sau descrescãtor) numere raþionale; – sã utilizezi scrierea ºtiinþificã a numerelor naturale foarte mari; – sã reprezinþi numere raþionale pe axã; – sã utilizezi rapoarte ºi procente în rezolvarea de probleme; – sã aduni, scazi, înmulþeºti, împarþi numere raþionale ºi sã utilizezi proprietãþi ale acestor operaþii pentru calcule mintale; – sã estimezi ºi sã calculezi pãtratul ºi cubul unui numãr raþional; – sã rezolvi probleme cu fracþii, fracþii zecimale, procente, numere întregi. În exerciþiile ºi problemele pe care le ai de rezolvat este important sã gãseºti cea mai potrivitã metodã de efectuare a calculului. Dacã este specificat cã trebuie sã efectuezi calculul în scris, mintal sau cu calculatorul, atunci trebuie sã respecþi cerinþa. Vocabular Cuvintele din acest ghid de studiu sunt cuvinte uzuale ºi noþiuni matematice pe care le-ai întâlnit parcurgând acest modul. Dacã întâlneºti cuvinte pe care nu le înþelegi, verificã întâi în indexul Ghidului elevului ºi/sau discutã cu profesorul tãu/profesoara ta de matematicã. De ce este important acest modul? Suntem puºi în situaþia de a opera cu numere în viaþa de zi cu zi: în calitate de consumatori (cumpãrãturi pe credit, alegerea celui mai convenabil preþ, reþete de bucãtãrie), în calitate de cetãþeni (taxe, impozite, alegeri), ca angajaþi (estimare de cost, profit, pierdere, controlul calitãþii, materiale necesare). În orice meserie este necesar sã operezi cu numere. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 47 Ce fel de probleme ºi exerciþii va conþine evaluarea de modul? Evaluarea de modul va avea în vedere cele trei standarde de evaluare a competenþelor. Vom lua în consideraþie fiecare standard ºi câteva tipuri de exerciþii/probleme care verificã nivelul de atingere a fiecãrui standard. Toate problemele ºi exerciþiile sunt rezolvate ºi explicate, punând în evidenþã modul de abordare ºi raþionamentele pe care ar trebui sã le faci. De asemenea, în elaborarea soluþiei am insistat asupra greºelilor pe care le-ai putea face în rezolvare. Pentru fiecare exerciþiu sau problemã este precizat tipul de probã (oralã sau scrisã) sugerat. Prin probã oralã se înþelege proba în care primeºti una sau mai multe sarcini de lucru, ai posibilitatea sã te gândeºti ºi sã efectuezi calcule, reprezentãri etc., sã creionezi rezolvarea pe o ciornã într-un interval de timp stabilit de cãtre profesor ºi comunicat þie, dupã care prezinþi oral ºi, eventual, scriind la tablã, rezolvarea exerciþiului sau a problemei. Aceastã probã se desfãºoarã prin întrebãri ºi rãspunsuri expuse verbal, printr-un dialog între tine ºi profesor. Proba scrisã presupune cã într-un interval de timp stabilit de cãtre profesor ºi comunicat þie, trebuie sã rezolvi în scris toate sarcinile de lucru pe care le primeºti. La finalul intervalului de timp, trebuie sã predai lucrarea scrisã. Lucrarea ta va fi evaluatã numai pe baza a ceea ce ai scris, de aceea îþi recomand sã scrii citeþ ºi sã redactezi lucrarea în aºa fel încât sã fie uºor de înþeles modul în care ai gândit rezolvarea exerciþiului sau a problemei. 1. Standard 1: Sã utilizezi adecvat numere raþionale în contexte uzuale. • Exerciþiul 1 (probã oralã) Citeºte textul: „Valoarea tranzacþiilor derulate ieri la Bursã a atins un maxim istoric de 149 de milioane de lei (peste 43 de milioane de euro), din care mai mult de 80% reprezintã transferurile realizate cu titlurile SIF-urilor. (…) Astfel, indicele BET, care urmãreºte evoluþia celor mai mari zece companii de la Bursã, a urcat cu 1,3%. Printre principalii beneficiari ai vânzãrilor de pe SIF-uri s-a numãrat ieri compania petrolierã Rompetrol Rafinare, ale cãrei acþiuni se numãrã printre preferinþele investitorilor autohtoni. Acþiunile Petromidia au depãºit pragul de 0,1 lei/acþiune pentru prima datã dupã aproape 5 luni. Titlurile Rompetrol au atins ieri un maxim de 0,103 lei/acþiune, dupã care au mai coborât puþin spre final, închizând la cotaþia de 0,1 lei/acþiune, în urcare cu 2,8%. Valoarea tranzacþiilor realizate cu titluri Rompetrol s-a ridicat ieri la peste 7,7 miliarde lei (2.200.000 euro).” (Articol „Banii de pe SIF-uri au tras în sus toatã piaþa” – 5.08.2005 – Ziarul Financiar – http://www.stiri24.ro/article.php?id=59767) Toate cerinþele de mai jos fac referire la numerele din textul anterior. Citeºte toate numerele din text. Stabileºte care numere sunt numere naturale / întregi/ raþionale. Scrie, utilizând doar cifre, fiecare numãr scris ºi cu ajutorul literelor. Citeºte toate numerele în ordine crescãtoare. Reprezintã numerele mai mici decât 10 pe axa numerelor. Soluþie: Pentru cã acest exerciþiu are mai multe cerinþe, este bine sã rãspunzi pe rând la fiecare. Cerinþa 1: Citeºte toate numerele din text. Numerele care apar în text sunt: 149 de milioane de lei, 43 de milioane de euro, 80%, zece companii, 1,3%, 0,1 lei/acþiune, 5 luni, 0,103 lei/acþiune, 0,1 lei/acþiune, 2,8%, 7,7 miliarde lei, 2.200.000 euro. Atenþie la numerele care sunt scrise numai cu litere (de exemplu: „zece”); nefigurând cifre în scrierea lor, pot fi omise cu uºurinþã. 48 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Cerinþa 2: Stabileºte care numere sunt numere naturale/întregi/raþionale. Numerele naturale sunt: 0, 1, 2, 3, 4…; numerele întregi sunt: …, –5, –4, –3, –2, –1, 0, 1, a , unde a ºi b sunt numere 2, 3, 4, 5 … ºi numerele raþionale sunt numerele de forma  b întregi ºi b ≠ 0 (cu alte cuvinte, numerele raþionale se obþin prin împãrþirea unui numãr întreg la un alt numãr întreg). Se observã cã numerele naturale sunt ºi numere întregi, ºi numere raþionale, ceea ce înseamnã cã, dacã am stabilit cã, de exemplu, 5 este numãr natural, atunci el va fi ºi numãr întreg ºi numãr raþional. Fracþiile zecimale sunt numere 1 . raþionale, pentru cã, de exemplu: 0,1 este 10 O atenþie specialã trebuie acordatã numãrului 7,7 miliarde. Deºi în scrierea acestui numãr este utilizatã o fracþie zecimalã, el este, de fapt, un numãr natural, pentru cã se poate scrie ca 7.700.000.000. Scrierea utilizatã în text aminteºte de scrierea ºtiinþificã a numerelor. Reaminteºte-þi cã scrierea ºtiinþificã înseamnã scrierea unui numãr ca un produs dintre un numãr de la 1 la 10 (fãrã 10) ºi o putere de-a lui 10. Numerele naturale identificate în text sunt: 149 de milioane; 43 de milioane; 80; zece; 5; 7,7 miliarde; 2.200.000. Aceleaºi numere sunt ºi numere întregi (nu intervin numere negative în cadrul textului), iar numerele raþionale din text sunt toate numerele care apar în text, pentru cã toate numerele care apar în text se pot scrie sub formã de fracþie: 1 103 5 , 0,103 este  , 5 este  etc. 0,1 este  10 1 1000 Cerinþa 3: Scrie, utilizând doar cifre, fiecare numãr scris ºi cu ajutorul literelor. Scrierea fiecãrui numãr din text doar cu ajutorul cifrelor o realizezi doar în cazul în care numerele sunt scrise ºi cu ajutorul literelor sau numai cu ajutorul literelor; un milion înseamnã 106, iar un miliard înseamnã 109.Scrierea cu ajutorul cifrelor a numerelor cuprinse în text este: 149 de milioane = 149.000.000, 43 de milioane = 43.000.000, zece = 10; 7,7 miliarde = 7.700.000.000. Cerinþa 4: Citeºte toate numerele în ordine crescãtoare. Pentru a citi numerele în ordine crescãtoare, trebuie sã le comparãm. Comparãm întâi întregii; luãm în consideraþie numerele care au 0 întregi; acestea sunt: 0,1; 0,103; 0,1. Pentru cã douã dintre numere sunt egale (0,1 apare de douã ori), vom compara doar numerele 0,1 ºi 0,103. Scriem pe 0,1 ca 0,100 (aminteºte-þi cã 0 dupã virgulã ºi dupã ultima cifrã diferitã de 0 a numãrului nu are valoare) ºi comparãm, pe rând, întregii, zecimile, sutimile, miimile: Unitãþi Zecimi Sutimi Miimi 0,100 0 1 0 0 0,103 0 1 0 3 comparare 0=0 1=1 0=0 0<3 ºi obþinem 0,1 < 0,103. Restul numerelor se ordoneazã crescãtor comparând doar întregii (nu mai avem numere care sã aibã acelaºi numãr de întregi) ºi vom obþine: 0,1; 0,103; 1,3; 2,8; 5; 10; 80; 2.200.000; 43.000.000; 149.000.000; 7.700.000.000. Cerinþa 5: Reprezintã numerele mai mici decât 10 pe axa numerelor. În primul rând, trebuie sã stabileºti care sunt numerele mai mici decât 10, ca sã ºtii ce numere trebuie sã reprezinþi pe axã. ªirul crescãtor al numerelor (pe care l-ai stabilit deja la cerinþa 4), te poate ajuta. Numerele mai mici decât 10 sunt: 0,1; 0,103; 1,3; 2,8; 5. 10 nu este mai mic decât 10, astfel cã el nu trebuie reprezentat pe axã. Pentru a putea realiza o reprezentare cât mai bunã, vom considera unitatea de 5 pãtrãþele (ideal ar fi sã iei unitatea de 10 pãtrãþele, dar, ca sã-l poþi reprezenta pe 5, þi-ar trebui 50 de pãtrãþele!) ºi atunci o pãtrãþicã înseamnã 0,2, deci 0,1 va fi la 1/2 de pãtrãþicã, 1,3 va fi la 61/2 pãtrãþele (o unitate = 5 pãtrãþele ºi 0,3 =11/2 pãtrãþele) etc. Numãrul 0,103 va fi reprezentat printr-un punct foarte apropiat de cel al numãrului 0,1, situat la dreapta lui 0,1, fãrã a putea reprezenta foarte exact punctul respectiv. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 49 • Exerciþiul 2 (probã oralã) Care dintre numerele (–5)3, 112, 43 este mai mare decât 100? Soluþie: Exerciþiul cere doar compararea celor trei valori cu 100 ºi nu un calcul exact al cuburilor lui (–5), respectiv 4 ºi al pãtratului lui 11. (–5)3 înseamnã (–5) · (–5) · (–5). Pentru cã (–5) este un numãr negativ, cubul lui este tot negativ (vezi regula semnelor la înmulþirea numerelor negative), deci nu are cum sã fie mai mare decât 100 (care este numãr pozitiv). 112 este mai mare decât 102 = 100, pentru cã 11 > 10. Mai rãmâne sã comparãm 43 cu 100. 43 = 4 · 4 · 4 = 16 · 4 < 25 · 4 = 100. Înseamnã cã 112 este mai mare decât 100. Evident cã acest exerciþiu putea fi rezolvat ºi calculând efectiv fiecare putere ºi comparând rezultatele obþinute cu 100. • Exerciþiul 3 (probã oralã) Raza orbitei Pãmântului este de 150.000.000.000 m. Utilizeazã scrierea ºtiinþificã pentru a rescrie numãrul ce reprezintã lungimea razei. Soluþie: Scrierea ºtiinþificã este utilizatã în ºtiinþe ºi în cadrul diferitelor discipline tehnice ºi permite scrierea numerelor foarte mari sau pozitive foarte mici într-o formã simplificatã, utilizând puteri ale lui 10. De exemplu, 2000 → 2 · 103, 143.000 → 1,43 · 105. Un numãr scris utilizând scrierea ºtiinþificã este un produs dintre un numãr mai mare ca 1 ºi mai mic decât 10 ºi o putere pozitivã (dacã numãrul este foarte mare) sau o putere negativã (dacã numãrul este subunitar) a lui 10. Pentru a scrie 150.000.000.000, observãm cã 150.000.000.000 = 15 ·1010, dar pentru cã 15 > 10, vom scrie pe 15 ·1010 ca 1,5 ·101·1010 = 1,5 ·1011. Acum, facem o ultimã verificare: 1,5 este mai mic decât 10 ºi mai mare decât 1 ºi 1,5 ·1011 = 150.000.000.000 (când înmulþim o fracþie zecimalã cu o putere pozitivã a lui 10, „mutãm” virgula la dreapta peste atâtea cifre câte ne aratã exponentul). 2. Standard 2: Sã efectuezi calcule cu numere raþionale pentru a rezolva probleme practice. • Exerciþiul 4 (probã oralã) Preþul unui calculator a scãzut de la 2000 de lei la 1600 de lei. Cu ce procent s-a ieftinit calculatorul? Soluþie: Scãderea de preþ de la 2000 de lei la 1600 de lei înseamnã o ieftinire cu 400 de lei. Pentru a determina procentul cu care s-a ieftinit (dar la fel s-ar proceda ºi în cazul unei scumpiri), baza de pornire este preþul iniþial, în cazul nostru 2000 de lei. Deci procentul cu care s-a ieftinit calculatorul 400 20 , adicã, dacã simplificãm fracþia cu 20, obþinem 100  , ceea ce înseamnã 20%. este  2000 O altã posibilitate de rezolvare a acestei probleme este urmãtoarea: Ne intereseazã sã p p  din 2000 de lei reprezintã 400”, adicã  · 2000 = 400, de determinãm p din relaþia „ 100 100 unde rezultã cã p · 20 = 400, deci p = 20%. • Exerciþiul 5 (probã oralã) Tudor a calculat cã merge la serviciu cu bicicleta 180 de zile din cele 365 de zile ale unui an. Estimeazã cât la sutã dintr-un an merge Tudor la serviciu cu bicicleta. Soluþie: Exerciþiul cere sã determini ce procent reprezintã 180 din 365. Acest lucru poate fi determinat împãrþind partea (180) la întreg (365). Pentru cã, 180 · 2 = 360, putem estima cã Tudor merge la serviciu cu bicicleta jumãtate din zilele unui an, adicã 50%. Dacã efectuezi împãrþirea, 180 : 365 = 0,493, deci procentul este de 49,3%. Fiind vorba de o estimare, nu este necesar sã efectuezi împãrþirea propriu-zisã. 50 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI • Exerciþiul 6 (probã oralã) Costul unui bilet la cinematograf a fost anul trecut de 4 lei. Dacã în acest an costul biletului este de 5 lei, care este procentul de creºtere a costului biletului? Soluþie: Trebuie sã determini procentul de creºtere a preþului biletului, dacã biletul a costat 4 lei ºi acum costã 5 lei; diferenþa de preþ este de 5 – 4 = 1 leu. Pentru a determina procentul de creºtere a preþului, trebuie, de fapt, determinat ce procent reprezintã 1 din 4 (întotdeauna raportezi diferenþa de preþ la preþul iniþial), adicã 1 : 4 = 0,25, deci procentul de creºtere a preþului este de 25%. O altã variantã de calcul a procentului este aceea în care determini o fracþie echivalentã 1 25 = 100 . cu numitor 100 pentru 1 : 4 =  4 O altã posibilitate de rezolvare este aceea în care determini p din relaþia „p% din 4 este p  · 4 = 1, de unde obþii p = 25%. egal cu 1”, adicã 100 • Exerciþiul 7 (probã oralã) Citeºte cu atenþie urmãtoarele douã enunþuri ºi rãspunde la întrebãri. 4 din numãrul angajaþilor sunt bãrbaþi. Ce procent a) Într-o firmã de construcþii,  5 reprezintã numãrul bãrbaþilor din numãrul angajaþilor firmei? b) Pentru cã Ana a avut ore suplimentare de lucru în luna trecutã, ea a primit 1,75 din salariul negociat cu patronii firmei. Ce procent din salariul negociat reprezintã salariul pe care l-a primit Ana în luna trecutã? Soluþie: A rãspunde la cele douã întrebãri înseamnã de fapt sã determini procentul când cunoºti fracþia, respectiv, fracþia zecimalã. a) Pentru a determina procentul când cunoaºtem fracþia, trebuie sã determini o fracþie echivalentã cu fracþia datã ce are numitor 100, adicã 4  5 80 = 100  (am amplificat cu 20) ºi atunci procentul este 80%. Înseamnã cã numãrul bãrbaþilor reprezintã 80% din numãrul angajaþilor firmei. O altã variantã de a lucra pentru a gãsi rãspunsul la întrebare este urmãtoarea: împarþi pe 4 la 5 (îþi aminteºti cã linia de fracþie înseamnã împãrþire) ºi obþii 0,8 – aceasta este o fracþie zecimalã. Pentru scrierea procentului, înmulþeºti fracþia zecimalã cu 100 (muþi virgula la dreapta peste douã cifre) ºi obþii 80%. b) Pentru a determina procentul când cunoaºtem fracþia zecimalã, înmulþeºti fracþia zecimalã cu 100 (muþi virgula la dreapta peste douã cifre) ºi obþii 175%. Înseamnã cã Ana a primit în luna trecutã 175% din salariul negociat. De reþinut cã procentul poate fi mai mare decât 100, dacã acesta reprezintã o creºtere ºi dacã este raportat la valoarea iniþialã. Cu alte cuvinte, o creºtere cu 30% a preþului unui produs înseamnã cã, dupã aplicarea creºterii de preþ, preþul produsului reprezintã 130% din preþul iniþial. O altã variantã este aceea în care scrii fracþia zecimalã sub formã de fracþie ºi apoi utilizezi fracþia pentru a stabili procentul. Pentru a scrie fracþia, la numãrãtor scriem numãrul fãrã virgulã ºi la numitor scriem cifra 1 urmatã de atâtea cifre 0 câte cifre sunt dupã virgulã, adicã 1,75 = 175 . 100 Pentru a scrie procentul, utilizezi fracþia (are numitor 100 ºi nu mai ai de fãcut nici un calcul) ºi procentul va fi 175%. • Exerciþiul 8 (probã oralã). Aceastã problemã verificã nivelul atingerii standardelor 1 ºi 2. Se considerã enunþurile: 1. Maria a împrumutat 4 lei de la Gicu ºi 9 lei de la Paula. 2. Maria a împrumutat 4 lei de la Gicu ºi a primit 9 lei de la Paula. 3. Maria a primit 4 lei de la Gicu ºi 9 lei de la Paula. 4. Maria avea 4 lei, a împrumutat 9 lei de la Paula ºi a primit 6 lei de la Gicu. PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 51 a) Exprimaþi fiecare enunþ în forma unei expresii numerice. b) Care dintre expresiile numerice are ca valoare un numãr negativ? c) Determinaþi valoarea fiecãrei expresii numerice prin calcul ºi utilizând reprezentarea pe axã. Soluþie: a) Pentru a exprima fiecare enunþ în forma unei expresii numerice trebuie sã citeºti cu atenþie fiecare propoziþie în parte ºi sã înlocuieºti cuvintele cu simboluri matematice. De exemplu, „a împrumutat 4 lei” se traduce în limbaj matematic în (–4) ºi a primit 4 lei se traduce în limbaj matematic în 4 sau +4. Gândind în modul descris mai sus, cele patru enunþuri se exprimã în forma unei expresii numerice astfel: 1. (–4) + (–9) 2. (–4) + 9 3. 4 + 9 4. 4 + (–9) + 6 b) Pentru a determina care dintre expresiile numerice are ca valoare un numãr negativ, ar trebui sã-þi aminteºti cã, dacã ai de efectuat adunarea a douã numere întregi, se procedeazã astfel: – dacã numerele sunt ambele pozitive sau ambele negative, se efectueazã operaþia de adunare, ºi rezultatul va fi pozitiv, respectiv negativ, dacã numerele au fost pozitive, respectiv negative; – dacã numerele au semne diferite, se efectueazã operaþie de scãdere, ºi rezultatul va avea semnul numãrului mai mare în valoare absolutã. Deci expresia numericã negativã este (–4) + (–9). c) Se efectueazã calculele, conform regulii de adunare a numerelor întregi enunþate mai sus. (–4) + (–9) = –13 (ambele numere au acelaºi semn; sunt ambele negative) (–4) + (9) = 5 (numerele au semne diferite ºi numãrul mai mare în valoare absolutã este pozitiv) 4 + 9 = 13 (ambele numere au acelaºi semn; sunt ambele pozitive) 4 + (–9) + 6 = (–5) + 6 = 1 sau 4 + (–9) + 6 = 4 + 6 + (–9) = 10 + (–9) = 1. Pentru a determina valoarea fiecãrei expresii numerice utilizând reprezentarea pe axã, reprezinþi pe axã primul numãr din cadrul expresiei, dupã care þii cont cã + 9 înseamnã sã identifici punctul care se aflã la dreapta numãrului cu 9 unitãþi ºi + (–9) înseamnã sã identifici punctul care se aflã la stânga numãrului cu 9 unitãþi. • Exerciþiul 9 (probã oralã) Calculeazã mintal: a) 45 + 46 b) 89 – 48 c) 11 + 107 + 9 + 43 2 4 + – 7,3) · 0 d) (3,5 –  3 5 Soluþie: Pentru a efectua calculele propuse de acest exerciþiu, este recomandabil sã aplici proprietãþi ale operaþiilor. Se procedeazã astfel: 45 + 46 = 45 + 45 + 1 = 90 + 1 = 91 (folosim dublul unui numãr ºi scrierea lui 46 ca 45 + 1); 89 – 48 = 89 – 49 + 1 = 40 + 1 = 41; scriem pe 48 ca 49 – 1; 11 + 107 + 9 + 43 = 11 + 9 +107 + 43 = 20 + 150 = 170 (grupãm termenii în mod convenabil); 52 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI (3,5 – 2  3 + 4  5 – 7,3) · 0 = 0 pentru cã la înmulþirea unui numãr cu 0 obþinem întotdeauna rezultatul 0. • Exerciþiul 10 (probã oralã) Calculeazã în scris sau cu ajutorul calculatorului: (31 + 41 ) 3 5 b) (–2) + [( + + 5] · (–3) + (–25) : 4 2 4) 11  12 a) – 2 Soluþie: Voi prezenta mai întâi modalitatea de a rezolvare a fiecãrui exerciþiu pentru cazul în care decizi sã efectuezi calculele în scris. a) Pentru rezolvarea primului exerciþiu, trebuie rezolvatã operaþia din parantezã ºi apoi se efectueazã scãderea. Pentru efectuarea operaþiei din parantezã, trebuie ca fracþiile sã aibã acelaºi numitor, adicã vom identifica fracþii echivalente cu cele douã fracþii, 1  3 11  12 = – 1 4 4 1 1 3 3 1 1  ·  =  ;  =  ·  =  , deci  +  3 4 12 4 4 3 12 3 4 1 1 11 7 4 1  +  =  –  =  = . Rezultatul ar 3 4 12 12 12 3 ( ) = 4  12 + 3  12 putea fi = 4 , 12 7  12 dar, pentru cã aceastã fracþie poate fi simplificatã, este recomandabil sã efectuezi ºi simplificarea. b) Pentru rezolvarea celui de-al doilea exerciþiu, este necesar sã îþi reaminteºti care este ordinea efectuãrii operaþiilor: Parantezele – Ridicarea la putere – Înmulþirea/Împãrþirea – Adunarea/Scãderea ºi faptul cã prima datã se efectueazã calculele din parantezele mici (parantezele rotunde) ºi abia apoi cele din parantezele mari (parantezele pãtrate). ( ) [( 3  5 –2 + 2 5 + 4 + (–25) : 4= (–2)2+ ) ] + 5 · (–3) + [(114 ) + 5] · (–3) + + (–25) : 4 = (–2)2 + 4+ (314 ) · (–3) + (–25) : 4 = (314 ) · (–3) + (–25) : 4 = ( ) –25 ) +  = 4 + (– 93 4 4  + (–25) : 4 = 4 + – 93 4 –102  4 = [(23 + 45 ) + 5] · (–3) + (–25) : 4 = 6 5 + [( + + 5] · (–3) + (–25) : 4 = 4 4) ) + 5] · (–3) + (–25) : 4 + [(11 4 = (–2)2 + = (–2)2 = (–2)2 [(114 ) + 204 ] · (–3) + (–25) : 4 = ) · (–3) + (–25) : 4 = (–2) + (31 4 = 4 + (31 ) · (–3) + (–25) : 4 4 = (–2)2 + Paranteza micã – la adunarea a douã fracþii trebuie ca ele sã aibã acelaºi numitor Paranteza mare 2 Înmulþirea – la înmulþirea a douã fracþii se înmulþesc numãrãtorii între ei ºi numitorii între ei; –3 se poate 3 –. scrie ca fracþie astfel:  1 ( )  + (–25) : 4 = 4 + – 93 4 ( ) 93  + (–  ) + = 16 4 4 ( ) 93  + (–25) : 4 = 4 + –  + = 4 + – 93 4 4 = –51  2 –25  4 = –102  4 Ridicarea la putere –25  4 Împãrþirea Adunãrile Simplificarea Dacã utilizezi calculatorul de buzunar, ordinea efectuãrii operaþiilor rãmâne aceeaºi, dar 3 este 3 : 2, adicã 1,5. vei lucra cu fracþii zecimale; de ex.  2 PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 53 3. Standard 3: Sã identifici situaþii problemã ºi sã adopþi strategii adecvate de rezolvare utilizând calculul numeric. • Problema 11 (probã oralã) Cei cinci membri ai unei formaþii îºi cumpãrã costume noi. Cãmãºile costã 35 de lei fiecare, pantalonii costã 76 de lei perechea, cizmele costã 89 de lei perechea. Care este costul total al costumelor noi pentru întreaga formaþie? Soluþie: Pentru a rezolva problema, este recomandabil sã parcurgi toate etapele de rezolvare a unei probleme. Etapa 1: citeºte atent problema ºi subliniazã cuvintele-cheie. Cei cinci membri ai unei formaþii îºi cumpãrã costume noi. Cãmãºile costã 35 de lei fiecare, pantalonii costã 76 de lei perechea, cizmele costã 89 de lei perechea. Care este costul total al costumelor noi pentru întreaga formaþie? Etapa 2: decide care sunt paºii ce trebuie parcurºi, ce date trebuie aflate ºi ce operaþii sunt necesare pentru a rezolva problema. Problema poate avea douã abordãri: prima abordare presupune calculul costului unui costum pentru un membru din formaþie ºi apoi calculãm costul costumelor pentru întreaga formaþie; a doua abordare presupune calculul costului cãmãºilor, al pantalonilor, al cizmelor pentru toþi membrii formaþiei ºi apoi determinarea costului total al costumelor. Prima abordare: 1) calculãm costul unui costum pentru un membru din formaþie (adunare); 2) calculãm costul costumelor pentru toþi membrii formaþiei (înmulþire). A doua abordare: 1) calculãm costul 2) calculãm costul 3) calculãm costul 4) calculãm costul cãmãºilor pentru toþi membrii formaþiei (înmulþire); perechilor de pantaloni pentru toþi membrii formaþiei (înmulþire); perechilor de cizme pentru toþi membrii formaþiei (înmulþire); costumelor pentru toþi membrii formaþiei (adunare). Etapa 3: scrie calculele pe care urmeazã sã le efectuezi. Prima abordare: 1) 35 + 76 + 89 = L; 2) 5 · L. A doua abordare: 1) 35 · 5 = C; 2) 76 · 5 = P; 3) 89 · 5 = B; 4) C + P + B. Etapa 4: estimeazã rezultatul. Prima abordare permite o estimare rapidã: 1) 35 + 76 + 89 este aproximativ 200 de lei (35 + 76 este puþin mai mult de 100 ºi dacã mai adunãm 89, rezultatul este aproximativ 200); 2) 5 · 200 = 1000 lei. A doua abordare 1) 35 · 5 = 35 · 2 + 35 · 2 + 35 = 70 + 70 + 35 = 140 + 35 = 175 lei – am calculat mintal 35 · 5, þinând cont de faptul cã 35 · 2 = 70; 2) 76 · 5 este aproximativ egal cu 75 · 5 = 150 + 150 + 75 = 375 lei; 3) 89 · 5 este aproximativ egal cu 90 · 5 = 450 lei; 4) 175 + 375 + 450 = 100 + 75 + 300 + 75 + 450 = 100 + 300 + 75 + 75 + 450 = 400 + 150 + 450 = 550 + 450 = 1000 lei. 54 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Etapa 5: efectueazã calculele. Prima abordare: 1) 35 + 76 + 89 = 200 lei; 2) 5 · 200 = 1000 lei. A doua abordare: 1) 35 · 5 = 175 lei; 2) 76 · 5 = 380 lei; 3) 89 · 5 = 445 lei; 4) 175 + 380 + 445 = 1000 lei. Etapa 6: comparã rezultatul problemei cu estimarea fãcutã ºi vezi dacã rezultatul obþinut este de bun-simþ. Estimarea fãcutã este de 1000 lei, iar rezultatul obþinut este de 1000 lei, ceea ce confirmã cã rezultatul obþinut este corect. Ultimele douã probleme sunt probleme complexe, care nu sunt legate de un singur standard de evaluare; prin rezolvarea acestor probleme, vei demonstra cunoºtinþe, deprinderi ºi atitudini pe care le-ai acumulat/le-ai format/le-ai dezvoltat pe parcursul întregului modul. • Problema 12 (probã scrisã) Mirela a depus 200 de lei într-un cont la o bancã. ªtiind cã dobânda oferitã de bancã este de 16% pe an ºi cã taxa de procesare luatã de bancã este de 0,5% pe an, ce sumã va avea Mirela la doi ani de la depunere? Soluþie: Pentru a rezolva problema, urmeazã etapele de rezolvare a unei probleme. Etapa 1: citeºte atent problema ºi subliniazã cuvintele-cheie. Mirela a depus 200 de lei într-un cont la bancã. ªtiind cã dobânda oferitã de bancã este de 16% pe an ºi cã taxa de procesare luatã de bancã este de 0,5% pe an, ce sumã va avea Mirela la doi de la depunere? Etapa 2: decide care sunt paºii ce trebuie parcurºi, ce date trebuie aflate ºi ce operaþii sunt necesare pentru a rezolva problema. 1. calculãm dobânda pe care Mirela o primeºte dupã primul an (16% din 200 de lei); 2. calculãm taxa de procesare pe care o ia banca dupã primul an (0,5% din 200 de lei); 3. calculãm suma pe care o are Mirela la bancã dupã primul an (la suma iniþialã adunãm dobânda ºi scãdem taxa de procesare); 4. calculãm dobânda pe care Mirela o primeºte dupã al doilea an (16% din suma determinatã la 3.); 5. calculam taxa de procesare pe care o ia banca dupã al doilea an (0,5% din suma determinatã la 3.); 6. calculãm ce sumã va avea Mirela dupã al doilea an (la suma determinatã la 3. adunãm dobânda determinatã la 4. ºi scãdem taxa de procesare determinatã la 5.). Etapa 3: scrie calculele pe care urmeazã sã le efectuezi. 1. 2. 16  100 0,5  100 · 200; · 200; 16 0,5 3. 200 + 100  · 200 –  · 200 = S; 100 4. 5. 16  100 0,5  100 · S; · S; 16 0,5 6. S + 100  · S –  · S. 100 PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 55 Etapa 4: estimeazã rezultatul. 10  100 1  100 16 · 200 este 20, deci 100  · 200 este aproximativ 30; · 200 este 2, deci 0,5  100 · 200 este jumãtate din 2, adicã 1; dupã primul an, Mirela va avea aproximativ 200 + 30 – 1 = 229 lei 10  100 1  100 16 · 229 este aproximativ 23, deci 100  · 229 este aproximativ 35; · 229 este aproximativ 2,3, deci 0,5  100 · 229 este jumãtate din 2,3, adicã, aproximativ 1,2; dupã al doilea an, Mirela va avea aproximativ 229 + 35 – 1,2 = 230 + 34 – 1,2 adicã, aproximativ 263 lei. Etapa 5: efectueazã calculele, 1. 2. 16  100 0,5  100 · 200 = 32 lei; · 200 = 1 leu; 16 0,5 3. 200 + 100  · 200 –  · 200 = 200 + 32 – 1 = 231 lei; 100 4. 5. 16  100 0,5  100 · 231 = 36,96 lei; · 231 = 1,155 lei (la bancã, se iau în considerare doar primele 2 zecimale); 16 0,5 6. 231 + 100  · 231 +  · 231 = 231 + 36,96 – 1,15 = 266,81 lei. 100 Etapa 6: comparã rezultatul problemei cu estimarea fãcutã ºi vezi dacã rezultatul obþinut este de bun-simþ. Estimarea fãcutã este de 263 lei, iar rezultatul obþinut este de 266,81 lei, ceea ce confirmã cã rezultatul obþinut este corect. • Problema 13 (probã scrisã) Eºti într-o situaþie dificilã. Þi s-a stricat aragazul ºi trebuie sã-þi cumperi unul nou. Þi-ai ales marca ºi modelul pe care le doreºti ºi ai urmãtoarele trei opþiuni: – Opþiunea 1: La magazinul Bucãtãria Mea un aragaz costã 1600 de lei ºi în aceastã sãptãmânã tipul de aragaz pe care doreºti sã-l cumperi are o reducere de 25%. Transportul aragazului la domiciliu costã 20 de lei. – Opþiunea 2: Acelaºi tip de aragaz poate fi cumpãrat la preþul de 1400 de lei de la magazinul InterGetro. Eºti norocos! În aceastã sãptãmânã ai un cupon din ziar care îþi oferã o reducere de 15% din costul oricãrui obiect, cumpãrat de la acest magazin, care este mai scump de 1000 lei. Transportul aragazului la domiciliu costã 35 de lei. – Opþiunea 3: Prietenul tãu lucreazã la magazinul Casa ºi poate cumpãra acelaºi tip de aragaz la un preþ special, de care pot beneficia doar angajaþii magazinului. El trebuie sã achite cu 20% mai mult din preþul de producþie al aragazului, care este 1100 lei. Prietenul tãu poate transporta aragazul cu camionul magazinului, fãrã a plãti. Înainte de a lua decizia de unde sã cumperi aragazul, trebuie sã stabileºti costul fiecãrei opþiuni. Stabileºte cât te costã sã ai aragazul nou la tine în bucãtãrie în fiecare situaþie în parte. Decide pe care dintre cele trei opþiuni o alegi ºi motiveazã alegerea fãcutã. Soluþie: Pentru a rezolva problema, trebuie sã stabileºti „costul fiecãrei opþiuni” (preþ aragaz + preþ transport aragaz pânã la domiciliu). Opþiunea 1: Un sfert din 1600 de lei este 400 de lei, deci aragazul costã 1600 – 400 = 1200 lei. Costul transportului la domiciliu este de 20 de lei, deci preþul total pe care ar trebui sã-l plãteºti dacã alegi aceastã variantã este 1220 de lei. 56 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI Opþiunea 2: Pentru cã aragazul costã mai mult de 1000 lei, beneficiezi de reducerea de 15%. Pentru a determina costul aragazului, poþi proceda în felul urmãtor: 10% din 1400 lei reprezintã 140 lei, asta înseamnã cã 5% reprezintã 70 lei, deci 15% va reprezenta 140 + 70 = 210 lei sau, 15  100 · 1400 = 210 lei. Înseamnã cã preþul aragazului este 1400 – 210 =1190 lei ºi pentru cã transportul la domiciliu este de 35 lei, costul total va fi 1225 de lei. Opþiunea 3: Pentru a stabili cât costã aragazul în aceastã situaþie, trebuie sã determini 20% din 1100 de lei. Acest calculul poþi sã-l faci împãrþind pe 1100 la 5 (20% dintr-un numãr este o cincime din acel numãr) 1100 : 5 = 220 lei, sau calculezi cât este 10% din 20  · 1100 = 220 lei. Preþul 1100 ºi apoi înmulþeºti cu 2, sau pur ºi simplu calculezi 100 aragazului va fi 1100 + 220 = 1320 lei (de data aceasta trebuie sã aduni cei 20% din preþul de producþie), ºi pentru cã transportul este gratuit, acesta rãmâne preþul pe care ar trebui sã-l plãteºti ca sã ai aragazul acasã la tine. Preþul aragazului poate fi determinat calculând 120% din 1100 lei, pentru cã cei 20% din 1100 lei se adunã la preþul de producþie al aragazului. Dacã alegi opþiunea 1, trebuie sã plãteºti 1220 lei; dacã alegi opþiunea 2, vei avea aragazul în bucãtãrie dacã achiþi 1225 lei, iar dacã alegi opþiunea 3, costul aragazului este de 1320 lei. Acum, cã ai terminat cu „matematica” din problemã, ce opþiune vei alege? • Sfaturi de ultim moment Ai luat cunoºtinþã de standardele de evaluare ale modulului ºi ai vãzut tipul de exerciþii ºi probleme pe care va trebui sã le rezolvi pentru evaluarea de modul. Este important sã ºtii cã, dacã exerciþiul sau problema nu specificã în ce mod trebuie sã efectuezi calculele, atunci poþi efectua calculele în scris, oral sau utilizând un calculator. Câteva recomandãri pentru ziua în care vei fi testat: – dormi bine în noaptea de dinainte; – intereseazã-te la ce orã va începe evaluarea de modul ºi asigurã-te cã nu vei întârzia; – fii calm; – ascultã cu atenþie toate instrucþiunile de lucru ºi, dacã nu ai înþeles ceva, cere lãmuriri profesorului/profesoarei; – citeºte cu atenþie textul exerciþiului/problemei; – rezolvã exerciþiul/problema cu atenþie; – verificã rezolvarea problemelor ºi corectitudinea calculelor efectuate; – pentru proba scrisã, explicaþiile trebuie sã aparã pe foaia de test; – dacã nu ºtii sã rezolvi unul din exerciþii/una dintre probleme, abordeazã o altã sarcinã de lucru ºi apoi revino la exerciþiul/problema la care ai întâmpinat dificultãþi în rezolvare; – ordinea exerciþiilor/problemelor nu are legãturã cu gradul de dificultate al acestora, aºa cã, dacã nu ºtii sã rezolvi un exerciþiu nu înseamnã cã nu le vei rezolva nici pe urmãtoarele; – asigurã-te cã ai abordat toate sarcinile de lucru; – gândeºte pozitiv: fii convins/convinsã cã vei obþine un rezultat bun la aceastã evaluare, pentru cã ai pregãtit-o pe tot parcursul modulului. Mult succes! PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 57 Indexul cuvintelor-cheie I A Adunare – 8, 17, 18, 29, 34, 37 Amplificarea unei fracþii – 27 Aproximare prin lipsã – 33 Axa numerelor – 16 Axa numerelor naturale – 8 B Bazã – 10 C Cifra sutelor – 22 Cifra unitãþilor – 22 Cifra zecilor – 22 Compararea a douã numere – 8, 16, 28, 33 Cubul unui numãr – 10 Diferit (=/ ) – care nu are aceeaºi valoare în aceeaºi unitate de mãsurã; inegal Divizor – 8 Egal (=) – care are aceeaºi valoare în aceeaºi unitate de mãsurã (DEX); douã obiecte matematice sunt egale dacã sunt identice din toate punctele de vedere Exponent – 10 Factor – 10 Fracþie – 26 Fracþii echivalente – 27 Fracþie subunitarã – 29 Fracþie zecimalã – 33 Împãrþire – 8, 20, 29, 34, 37 Înmulþire/produs – 8, 20, 29, 34 D E F Î 58 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI L Linie de fracþie – 26 M Mai mare sau egal ( > _)–8 Mai mic sau egal ( < _ ) – 8, 16 Mulþimea numerelor naturale ( N ) – 8, 45 Mulþimea numerelor întregi (Z) – 16, 45 Mulþimea numerelor raþionale (Q) – 37, 45 Notaþie ºtiinþificã – 10 Numãr întreg – 16, 45 Numãr natural – 8, 45 Numãr negativ – 16 Numãr pozitiv – 16 Numãr raþional – 37, 45 Numãrãtor – 26 Numitor – 26 Operaþie cu numere – 8, 17, 18, 29, 34, 37, 45 Opusul unui numãr – 16 Ordine crescãtoare a numerelor – 9 Ordine descrescãtoare a numerelor – 9 Ordinea efectuãrii operaþiilor – 10, 21, 34, 45 Ordonarea numerelor – 8, 16 Pãtratul unui numãr – 10 Procent – 31 Regula semnelor - pag. 20 Reprezentarea unui numãr – 8, 16, 26, 33 Ridicarea la putere – 10 Scãdere – 8, 18, 29, 34, 37 Scrierea ºtiinþificã – 10, 50 Semnificaþia unei cifre din scrierea unui numãr – 22, 33 Simplificarea unei fracþii – 27 N O P R S V Valoare absolutã – 18 PROGRAMUL „A DOUA ȘANSĂ” • NIVEL SECUNDAR INFERIOR 59 Din partea autoarei a Fiecare persoanã are o „înþelegere” a numerelor. Cu toþii utilizãm numere… Îmi amintesc de o situaþie de demult… Cred cã aveam patru sau cinci ani ºi mama adusese de la piaþã primele cireºe din acel an. ªi pentru cã cireºele sunt fructele mele preferate, nici nu am aºteptat ca ea sã scoatã toate cumpãrãturile din plasã, cã am ºi început sã cer cireºe. Mama a pus câteva cireºe într-o farfurie, le-a spãlat ºi apoi ne-a pus, mie ºi Ancãi, câteva cireºe în palmele deschise cãuº care aºteptau. ªi, în loc sã mãnânc cireºele, le-am numãrat dintr-o privire pe cele din palma mea ºi am întrebat: „Eu am primit 7 cireºe; câte cireºe a primit Anca?” Cu alte cuvinte, am „legat” cireºele de un numãr ºi apoi am fost interesatã de relaþiile dintre numere… pentru cã, de fapt, prin întrebarea pe care o adresasem, doream sã aflu dacã Anca a primit mai multe cireºe decât mine. Modulul Numere îºi propune sã dezvolte capacitatea de a opera cu numere raþionale (naturale, întregi negative, fracþii, fracþii zecimale). Capacitatea de a opera – în mod natural ºi corect – cu numere este importantã pentru cetãþeanul secolului al XXI-lea. Aceastã competenþã se bazeazã pe dezvoltarea „înþelegerii numerelor”. Ea include „înþelegerea” conceptelor de numãr ºi de operaþie cu numere, dar ºi deprinderi de calcul cu numere (mintal, scris ºi cu calculatorul) în scopul rezolvãrii de probleme, precum ºi abilitatea de a utiliza estimãri cât mai realiste. Am scris acest ghid gândindu-mã la fiica mea, care nu a îndrãgit niciodatã matematica. Pentru ea, matematica a însemnat un ºir foarte lung de reguli ce trebuiau memorate ºi redate corect dacã dorea o notã mare. Aceastã abordare a învãþãrii nu a ajutat-o sã gãseascã nici sensul numerelor, nici frumuseþea formelor geometrice, nici bucuria rezolvãrii unei probleme. Demersul didactic pe care îl propune acest ghid se bazeazã pe orientare, explorare, aplicare în situaþii de fiecare zi ºi reflecþie. El aduce un suflu de aer proaspãt în matematicã ºi sper ca beneficiarii lui, tinerii înscriºi în cadrul programului „A doua ºansã”, sã gãseascã utilitatea ºi frumuseþea „înþelegerii numerelor”. Programul „A doua ºansã” se adreseazã tinerilor/adolescenþilor/persoanelor cu vârste mai mari de 16 ani care au abandonat la un moment dat ºcoala fãrã a-ºi finaliza învãþãmântul obligatoriu, care nu au o calificare sau doresc sã obþinã o nouã calificare. Formarea profesionalã este una dintre cele mai importante componente ale programului „A doua ºansã”, dar acesta nu se rezumã doar la pregãtirea profesionalã. Programul mai are în vedere dezvoltarea personalã, includerea socialã, formarea pentru învãþarea pe parcursul întregii vieþi, precum ºi formarea ºi dezvoltarea competenþelor-cheie urmãrite în cadrul învãþãmântului obligatoriu. Finalizarea educaþiei de bazã este o condiþie pentru asigurarea egalitãþii de ºanse pentru persoanele înscrise în cadrul programului „A doua ºansã”. 60 MATEMATICĂ • GHIDUL ELEVULUI