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KFU Graz
H. Gausterer, W. Schweiger
Aufgabe 38: Ein Teilchen bewegt sich entlang der Kurve ~r(t) = (e−at cos t, e−at sin t, 0) ,
Mathematische Methoden 2 (f¨ ur LAK)
SS 16
¨ 7. Ubungsblatt (zu rechnen bis zum 9.5.2016) Aufgabe 34: Berechnen Sie das Volumsintegral ZZZ dV (x2 + y 2 ) V
in Zylinderkoordinaten, wobei das Volumen V durch das Paraboloid x2 + y 2 = 9 − z und die Ebene z = 0 beschr¨ankt ist. Aufgabe 35: a) Bestimmen Sie die Parameterform ~r(t) der Geraden, welche durch den Punkt Q = (0, 1, 0) geht und in Richtung des Vektors 3~e1 + ~e3 zeigt. b) Diese Gerade l¨asst sich auch als Schnittlinie zweier Ebenen auffassen. Wie lauten die beiden Ebenengleichungen (in impliziter Form a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b)? Aufgabe 36: Finden Sie die Parameterform ~r(u, v) und die Ebenengleichung (implizite Form a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 = b) f¨ ur die Ebene, welche durch die Punkte P = (3, 2, −1) und Q = (1, −1, 2) geht und parallel zur Geraden ~r(t) = (1, −1, 0) + t(3, 2, −2) ist.
a) Skizzieren Sie diese Kurve. b) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor ~v (t), die Bahngeschwindigkeit v(t) = |~v (t)| und den Beschleunigungsvektor ~a(t). c) Berechnen Sie die Bogenl¨ange s(T ), 0 ≤ t ≤ T , f¨ ur diese Kurve. Aufgabe 39: Es sei ~r(t) = (2t, t2 , ln t) die Bahn eines Teilchens f¨ ur t > 0. Finden Sie die Bogenl¨ange zwischen den beiden Punkten (2, 1, 0) und (4, 4, ln 2). Aufgabe 40: Es sei ~r die Bahn, ~v die Geschwindigkeit und ~a die Beschleunigung eines Teilchens der Masse m. Das Teilchen soll sich nun in einem Kraftfeld F~ ~ = m~a(t) zur Anwendung bewegen, sodass Newtons zweites Gesetz F~ (r(t)) kommt. Zeigen Sie, dass d (m~r(t) × ~v (t)) = ~r(t) × F~ (~r(t)) dt gilt. Was passiert, wenn F~ eine Zentralkraft ist, d.h. F~ (~r(t)) k ~r(t) gilt (wie es etwa bei der Bewegung von Planeten um die Sonne der Fall ist)? Benutzen Sie dieses Ergebnis, um Keplers Gesetz zu beweisen, dass die Bewegung eines Planeten um die Sonne in einer festen Ebene erfolgt.
Aufgabe 37: Ein Kreis mit Radius R rolle entlang der y-Achse, sodass sich sein Mittelpunkt mit der Geschwindigkeit v bewegt. Wie sieht die Parameterdarstellung der Bahn eines Punktes aus, der auf dem Kreisumfang sitzt und sich zum Zeitpunkt t = 0 im Ursprung befindet?. 7
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0.5 1 1.5 2
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a > 0.
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