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Mathematische Methoden der Physik II Doppelintegrale, Fl¨achenintegrale
Serie 1 Abgabetermin: 8. M¨arz 2016
1. Berechne das Integral I=
Z
dxdy(x + y)2 G
u ¨ber das Gebiet G, welches aus dem kreisf¨ormigen Streifen r02 ≤ x2 +y 2 ≤ r12 besteht. 2. Betrachte das elektrische Feld einer Ladung Q ~ r) = E(~
Q ~r 4πǫ0 r 2 r
mit r = |~r| und berechne den elektrischen Fluss I ~ r) d~σ · E(~ Ψ= Σ
durch die Oberfl¨ ache Σ einer Kugel am Ursprung mit Radius R. Parameterisiere die Kugeloberfl¨ ache durch ~r(u, v) = R (sin(u) cos(v), sin(u) sin(v), cos(u)). 3. Betrachte den Torus, welcher unten abgebildet ist. (a) Zeige, dass ~r(u, v) = (h(u) cos v, h(u) sin v, r sin u) mit h(u) = R + r cos u und ¨ 0 ≤ u, v ≤ 2π eine Parametrisierung der Torusoberfl¨ache ist. Uberlege zuerst, was R und r bedeuten. (b) Bestimme
∂~ r ∂~ r ∂u , ∂v
und illustriere das Resultat mit einer Zeichnung.
(c) Berechne die Torusoberfl¨ache.
4. Herleitung des Coulomb-Feldes aus dem Gaussschen Gesetz I ~ r ) = QΣ , d~σ · E(~ ǫ0 wo Σ eine geschlossene Oberfl¨ ache ist, welche die Ladung QΣ einschliesst.
(a) Betrachte eine Ladung Q, welche am Ursprung ~r = 0 konzentriert ist. Das zugeh¨ orige elektrische Feld ist kugelsymmetrisch und hat also die Form ~ r ) = f (r) ~r . E(~ r Berechne den Fluss eines solchen Feldes durch eine Kugel mit Radius R und benutze dann das Gausssche Gesetz, um f (R) zu bestimmen
5. Berechne die Jakobiante J(u, v) = ∂(x, y)/∂(u, v) f¨ ur den Variablenwechsel von (x, y) auf (u, v) mit u = x/(x2 + y 2 ) und v = y/(x2 + y 2 ). 6. (a) Berechne das Doppelintegral I2 =
Z
dx dy e−(x
2 +y 2 )
,
G
wobei das Gebiet G der gesamten (x, y)-Ebene entsprechen soll. (Hinweis: Polarkoordinaten einf¨ uhren). (b) Wie kann man mithilfe des Resultates von (a) auf das eindimensionale Integral Z ∞ 2 dx e−x I1 = −∞
schliessen?
