Mechanik Deformierbarer Körper

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Physik I im Studiengang Elektrotechnik - Mechanik deformierbarer Körper - Prof. Dr. Ulrich Hahn WS 2015/2016 Deformation Starrer Körper: Kraftwirkung Translation alle Massenpunkte: gleiches unverzüglich Rotation alle Massenpunkte: gleiches Realer Körper:  a   endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit Kraftwirkung unterschiedliche a,  der Massenpunkte Deformation unterscheiden: deformierbare Körper  feste Körper  Flüssigkeiten  Gase 2 Feste Körper: Spannungen Kraftwirkung auf eine Fläche   F N Spannung S : [S  ] m² A unterscheiden:   Normalspannungen s: Fnormal  A  Ftan gential // A  Schubspannungen t: Kraft  Spannungszustand im Festkörper sz z Beschreiben durch Spannungen auf den Flächen von dV t zy t zx sx deformierbare Körper t xz t xz Ebenennormale x t yx Kraftrichtung sy t xy y Kraftrichtung 3 Feste Körper: Verformungen Elastische Deformation reversibel Plastische Deformation irreversibel Ursache  Wirkung Ursache  Wirkung Geometrie: Dehnung Druck, Zug Querdehnung Scherung Torsion Kompression l Elastische Dehnung: s  E  l d l Querkontraktion:    deformierbare Körper d l E: Elastizitätsmodul : Querkontraktionszahl 4 Scherung, Torsion Elastische Scherung: t  G   Elastische Torsion: deformierbare Körper t  G G: Schubmodul, : Scherwinkel G: Schubmodul, : Torsionswinkel 5 Flüssigkeiten Ideal: Moleküle können kräftefrei verschoben werden  ohne Volumenänderung beliebig deformierbar Form Gefäß freie Oberfläche  zur angreifenden Kraft Deformation:  zur Gefäßoberfläche  Normalspannungen Druck P : Punktuelle Kraftwirkung: deformierbare Körper  da Fn A  Gleichmäßige Druckverteilung auf die Oberfläche  Kraft  zur Oberfläche   dF  P  da 6 Flüssigkeiten: Kompression Allseitiger Druck auf Flüssigkeit: V P  K  V Volumenverkleinerung K: Kompressionsmodul 1/K:=k Kompressibilität KFlüssigkeit  10 GN/m² Festkörper, Flüssigkeiten: inkompressibel Anwendung: hydrauliche Presse deformierbare Körper 7 Flüssigkeiten: Schweredruck Gewichtskraft der Flüssigkeit  Druck auf Gefäßboden Gerades Prisma als Gefäß: PS    g  hFlüssigkeit PBoden  Pextern  PS Hydrostatisches Paradoxon: PLuft h h h h P1  PLuft    g  h P2  P1    g  h P3  P2    g  h P4  P3    g  h  PLuft    g  4h  Der Druck auf den Gefäßboden ist nur abhängig von der Höhe des Flüssigkeitsspiegels, unabhängig von der Gefäßform deformierbare Körper 8 Hydrostatischer Druck Leichte Verschiebbarkeit der Wassermoleküle: hydrostatischer Druck  Kraft auf beliebig orientierte Flächen Seitenwände nach oben/ unten Kommunizierende Röhren: Gleichgewicht: h   Fl deformierbare Körper   Fr   Fl  Fr  0 hl l  Fl r hr  Fr 9 Anwendungen Pipette deformierbare Körper Flüssigkeitsheber Nachfüllvorrichtung 10 Auftrieb Fester Körper in Flüssigkeit Hydrostatischer Druck  Kräfte      Fi  F2  F1  FA Auftrieb i FA   Flüssigkeit  g VKörper Archimedessches Prinzip: Auftrieb eines Körpers = Gewicht des verdrängten Mediums Schweben: Auftrieb = Gewicht Sinken: Auftrieb < Gewicht Schwimmen: Auftrieb > Gewicht Gleichgewicht: Körper ragt aus der Flüssigkeit Stabilität? deformierbare Körper 11 Gase: Schweredruck Ideales Gas: Moleküle wechselwirken nur durch elastische Stöße beliebig deformierbar und leicht komprimierbar erzeugen Druck auf Gefäßwände Erfahrung: Zustandsgleichung des idealen Gases P V  m  Rs  T    P @ T = const Schweredruck berechnen: z  dz z  = const deformierbare Körper P(h)  gh  Pext aber:   const  P( z )  ( z )  g  dz  P( z  dz ) dP g   dz Differentialgl. P Rs  T Lösung: P(h)  P(0)  e  g h Rs T Barometrische Höhenformel 1 8km 12 Strömungen allgemein: zeitliche Änderung einer physikalischen Größe     Ladung Impuls Energie Masse elektrischer Strom Kraft Leistung Massenstrom  Flüssigkeiten, Gase, Schüttgüter (kollektive) Bewegung von Teilchen Definition Stromdichte:  Strom  j :  ev Fläche Ideale Massenströme: reibungsfrei inkompressibel  = const deformierbare Körper  Flüssigkeiten  Gase, wenn v < vSchall/3 13 Kontinuitätsgleichung m ein Massenstrom durch eine Röhre: mRohr m aus Konvention : m ein  0 keine Quelle oder Senke im Rohr m Rohr  m ein  m aus   Vein   Vaus V : Volumenstr om    n    I  j  A  cos( j , n )   j  A Richtungskonvention: j geschlossene Fläche:  n weist nach außen A m geschl . Hülle      j  da Kontinuitätsgleichung Hülle m Rohr        vein  Aein    vaus  Aaus Sonderfall: deformierbare Körper Masse im Rohr konstant:    vein  Aein    vaus  Aaus m Rohr  0  m ein  m aus vein  Aein  vaus  Aaus 14 Energiesatz Energiestrom einer strömenden Flüssigkeit: äußere Kräfte Schwerkraft: Epot   F1 A1 m   v1  Änderung Ekin   F2 A 2  m  v2 h2 h1     d d  W  F1  v1  F2  v2  (E pot )  (Ekin ) dt dt   P1    g  h1  v1 ²  P2    g  h 2  v2 ²  const 2 2 Schweredruck Staudruck Grenzfall Hydrostatik: deformierbare Körper BernoulliGleichung Statischer Druck v1  v2  0 P1  P2    g  (h 2  h1 ) 15 Anwendungen der Bernoulli-Gleichung A1  A2 PLuft , A1 , h1 , v1 Ausströmen: v2  2  g  (h1  h 2 ) wie freier Fall PLuft , A2 , h2 , v2 Venturi-Effekt: A1  A2  v2  v1 P2  P1 P2 v2 A1 Steigt die Strömungsgeschwindigkeit, so sinkt der Druck Anwendungen: deformierbare Körper P1 v1 A2  Zerstäuber  Wasserstrahlpumpe    Tragfläche  hydrodynamisches Paradoxon 16 Impulssatz bei Massenströmen Strömende Teilchen: jedes Teilchen: Impuls  Impulsstrom     m aus  vaus  Faus m ein  vein  Fein Kraft durch Druck an der Eintritts- und Austrittsfläche:      Paus  Aaus  F ' 'aus  Pein  Aein  F ' 'ein Kraft auf das Rohrstück:      Fges.  m ein  vein  Pein  Aein  m aus  vaus  Paus  Aaus Rohrkrümmer: vein  vaus  v, Aein  Aaus  A, Pein  Paus  P      vein  nein , vaus  naus , Fges.  (  v ²  P)  A  (nein  naus ) gerades Rohr mit Querschnittsänderung:  Aein   F m ein (1  )vein deformierbare Körper Aaus 17 Viskose Flüssigkeiten gerades horizontales Rohr, keine Reibung: Reibung: m PRohr=const an der Rohrwand innerhalb der Flüssigkeit ! m 2 m m 2 (vaus  vein )  0  Pein  Paus  WReib 2   unterscheiden: vein  vaus m   P  WReib m laminare Strömung Flüssigkeitsschichten gleiten ohne Durchmischung aneinander vorbei turbulente Strömung Strömung mit Wirbelentstehung deformierbare Körper 18 Laminare Strömung Reibung zwischen Flüssigkeitsschichten Ansatz von Newton: Schubspannung zwischen Schichten: dv t   dz : dynamische Viskosität []  Pa  s Rohr:  2Rohr P1  P2 v(r )  (  r ²) 4    lRohr 4 8   l  PV  V   ( Rohr / 2) 4 Hagen-Poiseulle-Gesetz deformierbare Körper 20 Bernoulli-Gleichung mit Reibung h1 , v1 , P1 m h 2 , v2 , P2 m   P1    g  h1  v1 ²  P2    g  h2  v2 ²  PVerlust 2 2 8 l 32    l v Laminare Strömung im Rohr: PV    ( / 2) 4 V  2  PV als dynamischen Druck beschreiben: Widerstandsbeiwert z bei Rohren:     l : Rohrreibungszahl  Laminare Strömung:   deformierbare Körper  PV     v ² 2 64 Re d v Re :  Rauheit Strömungstyp Reynoldszahl 21 Zerstäuber  deformierbare Körper 22 Wasserstrahlpumpe  deformierbare Körper 23