Medopt Skript 2014

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¨ TECHNIK UND WIRTSCHAFT HOCHSCHULE FUR Optik und Laserphysik Prof. Dr. Michael M¨oller Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen der Optik 1.1 Beschreibung des Lichtes . . . . . . . . . . 1.1.1 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . Elektromagnetische Wellen . . . . . Wellenfronten . . . . . . . . . . . . Energietransport . . . . . . . . . . 1.1.2 Strahlenoptik . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Quantenoptik . . . . . . . . . . . . 1.2 Brechung und Reflexion . . . . . . . . . . 1.2.1 Reflexions- und Brechungsgesetz . . Reflexionsgesetz . . . . . . . . . . . Brechungsgesetz . . . . . . . . . . . Totalreflexion . . . . . . . . . . . . 1.2.2 Fresnel-Formeln . . . . . . . . . . . Einfallsebene und Polarisation . . . Koeffizienten f¨ ur die Feldst¨arken . . Koeffizienten f¨ ur die Intensit¨aten . Koeffizienten f¨ ur die Leistungen . . Brewster-Winkel . . . . . . . . . . 1.2.3 Absorption und Dispersion . . . . . 1.3 Abbildung mit Linsen . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Optische Achse . . . . . . . . . . . 1.3.2 Sammellinsen . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Abbildung . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4 Virtuelle Bilder . . . . . . . . . . . 1.3.5 Zerstreuungslinse . . . . . . . . . . 1.4 Auge und Sehfehler physikalisch betrachtet 1.4.1 Begriffe . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung . . . . . . . . . . . . . . Akkomodation . . . . . . . . . . . Refraktion . . . . . . . . . . . . . . Emmetropie . . . . . . . . . . . . . Ametropie . . . . . . . . . . . . . . Nahpunkt . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Sehfehler . . . . . . . . . . . . . . . Hypermetropie . . . . . . . . . . . Presbyopie . . . . . . . . . . . . . . Myopie . . . . . . . . . . . . . . . . i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-1 1-1 1-1 1-1 1-4 1-4 1-5 1-5 1-6 1-6 1-6 1-6 1-7 1-8 1-8 1-9 1-9 1-10 1-11 1-12 1-13 1-13 1-13 1-14 1-15 1-15 1-16 1-16 1-16 1-16 1-17 1-17 1-17 1-18 1-18 1-18 1-19 1-19 Iris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1-20 2 Paraxiale (Gaußsche) Optik 2.1 Matrixformulierung der paraxialen Optik . . . 2.1.1 Grundelemente . . . . . . . . . . . . . Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . Ungest¨orte Ausbreitung . . . . . . . . Brechung an Kugelfl¨achen . . . . . . . 2.1.2 Systemmatrix . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Linsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . D¨ unne Linsen . . . . . . . . . . . . . . Dicke Linsen . . . . . . . . . . . . . . . GRIN-Linsen . . . . . . . . . . . . . . 2.1.4 Abbildung . . . . . . . . . . . . . . . . Brennebene . . . . . . . . . . . . . . . Abbildung durch d¨ unne Linse . . . . . Abbildung durch ein beliebiges System Hauptebenen . . . . . . . . . . . . . . 2.1.5 Augenbezogene optische Systeme . . . Sehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . Lupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Teleskop . . . . . . . . . . . . . . . . . Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Blenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Aperturblenden und Feldblenden . . . Aperturblenden . . . . . . . . . . . . . Feldblenden . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Aperturblende und Pupillen . . . . . . 2.2.3 Feldblende und Vignettierung . . . . . Feldlinsen . . . . . . . . . . . . . . . . Kondensoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Beugung 3.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Das Huygens-Fresnel-Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Beugungsbilder I: geometrische Konstruktion . . . . . . . . . . Doppelspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lochblende . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Beugungsbilder II: Das Beugungsintegral . . . . . . . . . . . . Fraunhofer- und Fresnel-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Fraunhofer-Beugung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fraunhofer-Beugung in der Brennebene einer Linse . . . . . . Fraunhofer-Beugung und Fouriertransformation . . . . . . . . Bedeutung der Raumfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . Einschub: wieso macht eine Linse eine Fouriertransformation? Einschub: Geometrische Erkl¨arung der Brennweitenbedingung ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2-1 2-1 2-2 2-2 2-2 2-3 2-4 2-5 2-5 2-7 2-7 2-9 2-9 2-10 2-11 2-12 2-14 2-14 2-15 2-17 2-18 2-19 2-19 2-20 2-20 2-21 2-23 2-24 2-26 . . . . . . . . . . . . . . . 3-1 3-1 3-1 3-2 3-2 3-3 3-4 3-5 3-6 3-8 3-10 3-10 3-11 3-12 3-14 3-15 3.2 Beugung am Spalt . . . . . . . . . . . . . . Lochblende . . . . . . . . . . . . . . . . . . Babinetsches Theorem . . . . . . . . . . . . Beugungsgitter . . . . . . . . . . . . . . . . Abbildungen als Beugungsph¨anomen . . . . . . . . 3.2.1 Bildentstehung . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Kontrast und MTF . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Bildfilterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bildfilterung in der Fourierebene . . . . . . Phasenkontrast- und Dunkelfeldmikroskopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Laserphysik 4.1 Laserdynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Strahlungs¨ uberg¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spontane Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Absorption . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Induzierte (stimulierte) Emission . . . . . . . . . . . . . . . . . . Verst¨arkung des Lichtfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Laser-Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einf¨ uhrung eines Pumpmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . 3-Niveau-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-Niveau-Laser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laser-Ratengleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Einschub: Lotka-Volterra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Station¨are Zust¨ande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Unterhalb der Laserschwelle (Photonendichte 0) . . . . . . . . . . Oberhalb der Laserschwelle (Photonendichte > 0) . . . . . . . . . Laserschwelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Station¨arer Laserbetrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ausgekoppelte Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4 Zeitabh¨angiges Verhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relaxationsoszillationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Spiking . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Gaußsche Strahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Strahlausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Charakterisierung eines Gaußschen Strahls . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Strahltransformation durch eine Linse . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Strahltransformaion durch ein mit der ABCD-Matrix beschriebenes optisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.5 Strahlaufweitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.6 Beugungsverluste und Raumfilterung . . . . . . . . . . . . . . . . Beugungsverluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Raumfilterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii . . . . . . . . . . 3-16 3-17 3-19 3-20 3-26 3-26 3-29 3-31 3-31 3-32 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-1 4-1 4-1 4-2 4-2 4-2 4-3 4-3 4-4 4-5 4-5 4-6 4-6 4-6 4-6 4-7 4-8 4-9 4-9 4-10 4-10 4-11 4-12 4-12 4-13 4-14 . . . . . 4-15 4-16 4-18 4-18 4-19 Kapitel 1 Grundlagen der Optik Optik im historischen Sinn ist die Lehre vom Licht und befasste sich zun¨achst mit den ” Erscheinungen, die durch unser Sinnesorgan Auge wahrgenommen werden k¨onnen, wobei eine wesentliche Fragestellung die Natur des Lichtes selbst betraf.“ (Aus [1]). Optik als physikalisch-technische Disziplin untersucht zum einen die physikalischen Grundlagen der Entstehung und Ausbreitung von Licht sowie der Wechselwirkung von Licht und Materie, zum anderen aber auch die M¨oglichkeiten, diese zu beeinflussen. Eine wesentliche Aufgabenstellung ist hier die Abbildung von Objekten, d.h. die Rekonstruktion der von einem Objekt ausgesandten Lichtverteilung an einem anderen Ort. 1.1 1.1.1 Beschreibung des Lichtes Wellenoptik Elektromagnetische Wellen Die Wellenoptik beschreibt das Licht als transversale elektromagnetische Welle, in der die ~ und eine damit gekoppelte magnetische Feldst¨arke H ~ periodisch elektrische Feldst¨arke E ~ ~ und mit gleicher Frequenz schwingen. Die Vektoren von E und H und die Ausbreitungs~ richtung stehen stets senkrecht aufeinander. Die Richtung des elektrischen Feldvektors E wird als Polarisationsrichtung bezeichnet. Abbildung 1.1: Elektrische und magnetische Feldst¨arke in einer Lichtwelle zu einem festen Zeitpunkt. Die Welle breitet sich in z-Richtung aus. (aus [2]) Ein besonderer Fall ist das zirkular polarisierte Licht. Hier rotiert der Feldvektor w¨ahrend der Propagation um die Achse der Ausbreitungsrichtung. 1-1 Abbildung 1.2: Linear (links) und zirkular (rechts) polarisiertes Licht.us. (aus [3]) Eine Welle ist periodisch in Raum und Zeit, demnach verh¨alt sich die elektrische Feldst¨arke wie E(x, t) = E0 cos (2π (f · t − x/λ)) , (1.1) dabei bezeichnet E0 die Feldst¨arkeamplitude, t die Zeit, f die Frequenz, x die Ortskoordinate und λ die Wellenl¨ange. Zwischen Frequenz f , Wellenl¨ange λ und Ausbreitungsgeschwindigkeit (Lichtgeschwinddigkeit) c besteht der Zusammenhang c=λ·f Im Vakuum betr¨agt die Lichtgeschwindigkeit c0 = 2, 998 · 108 m/s. Abbildung 1.3: Wellenl¨angenbereiche elektromagnetischer Strahlung 1-2 (1.2) Zur Vereinfachung der in Gleichung 1.1 eingef¨ uhrten Darstellung einer Welle werden noch die Kreisfrequenz ω und die Wellenzahl k bzw. der Wellenvektor ~k eingef¨ uhrt: ω = 2π · f 2π k = λ ~k = k · ~ec (1.3) (1.4) (1.5) dabei ist ~ec der Einheitsvektor der Ausbreitungsrichtung. Mit diesen Definitionen l¨asst sich eine Welle vektoriell an jedem Punkt ~r im Raum beschreiben: ~ r, t) = E ~ 0 cos(ωt − ~k~r + ϕ0 ) E(~ (1.6) mit einer hier zus¨atzlich eingef¨ uhrten Phasendifferenz ϕ0 . Aus der Wellennatur folgt, dass die Ausbreitung von Licht wesentlich durch Beugung bestimmt ist, bzw. sich durch das Huygenssche Prinzip beschreiben l¨asst. 1-3 Wellenfronten Um eine Vorstellung von der r¨aumlichen Ausdehnung von Lichtwellen zu erhalten, werden die Phasenfl¨achen der Wellen betrachtet, z.B. die Orte maximaler Feldst¨arken (siehe Abb. 1.4. Sie werden auch als Wellenfronten bezeichnet. Der Abstand zweier benachbarter Phasenfl¨achen ist die Wellenl¨ange. Bei einer ebenen Welle sind die Phasenfl¨achen parallele Ebenen, bei einer Kugelwelle ergeben sich konzentrische Kugelfl¨achen. Abbildung 1.4: Wellenfronten von ebenen Wellen und Kugelwellen. Dargestellt sind die Schnittlinien der Phasenfl¨achen mit einer Ebene. (aus [2]) Energietransport Intensit¨ at F¨ ur die Beschreibung der meisten optischen Erscheinungen reicht es aus, die elektrische Feldst¨arke des Lichtes zu betrachten. Die Feldst¨arke einer Lichtwelle ist allerdings nicht direkt messbar. Statt dessen kann die Intensit¨at I bestimmt werden: die ~ Intensit¨at ist der zeitliche Mittelwert der durch den Poyntingvektor S ~=E ~ ×H ~ S (1.7) gegebenen momentanen Energiestromdichte der elektromagnetischen Welle. die durch den zeitlichen Mittelwert des Quadrats der Feldst¨arkeamplitude E gegeben ist: I=   dW = hSit = εε0 c E 2 t = εε0 c E02 t dA · dt (1.8) Dabei bedeuten ε0 = 8, 858 · 10−12 As/Vm, ε die relative Dielektrizit¨atszahl, µ0 = 4π · 10−7 Vs/Am, µ die relative magnetische Permeabilit¨at und c die Ausbreitungsgeschwindigkeit in dem betreffenden Medium. Der waagrechte Strich u ¨ber E 2 symbolisiert den zeitlichen Mittelwert. Die Einheit der elektrischen Feldst¨arke ist V/m, die der Leistungsdichte W/m2 . Die Intensit¨at ist die Leistungsdichte bzw. Energiestromdichte der elektromagnetischen Welle. Im Kontext photometrischer Betrachtungen ist die auf eine Oberfl¨ache fallende Intensit¨at die Bestrahlungsst¨arke. Leistung F¨allt eine elektromagnetische Welle durch oder auf eine gegebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende Fl¨ache A, so ist die Strahlungsleistung bzw. der Strahlungsfluss oder Energiefluss durch diese Fl¨ache gegeben durch Z dW = IdA; (1.9) Φ= dt A ist die Intensit¨at u ¨ber die ganze Fl¨ache konstant, ist die Leistung einfach das Produkt aus Intensit¨at und Fl¨ache. 1-4 1.1.2 Strahlenoptik Aus der Wellennatur des Lichtes folgt, dass es so etwas wie Lichtstrahlen, d.h. unendlich schmale Lichtb¨ undel, nicht gibt. Trotzdem ist es f¨ ur viele Zwecke praktisch, diese Darstellung zu verwenden. Dabei sollte man nicht die Propagation einzelner Lichtstrahlen als physikalische Realit¨at betrachten, sondern sich Lichtstrahlen als Normalen zu den Wellenfronten vorzustellen, wie auch in Abb. 1.4 angedeutet. Die meisten optischen Instrumente lassen sich durch die geradlinige Propagation, Reflexion und Brechung von Lichtstrahlen ausreichend genau beschreiben; bei der Abbildung sehr kleiner Strukturen muss allerdings die Beugung ber¨ ucksichtigt werden. 1.1.3 Quantenoptik Ein v¨ollig anderer Aspekt ist der Teilchencharakter des Lichtes. In dieser Beschreibung besteht das Licht aus masselosen Teilchen, den Photonen oder Lichtquanten. Die Energie eines Photons h¨angt mit der Lichtfrequenz nach der Formel E =h·f =~·ω (1.10) zusammen, dabei ist h = 6, 626 · 10−34 Js das Plancksche Wirkungsquantum, ~ = h/2π ( ha quer“ ausgesprochen). Die Gr¨oßenordnungen der Photonenenergien sind in der un” tersten Zeile von Abb. 1.3 gezeigt. Die quantenoptische Darstellung ist insbesondere bei der Wechselwirkung von Licht mit (einzelnen) Atomen und Molek¨ ulen wichtig; auch das Verst¨andnis des Lasers ist ohne Quantenoptik nicht m¨oglich. 1-5 1.2 Brechung und Reflexion Das wesentliche Ph¨anomen der Optik ist die Aufteilung des Lichtes in einen reflektierten und einen gebrochenen Anteil, wenn es auf eine Grenzfl¨ache zwischen zwei Medien mit unterschiedlichen Brechungsindices (s.u.) trifft. Die Gesetzm¨aßigkeiten dieser Aufteilung werden zwar meist im Kontext der Strahlenoptik formuliert, das Ph¨anomen tritt aber nicht nur bei elektromagnetischen Wellen auf sondern l¨asst sich f¨ ur beliebige Arten von Wellen mit Hilfe des Huygensschen Prinzips erkl¨aren. (siehe z.B. [4], Kapitel 13.10) Abbildung 1.5: Winkel bei Reflexion und Brechung (aus [4]) 1.2.1 Reflexions- und Brechungsgesetz Reflexions- und Brechungsgesetz beschreiben zun¨achst die Zusammenh¨ange zwischen den Winkeln der einfallenden, reflektierten und gebrochenen Strahlen. Alle Winkel werden relativ zur Fl¨achennormalen der Grenzfl¨ache gemessen. Abbildung 1.2 zeigt die betrachtete Situation. Reflexionsgesetz Auf der mit 1 bezeichneten Seite der Grenzfl¨ache trifft ein Lichtstrahl unter dem Winkel α1 , dem Einfallswinkel, daher auch mit αE bezeichnet, auf die Grenzfl¨ache. Dann verl¨auft der reflektierte Anteil des Strahls unter dem gleichen Ausfallswinkel αA – allerdings nach der anderen Seite der Fl¨achennormalen: αE = αA (1.11) • Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel“ ” Brechungsgesetz Die Lichtgeschwindigkeit auf der mit 1 bezeichneten Seite der Grenzfl¨ache betrage c1 , auf der mit 2 bezeichneten Seite c2 . Auf der mit 1 bezeichneten Seite falle ein Lichtstrahl unter dem Winkel α1 ein. Dann verl¨auft der transmittierte Anteil des Strahls unter dem Winkel α2 . Der Zusammenhang zwischen den Winkel ist c1 sin α1 = = nrel sin α2 c2 (1.12) Das Verh¨altnis nrel zwischen den Lichtgeschwindigkeiten in Gleichung 1.12 wird als relativer Brechungsindex bezeichnet. Der absolute Brechungsindex eines optischen Materials i 1-6 ist das Verh¨altnis zwischen der Lichtgeschwindigkeit ci in diesem Material und der Lichtgeschwindigkeit c0 in Vakuum: c0 (1.13) ni = ci F¨ ur unmagnetische optische Medien gilt der folgende Zusammenhang zwischen dem Brechungsindex ni und der relativen Dielektrizit¨atszahl εi : ni = √ εi (1.14) Das Produkt aus der geometrischen L¨ange l eines Lichtweges und dem Brechungsindex ni des Materials, in dem dieser Lichtweg zur¨ uckgelegt wird, wird als optische Wegl¨ange lopt bezeichnet: lopt = l · ni (1.15) Die Zeit, die das Licht zum Zur¨ ucklegen eines solchen Weges ben¨otigt berechnet sich damit als l l·n lopt t= = = (1.16) ci c0 c0 Verwendet man also die Brechungsindices, so lautet das Brechungsgesetz n1 sin α1 = n2 sin α2 . (1.17) Werden zwei optische Medien verglichen, so wird dasjenige mit dem gr¨oßeren Brechungsindex als optisch dichter, das mit dem kleineren Brechungsindex als optisch d¨ unner bezeichnet. Damit ergeben sich folgende Faustregeln: • Beim Eintritt in ein optisch dichteres Medium wird das Licht zum Lot (d.h. zur Fl¨achennormale) hin gebrochen. • Beim Eintritt in ein optisch d¨ unneres Medium wird das Licht vom Lot weg gebrochen. Totalreflexion Die Berechnung des Winkels des gebrochenen Strahls nach dem Brechungsgesetz ergibt sin α2 = n1 sin α1 . n2 (1.18) Diese Gleichung ist nur l¨osbar, wenn der Ausdruck auf der rechten Seite nicht gr¨oßer als 1 ist. Wenn dies nicht der Fall ist, d.h. wenn   n2 α1 > αc = arcsin (1.19) n1 ist, gibt es keinen gebrochenen Strahl und alles Licht wird reflektiert. Totalreflexion kommt ¨ nur beim Eintritt in ein optisch d¨ unneres Medium vor, z.B. beim Ubergang von Wasser nach Luft. Einem Einfallswinkel von αc entspricht dann ein Winkel des gebrochenen Strahls von 90◦ , d.h. der gebrochene Strahl w¨ urde parallel zu Grenzfl¨ache verlaufen. 1-7 1.2.2 Fresnel-Formeln In diesem Abschnitt werden Formeln daf¨ ur angegeben, welche Anteile der Feldst¨arke, Intensit¨at oder Leistung eines Lichtb¨ undels reflektiert bzw. transmittiert werden. Einfallsebene und Polarisation Bei der Berechnung dieser Anteile kommt es aufgrund von Stetigkeitsbedingungen f¨ ur die Tangentialkomponenten der elektrischen und magnetischen Felder an der Grenzfl¨ache nicht nur auf die Ein- und Ausfallswinkel an, sondern auch auf die Polarisation, d.h. die Richtung des elektrischen Feldvektors relativ zur Einfallsebene. Die Einfallsebene ist diejenige Ebene, die die Fl¨achennormale und den einfallenden Strahl enth¨alt, es liegen damit auch der reflektierte und der gebrochene Strahl in dieser Ebene (siehe Abbildung 1.6). Abbildung 1.6: Einfallsebene und Polarisationsrichtungen (aus [1]) Eine einfallende Lichtwelle wird in einen p-polarisierten (parallel zur Einfallsebene, k) und einen s-polarisierten Anteil (senkrecht zur Einfallsebene, ⊥) zerlegt, und die transmittierten und reflektierten Feldst¨arken werden f¨ ur beide Anteile getrennt berechnet. Aus Gr¨ unden, die hier nicht erl¨autert werden sollen, wird senkrecht einfallendes Licht als s-polarisiert betrachtet! Im Unterschied zum vorhergehenden Kapitel wird hier der Einfallswinkel im Medium 1 mit α anstelle von α1 bezeichnet und der Winkel des gebrochenen Strahls im Medium 2 mit β anstelle von α2 . 1-8 Koeffizienten fu arken ¨ r die Feldst¨ Amplitudenreflexionskoeffizienten   Er = rk = E0 k   Er r⊥ = = E0 ⊥ n2 cos α − n1 cos β n2 cos α + n1 cos β (1.20) n1 cos α − n2 cos β n1 cos α + n2 cos β (1.21) Amplitudentransmissionskoeffizienten   Et 2n1 cos α tk = = E0 k n2 cos α + n1 cos β   Et 2n1 cos α t⊥ = = E0 ⊥ n1 cos α + n2 cos β (1.22) (1.23) Bei senkrechtem Lichteinfall (α = 0) gilt n1 − n2 n1 + n2 2n1 t = n1 + n2 r = (1.24) (1.25) Bei der Reflexion an einem optisch dichteren Medium (n2 > n1 ) ist r negativ, es tritt also ein Phasensprung der reflektierten Wellen um π bzw. 180◦ auf. Koeffizienten fu aten ¨ r die Intensit¨ Da die Intensit¨at proportional zur Lichtgeschwindigkeit, Dielektrizit¨atszahl und Betragsquadrat der elektrischen Feldst¨arke ist (siehe Gl. 1.8 und Gl. 1.14), gilt f¨ ur die Intensit¨atsreflexions- und -transmissionskoeffizienten Intensit¨ atsreflexionskoeffizient  2   n2 cos α − n1 cos β Ir 2 = rk = I0 k n2 cos α + n1 cos β    2 Ir n1 cos α − n2 cos β 2 = r⊥ = I0 ⊥ n1 cos α + n2 cos β Intensit¨ atstransmissionskoeffizient     It n2 2 4n1 n2 cos2 α = tk = I0 k n1 (n2 cos α + n1 cos β)2     It n2 2 4n1 n2 cos2 α = t⊥ = I0 ⊥ n1 (n1 cos α + n2 cos β)2 1-9 (1.26) (1.27) (1.28) (1.29) Koeffizienten fu ¨ r die Leistungen Bei der Berechnung der Leistungen ist zu beachten, dass sich f¨ ur den gebrochenen Strahl die Ausbreitungsrichtung ¨andert. Damit ¨andert sich auch die Querschnittsfl¨ache eines Lichtb¨ undels: wird auf der Grenzfl¨ache eine Fl¨ache A durch ein Lichtb¨ undel beleuchtet, so ist die Querschnittsfl¨ache (senkrecht zur Ausbreitungsrichtung) des einfallenden und reflektierten B¨ undels A cos α, die des gebrochenen B¨ undels aber A cos β. Reflexionsgrade   2 n2 cos α − n1 cos β Φr 2 = rk = %k = Φ0 k n2 cos α + n1 cos β    2 Φr n1 cos α − n2 cos β 2 %⊥ = = r⊥ = Φ0 ⊥ n1 cos α + n2 cos β  (1.30) (1.31) Transmissionsgrade    n2 cos β 2 4n1 n2 cos α cos β Φt = tk = = Φ0 k n1 cos α (n2 cos α + n1 cos β)2     Φt n2 cos β 2 4n1 n2 cos α cos β = = t⊥ = Φ0 ⊥ n1 cos α (n1 cos α + n2 cos β)2  τk τ⊥ (1.32) (1.33) Bei senkrechtem Lichteinfall (α = 0) gilt 2 n1 − n2 % = n1 + n2 4n1 n2 τ = (n1 + n2 )2  (1.34) (1.35) Abbildung 1.7 zeigt die Reflexionsgrade in Abh¨angigkeit von von Polarisation und Ein¨ fallswinkel beim Ubergang von Luft (n ≈ 1) in Glas (n ≈ 1, 5) bzw. umgekehrt. Der Abbildung 1.7: Reflexionsgrad als Funktion von Polarisation und Einfallswinkel (aus [1]). αP bezeichnet den Polarisationswinkel, αc den Totalreflexionswinkel 1-10 Totalreflexionswinkel f¨ ur diese Kombination liegt bei etwa 42◦ , es zeigt sich hier, dass der Reflexionsgrad bei der Ann¨aherung an diesen Winkel kontinuierlich gegen 1 konvergiert. Bei senkrechtem Einfall liegt der Reflexionsgrad einer Luft-Glas-Grenzfl¨ache bei etwa 4%. Energieerhaltung Die Intensit¨aten sind Leistungsdichten. Wegen der Energieerhaltung muss sich die Gesamtleistung des einfallenden Lichtb¨ undels in die Leistung des gebrochenen und des reflektierten B¨ undels aufteilen. Es gilt daher, f¨ ur beide Polarisationsrichtungen %+τ =1 (1.36) Brewster-Winkel Wie die Abbildung 1.7 zeigt, und wie auch leicht aus Gl. 1.30 zu ersehen ist, gibt es einen Winkel, bei dem der Reflexionsgrad f¨ ur die p-Polarisation Null wird. Dieser Winkel heißt Brewster-Winkel oder Polarisationswinkel. Er errechnet sich als   n2 (1.37) αp = arctan n1 Strahlt man ein beliebig polarisiertes Lichtb¨ undel unter diesem Winkel auf eine Grenzfl¨ache ein, so ist das reflektierte Licht rein s-polarisiert. Es l¨asst sich auf diese Weise also linear polarisiertes Licht erzeugen. Eine Glasplatte, die unter diesem Winkel in einem Strahlengang steht, stellt f¨ ur p-polarisiertes Licht ein verlustfreies Fenster dar, d.h. durch eine solche Schr¨agstellung l¨asst sich zumindest f¨ ur eine Polarisationrichtung der Verlust durch die 2-fache 4%-Reflexion vermeiden. 1-11 1.2.3 Absorption und Dispersion S¨amtliche Stoffe beeinflussen hindurchgehendes Licht, sie k¨onnen einen Teil der Lichtleistung absorbieren und die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts – also den Brechungsindex – ver¨andern. Ursache ist die Wechselwirkung des Lichtfeldes mit den Elektronenh¨ ullen der Atome und Molek¨ ule. Die Elektronen k¨onnen nur bestimmte, quantisierte, Zust¨ande einnehmen, zwischen denen fest bestimmte Energieunterschiede liegen. Die St¨arke der Wechselwirkung mit Licht bestimmter Wellenl¨ange ist dadurch bestimmt, inwieweit die Photonenenergie des Lichtes (siehe Abschnitt 1.1.3) mit diesen Energien u ¨bereinstimmt. ¨ Bei genauer Ubereinstimmung mit einer solchen Energie spricht man von Resonanz; hier ist die Wechselwirkung maximal. Abb. 1.8 zeigt schematisch diesen Zusammenhang. In Abbildung 1.8: Schematische Absorptions- und Dispersionskurven, f bezeichnet die Lichtfrequenz, fr die Resonanzfrequenz des Atoms oder Molek¨ uls. (aus [4]) der Umgebung der Resonanz ¨andert sich der Brechungsindex ebenfalls besonders stark. Die Abh¨angigkeit des Brechungsindex von der Lichtfrequenz (bzw. Wellenl¨ange) wird als Dispersion bezeichnet. F¨ ur die meisten optischen Materialien liegen die Resonanzfrequenzen weit von den verwendeten Lichtfrequenzen entfernt, da solches Materialien wenig Verluste, also eine geringe Absorption haben sollen. In solchen Bereichen (in Abb. 1.8 mit 1-2 und 3-4 bezeichnet) nimmt der Brechungsindex mit der Wellenl¨ange ab (d.h. die Lichtgeschwindigkeit nimmt mit der Frequenz zu). Dieses Verhalten wird als normale Dispersion bezeichnet. Abb. 1.8 zeigt die Absorptions- und Dispersionskurven des h¨aufig verwendeten Glases BK7. Abbildung 1.9: Absorptions- und Dispersionskurven des Kronglases BK7 (aus [1]) 1-12 1.3 Abbildung mit Linsen An dieser Stelle sollen die wichtigsten Grundkenntnisse der geometrischen Abbildungsoptik kurz rekapituliert werden. 1.3.1 Optische Achse Ein optisches System wird als rotationssymmetrisch um eine optische Achse dargestellt; d.h. alle Einzelelemente sind rotationssymmetrisch und so angeordnet, dass ihre Symmetrieachse gleich der optischen Achse ist. Die dargestellte Zeichenebene enth¨alt die optische Achse; Ebenen, die die optische Achse nicht enthalten, werden hier nicht betrachtet. Lichtstrahlen die entlang der optischen Achse verlaufen, erfahren keinerlei Brechung. Lichtstrahlen, die parallel zur optischen Achse verlaufen, werden als Parallelstrahlen bezeichnet. 1.3.2 Sammellinsen Das grundlegende Bauelement ist die Sammellinse. Ihre wesentliche Eigenschaft ist die, dass sie auf beiden Seiten einen sogenannten Brennpunkt F , gelegen auf der optischen Achse im Abstand f , der Brennweite, von der Linse, mit folgenden Eigenschaften besitzt: Alle Parallelstrahlen, die von einer Seite auf die Linse einfallen, schneiden sich auf der an- Abbildung 1.10: Brennpunktseigenschaft einer Sammellinse (aus [1]) deren Seite im dortigen Brennpunkt (siehe Abb. 1.10). Alle Strahlen die vom Brennpunkt der Linse kommend auf die Linse einfallen, als Brennstrahlen bezeichnet, verlaufen auf der anderen Seite als Parallelstrahlen. Im Sinne gr¨oßerer Allgemeing¨ ultigkeit wird h¨aufig zwischen der objektseitigen Brennweite f und der bildseitigen Brennweite f 0 unterschieden, die in manchen Situationen unterschiedlich sein k¨onnen (z.B. bei unterschiedlichen Brechungsindices der Umgebungsmedien auf den beiden Seiten), diese Unterscheidung wird hier im Folgenden nicht gemacht. 1-13 1.3.3 Abbildung Der Zweck der Abbildung ist es, die Lichtintensit¨atsverteilung der Oberfl¨ache eines Objektes an einer anderen Position, z.B. auf einem Film oder einer Projektionsleinwand, zu reproduzieren. Diese reproduzierte Intensit¨atsverteilung wird als Bild bezeichnet. Es wird dabei einem planaren Objekt ausgegangen, d.h. von einer Intensit¨atsverteilung in einer Objektebene die senkrecht zur optischen Achse ist. Das Bild liegt dann ebenfalls in einer Ebene, der Bildebene. Damit eine Abbildung zustande kommt, m¨ ussen alle Lichtstrahlen, die von einem bestimmten Objektpunkt ausgehen, m¨ ussen sich nach der Abbildungsoptik wieder in dem korrespondierenden Bildpunkt schneiden. Abbildung 1.11: Bildentstehung: alle Strahlen, die von einem Objektpunkt P1 ausgehen, werden von der Linse so abgelenkt, dass sie sich im Bildpunkt P − 2 schneiden.(aus [1]) Aus dem Brechungsgesetz folgt, dass Lichtwege umkehrbar sein m¨ ussen, damit gilt diese Abbildungsbedingung auch f¨ ur den umkehrten Weg: alle Lichtstrahlen, die von einem bestimmten Objektpunkt ausgehen, m¨ ussen sich nach der Abbildungsoptik wieder in dem korrespondierenden Bildpunkt schneiden und umgekehrt. Bildebene und Objektebene werden – wenn sie dieser Bedingung gen¨ ugend – deshalb auch als konjugierte Ebenen bezeichnet. Zur geometrischen Konstruktion einer Abbildung werden meist drei vom Objektpunkt ausgehende Strahlen verfolgt: ein Parallelstrahl, der auf der Bildseite durch den Brennpunkt verl¨auft; ein Brennstrahl, der hinter der Linse zum Parallelstrahl wird, und ein so genannter Mittelpunktstrahl durch den Scheitelpunkt der Linse auf der optischen Achse, von ihm wird hier angenommen, dass er nicht gebrochen wird. Wenn diese Konstruktion zum Erfolg f¨ uhrt, d.h. sich wirklich ein Bild auf der Bildseite ergibt, so wird dieses als reelles Bild bezeichnet. Abbildung 1.12: Bildkonstruktion mit Hilfe des Parallel-, Mittelpunkt- und Brennstrahls.(aus [1]) 1-14 1.3.4 Virtuelle Bilder Es kann sich auch ergeben, dass sich die von einem Objektpunkt ausgehenden Strahlen nicht zu einem reellen Bildpunkt zusammenlaufen (konvergieren), sondern dass sie auseinanderlaufen (divergieren), als wenn sie von einem vergr¨oßerten Objekt auf der Objektseite ausgingen. Dieses scheinbare neue Objekt wird als virtuelles Bild bezeichnet. Bei Abbildung mit einer Sammellinse ist es gr¨oßer als das Objekt. Abbildung 1.13: Virtuelles Bild bei Abbildung mit einer Sammellinse.(aus [1]) 1.3.5 Zerstreuungslinse Eine andere Linsenform ist die Zerstreuungslinse. Ihre bestimmende Eigenschaft besteht darin, dass einfallende Parallelstrahlen von der optischen Achse weg gebrochen werden, als wenn sie alle von einem gemeinsamen Punkt k¨amen, der auf der Einfallsseite liegt. Dieser Punkt wird als Brennpunkt der Zerstreuungslinse bezeichnet. Bei der Abbildung mit einer Zerstreuungslinse entstehen verkleinerte virtuelle Bilder. Abbildung 1.14: Verlauf eines Parallelstrahlb¨ undels in einer Zerstreuungslinse (aus [1]) Abbildung 1.15: Virtuelles Bild bei Abbildung mit einer Zerstreuungslinse (aus [1]) 1-15 1.4 Auge und Sehfehler physikalisch betrachtet Ophthalmologische Begriffsdefinitionen aus Pschyrembel, Klinisches W¨orterbuch 1.4.1 Begriffe Abbildung F¨ ur eine scharfe Abbildung eines Objekts auf die Netzhaut gilt die Gleichung 1 1 1 = + f b g Dabei ist b die optisch wirksame L¨ange des Augapfels (tats¨achliche L¨ange dividiert durch den Brechungsindex des Glask¨orpers), g der Abstand des scharf abgebildeten Gegenstandes und f die f¨ ur die Abbildung des Gegenstandes im Abstand g eingestellte Brennweite von Hornhaut und Linse. Akkomodation (engl.) accommodation; Anpassung: Die F¨ahigkeit des Auges, den Brechwert der Linse der Entfernung des fixierten Gegenstandes so anzupassen, dass er in der Netzhautebene (in der Fovea centralis) scharf abgebildet wird. Dem passiven Streben der elastischen Linse zur Kugelform (hoher Brechwert, Naheinstellung) steht die Zugwirkung des radi¨aren Aufh¨angeapparats (Zonulafasern der Zonula Zinii) entgegen, die eine Abflachung der Linse bewirkt (Ellipsenform; geringer Brechwert, Ferneinstellung); durch aktive Kontraktion des Ziliarmuskels kommt es zur Erschlaffung der Zonulafasern (und damit zur Scharfeinstellung im Nahbereich); die Akkommodationsbreite (Akkommodationsverm¨ogen) betr¨agt z. B. mit 10 Jahren 12 dpt, mit 30 Jahren 7,5 dpt, mit 60 Jahren 0 dpt (s. Presbyopie) infolge zunehmender Sklerosierung der Linse.   Die minimale Brechkraft f1 liegt bei der Ferneinstellung vor, in diesem Zustand ist min der Ziliarmuskel entspannt, diese Situation wird   daher auch als nicht akkomodierter Zuentspricht der Naheinstellung (Nahstand bezeichnet. Die maximale Brechkraft f1 max akkomodation), hier ist der Ziliarmuskel am st¨arksten kontrahiert. Akkomodationsbreite Die Akkomodationsbreite ist die Differenz zwischen der maximalen und der minimalen Brechkraft, also     1 1 ∆D = − (1.38) f max f min Bezugssehweite Bei der Charakterisierung augenbezogener optischer Instrumente geht man, bei normalsichtigem Auge, von einem Nahpunkt im Abstand von 25 cm vom Auge aus, d.h. 1 1 1 = = = 4dpt (1.39) gmin s0 25cm Es wird hier also eine Akkomodationsbreite von 4 Dioptrien angenommen. 1-16 Refraktion (engl.) refraction; Lichtbrechung: Beim menschlichen Auge die Beziehung des Gesamtbrechungszustands aller optischen Medien zur Achsenl¨ange des Auges; wird als Differenz zwischen dem Brechwert, den das Auge zur Einstellung des Fernpunkts im Unendlichen ben¨otigt, und dem Brechwert im nicht akkommodierten Zustand berechnet; bei Normalsichtigen = 0 (Emmetropie), bei Kurzsichtigen < 0 (Myopie), bei Weitsichtigen > 0 (Hypermetropie). Die Brechkraft f∞ , die das Auge zur Einstellung des Fernpunkts im Unendlichen (g = ∞) ben¨otigt, ist 1 1 1 1 = + = (1.40) f∞ b ∞ b Im nicht akkomodierten Zustand wird die minimale Brechkraft eingestellt, die Refraktion ist damit     1 1 1 1 R= − = − (1.41) f∞ f min b f min Emmetropie (engl.) emmetropia; Abk. E; Normalsichtigkeit: Achsenl¨ange und Brechwert des Auges stehen zueinander im richtigen Verh¨altnis; die aus dem Unendlichen parallel ins Auge einfallenden Strahlen werden in einem auf der Netzhaut liegenden Brennpunkt vereinigt. Bei Emmetropie (Normalsichtigkeit) gilt, nach Definition, bei nicht akkomodiertem Auge gmax = ∞, also damit   1 1 = (1.42) f min bn die (optisch wirksame) L¨ange bn des normalsichtigen Auges entspricht also der maximalen Brennweite des Auges, die Refraktion betr¨agt 0. Ametropie (engl.) ametropia: Fehlsichtigkeit infolge Brechungsfehler (Refraktionsanomalie) des Auges bei abnormem axialem Durchmesser des Augapfels (Achsenametropie), seltener bei abnormem Brechwert von Hornhaut bzw. Linse (Brechungsametropie). Der Brennpunkt parallel verlaufender Strahlen liegt im nicht akkommodierten Auge vor (Myopie) oder hinter (Hypermetropie) der Retina. Korrektur durch Brille Bei der Korrektur durch eine Brille werden die Brechkr¨afte von Auge und Brille addiert, es gilt also dann 1 fAuge + 1 fBrille = 1 1 + b g (1.43) Bei Ametropie ist die Brechkraft des Auges im nicht akkomodierten Zustand ungleich der Brechkraft, die zur Abbildung unendlich weit entfernter Gegenst¨ande ben¨otigt wird; die 1-17 Brille soll dies korrigieren:   1 1 1 + = f min fBrille b   1 1 1 = − =R fBrille b f min (1.44) (1.45) Die ben¨otigte Brechkraft der Brille ist also gerade die Refraktion. Nahpunkt (engl.) near point; Punctum proximum: Nahpunkt der Akkommodation: der dem Auge n¨achste Punkt, der bei maximaler Akkommodation noch scharf gesehen werden kann; seine Entfernung nimmt mit steigendem Lebensalter zu. Der Nahpunkt beschreibt die minimale Gegenstandsweite g = gmin, die bei maximaler Brechkraft des Auges noch scharf gesehen werden kann:   1 1 1 = + (1.46) f max b gmin   1 1 1 = (1.47) − gmin f max b 1.4.2 Sehfehler Hypermetropie ¨ (engl.) hypermetropia; syn. Hyperopie, Ubersichtigkeit; Weitsichtigkeit: Form der Ametropie, bei der parallel laufende Strahlen im nicht akkommodierenden Auge hinter der Retina vereinigt werden. Achsenhypermetropie mit zu kurzer Bulbusachse oder Brechungshypermetropie mit zu geringem Brechwert des optischen Apparats, z. B. bei Abflachung der Hornhaut oder Verlust der Linse. Bei Weitsichtigkeit ist die L¨ange bw des Augapfels zu klein, es gilt also   1 1 1 > = bw < bn ⇒ (1.48) bw bn f min   1 1 R = − >0 (1.49) bw f min Die Brechkraft des Auges ist also zu gering, zur Korrektur w¨ urde eine Brille mit positiver Brechkraft ben¨otigt. Ohne Brille muss auch f¨ ur das Sehen im Unendlichen akkomodiert werden: ben¨otigt wird dazu die Brechkraft   1 1 1 = > (1.50) f∞ bw f min diese ist gr¨oßer als die Brechkraft im nicht akkomodierten (entspannten) Zustand des Auges. 1-18 Verglichen mit einem normalen Auge liegt der Nahpunkt weiter entfernt:     1 1 1 1 1 1 = − ; = − ; gmin,w f max bw gmin,n f max bn 1 1 < gmin,w gmin,n gmin,w > gmin,n (1.51) (1.52) (1.53) Das Ziel der Korrektur bei Kurzsichtigkeit ist es daher, den Nahpunkt wieder n¨aher ans Auge zu r¨ ucken, daf¨ ur ist die ben¨otigte Brechkraft f¨ ur eine Lesebrille“ f¨ ur den gew¨ unsch” ten Nahpunktabstand gmin,soll so zu berechnen:   1 1 1 = + (1.54) f max bw gmin,ist   1 1 1 1 + = + (1.55) fBrille f max bw gmin,soll 1 1 1 = − (1.56) fBrille gmin,soll gmin,ist Presbyopie f: (engl.) presbyopia; Alterssichtigkeit, altersbedingte Weitsichtigkeit: Erschwerung des Nahsehens durch Elastizit¨atsverlust (Sklerosierung) der Linse und nachlassende F¨ahigkeit zur Akkommodation; der Nahpunkt r¨ uckt mit zunehmendem Alter immer mehr in die Ferne; eine latente Hypermetropie kann durch Presbyopie manifest werden. Bei reiner Alterssichtigkeit stehen Brechkraft und Augapfell¨ange f¨ ur den nicht akkomodierten Zustand, also f¨ ur die Abbildung unendlich weit entfernter Objekte, wie bei Emmetropie im richtigen Verh¨altnis:   1 1 1 = = (1.57) ba bn f min Die maximale Brechkraft ist aber geringer, damit ist der Nahpunkt weiter entfernt als bei Normalsichtigkeit (s.o.)     1 1 1 1 1 1 − − ; = ; = (1.58) gmin,a f max,a bn gmin,n f max,n bn     1 1 < (1.59) f max,a f max,n 1 1 < (1.60) gmin,a gmin,n gmin,a > gmin,n (1.61) Myopie (engl.) myopia; Abk. My; sog. Kurzsichtigkeit: Form der Ametropie, bei der parallel einfallende Strahlen vor der Netzhaut vereinigt werden. Zu starker Brechwert von Hornhaut oder Linse (Brechungsmyopie) bzw. u ¨berdurchschnittliche L¨ange des Augapfels (Achsenmyopie). 1-19 Bei Myopie (Kurzsichtigkeit) ist die L¨ange bk des Augapfels zu groß, es gilt also   1 1 1 bk > bn ⇒ < = bk bn f   min 1 1 − <0 R = bk f min (1.62) (1.63) Die Brechkraft des Auges ist also zu groß. Die maximale Sehweite ohne Brille betr¨agt   1 1 = − f min bk 1 gmax,k 1 = −R > 0 gmax,k gmax,k < ∞ (1.64) (1.65) (1.66) diese ist kleiner als unendlich, weiter entfernte Gegenst¨ande lassen sich nicht scharf abbilden. Zur Korrektur w¨ urde eine Brille mit negativer Brechkraft ben¨otigt, gem¨aß der vorherigen Rechnung l¨asst sich die ben¨otigte Brechkraft f¨ ur eine Fernbrille“ aus der maximalen ” Sehweite ohne Brille bestimmen 1 fBrille =− 1 gmax,k Verglichen mit einem normalen Auge liegt der Nahpunkt n¨aher:     1 1 1 1 1 1 − − ; = ; = gmin,k f max bk gmin,n f max bn 1 1 > gmin,k gmin,n gmin,k < gmin,n (1.67) (1.68) (1.69) (1.70) Die Augen von Kurzsichtigen werden daher auch manchmal als Lupenaugen“ bezeichnet. ” Iris (engl.) iris; Regenbogenhaut des Auges: Teil der mittleren Augenhaut (Tunica vasculosa bulbi); frontal gestelltes Segel zwischen ¨ vorderer und hinterer Augenkammer mit einer zentralen kreisrunden Offnung (Sehloch, Pupille). Die eingelagerten glatten Muskelzellen des M. dilatator u. M. sphincter pupillae regulieren die Pupillenweite und damit die Intensit¨at des Lichteinfalls. Die Irisblende wirkt als Aperturblende, d.h. sie begrenzt nur die Lichtmenge, nicht aber das sichtbare Bildfeld. 1-20 Kapitel 2 Paraxiale (Gaußsche) Optik Die Paraxiale Optik ist eine Vereinfachung der Strahlenoptik, die von der Voraussetzung ausgeht, dass die betrachteten Anordnungen optischer Komponenten rotationssymmetrisch um eine sogenannte optische Achse sind und dass die betrachteten Lichtstrahlen in der N¨ahe der optischen Achse (= paraxial“) verlaufen. Die Forderung in der N¨ahe“ be” ” deutet, dass die Abst¨ande zur optischen Achse klein sind im Vergleich zu den Abst¨anden zwischen den optischen Komponenten, diese Forderung ist ¨aquivalent zu der N¨aherung, dass die Winkel zwischen den betrachteten Strahlen und der optischen Achse klein sind. Mathematisch bedeutet dies, dass f¨ ur alle Winkel der Wert des Winkels selbst (im Bogenmaß), sein Sinus und sein Tangens als gleich angesehen werden: α ≈ sin α ≈ tan α 2.1 (2.1) Matrixformulierung der paraxialen Optik Die in diesem Abschnitt eingef¨ uhrte Methode verwendet 2 × 2 Matrizen zur Beschreibung optischer Komponenten; ein Lichtstrahl wird beschrieben durch einen Vektor bestehend aus Abstand und Winkel zur optischen Achse. Die Beeinflussung eines beliebigen Lichtstrahls durch eine optische Komponente l¨asst sich dann mathematisch als Multiplikation des Strahlvektors mit der Matrix der optischen Komponente beschreiben. Der Weg des Strahls durch das optische System wird also durch das Hintereinanderausf¨ uhren solcher Matrixmultiplikationen beschrieben. Der Vorteil der Matrixmethode liegt darin, dass f¨ ur ein beliebiges System zun¨achst die Systemmatrix, d.h. die Produktmatrix aller Einzelmatrizen der einzelnen optischen Komponenten und Propagationswege berechnet werden kann und dann die Transformation beliebiger Strahlen durch das Gesamtsystem durch eine einzige Multiplikation mit einer 2 × 2-Matrix berechnet werden kann. Die Systemmatrix wird h¨aufig auch als ABCD-Matrix bezeichnet:   A B (2.2) C D d.h. die einzelnen Elemente der Matrix werden, ohne weitere Erkl¨arung, als A, B, C und D diskutiert. Aus dieser Art der Berechnung l¨asst sich folgern, dass sich die wesentlichen Abbildungseigenschaften eines Systems auch allein aus den Eigenschaften seiner Systemmatrix bestimmen lassen werden. 2-1 2.1.1 Grundelemente Wie schon in Abschnitt 1.3.1 eingef¨ uhrt, werden auch hier die optischen Systeme als rotationssymmetrisch um eine optische Achse angenommen. Der Formalismus ist damit zweidimensional; windschiefe Strahlen, d.h. Strahlen, die die optische Achse nicht schneiden werden nicht ber¨ ucksichtigt. Die Koordinate entlang der optischen Achse wird als z bezeichnet, der Abstand zur optischen Achse als x. Strahlen An einer bestimmten Position z des Propagationswegs ist ein Strahl spezifiziert durch den Abstand x von der optischen Achse und den Winkel α zur optischen Achse. Ein weiterer Parameter ist der Brechungsindex n des optischen Mediums. Ein Lichtstrahl wird damit durch folgenden Vektor beschrieben:   x , (2.3) nα dabei gilt folgende Vorzeichenkonvention: α ist positiv; wenn der Winkel vom Strahl zur optischen Achse im Uhrzeigersinn verl¨auft (siehe auch Pfeile an den Winkeln in den Abbildungen). Ungest¨ orte Ausbreitung Bei einer Ausbreitung um eine L¨ange d in einem homogenen Medium entlang der optischen Achse ¨andern sich die Parameter wie folgt: z2 = z1 + d x2 = x1 − α 1 · d α2 = α1 Dieses l¨asst sich auch durch die folgende Matrixoperation ausdr¨ ucken:      x2 1 −d/n y1 = nα2 0 1 nα1 (2.4) (2.5) Die Matrix f¨ ur die Translation (Propagation) um die Strecke d in einem Medium mit Brechungsindex n hat also die Form   1 −d/n MT (d, n) = (2.6) 0 1 Abbildung 2.1: Translation eines Strahls u ¨ber die Strecke d (aus [1]) 2-2 Brechung an Kugelfl¨ achen Bei der Brechung an einer Oberfl¨ache, die unter dem Winkel γ zur Vertikalen steht, ist der Einfallswinkel ε1 (Vorzeichen der Winkel siehe Pfeile in Abb. 2.2, gegen den Uhrzeigersinn ist positiv) gegeben durch ε1 = γ − α 1 (2.7) Nach dem Brechungsgesetz (Gl. 1.17) in paraxialer N¨aherung (sin ε ≈ ε) gilt f¨ ur Ein- und Ausfallswinkel n1 · ε1 = n2 · ε2 (2.8) also hier n1 (γ − α1 ) = n2 (γ − α2 ) (2.9) Bei einer gekr¨ ummten Oberfl¨ache mit Kr¨ ummungsradius R (R = PM in Abb. 2.2) und dem Kr¨ ummungsmittelpunkt M auf der optischen Achse ist, ebenfalls in paraxialer N¨aherung, der Winkel γ zwischen der Oberfl¨ache und der Vertikalen im Abstand x von der optischen Achse gegeben durch γ = arcsin(x1 /R) ≈ x1 /R, (2.10) dabei ist R positiv (negativ), wenn der Kr¨ ummungsmittelpunkt hinter (vor) der betrachteten Fl¨ache liegt, der Strahl also von außen (innen) auf die Kugelfl¨ache trifft. Setzt man diesen Zusammenhang in das Brechungsgesetz ein, so ergibt sich n2 α2 = n1 α1 + In der Matrixformulierung ist damit    x2 = n2 α 2 1 n2 −n1 R n2 − n1 x1 R 0 1  x1 n1 α 1 (2.11)  (2.12) Die Matrix f¨ ur die Brechung an einer Kugelfl¨ache mit Kr¨ ummungsradius R zwischen zwei Medien mit Brechungsindices n1 und n2 hat also die Form ! 1 0 n2 − n1 MB (R, n1 , n2 ) = (2.13) 1 R Damit sind die beiden wichtigsten Matrizen f¨ ur die Beschreibung der paraxialen Optik bereitgestellt. Alle u unne und ¨blichen optischen Komponenten, d.h. Propagationswege, d¨ dicke sph¨arische Linsen aller Arten (konkav, konvex, plan-, bi-, usw.) lassen sich daraus aufbauen. Abbildung 2.2: Brechung an einer Kugelfl¨ache mit Kr¨ ummungsmittelpunkt M zwischen zwei Medien mit Brechungsindices n1 und n2 .(aus [1]) 2-3 2.1.2 Systemmatrix Aus den bisher vorgestellen Elementen lassen sich schon eine große Anzahl optischer Systeme aufbauen, z.B. - Linsen - Linsensysteme - Gekr¨ ummte Grenzfl¨achen - Immersionssysteme Wie schon in der Einleitung zu diesem Kapitel angedeutet, wird ein optisches System durch seine Systemmatrix ode ABCD-Matrix beschrieben, d.h. durch die Produktmatrix der Brechungs- und Propagationsmatrizen der einzelnen Komponenten und Lichtwege zwischen den Komponenten. Nach Berechnung dieser Matrix kann dann die Transformation beliebiger Strahlen von der Eingangsebene in die Ausgangsebene des Systems durch eine einfache Multiplikation des Strahlvektors mit der Systemmatrix erfolgen.      x2 A B x1 = (2.14) n2 α2 C D n1 α1 Die Determinanten der Propagations- und Brechungsmatrizen (Gl. 2.6 und Gl. 2.13) sind jeweils gleich eins. Da sich alle hier besprochenen optischen Systeme aus solchen Matrizen zusammensetzen, gilt: Die Determinante jeder Systemmatrix ist gleich eins.   A B det = (AD − BC) = 1 (2.15) C D Wenn eine ABCD-Matrix die Transformation eines Strahls 1 in einen Strahl 2 beschreibt, dann beschreibt ihre Inverse die Transformation von Strahl 2 in Strahl 1:    −1   A B x2 x1 (2.16) = n2 α 2 n1 α 1 C D Wegen der Determinanteneigenschaft l¨asst sich die Inverse leicht angegeben:   −1  A B D −B = −C A C D (2.17) Wird das optische System umgekehrt, d.h. Objekt- und Bildebene vertauscht bzw. alle Abst¨ande und optischen Komponenten in umgekehrter Reihenfolge durchlaufen, so wird dies nicht durch die Inverse der ABCD-Matrix des Originalsystems beschrieben, sondern, wegen der geometrischen Bedeutung der Winkel, durch:   0   D B A B0 = (2.18) C A C 0 D0 {z } | {z } | umgekehrt Original In den folgenden Abschnitten sollen die Eigenschaften einer solchen Systemmatrix n¨aher diskutiert werden, insbesondere im Hinblick auf die Abbildungseigenschaften des durch die Matrix beschriebenen optischen Systems. 2-4 Abbildung 2.3: D¨ unne Linse (aus [1]) 2.1.3 Linsen Du ¨ nne Linsen Eine d¨ unne Linse wird durch die Hintereinanderausf¨ uhrung der Brechungen an zwei Kugelfl¨achen beschrieben. Als Matrix, mit nL als Brechungsindex des Linsenmaterials: ! ! ! 1 0 1 0 1 0 nL − n1 nL − n1 n2 − nL n2 − nL · = (2.19) 1 1 + 1 R2 R1 R1 R2 Nimmt man an, dass außerhalb der Linse der gleiche Brechungsindex no = n1 = n3 vorliegt, so transformiert sich diese Matrix zu   1  0   1 1 (2.20) (nL − no ) − 1 R1 R2 Brennweite In Abschnitt 1.3.2 wurden Sammellinsen durch ihre Brennweite f beschrieben. Aus deren Eigenschaften sollte sich die Form der Matrix ebenfalls bestimmen lassen: Die erste Eigenschaft ist, dass ein Strahl, der vor der Linse parallel zur optischen Achse verl¨auft, (α1 = 0), im Abstand f 0 hinter der Linse die optische Achse im so genannten Brennpunkt schneidet, also unmittelbar hinter der Linse den Winkel α2 = x/f 0 hat. Abbildung 2.4: Eine Sammellinse bildet Parallelstrahlen in den Brennpunkt ab (aus [1]) In den Matrixformalismus u ¨bersetzt bedeutet dies:        x1 Ax1 A B x1 = = n2 x1 /f 0 Cx1 C D 0 Damit sind die beiden Matrixelemente A = 1 und C = n2 /f 0 bestimmt. 2-5 (2.21) Abbildung 2.5: Eine Sammellinse transformiert Strahlen aus dem Brennpunkt in Parallelstrahlen (aus [1]) Die zweite Eigenschaft ist, dass ein Strahl, der aus dem objektseitigen Brennpunkt kommt – also wenn er die Linse in der H¨ohe x1 trifft, dort den Winkel α1 = −x1 /f hat –, nach der Linse parallel zur optischen Achse verl¨auft (α2 = 0). Dies stellt sich, mit den schon bekannten Elementen im Matrixformalismus so dar:        x1 1 B x1 x1 − Bn1 x1 /f = = (2.22) 0 n2 /f 0 D −n1 x1 /f n2 /f 0 · x1 − D · n1 /f · x1 Hieraus ergeben sich die noch fehlenden Matrixelemente folgendermaßen: B = 0, daraus dann D = 1 wegen der Determinantenbedingung Gl. 2.15. Ferner ist n2 /f 0 = n1 /f = C. (2.23) Wie schon in Abschnitt 1.3.2 angedeutet, sind also bei unterschiedlichen Brechungsindices der Umgebungsmedien auf beiden Seiten der Linse die Brechungsindices unterschiedlich. Die Matrix f¨ ur eine d¨ unne Linse, die in einem Umgebungsmedium mit Brechungsindex no die Brennweite f besitzt, hat also die Form   1 0 ML (f, n0 ) = (2.24) n0 /f 1 Der Vergleich mit Gl. 2.20 ergibt nL − no 1 = f no  1 1 − R1 R2  (2.25) Dies ist die sogenannte Linsenmacherformel f¨ ur die Brechkraft (angegeben in Dioptrien: 1 Dpt = 1/m), d.h. den Kehrwert der Brennweite, einer d¨ unnen Linse. Man beachte die ggf. unterschiedlichen Vorzeichen von R1 und R2 . Es ist zu beachten, dass die Brechkraft bzw. die Brennweite der Linse von beiden Brechungsindices, sowohl dem des Linsenmaterials als auch dem des umgebenden optischen Mediums abh¨angt. Beispiel: Im einfachsten Fall einer symmetrischen Bikonvexlinse aus Glas in umgebendem Vakuum (no = 1) ist R1 = R positiv und R2 = −R, und damit 1 2 = (nL − 1) f R 2-6 (2.26) Dicke Linsen Eine dicke Linse wird durch die Hintereinanderausf¨ uhrung der Brechungen an zwei Kugelfl¨achen mit einer dazwischen liegenden Propagation im Linsenmaterial beschrieben. Als Matrix, mit nL und n0 als Brechungsindices von Linsenmaterial und Umgebung:  !  ! d 1 0 1 0 1 − nL − n1 n0 − nL · = nL  · 1 1 0 1 R2 R1   d(n0 − nL ) d 1+ −   nL ·R1 nL    2  1 1 d(nL − n0 ) d(n0 − nL )  (2.27) 1− (nL − n0 ) − + R1 R2 nL R1 R2 nL · R2 Die Brechkraft betr¨agt damit 1 C = = (nL − n0 ) f  1 1 − R1 R2  + d(nL − n0 )2 nL R1 R2 (2.28) Sie ist damit z.B. f¨ ur eine dicke Bikonvexlinse geringer als f¨ ur eine d¨ unne Bikonvexlinse, f¨ ur eine dicke Plankonvexlinse aber unver¨andert gegen¨ uber der d¨ unnen Linse. GRIN-Linsen Eine besondere Art optischer Komponenten sind die sogenannten Gradientenindexlinsen (GRIN-Linsen). Sie werden vor allem in der Faseroptik bei der Integration mit optoelektronischen Elementen eingesetzt. Es handelt sich dabei um zylindrische Elemente mit einem parabolischen Verlauf des Brechungsindex   A 2 n(r) = n1 1 − r (2.29) 2 Abbildung 2.6: Strahlverlauf in einer GRIN-Linse (aus [1]) Durch die kontinuierliche Brechungsindexvariation verlaufen Lichtstrahlen im inneren des Elements auf einer gekr¨ ummten Bahn, beschrieben durch die ABCD-Matrix   √ √ n0 √ sin AL cos AL n1 A   (2.30)  n √A  √ √ 1 − sin AL cos AL n0 dabei beschreibt L die L¨ange des Elements und n0 den Brechungsindex der Umgebung. 2-7 Abbildung 2.7: Beispiele f¨ ur GRIN-Linsen (aus [1]) Die L¨ange des Elements wird h¨aufig als pitch“, d.h. als Bruchteil der Periodenl¨ange des ” Sinus bzw. Cosinus in den Matrixelemente angegeben. Abb. 2.7 zeigt einige Anwendungen f¨ ur solche Linsen: a) die Kollimation (Umwandlung in ein paralleles Lichtb¨ undel) des Lichtes einer Leuchtdiode, b) und d) die Einkopplung eines kollimierten Lichtb¨ undels in eine d¨ unne Glasfaser (mit und ohne Luftspalt), c) die Abbildung einer Leucht- oder Laserdiode in eine Glasfaser. Besonders die letzte Anwendung zeigt, dass sich diese Elemente in direkter Verbindung von Quelle, Linse und Ziel anordnen – z.B. aufeinander kleben – lassen, ohne dass Ausbreitungsstrecken in Luft – die evtl. zus¨atzliche Abstandshalter notwendig machen w¨ urden – dazwischen sind. 2-8 2.1.4 Abbildung Ein optisches System ist dann ein abbildendes System, wenn die Lichtverteilung in einer bestimmten Ausgangsebene, der sogenannten Objektebene, in einer anderen Ebene, der Bildebene reproduziert wird, wobei sich eventuell der Maßstab der Abbildung ¨andern kann. Pr¨aziser formuliert heisst das: alle Strahlen, die aus einem Punkt in der Objektebene hervorgehen, m¨ ussen sich unabh¨angig vom Winkel, unter dem sie abgestrahlt werden, wieder in einem Punkt der Bildebene wieder schneiden. Das Paar aus Bildebene und Objektebene (oder umgekehrt) wird auch als konjugierte Ebenen bezeichnet. Abbildung 2.8: Bildentstehung: alle Strahlen, die von einem Objektpunkt P1 ausgehen, werden von der Linse so abgelenkt, dass sie sich im Bildpunkt P2 schneiden.(aus [1]) Beschreibt man die Transformation von der Objektebene zur Bildebene durch den Matrixformalismus (Gl. 2.14) so bedeutet dies: der Ort in der Bildebene x2 = Ax1 + B · n · α1 (2.31) soll unabh¨angig von α1 sein, also muss B = 0 sein. Das Matrixelement A stellt dann die Vergr¨oßerung m dar. Aus der Determinantenbedingung AD − BC = 1 folgt f¨ ur B = 0 A= 1 D (2.32) dies ist die Winkelvergr¨oßerung f¨ ur Strahlen von der optischen Achse (y=0): n2 α 2 = 1 n1 α1 m Eine Abbildungsmatrix hat damit die Form      x2 m 0 x1 = n2 α 2 C 1/m n1 α 1 (2.33) (2.34) Brennebene Wenn hingegen, bei B 6= 0, das Matrixelement A = 0 wird, gilt x2 = Bα1 (2.35) d.h. der Abstand von der optischen Achse h¨angt nur vom Winkel ab – durch jeden Punkt in dieser Ebene verlaufen Strahlen von allen Objektpunkten. Damit ist die Endebene des durch die Matrix beschriebenen Strahlenganges eine Brennebene (vgl. Abschnitt 1.3.2). 2-9 Abbildung durch du ¨ nne Linse Die Abbildung durch eine d¨ unne Linse (siehe Abb. 2.8) wird u ¨blicherweise folgendermaßen beschrieben: im Abstand s1 von der Objektebene, der sogenannten Gegenstandsweite, ist eine d¨ unne Linse mit Brennweite f angeordnet. Die Bildebene befinde sich im – noch zu bestimmenden – Abstand s2 von der Linse, der sogenannten Bildweite. Objekt- und Bildebene werden hierbei auch als konjuguierte Ebenen bezeichnet. Die Systemmatrix f¨ ur den Weg von der Objektebene zur Bildebene ist       1 0 1 −s1 1 − s2 /f s1 s2 /f − s1 − s2 1 −s2 = (2.36) 1/f 1 0 1 1/f 1 − s1 /f 0 1 {z }| {z }| {z } | Propagation Linse Propagation Damit es sich tats¨achlich um eine Abbildung handelt, muss B = 0 sein, daraus folgt (f − s1 )(f − s2 ) = f 2 (2.37) dies ist das bekannte Newtonsche Linsengesetz, h¨aufig auch, f¨ ur s1 6= 0, s2 6= 0, geschrieben als 1 1 1 + = . (2.38) s1 s2 f Die Bildweite betr¨agt also f s1 s2 = . (2.39) s1 − f Eine positive Bildweite bedeutet, nach Konstruktion, dass die konjugierten Ebenen auf verschiedenen Seiten der Linse liegen und die Strahlen von einem Objektpunkt sich tats¨achlich in einem realen Punkt auf der anderen Seite der Linse schneiden. Das divergente Strahlenb¨ undel vom Objektpunkt wird also in ein zum Bildpunkt hin konvergentes B¨ undel transformiert. In diesem Fall spricht man von einem reellen Bild (vgl. Abschnitt 1.3.3). Die Bedingung daf¨ ur ist offensichtlich die, dass bei positiver Brennweite f die Gegenstandsweite s1 gr¨oßer ist als die Brennweite. Bei negativer Brennweite ist kein reelles Bild m¨oglich, da s1 nach Definition immer positiv ist. Dem gegen¨ uber bedeutet eine negative Bildweite, dass die Propagation zur Bildebene nach Passieren der Linse wieder zur¨ uck in Richtung auf die Objektebene erfolgen m¨ usste. Die Strahlen, die von einem Objektpunkt ausgehen, sind also auch nach Passieren der Linse divergent, sie scheinen aber jetzt von einem anderen Punkt auszugehen, der ebenfalls auf der Objektseite der Linse liegt. In diesem Fall spricht man von einem virtuellen Bild (vgl. Abschnitt 1.3.4). Die Vergr¨oßerung ist das Matrixelement A, also m= s2 f − s2 =− f s1 (2.40) das Verh¨altnis zwischen Bildweite und Gegenstandsweite. Bei einem reellen Bild ist die Vergr¨oßerung negativ, d.h. das Bild steht auf dem Kopf. Abbildungseigenschaften bei unterschiedlichen Brechungsindices Sind die Brechungsindices auf den beiden Seiten der Linse verschieden, so muss Gleichung 2.38 modifiziert werden, dabei gilt f¨ ur die Brechkraft die Gleichung 2.23: n1 n2 n1 n2 + =C= = 0 (2.41) s1 s2 f f 2-10 Abbildung durch ein beliebiges System Die Abbildung durch eine beliebiges System, z.B. eine d¨ unne Linse (siehe Abb. 2.8) wird u ¨blicherweise folgendermaßen beschrieben: im Abstand s1 von der Objektebene, der soge-
nannten Gegenstandsweite, ist das optische System, beschrieben durch die Matrix ac db angeordnet. Die Bildebene befinde sich im – noch zu bestimmenden – Abstand s2 von der Linse, der sogenannten Bildweite. Die Systemmatrix f¨ ur den Weg von der Objektebene zur Bildebene ist         a b 1 −s1 a − cs2 b − as1 − ds2 + cs1 s2 A B 1 −s2 = = c d 0 1 c d − cs1 C D 0 1 {z } | {z } | {z } | Propagation opt. System Propagation (2.42) Abbildungsbedingung Aus der Forderung B = 0 f¨ ur eine Abbildungsmatrix folgt c= a b d + − , s1 s2 s1 s2 (2.43) dies l¨asst sich, unter Verwendung der Determinantenbedingung ad − bc = 1, schreiben als (a − cs2 )(d − cs1 ) = 1 (2.44) Brennebenen Aus der Systemmatrix lassen sich die Lagen der Brennebenen (nicht die
a b Brennweiten!) des durch c d beschriebenen Systems ermitteln: Wenn s2 die Entfernung zur bildseitigen Brennebene des Systems ist, muss A = 0 sein: a s2 = f 2 = ; c (2.45) wenn s1 die Entfernung zur objektseitigen Brennebene des Systems ist, muss D = 0 sein: d s1 = f 1 = . c 2-11 (2.46) Hauptebenen Auch f¨ ur ein beliebiges System w¨are es hilfreich, wenn man es durch eine einzige Brennweite sowie durch entsprechende Bild- und Gegenstandsweiten beschreiben k¨onnte. Da ein optisches System sehr lang sein kann, werden sich die Bild- und Gegenstandsweiten im Allgemeinen auf verschiedene Referenzebenen auf der Objekt- und Bildseite beziehen, die sogenannten Hauptebenen: die Gegenstandsweite ist dann der Abstand s1 von der Objektebene zur objektseitigen Hauptebene, die Bildweite der Abstand s2 von der bildseitigen Hauptebene zur Bildebene. Abbildung 2.9: Definition der Hauptebenen eines optischen Systems (aus [1]) Das optische System wird dazu durch folgende Vorstellung ersetzt (siehe Abb. 2.10): – Auf der Objektseite beginnt das System an der objektseitigen Hauptebene H1 – Unmittelbar an dieser Position befindet sich eine d¨ unne Linse mit Brennweitef – Unmittelbar nach der Brechung durch die Linse befinden sich alle Strahlen in der bildseitigen Hauptebene H2 Zwischen den Hauptebenen scheint also keine Propagationsstrecke zu liegen, sondern nur eine d¨ unne Linse. Abbildung 2.10: Bildkonstruktion mittels Hauptebenen (aus [1]) Ein optisches System zwischen den Scheitelebenen durch die Punkte S1 und S2 sei durch seine ABCD-Matrix beschrieben. Seine Wirkung soll jetzt – wenn m¨oglich – in folgende Schritte zerlegt werden (vgl. Abb. 2.9): - Propagation von der objektseitigen Scheitelebene S1 zur objektseitigen Hauptebene H1 . Der Abstand h1 soll positiv sein, wenn die Hauptebene außerhalb des optischen Systems (links von S1 ) liegt. - Transformation durch eine d¨ unne Linse mit Brennweite f . - Propagation von der bildseitigen Hauptebene H2 zur bildseitigen Scheitelebene S2 . Der Abstand h2 soll positiv sein, wenn die Hauptebene außerhalb des optischen Systems (rechts von S2 ) liegt. 2-12 Diese Abbildung wird dann beschrieben durch die Matrix       1 h2 1 0 1 h1 A B ! = 0 1 1/f 1 0 1 C D | {z } | {z } | {z } | {z } Propagation D¨ unne Linse Propagation (2.47) Opt. System woraus sich zun¨achst einmal vier Bedingungen f¨ ur die drei gesuchten Gr¨oßen f , h1 und h2 ergeben: A = 1+ h2 , f B = h1 + h2 + C = (2.48) h1 h2 , f 1 , f D = 1+ (2.49) (2.50) h1 ; f (2.51) Mit der Determinantenbedingung AD −BC = 1 l¨asst sich die Gleichung f¨ ur B eliminieren und es bleiben drei Bestimmungsgleichungen f¨ ur die gesuchten drei Gr¨oßen. Als L¨osung ergibt sich 1 , C D−1 , = C A−1 = . C f = h1 h2 (2.52) (2.53) (2.54) Insgesamt l¨asst sich also folgendes feststellen: • Ein beliebiges durch eine ABCD-Matrix beschriebenes System l¨asst sich durch zwei Hauptebenen und eine Brennweite beschreiben. • Die Brennweite des Systems, d.h. der Abstand der Brennpunkte von den jeweiligen Hauptebenen, ist 1/C , die Brennebenen (vgl. Gln. 2.45) liegen damit bei D = h1 + f C A f2 = = h2 + f C f1 = (2.55) (2.56) • Die beiden Hauptebenen sind konjugierte Ebenen, d.h. die eine Hauptebene ist das Bild der anderen. • Genau dann, wenn das Matrixelement B = 0 ist, beschreibt die ABCD-Matrix ein abbildendes System, d.h. dann sind Eingangs- und Ausgangsebenen konjugierte Ebenen. In diesem Falle ist das Matrixelement A die Vergr¨oßerung und das Matrixelement D = 1/A die Winkelvergr¨oßerung. 2-13 2.1.5 Augenbezogene optische Systeme Sehwinkel Der Sehwinkel ist der Winkel, unter dem ein Gegenstand dem Auge erscheint, d.h. der Winkel zwischen Strahlen, die vom Auge zu gegen¨ uberliegenden R¨andern des Gegenstandes f¨ uhren. Gegenstandsgr¨oße (2.57) Θ = Sehwinkel = Abstand vom Auge Abbildung 2.11: Sehwinkel (a) ohne (b) mit Instrument (aus [1]) Die Gr¨oße des Bildes eines Gegenstandes auf der Netzhaut ist (n¨aherungsweise) dem Sehwinkel proportional. • Große Gegenst¨ande, die extrem weit entfernt sind sind nur durch den Sehwinkel definiert (z.B. Sterne), Entfernung und Gr¨oße sind einzeln nicht bekannt. Der Sehwinkel ist sehr klein und l¨asst sich nicht beeinflussen. • Große Gegenst¨ande, die nicht weit entfernt sind, erscheinen unter einem großen Sehwinkel. Ihr Bild kann die Netzhaut ganz ausf¨ ullen oder u ¨berragen. • Der Sehwinkel sehr kleiner Gegenst¨ande ist ebenfalls sehr klein. Er l¨asst sich vergr¨oßern, indem man sie so nahe an das Auge heranholt, wie das Auge sie noch scharf abbilden kann. Dieser minimale Abstand ist f¨ ur jedes Auge verschieden; f¨ ur die Definition von Vergr¨oßerungen wird eine Bezugssehweite sB =25 cm angenommen. Θmax = maximaler Sehwinkel = Gegenstandsgr¨oße G ≡ Bezugssehweite sB (2.58) Die Aufgabe augenbezogener optischer Instrumente ist es, f¨ ur die Beobachtung von sehr kleinen oder sehr weit entfernten Gegenst¨anden den Sehwinkel zu vergr¨oßern. Das Verh¨altnis zwischen dem Sehwinkel mit dem optischen Instrument und dem (maximalen) Sehwinkel ohne das Instrument wird in diesem Zusammenhang als Vergr¨oßerung bezeichnet. Γ= ΘInstr Θmax 2-14 (2.59) Lupe Eine Lupe wird zur Betrachtung kleiner Gegenst¨ande verwendet. Es handelt sich meist um eine d¨ unne Sammellinse, der zu betrachtende Gegenstand befindet sich in der N¨ahe der Brennebene der Linse. Betrachtet wird das vergr¨oßerte virtuelle Bild des Gegenstandes (siehe Abb. 2.12). Da die Vergr¨oßerung von der gew¨ahlten Gegenstandsweite abh¨angt, wird zur Angabe der sogenannten Normalvergr¨oßerung als Eigenschaft einer bestimmten Lupe angenommen, das sich das Objekt genau in der Brennebene befindet:      1 −f 1 −f 1 0 = (2.60) 0 1 1/f 0 1/f 1 {z }| {z } | Linse Propagation Wirkung auf Strahl von Objektpunkt (x1 , α1 ):        x2 1 −f x1 x1 − f · α1 = = α2 1/f 0 α1 x1 /f (2.61) Durch die Lupe betrachtet, erscheinen in dieser Situation alle Strahlen von dem betrachteten Objektpunkt unter dem Winkel ΘLupe = α2 = x1 /f . Ohne Lupe w¨are der maximale Sehwinkel Θmax = x1 /sB . Die Vergr¨oßerung betr¨agt also sB ΓLupe = f (2.62) Da sich das Objekt in der Brennebene befindet, findet keine Abbildung statt, die konjugierte Ebene liegt im Unendlichen. Abbildung 2.12: (a) Beobachtung des vergr¨oßerten virtuellen Bildes einer Lupe (b) zur Normalvergr¨oßerung: das Objekt befindet sich in der Brennebene der Lupe, das virtuelle Bild im Unendlichen (aus [1]) 2-15 Im allgemeinen Fall (vgl. Abb. 2.12a) befindet sich das Objekt mit Gr¨oße x1 in einer Entfernung s1 ≤ f wenn ein virtuelles Bild entstehen soll. Die Lupe wird in einer Entfernung a vom Auge gehalten. Die Entfernung des virtuellen Bildes von der Linse (hier positiv auf der Objektseite im Gegensatz zu Gl. 2.39) betr¨agt dann s2 = f s1 . f − s1 (2.63) Die Entfernung des virtuellen Bildes vom Auge ist s2 + a = f s1 + af − as1 , f − s1 (2.64) hier ist aber zu beachten, dass diese Entfernung nicht kleiner als sB werden darf, um eine Beobachtung zu erm¨oglichen! Die Gr¨oße x2 des virtuellen Bildes betr¨agt (hier ebenfalls positiv bezeichnet) s2 f x1 = . s1 f − s1 (2.65) x2 f = x1 s2 + a f s1 + af − as1 (2.66) x2 = x1 · Es ergibt sich damit ein Sehwinkel von ΘLupe = und eine Vergr¨oßerung des Sehwinkels gegen¨ uber der Betrachtung ohne Lupe von Γ(f, s1 , a) = sB f . f s1 + af − as1 (2.67) Es ergibt sich hier das auf den ersten Blick erstaunliche Resultat, dass wenn die die Linse im Brennweitenabstand vom gehalten wird (f = a), die Vergr¨oßerung unabh¨angig von s1 wird: sB f = , (2.68) Γ(f, s1 , a)|a=f = sB 2 f s1 + f − f s1 f dabei ist allerdings zu betrachten, dass das Auge auf die jeweilige Entfernung des virtuellen Bildes akkomodieren muss, also hier f2 s2 + f = , f − s1 (2.69) wobei, wie schon erw¨ahnt, dieser Abstand die Bezugssehweite nicht unterschreiten darf. 2-16 Teleskop Ein Teleskop dient zur Vergr¨oßerung des Sehwinkels weit entfernter Objekte. Auch hier findet keine Abbildung statt; es wird angenommen, das sich die Objektebene im unendlichen befindet. Das Teleskop ist eine Anordnung zweier d¨ unner Linsen im Abstand der Summe ihrer Brennweiten: eine Linse mit großer Brennweite F , das Objektiv ist dem Objekt zugewandt, eine Linse mit kleiner Brennweite f , das Okular ist dem Auge zugewandt: Abbildung 2.13: Strahlengang und Sehwinkel in einem auf unendlich eingestellten (a) Kepler-Telekop und (b) Galilei-Teleskop (aus [1])      1 0 −f /F −f − F 1 0 1 −F − f = 1/F 1 0 −F/f 1/f 1 0 1 {z }| {z }| {z } |  Okular P ropagation (2.70) Objektiv Damit ergibt sich F Θ0 = − Θ f 0 F Θ Γ= = − Θ f (2.71) Das Okular kann sowohl eine Linse mit positiver Brennweite sein (Astronomisches oder Kepler-Teleskop) also auch eine Linse mit negativer Brennweite (Galilei-Teleskop). Die Funktion des astronomischen Fernrohrs kann man auch als eine Abbildung des Objekts aus dem Unendlichen in die Brennebene des Objektivs; dort entsteht ein reelles (umgekehrtes) Zwischenbild; das Okular dient als Lupe zur Betrachtung des Zwischenbildes. Das reelle Zwischenbild hat den Vorteil, dass in der Brennebene beispielsweise ein Maßstab zur Gr¨oßenbestimmung angebracht werden kann. Das Galilei-Teleskop hat kein reelles Zwischenbild; sein Vorteil ist die k¨ urzere Baul¨ange, außerdem ist das Bild nicht invertiert. 2-17 Mikroskop Das Mikroskop dient zur Betrachtung extrem kleiner Objekte. Ein Objektiv mit sehr kleiner Brennweite fOb erzeugt ein reelles Zwischenbild in einem festen Abstand, der Tubusl¨ange t (normalerweise 160 mm) von der bildseitigen Brennebene des Objektivs. Es gilt also, f¨ ur die Gegenstandsweite g und die Bildweite b: b = fOb + t fOb (fOb + t) g = t t t b = = ΓOb = g fOb fOb (2.72) mit der reellen Vergr¨oßerung ΓOb . Wegen der festen Tubusl¨ange ist bei Mikroskopobjektiven meist nur die Vergr¨oßerung angegeben und nicht die Brennweite. Das Okular mit der Brennweite fOk dient dann wieder als Lupe zur Betrachtung des Zwischenbildes, mit der augenbezogenen Vergr¨oßerung ΓOk = sB . fOk (2.73) Auch bei Okularen ist meist nur die Vergr¨oßerung angegeben und nicht die Brennweite. Die Gesamtvergr¨oßerung betr¨agt damit Γ = ΓOb · ΓOk = t fOb · sB fOk Abbildung 2.14: Strahlengang und virtuelles Bild im Mikroskop (aus [5]) 2-18 (2.74) 2.2 Blenden 2.2.1 Aperturblenden und Feldblenden Der nutzbare Durchmesser eines optischen Systems ist im Allgemeinen begrenzt durch die endlichen Durchmesser der einzelnen optischen Komponenten. Es k¨onnen aber auch zus¨atzlich in ein System Durchmesserbegrenzungen eingebaut werden, um z.B. Verschlechterungen der Bildqualit¨at durch Abweichungen von der paraxialen N¨aherung zu minimieren. Alle hier diskutierten Blenden werden, wie die sonstigen optischen Komponenten, als rotationssymmetrisch um die optische Achse angenommen. ¨ Abbildung 2.15: B¨ undelbegrenzende Offnungen bei einer Abbildung (aus [1]) Die Wirkung solcher Blenden betrifft zwei Aspekte der Abbildung: ¨ • Als Aperturblende wird diejenige Offnung in einem abbildenden System bezeichnet, ¨ die den Offnungswinkel der Strahlen begrenzt, die von einem Objektpunkt auf der optischen Achse ausgehen. Die Aperturblende begrenzt damit die Lichtmenge, die durch das abbildende System tritt und bestimmt damit die Bildhelligkeit. • Als Feldblende wird eine Blende bezeichnet, die Lichtb¨ undel, die von achsfernen Punkten der Objektebene ausgehen ganz oder teilweise blockiert. Eine Feldblende begrenzt damit die Bildgr¨oße. Es ist zu beachten, dass diese Begriffe zun¨achst verschiedene Auswirkungen von Blenden beschreiben, nicht notwendigerweise verschiedene Objekte im Strahlengang. Eine bestimmte Durchmesserbegrenzung kann sowohl als Aperturblende als auch als Feldblende wirken. Ein optisches System sollte aber so gestaltet sein, dass insbesondere bei einstellbaren Blenden die Apertur- und Feldblende unabh¨angig voneinander einstellbar sind. Abbildung 2.15 zeigt diese Wirkungen: die schwarz gezeichnete Aperturblende ist eine ¨ reale Lochblende, die zun¨achst einmal den Offnungswinkel σ1 des Strahlenb¨ undels von der Objektmitte O1 begrenzt. Die Abbildung zeigt aber auch, dass die Lichtb¨ undel von achsenfernen Objektpunkten einen immer kleineren Teil der Linse ausleuchten, je weiter sich der Objektpunkt von der optischen Achse entfernt. 2-19 Aperturblenden ¨ Eine Aperturblende begrenzt, nach Definition, den Offnungswinkel von Strahlen, die von einem Objektpunkt auf der optischen Achse ausgehen. Im Matrixformalismus bedeutet dies: f¨ ur Eingangsstrahlen (0, α1 ) ist der Winkelbereich begrenzt: | α1 | ≤ αmax (2.75) Eine ideale Aperturblende hat nur diese Wirkung: Wenn man die Gr¨oße der Aperturblende ¨andert, wird die Bildhelligkeit modifiziert, der Bildausschnitt aber bleibt erhalten. Im Matrixformalismus bedeutet dies: f¨ ur Eingangsstrahlen (x1 , α1 ) ist der Winkelbereich begrenzt, aber beliebig große Abst¨ande zugelassen: | x1 | ≤ ∞ | α1 | ≤ αmax (2.76) (2.77) Eine Aperturblende mit Radius r schr¨ankt die m¨oglichen Werte des Abstandes von der optischen Achse ein: r ≥ x2 = A1→2 x1 + B1→2 α1 (2.78) dabei sind A1→2 und B1→2 Matrixelemente des Teilsystems von der Objektebene z1 zur Position der Blende z2 . Wenn dies f¨ ur beliebig große x1 gelten soll, dann muss A1→2 = 0 sein: Eine ideale Aperturblende muss in einer Brennebene angeordnet sein! (siehe Seite 2-9). Feldblenden Eine Feldblende begrenzt Strahlen von achsfernen Punkten des Objekts. Im Matrixformalismus bedeutet dies: f¨ ur Eingangsstrahlen (x1 , α1 ) ist der Abstand von der optischen Achse begrenzt: | x1 | ≤ xmax (2.79) Eine ideale Feldblende hat nur diese Wirkung: Wenn man die Gr¨oße der Feldblende ¨andert, wird die Bildgr¨oße modifiziert, die Bildhelligkeit innerhalb des eingestellten Bildbereichs aber bleibt erhalten. Im Matrixformalismus bedeutet dies: f¨ ur Eingangsstrahlen (x1 , α1 ) ist der Abstandsbereich begrenzt, aber beliebig große Winkel zugelassen: | x1 | ≤ xmax | α1 | ≤ ∞ (2.80) (2.81) Eine Feldblende mit Radius r schr¨ankt die m¨oglichen Werte des Abstandes von der optischen Achse ein: r ≥ x2 = A1→2 x1 + B1→2 α1 (2.82) dabei sind wieder A1→2 und B1→2 Matrixelemente des Teilsystems von der Objektebene z1 zur Position der Blende z2 . Wenn dies f¨ ur beliebig große α1 gelten soll, dann muss B1→2 = 0 sein: Eine ideale Feldblende muss in einer (Zwischen-)Bildebene angeordnet sein! 2-20 2.2.2 Aperturblende und Pupillen Die tats¨achliche Aperturblende kann sich irgendwo im Inneren des optischen Systems befinden. Zur quantitativen Beschreibung ihrer Wirkung muß aber angegeben werden, wie ¨ groß die m¨oglichen Offnungswinkel an der Ein- und Ausgangseite des Systems tats¨achlich sind. Zu diesem Zweck dienen die folgenden Definitionen ¨ - Die Eintrittspupille (EP) begrenzt den Offnungswinkel von Strahlen, die vom Achsenpunkt der Objektebene in das optische System eintreten. Sie ist entweder die reale Aperturblende (wenn diese vor der ersten Linse angeordnet ist) oder das Bild der realen Aperturblende durch den Teil des optischen Systems, der sich zwischen der Objektebene und der Aperturblende befindet. ¨ - Die Austrittspupille (AP) begrenzt den Offnungswinkel von Strahlen, die zum Bild¨ punkt konvergieren (bei reellem Bild) bzw. den Offnungswinkel der Austrittsstrahlen (bei virtuellem Bild). Sie ist entweder die reale Aperturblende (wenn diese hinter der letzten Linse angeordnet ist) oder das Bild der realen Aperturblende durch den Teil des optischen Systems, der sich zwischen der Aperturblende und der Bildebene befindet. Eintrittspupille und Austrittspupille zueinander konjugiert. Abbildung 2.16: Aperturblende, Ein- (EP) und Austrittspupille (AP) im Strahlengang eines mehrlinsigen Systems. (aus [1]) Abb. 2.16 zeigt eine solche Situation: die Aperturblende befindet sich mitten im System; sowohl die Eintrittspupille als auch die Austrittspupille sind virtuelle Bilder der Aperturblende an Positionen außerhalb des eigentlichen optischen Systems. Bei komplizierten optischen Systemen muss zur Bestimmung der Ein- bzw. Austrittspupille jede im System befindliche Blende (echte Blenden und nutzbare Durchmesser optischer Elemente) zur Objekt- und Bildseite des Systems abgebildet werden. Diejenige ¨ der so bestimmten Blenden, die den Offnungswinkel von Strahlen, die von der Objektmitte ausgehen (zur Bildmitte konvergieren), am meisten einschr¨ankt, ist dann die Eintritts(Austritts)pupille. Es bleibt die Frage, an welcher Position im Strahlengang eine Blende nur als Aperturblende wirkt, also nicht die Bildgr¨oße beeinflusst. Diese Forderung bedeutet, dass der Abstand eines Strahls von der optischen Achse an dieser Stelle nicht vom Abstand von der optischen Achse in der Objektebene abh¨angen darf. In der Sprache des Matrixformalismus also ganz einfach: das Matrixelement A der Matrix, die die Propagation von der Objektebene bis in eine f¨ ur eine Aperturblende geeignete Ebene beschreibt, muss Null sein. Wie sich leicht zeigen l¨asst, ist dies in einer Brennebene erf¨ ullt. 2-21 Quantitativ werden Aperturblenden wie folgt bezeichnet: • Die Blendenzahl, h¨aufig auch als Blende“ oder Lichtst¨arke“ bezeichnet, ist defi” ” niert als das Verh¨altnis aus der Brennweite und dem Durchmesser der Eintrittspupille f (2.83) k = f/# = dEP Eine große Blendenzahl bezeichnet einen kleinen Durchmesser der Eintrittspupille! ¨ • Das Offnungsverh altnis bezeichnet den Kehrwert der Blendenzahl ¨ 1 1 dEP = = k f/# f (2.84) Es wird h¨aufig als Verh¨altnis notiert, z.B. 1:2,8“ f¨ ur eine Blendenzahl von 2,8. ” Diese beiden Maße werden vor allem f¨ ur Systeme benutzt, bei denen die Objektentfernung groß ist, z.B. Kameras oder Teleskope. In solchen Situationen ist es nicht n¨otig, die genaue Position der Eintrittpupille relativ zur Eintrittsebene des optischen Systems zu kennen, und es reicht, ihren Durchmesser anzugeben. Bei Systemen zur Abbildung sehr kleiner Objekte in sehr kleiner Objektentfernung, insbesondere bei Mikroskopobjektiven, aber auch bei Optiken zum Umgang mit Glasfasern oder integrierten elektrooptischen Elementen, reicht es nicht aus, den Durchmesser der Eintrittspupille anzugeben, um daraus auf die Einschr¨ankung des Winkelbereichs zu schließen. Diese wird daher direkt angegeben: ¨ • Die Numerische Apertur bezeichnet den halben Offnungswinkel des Lichtb¨ undels, vom Objektpunkt aus gesehen N A = n0 · sin σ (2.85) ¨ Der Offnungswinkel ist dabei f¨ ur diejenige Objektentfernung angegeben, bei der das optische System benutzt wird. (meist ist dies ungef¨ahr die Brennweite; f¨ ur Mikroskope siehe Seite 2-18) 2-22 2.2.3 Feldblende und Vignettierung ¨ Die bisher besprochenen Blenden beschreiben die Begrenzung des Offnungswinkels der Lichtb¨ undel von oder zu Punkten auf der optischen Achse und damit die Beeinflussung der Bildhelligkeit. Im Folgenden werden Begrenzungen der Strahlenb¨ undel von bzw. zu achsenfernen Positionen diskutiert. Eine Begrenzung des abgebildeten Bereichs des Objektes durch eine Blende in der Objektoder Bildebene oder einer anderen Ebene wird als Feldblende bezeichnet. Auch hier werden wieder die Abbildungen in die Objekt- und Bildebene betrachtet: - Die Begrenzung des abgebildeten Bereiches in der Bildebene wird als Austrittsluke bezeichnet. Diese kann eine reale Begrenzung in der Bildebene oder das Bild einer Begrenzung in der Objektebene oder einer anderen Ebene sein. - Die Begrenzung des abgebildeten Bereiches in der Objektebene wird als Eintrittsluke bezeichent. Diese kann eine reale Begrenzung in der Objektebene oder das Bild einer Begrenzung in der Bildebene oder einer anderen Ebene sein. Bei einer Kamera ist die Feldblende durch das Filmfenster oder den Rand des CCD-Chips gegeben (vgl. den Formatrahmen“ in Abb. 2.15), da diese in der Bildebene liegt ist sie ” zugleich die Austrittsluke. W¨ urde z.B. ein Mensch formatf¨ ullend“ fotografiert, so k¨onnte ” man sich dann die Eintrittsluke als einen 2m × 3m großen rechteckigen Ausschnitt in einer ansonsten schwarzen Ebene um den Menschen herum vorstellen. Ein Problem tritt dann auf, wenn eine Feldblende nicht scharf in die Bild- ober Objektebene abgebildet wird, was bedeutet dass nur ein Teil der Lichtb¨ undel von randnahen Objektpunkten in der Bildebene ankommt, das Bild also zum Rand hin dunkler wird. Dieser Effekt heißt Vignettierung. Abbildung 2.17: Beispielfoto Vignettierung Vignettierung tritt dann also nur dann nicht auf, wenn der Abstand eines Strahls von der optischen Achse am Ort einer Feldblende nicht vom Winkel der vom Objekt ausgehenden Strahlen abh¨angt. Dies ist gerade die Abbildungsbedingung B = 0 (siehe Abschnitt 2.1.4). Vignettierung tritt dann auf, wenn die Feldblende nicht genau in der Objekt- oder Bildebene oder einer Zwischenbildebene liegt. 2-23 Eine Situation, in der es zu Vignettierung kommt, ist in Abb. 2.18 gezeigt. Dabei werden so genannte Hauptstrahlen betrachtet, dies sind Strahlen die von einem achsfernen Objektpunkt durch den Mittelpunkt der Eintrittspupille treten. Die Eintrittsluke begrenzt ¨ den vom Mittelpunkt der Eintrittspupille aus gesehenen Offnungswinkel dieser Haupt¨ strahlen. Der grau gezeichnete Bereich des Bildes außerhalb des Offnungskegels nahe der Punkte P2 und Q2 wird nicht von Hauptstrahlen erreicht, hier ist das Bild abgedunkelt. ¨ Abbildung 2.18: Die Feldblende begrenzt den Offnungswinkel 2ϕ1 der Hauptstrahlen HS von den Punkten Q1 und P1 (aus [1]) Feldlinsen In den meisten F¨allen wird eine Vignettierung durch eine (unerw¨ unschte) Feldblende innerhalb des optischen Systems verursacht. Die Vignettierung l¨asst sich dann h¨aufig durch eine so genannte Feldlinse vermeiden. Dies soll hier am Beispiel eines Teleskops demonstriert werden: Bei einem gew¨ohnlichen Teleskop (Matrix beschreibt den Weg von der Objektseite des Objektivs bis zur Bildseite des Okulars)   f f  −F f + F  (2.86)  F  → x2 = − F x1 + (f + F )α1 0 − f ist die Position x2 der verschiedenen B¨ undel auf der Okularlinse sehr stark vom Eintrittswinkel abh¨angig. Strahlenb¨ undel, die von Randbereichen des Objektes ausgehen werden auch auf Randbereiche des Okulars abgebildet. Der Rand der Okularlinse (oder auch der Rand der Pupille des Auges eines Beobachters, der das Okular direkt ans Auge h¨alt) wirkt dann als Feldblende und es tritt Vignettierung auf. Bei einem Teleskop mit einer Feldlinse der Brennweite a in der Zwischenbildebene, d.h. der gemeinsamen Brennebene der beiden Teleskoplinsen     fF f   f +F −  −F  a   → x2 = − f x1 + f + F − f F α 1 (2.87)   F F a 0 − f ist die Positionsvariation in der Austrittsebene zun¨achst einmal verringert. 2-24 Abbildung 2.19: Teleskop mit und ohne Feldlinse (aus [5]) W¨ahlt man f¨ ur die Brennweite der Feldlinse a= fF f +F (2.88) so ist die Systemmatrix f −  F  0   0  f F  → x2 = − F x1 − f (2.89) und die Position auf der Okularlinse ist unabh¨angig von α1 , das bedeutet, dass die B¨ undel von allen Objektpunkten die Okularlinse zentriert passieren. Unabh¨angig von der Existenz der Feldlinse ist F α2 = − α1 ; f (2.90) die Vergr¨oßerung ist also nicht beeintr¨achtigt. ¨ Die Austrittspupille ist das Bild der Eintrittspupille, letztere ist hier die Offnung des Objektivs. Die Lage der Austrittspupille l¨asst sich bestimmen, indem die Systemmatrix durch eine weitere Propagation um eine Strecke b so erg¨anzt wird, dass das Matrixelement B der ABCD-Matrix Null wird, welches ja die Bedingung f¨ ur eine Abbildung ist. Ohne Feldlinse lautet die Systemmatrix     f F   −f f +F − f +F −b 1 −b  F   F f  → b = (f + F ) · f = (2.91)     F F 0 1 F 0 − 0 − f f ¨ Die Austrittspupille, das Bild der Offnung der Eintrittslinse, befindet sich also ohne Feldlinse um mehr als die Okularbrennweite vom Okular entfernt. Selbst wenn das Okular 2-25 Abbildung 2.20: Ramsden-Okular. (aus [5]) keine Strahlen abschneiden w¨ urde, m¨ usste der Benutzer das Teleskop in diesem Abstand zu seinem Auge positionieren. Das Matrixelement B der Systemmatrix f¨ ur das Teleskop mit Feldlinse ist bereits 0, das System bildet also die Eintrittspupille in die Austrittsebene (die Bildseite der Okularlinse) ab. Das Okular kann direkt ans Auge gehalten werden. Als Baugruppe eines Teleskops (oder Mikroskops) besteht das Okular“ h¨aufig aus der ” Feldlinse (die etwas hinter der Zwischenbildebene steht, damit die Austrittspupille nicht unmittelbar auf der Oberfl¨ache der Okularlinse liegt), evtl. einem Fadenkreuz oder einer Messskala in der Zwischenbildebene und der eigentlichen Okularlinse. Kondensoren ¨ Ein Kondensor ist das Aquivalent zu einer Feldlinse bei Beleuchtungsoptiken f¨ ur Durchlichtprojektoren. Seine Aufgabe ist es die Lichtquelle auf die eigentliche Projektionslinse abzubilden, um einen m¨oglichst großen Teil des abgestrahlten Lichtes der Lichtquelle in den Projektionsstrahlengang einzubringen. Abbildung 2.21: (a) Die Gl¨ uhwendel wirkt als Eintrittspupille, wodurch der Aperturwinkel 2σ1 sehr klein ist. (b) Der Aperturwinkel wird vergr¨oßert durch die Abbildung der Gl¨ uhwendel auf die Linse mit dem zus¨atzlichen Kondensor (aus [1]) ¨ Der Bildhelligkeit ist bestimmt durch den Aperturwinkel, d.h. den Offnungswinkel eines Lichtb¨ undels vom Mittelpunkt des durchleuchteten Objektes, z.B. eines Dias oder dem LCD-Element in einem Datenprojektor. Dieser Winkel kann ohne Kondensor nur so groß sein, wie der Winkel, unter dem die Lichtquelle vom Mittelpunkt des Dias aus erscheint. Durch den Kondensor wird die Lichtquelle auf die Abbildungslinse abgebildet, wodurch sich ein viel gr¨oßerer Aperturwinkel ergibt. 2-26 Kapitel 3 Beugung 3.1 Grundlagen In Abschnitt 1.1.1 waren zwei Idealf¨alle der Wellenausbreitung vorgestellt worden: - Kugelwelle: die Welle geht von einem Punkt aus - ebene Welle: die Welle geht von einer unendlich ausgedehnten Ebene aus Die Fronten dieser Wellenformen bleiben bei der Ausbreitung Kugeln um den Ausgangspunkt bzw. unendlich ausgedehnte Ebenen parallel zur Ausgangsebene. Die Fragen, denen in diesem Abschnitt nachgegangen werden soll, sind: - wie breitet sich eine Welle aus, die keine Kugelwelle oder ebene Welle ist? - was geschieht, wenn sich eine Welle (auch Kugel- oder ebene Welle) nicht ungehindert ausbreiten kann? Die Antwort sei hier vorweggenommen: Intensit¨ atsverteilung und Wellenfronten einer Welle, die keine Kugelwelle oder ebene Welle ist, verformen sich bei der Ausbreitung. Dieses Ph¨ anomen heißt Beugung. Scharfe Schatten, wie man sie sich nach den Gesetzen der Strahlenoptik vorstellt, gibt es nicht. Das Ph¨anomen der Beugung ist nicht auf Licht bzw. elektromagnetische Wellen beschr¨ankt, sondern tritt bei allen Wellenarten auf. 3.1.1 Das Huygens-Fresnel-Prinzip Eine erste beschreibende Erkl¨arung dieses Ph¨anomens erfolgte durch Huygens um 1690: Jeder Punkt einer Wellenfront ist Ausgangspunkt einer neuen (Kugel-)Welle. Diese Wellen werden als Elementarwellen bezeichnet. Die Einhu ¨ llende aller Elementarwellen ist die neue Wellenfront. Diese Beschreibung wurde im 19. Jhdt. durch Fresnel pr¨azisiert: An jedem nachfolgenden Punkt ist die Amplitude durch die phasenrichtige ¨ Uberlagerung (Interferenz) aller dieser Elementarwellen gegeben. 3-1 3.1.2 Beugungsbilder I: geometrische Konstruktion Die nachfolgend beschriebenen Anordnungen stellen extrem reduzierte Situationen dar, die bei der Erforschung und Erkl¨arung des Ph¨anomens der Beugung eingef¨ uhrt wurden um die grundlegenden qualitativen und quantitativen Gesetzm¨aßigkeiten zu finden bzw. eine experimentelle Ann¨aherung an die theoretischen Konzepte (z.B. die Kugelwelle) zu erm¨oglichen. Viele Beugungserscheinungen sind dadurch gekennzeichnet, dass, verglichen mit dem Schatten“ der beugenden Struktur, zus¨atzliche Minima und Maxima, sogenannte Beu” gungsstreifen oder Beugungsringe auftreten. Die Erkl¨arung daf¨ ur ist, dass die Orte ausgepr¨agter Minima Orte destruktiver Interferenz der Elementarwellen sind, w¨ahrend an den zus¨atzlichen Maxima konstruktive Interferenz auftritt. In diesem Abschnitt soll anhand geometrischer Betrachtungen die Lage dieser Minima und Maxima bestimmt werden; Form und relative H¨ohen werden hier noch nicht betrachtet. Dabei werden die Beugungsbilder in großen Abst¨anden“ betrachtet, dies bedeutet, daß ” man davon ausgeht, daß sich die Winkel, unter denen verschiedene Elementarwellen an einem bestimmten Punkt in der Ebene des Interferenzbildes eintrefffen, nur sehr wenig unterscheiden. Man betrachtet dann nicht Orte in einer bestimmten Ebene, sondern Richtungen und damit die Gangunterschiede zwischen Parallelstrahlen. Doppelspalt Die einfachste Situation zur Untersuchung von Beugungseffekten sind zwei zweidimensionale Elementarwellen (Kreiswellen), deren Ausgangspunkte einen gewissen Abstand voneinander haben. Die Anordnung zur Untersuchung einer solchen Situation ist der Doppelspalt, d.i. eine Anordnung von zwei lichtdurchl¨assigen schmalen parallelen Schlitzen mit Abstand D in einer ansonsten lichtundurchl¨assigen Fl¨ache. Die Breite der Spalte wird nicht betrachtet; es wird angenommen, dass sie sehr klein ist (insbesondere im Verh¨altnis zu D). Die beiden Spalte werden mit gleicher Phase beleuchtet, beispielsweise durch eine sehr weit entfernte Punktlichtquelle, die in der Symmetrieebene der beiden Spalte angeordnet ist. Betrachtet man hier den Gangunterschied zwischen zwei Parallelstrahlen, die unter dem Winkel α zur optischen Achse (Symmetrieachse) von den beiden Spalten ausgehen, so betr¨agt dieser ∆ = D · sin α (3.1) Abbildung 3.1: Beugung am Doppelspalt, Phasenunterschiede zwischen Strahlen mit gleicher Ausbreitungsrichtung bei konmstruktiver Interferenz. 3-2 Ist der Gangunterschied ein halbzahliges Vielfaches der Wellenl¨ange ∆ = ±(m + 12 )λ, m = 0, 1, 2, 3 . . . , (3.2) so kommt es zu destruktiver Interferenz; ist der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenl¨ange ∆ = ±m · λ, m = 0, 1, 2, 3 . . . , (3.3) so kommt es zu konstruktiver Interferenz. Es gibt also Minima und Maxima f¨ ur folgende Winkel: λ Minima: sin α = ±(m + 21 ) , D λ Maxima: sin α = ±m · , D m = 0, 1, 2, 3 . . . , (3.4) m = 0, 1, 2, 3 . . . Die Maxima werden als Beugungsordnungen bezeichnet: das zentrale Maximum oder Hauptmaximum, d.h. die Interferenz von Strahlen parallel zur optischen Achse wird als 0. Ordnung bezeichnet, die weiteren Nebenmaxima dann als ±1. Ordnung, ±2. Ordnung usw. Die Winkel, unter denen die einzelnen Beugungsordnungen auftreten, sind offensichtlich proportional zum Verh¨altnis aus Wellenl¨ange und Spaltabstand. Dies gilt bei allen Beugungserscheinungen: die Aufweitung des Lichtb¨ undels durch die Beugung ist um so gr¨oßer, je gr¨oßer die Wellenl¨ange und je kleiner die beugende Struktur ist. Beugungsgitter Ein Beugungsgitter ist eine Anordnung von sehr vielen parallelen Spalten, die als Striche oder Linien bezeichnet werden. Der Abstand zwischen den Spalten wird als Gitterkonstante bezeichnet. Im Gegensatz zum Doppelspalt sind Beugungsgitter auch technisch sehr wichtige optische Komponenten, die nicht nur der Untersuchung von Beugungserscheinungen sondern insbesondere ihrer Nutzung, vor allem bei der r¨aumlichen Trennung von Licht unterschiedlicher Wellenl¨angen, dienen. Ein Beugungsgitter kann eine in Glas geritzte Struktur oder eine photographisch oder photolithographisch hergestellte Folge von lichtdurchl¨assigen und lichtundurchl¨assigen Bereichen sein. Mit photographischen Methoden erreicht man einige 100 Linien pro Millimeter. Mit photolithographischen Verfahren kann man Gitter mit einigen 1000 Linien pro Millimeter produzieren. F¨ ur die Winkel, unter denen die Minima und Maxima auftreten, gelten die gleichen Zusammenh¨ange wie beim Doppelspalt: λ Minima: sin α = ±(m + 21 ) , d λ Maxima: sin α = ±m · , d m = 0, 1, 2, 3 . . . , (3.5) m = 0, 1, 2, 3 . . . Das genaue Aussehen des Beugungsbildes des Gitters unterscheidet sich umso st¨arker von dem des Doppelspaltes, je gr¨oßer die Anzahl der Striche (Einzelspalte) ist. 3-3 Spalt Zur Beschreibung der Beugung an einem einzelnen Spalt mit Breite b (Abb. 3.2), kann man nicht mehr von diskreten Ausgangspunkten einzelner Elementarwellen ausgehen. Zur Ermittlung der Lage der 1. Minima betrachtet man die Interferenz zwischen Elementarwellen, die von der einen H¨alfte des Spaltes ausgehen (1, 2, 3, 4, 5) mit denen, die von der anderen H¨alfte ausgehen (1’, 2’, 3’, 4’, 5’). Betr¨agt der Gangunterschied ∆ zwischen zwei solchen Wellen eine halbe Wellenl¨ange, ∆= λ b sin α = ± , 2 2 (3.6) so kommt es zu destruktiver Interferenz. Die 1. Minima liegen also bei λ sin α = ± . b (3.7) Die Maxima und weiteren Minima lassen sich nicht mit entsprechend h¨oheren Gangunterschieden indentifizieren, sondern es muss die Interferenz zwischen kleineren Abschnitten der Spalt¨offnung betrachtet werden; d.h. die gleichzeitige destruktive Interferenz des 1. bzw. 3. Viertels mit dem 2. bzw. 4. Viertel f¨ ur die 2. Minima usw.. Die Maxima liegen dazwischen (anschauliche Vorstellung: das 1. Drittel interferiert destruktiv mit dem 2. Drittel und das 3. Drittel bleibt u ¨brig usw.). Es gibt damit Minima und Nebenmaxima f¨ ur folgende Winkel: Minima b · sin α = ±mλ m = 1, 2, 3 . . . 1 Maxima b · sin α ≈ ±(m + 2 )λ m = 1, 2, 3 . . . (3.8) In den folgenden Abbildungen sind sowohl berechnete (Abb. 3.3) wie auch beobachtete (Abb. 3.4 Intensit¨atsverteilungen f¨ ur diese Situation gezeigt. ¨ Abbildung 3.2: Beugung am Spalt, Uberlagerung von Elementarwellen nach dem Huygensschen Prinzip (aus [1]) 3-4 Abbildung 3.3: Relative Intensit¨atsverteilung f¨ ur die Beugung am Spalt (aus [1]) Abbildung 3.4: Beugungsbilder eines mit einem He-Ne-Laser beleuchteten Spalts f¨ ur drei Spaltbreiten (von oben:) 0,45 mm, 0,27 mm und 0,14 mm. (aus [1]) Lochblende Bei der Beugung an einer (kreisrunden) Lochblende muss die Interferenz von (dreidimensionalen) Kugelwellen betrachtet werden. Hier gilt f¨ ur die Winkel, unter dem die ersten Minima auftreten λ , D λ = 2, 23 · , D λ = 3, 24 · , D sin α01 = 1, 22 · sin α02 sin α03 (3.9) dabei ist D der Durchmesser des Loches. Dieses Beugungsbild, d.h. insbesondere das erste Maximum, wird auch als Airy-Scheibchen bezeichnet. (Siehe Abb. 3.5). Abbildung 3.5: Beugungsbild einer mit einem He-Ne-Laser beleuchteten Lochblende (aus [1]) 3-5 3.1.3 Beugungsbilder II: Das Beugungsintegral Die im letzten Abschnitt erl¨auterten geometrischen Betrachtungen erkl¨aren die Lage der Minima und Maxima der Beugungsbilder einfacher beugender Strukturen. Bei n¨aherer Betrachtung l¨asst sich aus ihnen auch die Intensit¨atsverteilung des Beugungsbildes ableiten, was hier aber nicht n¨aher ausgef¨ uhrt werden soll. Statt dessen soll hier ein Formalismus zur Berechnung der Beugungsbilder beliebiger beugender Strukturen angegeben werden. Dazu sei folgende Situation angenommen: - Die beugende Struktur soll sich in einer bestimmten Ebene R (im Folgenden Beu” gungsebene“ genannt) befinden und u ¨ber eine (endliche) Fl¨ache S ausgedehnt sein. Ein Ort in der Beugungsebene wird durch den Vektor ~r bezeichnet. - Die beugende Struktur wird durch eine Transmissionsfunktion t(~r) beschrieben. Im einfachsten Fall nimmt t(~r) nur die Werte null an den undurchsichtigen Stellen oder eins an den durchsichtigen Stellen an, aber man kann sich leicht dazwischenliegende Werte vorstellen oder auch komplexe Werte, bei denen die Phase der einlaufenden Welle um einen festen Betrag ge¨andert wird (z.B. durch unterschiedliche Brechungsindices). - Die beugende Struktur werde von einer Punktquelle Q im Abstand L1 von der Beugungsebene beleuchtet. Der Vektor von Q zum betrachteten Punkt ~r in der Beugungsbene wird als d~1 (~r) bezeichnet. Die Feldst¨arke ψ1 (~r) der Kugelwelle, die von Q mit der St¨arke aQ und der Wellenl¨ange λ ausgestrahlt wird, kann mit der Wellenzahl k0 = 2π/λ geschrieben werden als aQ ik0 d1 (~r) e (3.10) ψ1 (~r) = d1 (~r) - Die Feldverteilung f (~r) in der beugenden Ebene ergibt sich damit zu f (~r) = t(~r) · ψ1 (~r) = t(~r) aQ ik0 d1 (~r) e d1 (~r) (3.11) - Berechnet werden soll die Feldamplitude ψ an einem Ort P in der Beobachtungsebe” ne“, die sich im Abstand L von der Beugungsebene befindet. Der Vektor vom betrach~ r) bezeichnet. teten Punkt ~r in der Beugungsbene zu P wird als d(~ Der Beitrag dψ eines Fl¨achenelements dS am Ort ~r zur Amplitude ψ ist dψ = 1 f (~r) ik0 d(~r) · e dS iλ d(~r) (3.12) Der Faktor 1/iλ = −ik0 /2π wird hier nicht hergeleitet (siehe z.B. [5]). ~ r) (Neigungswinkel) wird, ¨ahnlich wie - Der Winkel θ zwischen den Vektoren d~1 (~r) und d(~ bei der paraxialen N¨aherung, als klein angenommen und im Weiteren nicht betrachtet. Abbildung 3.6: Definition der Gr¨oßen f¨ ur das Beugungsintegral (aus [5]) 3-6 Unter diesen Voraussetzungen wird die Amplitude ψ am Ort P durch das HuygensKirchhoffsche Beugungsintegral beschrieben: ZZ f (~r) ik0 d(~r) 1 e dx dy. (3.13) ψ= iλ d(~r) S Die Integration erfolgt u ¨ber die gesamte beugende Fl¨ache S – also u ¨berall dort, wo die Transmissionsfunktion nicht null ist. Die Abbildungen 3.7 und 3.8 zeigen Beugungsmuster die auf diese Weise berechnet wurden. Vergleicht man diese mit den Abbildungen aus Abschnitt 3.1.2, so erkennt man, dass die Beugungsbilder nicht nur deutlich komplexer sind, sondern auch, dass sie sich mit dem Abstand zwischen Beugungsebene und Beobachtungsebene ver¨andern. Abbildung 3.7: (a) Amplitude der Fresnelschen Beugungsmuster, berechnet f¨ ur eine Schlitzblende der Breite 0,9 mm mit den Parametern L = 20 cm, L1 = 28 cm und λ = 0, 6µm. Der geometrische Schatten ist gestrichelt eingezeichnet. (b) Photografie des Beugungsmusters bei diesen Bedingungen (aus [5]) Abbildung 3.8: Fresnelsche Beugungsmuster einer Lochblende. (a) f¨ ur kR2 /2L = 2nπ; (b) f¨ ur kR2 /2L = (2n + 1)π (aus [5]) 3-7 Fraunhofer- und Fresnel-Beugung Im Folgenden soll nun die Feldverteilung ψ(~p) als Funktion des Ortes in der Beugungsebene betrachtet werden. Hierzu noch einmal die verwendeten Variablen: - ~r = (x, y) ist ein Vektor in der Beugungsebene, ~r = 0 bezeichnet den Schnittpunkt von Beugungsebene und optischer Achse. - p~ = (px , py ) ist ein Vektor in der Beobachtungsebene, p~ = 0 bezeichnet den Schnittpunkt von Beobachtungsebene und optischer Achse. - L ist der Abstand zwischen der Beugungsebene und der Beobachtungsebene - f (~r) beschreibt die Feldverteilung (incl. Phase) in der Beugungsebene - d(~r, p~) ist der Abstand von einem Punkt ~r in der Beugungsebene zu dem betrachteten Punkt p~ in der Beobachtungsebene Der Abstand d(~r, p~) ist sowohl f¨ ur die Abschw¨achung der Elementarwellen als auch f¨ ur die Interferenz zwischen verschiedenen Teilen der beugenden Struktur wichtig. q p (3.14) d(~r, p~) = L2 + | p~ − ~r |2 = L2 + p2 − 2~p · ~r + r2 Es bietet sich auch hier eine Vereinfachung an, ¨ahnlich der paraxialen Optik. Die Annahme, die daf¨ ur gemacht werden muss, ist wiederum die, dass die auftretenden Winkel klein sind, d.h. dass die Beugungsebene und die Beobachtungsebene – verglichen mit den Gr¨oßen der beugenden Struktur und des betrachteten Beugungsbildes – weit voneinander entfernt sind: L  r, p (3.15) Man kann dann d in eine Taylorreihe entwickeln:   1 p2 − 2~p · ~r + r2 · · · + 4 + ··· . d=L 1+ 2 L2 L (3.16) Zum Abbrechen der Reihe m¨ ussen zwei Aspekte ber¨ ucksichtigt werden: • Bei der Abschw¨achung 1 1 ≈ d L  1 p2 − 2~p · ~r + r2 · · · − 4 − ··· 1− 2 L2 L  ≈ 1 L (3.17) macht man nur einen kleinen Fehler, wenn man die 0. N¨aherung verwendet. • Bei der Interferenz ist zu beachten, dass eik0 d(~r) periodisch ist, der Absolutwert von d ¨ ist damit nicht wichtig, sondern Anderungen im Bereich einer Wellenl¨ange entscheiden u ¨ber konstruktive oder destruktive Interferenz im Punkt p~. Die Entwicklung bis zur 1. N¨aherung l¨asst sich folgendermaßen aufteilen:       ~·~ r 1 p2 2πiL 2πi p πi r2 1 + − 2πi 2 e λ d(~r,~p) = e| λ {z 2 L } · e| λ{z L } · e| λ {z L } (3.18) konstant f¨ ur festes p ~ ebene Welle mit Richtung p ~ parabolische Wellenfront Der erste Term beschreibt eine von ~r unabh¨angige Verformung der Phasenfront, die beiden anderen die Interferenz von Beitr¨agen aus verschiedenen Orten ~r. 3-8 Diese erste N¨aherung d¨ urfte sich nur noch wenig von der exakten L¨osung unterscheiden, wenn der Abstand L wenigstens das 10-fache der Ausdehnung von beugender Struktur und Beugungsbild betr¨agt. Zur weiteren Vereinfachung soll jetzt die Gesamtgr¨oße % der beugenden Struktur betrachtet werden, d.h. der Bereich, in dem die Transmissionsfunktion ungleich null ist: | ~r |max = %. Damit lassen sich zwei F¨alle unterscheiden: • Die so genannte Fraunhofersche Beugung: Hier wird angenommen, dass die Ausdehnung der beugenden Struktur erheblich kleiner als die betrachteten Abst¨ande ist: Wenn %2  λL ist (damit muss % um etwa ist (3.19) p λ/L kleiner sein, als nach Gl. 3.15 angenommen), dann  2 e πi λ r L ≈ 1, (3.20) also n¨aherungsweise konstant. Damit ist der ~r-abh¨angige Teil des Phasenfaktors nur noch   p ~·~ r − 2πi λ L (3.21) e Wie sich im Folgenden zeigen wird, lassen sich in dieser N¨aherung die Beugungserscheinungen als Funktion des Winkels, d.h. der Richtung vom Ursprung der Beugungsebene zum Punkt p~, sehr einfach angeben. • Die so genannte Fresnelsche Beugung: Hier ist die Bedingung f¨ ur die Fraunhofersche Beugung nicht erf¨ ullt: %2 & λL (3.22) und es muss zur Berechnung des Beugungsbildes im Allgemeinen das vollst¨andige Beugungsintegral nach Gl. 3.13 berechnet werden, wie beispielsweise in den Abbildungen 3.7 und 3.8 gezeigt. 3-9 3.1.4 Fraunhofer-Beugung Fraunhofer-Beugung in der Brennebene einer Linse Den N¨aherungen, die zu den Ausdr¨ ucken f¨ ur die Fraunhofer-Beugung gef¨ uhrt haben, liegt die Annahme zugrunde, dass die Beobachtungsebene sehr weit“ bzw. unendlich ” ” weit“ von der Beugungsebene entfernt ist. Das berechnete Beugungsbild in einer unendlich weit entfernten Beobachtungsebene l¨asst sich aber – wie jede andere Feldverteilung in irgendeiner Ebene auch – durch eine Linse abbilden: In der beschriebenen Situation liegt ein unendlich weit entferntes virtuelles Objekt vor, die Gegenstandsweite betr¨agt also s1 = −∞. Nach der Abbildungsgleichung (Gl. 2.38) f¨ ur eine Sammellinse mit Brennweite f ergibt sich ein reelles Bild in der bildseitigen Brennebene der Linse, also bei s2 = f . W¨ahlt man als Abstand zwischen Linse und beugender Struktur ebenfalls die Brennweite, so wird die Strahltransformation von der Beugungsebene (Koordinaten (r, ϑ)) in die bildseitige Brennebene (Koordinaten (q, θ)) durch folgende Matrix beschrieben:   0 −f (3.23) 1/f 0 Damit folgt f¨ ur die Transformation eines Strahles von einem beliebigen Punkt der Beugungsebene, der unter dem Winkel ϑ ausgestrahlt wird:     r f ·ϑ → (3.24) −ϑ r/f Der Abstand q von der optischen Achse in der Brennebene ist also proportional zum Winkel ϑ. Sei jetzt P~ ein Vektor, der von einem Punkt der beugenden Struktur zum Punkt p~ in der weit entfernten“ Beobachtungsebene f¨ uhrt (siehe Abb. 3.9). ” Abbildung 3.9: Definition der Vektoren f¨ ur Fraunhofer- und Fresnel-Beugung Da in der Fraunhofer-N¨aherung die beugende Struktur als klein gegen alle anderen geometrischen L¨angen angenommen wird, h¨angt der Winkel ϑ zwischen der optischen Achse und dem Vektor P~ bzw. seinen Projektionen in die x-z- und y-z-Ebenen nur von p~ ab: q/f = ϑ ≈ tan ϑ = p/L qx /f = ϑx ≈ tan ϑx = px /L qf /f = ϑy ≈ tan ϑy = py /L (3.25) Dieser Winkel, von dem angenommen wird, dass er auch f¨ ur L → ∞ erhalten bleibt, stellt nun den charakteristischen Parameter zur Beschreibung des Beugungsmusters dar. So lassen sich auch die in Abschnitt 3.1.2 beschriebenen Winkelabh¨angigkeiten in der Brennebene einer Linse als Ortsabh¨angigkeiten beobachten. 3-10 Fraunhofer-Beugung und Fouriertransformation In der Fraunhofer-N¨aherung lautet das Beugungsintegral     ZZ ~·~ r 1 p2 2πi p 1 + − 1 1 2πiL 2 L2 ψ(~p) = · ·e λ f (~r)e λ L dx dy iλ L Definiert man den Wellenvektor ~k als ~k = 2π~p = k0 p~ λL L (3.26) (3.27) so ist   1 k2 Z Z iLk0 1+ 1 1 2 ~ 2 k0 · ·e ψ(~k) = f (~r)e−ik·~r dx dy (3.28) iλ L Die Interferenzamplitude am Ort p~, ist damit proportional zur 2-dimensionalen Fouriertransformierten von f (~r) bei der Raumfrequenz ~k:   1 k2   iLk0 1+ 1 1 2 2 k0 · ·e ψ(~k) = · F ~k (3.29) iλ L Die Fraunhofer-Beugung ist also eine optische Fouriertransformation. Aus den Definitionen von ~k (Gl. 3.27) und den Ausbreitungswinkeln (Gl. 3.25) folgt kx = k0 · sin ϑx ≈ k0 · ϑx ky = k0 · sin ϑy ≈ k0 · ϑy , (3.30) die Raumfrequenzen kx und ky entsprechen also den transversalen Komponenten bestimmter Ausbreitungsrichtungen des gebeugten Lichts, und es l¨asst sich schreiben   ZZ 2 1 1 iLk0 1+ 12 kk2 0 · ·e f (~r)e−k0 (x·ϑx +y·ϑy ) dx dy. (3.31) ψ(ϑx , ϑy ) = iλ L Beobachtet man die Fraunhofer-Beugung mittels einer Sammellinse, wobei die Beugungsebene und die Beobachtungsebene in je einer Brennebene der Linse stehen, so ist der Zusammenhang zwischen den Beugungswinkeln ϑx , ϑy und den Koordinaten qx und qy in der bildseitigen Brennebene (auch als Fourierebene“ bezeichnet): ” qx = f · ϑ x , (3.32) qy = f · ϑx . (3.33) Die Feldverteilung in der Brennebene der Linse ist proportional zur 2-dimensionalen Fouriertransformierten der Feldverteilung in der Beugungsebene. Der Zusammenhang zwischen den Koordinaten qx und qy in der Brennebene und den Raumfrequenzen kx , ky ist kx , (3.34) k0 kx qy = f · . (3.35) k0 Es wurde bisher keine Erkl¨arung daf¨ ur gegeben, warum auch der Abstand zwischen beugender Struktur und Linse gleich der Brennweite sein soll. Die einfache Begr¨ undung ist: der umgekehrte Weg sollte ebenfalls eine (inverse) Fouriertransformation sein, also muss auf beiden Seiten der Brennweitenabstand eingehalten werden. Die pr¨azisere Begr¨ undung ist: die komplexe Feldverteilung muss der Fouriertransformierten entsprechen; dies ist der Fall, wenn auch der Abstand zur Beugungsebene gleich der Brennweite ist. qx = f · 3-11 Bedeutung der Raumfrequenzen Enth¨alt die Fouriertransformation einer Feldverteilung eine bestimmte Raumfrequenz ~k1 , so entspricht dieser eine Fourierkomponente exp(i~k1~r) in der Feldverteilung selbst. Daf¨ ur hier einige Beispiele: - Besteht die Fouriertransformierte aus nur einer Fourierkomponente ~k1 = (k1x , k1y ), dann besteht das Beugungsbild in der Fourierebene aus nur einem Punkt, der abseits der optischen Achse liegt, wenn (k1x , k1y ) 6= (0, 0) ist: F (kx , ky ) = a · δ(kx − k1x )δ(ky − k1y ) Die inverse Fouriertransformierte Z 1 dkx dky F (kx , ky )ei(x·kx +y·ky ) f (x, y) = (2π)2 Z 1 dkx dky a · δ(kx − k1x )δ(ky − k1y )ei(x·kx +y·ky ) = (2π)2 a i(k1x x+k1y y) = e (2π)2 a i~k1~r e f (~r) = (2π)2 (3.36) (3.37) (3.38) beschreibt dann eine lineare Phasenvariation bei konstanten Betrag der Amplitude. Dies ist eine ebene Welle mit schr¨agstehender Phasenfront, beschrieben durch die Ausbreitungsrichtung ~k = (k1x , k1y , 2π/λ). Diese Situation ist aus der einfachen Strahlenoptik bekannt: ein Parallelstrahlb¨ undel wird auf einen Punkt in der Brennebene abgebildet. - Besteht die Fouriertransformierte aus einem Paar von entgegengesetzt gleichen Fourierkomponenten ~k1 und −~k1 , dann besteht das Beugungsbild in der Fourierebene aus zwei symmetrisch zur optischen Achse liegenden Punkten.   1 1 δ(kx − k1x )δ(ky − k1y ) + δ(kx + k1x )δ(ky + k1y ) (3.39) F (kx , ky ) = a · 2 2 Die inverse Fouriertransformierte a (2π)2 a = (2π)2 a = (2π)2 f (x, y) = ·
1 −i(k1x x+k1y y) e + e+i(k1x x+k1y y) 2 cos(k1x x + k1y y) (3.40) cos(~k1~r) beschreibt eine reelle cosinusf¨ormige Amplitudenmodulation, also so etwas wie ein Beugungsgitter mit cosinusf¨ormiger Transmissionsfunktion (mit positiver und negativer Transmission, also Phasenwechseln nach jeder Halbperiode). Der Wellenvektor ~k1 beschreibt die Richtung dieses Gitters in der Beugungsebene. - Besteht die Fouriertransformierte aus einem Paar von entgegengesetzt gleichen Fourierkomponenten ~k1 6= ~0 und −~k1 , sowie einer Komponente mit ~k = ~0, dann besteht das Beugungsbild in der Fourierebene aus zwei symmetrisch zur optischen Achse liegenden 3-12 Punkten und einem Punkt auf der optischen Achse.   1 1 F (kx , ky ) = a · δ(kx )δ(ky ) + δ(kx − k1x )δ(ky − k1y ) + · δ(kx + k1x )δ(ky + k1y ) 2 2 (3.41) Die inverse Fouriertransformierte
a −i(k1x x+k1y y) +i(k1x x+k1y y) f (x, y) = e + e (2π)2 a (1 + cos (k1x x + k1y y)) (3.42) = 2π 2   a = 1 + cos(~k1~r) 2π 2 beschreibt eine positive reelle cosinusf¨ormige Amplitudenmodulation, also ein Amplitudengitter mit cosinusf¨ormiger Transmissionsfunktion (Abb. 3.10a). Abbildung 3.10: Amplitudengitter a) mit cosinusf¨ormiger Transmissionsfunktion b) mit rechteckf¨ormiger Transmissionsfunktion (aus [6]) - Weitere Paare von Fourierkomponenten zu entgegengesetzt gleichen k-Vektoren, also weitere Paare von symmetrisch zur optischen Achse liegenden Punkten in der Fourierebene entsprechen weiteren reellen Sinus- bzw. Cosinusmodulationen in der Beugungsebene. Eine Rechteckschwingung l¨asst sich bekanntlich durch Fouriersynthese aus Vielfachen der Grundschwingung aufbauen, dementsprechend besitzt auch ein Rechteckgitter (Abb. 3.10b) unendlich viele h¨ohere Beugungsordnungen bei ±k1 , ±2k1 , ±3k1 usw. (vgl. Abschnitt 3.1.2). 3-13 Einschub: wieso macht eine Linse eine Fouriertransformation? Die optische Fouriertransformation durch eine Linse l¨asst sich auch unmittelbar als Beugungserscheinung herleiten: Eine d¨ unne Linse mit Brennweite f l¨asst sich in paraxialer N¨aherung durch die komplexwertige Transmissionsfunktion − πi r2 (3.43) tf (r) = e λf beschreiben (vgl. Abschnitt 2.1.3, der Phasenunterschied resultiert aus den unterschiedlichen Dicken der Materialien mit Brechungsindices nL und n0 als Funktion des Abstandes). Die Abfolge von - Feldverteilung f (~r) in der Beugungsebene, Koordinaten ~r = (x, y) - Beugung bis zu in einer Ebene im Abstand f , Koordinaten p~ = (px , py ) - Linse mit Brennweite f in dieser Ebene - Beugung zur Brennebene der Linse im Abstand f , Koordinaten ~q = (qx , qy ) mit der Absch¨atzung der Phasen wie in Gl. 3.18 stellt sich dann folgendermaßen dar:  ψ(~q) = 1 2πif e λ iλf 2 Z+∞ Z+∞ ZZ πi 2 πi 2 q −2~ q ·~ p+p2 ) p −2~ p·~ r+r2 ) ( λf dx dy e λf ( tf (~p) f (~r). dpx dpy e −∞ −∞ S (3.44) Setzt man die Transmissionsfunktion der Linse ein und fasst alle Phasen zusammen, so ergibt sich  ψ(~q) = 1 2πif e λ iλf 2 Z+∞ Z+∞ ZZ πi 2 q −2~ q ·~ p+p2 −2~ p·~ r+r2 ) dpx dpy dx dy e λf ( f (~r) −∞ −∞ (3.45) S Die Brennweiteneigenschaft der Linse w¨ urde dazu f¨ uhren, dass Strahlen, die unter dem Winkel α ~ = (~p − ~r)/f auf die Linse fallen, in einen Punkt ~q = f · α ~ , also ~q = p~ − ~r abgebildet werden. In strahlenoptischer N¨aherung w¨are also p~ − ~r − ~q = 0. Hier wird jetzt zun¨achst eine neue Variable ~a = p~ − ~r − ~q (3.46) eingef¨ uhrt. Substituiert man p~ durch ~a, so erh¨alt man:  ψ(~q) = 1 2πif e λ iλf 2 Z+∞ Z+∞ ZZ πi 2 a −2~ r·~ q) f (~r) dax day dx dy e λf ( −∞ −∞ (3.47) S    2 Z+∞ Z+∞ ZZ πi πi 2πif 1 a2 (−2~ r·~ q) λf   = e λ dax day e dx dy e λf f (~r) iλf −∞ −∞ S !2 Z Z  2 r r πi λf π 1 2πif (−2~ r·~ q) = e λ (1 + i) dx dy e λf f (~r) iλf π 2 S ZZ πi 4πif 1 (−2~ r·~ q) = ·e λ dx dy e λf f (~r) iλf S Das ist, bis auf einen konstanten Faktor, die Fouriertransformierte von f (~r). 3-14 (3.48) (3.49) (3.50) Einschub: Geometrische Erkl¨ arung der Brennweitenbedingung Abbildung 3.11: fehlt noch (aus [5]) Zur Brennweitenbedingung auf beiden Seiten der Linse hier eine geometrische Erkl¨arung mit den in Abbildung 3.11 gezeigten Strahleng¨angen: Man betrachte die Anteile des Beugungsbildes, die unter einem bestimmten Winkel zur optischen Achse abgestrahlt werden (also eine ebene Welle mit der in der Abbildung gezeigten gekippten Wellenfront) und von der Linse auf den Punkt P in abgebildet werden. Die Phasenverschiebung des Strahls, der von der Mitte der beugenden Struktur, O, ausgeht, und durch den Punkt A auf der Linse geht, betr¨agt eik0 OAP Es stellt sich nun die Frage, ob f¨ ur die anderen Strahlen weitere Phasenverschiebungen auftreten. Zur Beantwortung dieser Frage wird das Fermatsche Prinzip herangezogen: Der Weg, den das Licht zwischen zwei Punkten zuru ¨ cklegt, ist immer der schnellstm¨ ogliche Weg. Der schnellstm¨ogliche Weg ist die k¨ urzeste optische Wegl¨ange (vgl. Gl.1.15). F¨ ur die Propagation in einem homogenen Medium ist dies der gerade Weg, aber mit diesem Prinzip l¨asst sich beispielsweise auch das Snelliussche Brechungsgesetz (Gl. 1.17) oder der Strahlverlauf in einer GRIN-Linse (Gl. 2.30) erkl¨aren. F¨ ur eine Abbildung gilt demnach - Wenn zwei Punkte konjugiert sind (d.h. Bilder voneinander), dann dauert jeder Weg zwischen ihnen gleich lang! - Die Propagation von jedem Punkt der Wellenfront einer ebenen Welle zu dem konjugierten Punkt in der Brennebene dauert ebenfalls gleich lang. Es interferieren also alle Strahlen, die unter dem gleichen Winkel auf die Linse treffen, in der bildseitig Brennebene konstruktiv miteinander. Es wird weiterhin verlangt, daß die Phase der Feldverteilung in der Beobachtungsebene der der Fouriertransformierten entspricht. Dazu m¨ ussen insbesondere alle Strahlen aus O (unter jedem beliebigen Winkel) in eine ebene Welle transformiert werden; d.h. sie m¨ ussen unabh¨angig vom Winkel die gleiche optische Wegl¨ange OAP zur Beobachtungsebene haben. Dazu muss der Punkt O der konjugierte Punkt der bildseitigen Brennebene sein, also der objektseitige Brennpunkt. 3-15 Beugung am Spalt Wenn sich die Feldverteilung f (x, y) in einzelne Funktionen von x und y separieren l¨asst, f (x, y) = g(x) · h(y), (3.51) wie es ins besondere bei den eindimensionalen“ beugenden Strukturen wie Doppelspalt, ” ¨ Spalt und Beugungsgitter, aber auch z.B. bei rechteckigen Offnungen der Fall ist, dann l¨asst sich die zweidimensionale Fouriertransformierte ebenfalls separieren: +∞ ZZ F (kx , ky ) = f (x, y)e−i(xkx +yky ) dxdy −∞ Z+∞ Z+∞ −ixkx = g(x)e dx · h(y)e−iyky dy −∞ (3.52) −∞ Ein Spalt mit Breite b parallel zur y-Richtung l¨asst sich beschreiben durch:  x   1 f¨ ur − b/2 ≤ x ≤ b/2 = b(x) = rect 0 sonst b h(y) = 1 (3.53) (3.54) Die Fouriertransformierte lautet damit +b/2 Z F (kx , ky ) = e −b/2 −ixkx   Z+∞ bkx −iyky dx · e dy = b · sinc · δky 2 (3.55) −∞ mit der Fouriertransformierten eines Rechteck-Pulses, sinc(x) = sin(x)/x (vgl. Abb. 3.12). Die Funktion δ(ky ) dr¨ uckt aus, dass nur der Wellenvektor ky = 0 vorkommt: bez¨ uglich der y-Richtung findet keine Beugung statt, da der Spalt in y-Richtung unendlich lang ist. Die Nullstellen der sinc-Funktion, d.h. die Beugungsminima liegen bei kx = k0,m = m · sin ϑx ≈ ϑx = 2π , b kx λ =m· . k0 b (3.56) (3.57) Abbildung 3.12: (a) Feldamplitude und (b) Intensit¨at als Funktion der Raumfrequenz u bei der Beugung an einem Spalt der Breite a. (aus [5]) 3-16 Lochblende Eine kreisrunde Lochblende mit Radius R, wie sie bereits auf Seite 3-5 beschrieben wurde, l¨asst sich nicht gut in kartesischen Koordinaten beschrieben. Man w¨ahlt daher - Polarkoordinaten im Ortsraum: x = % cos θ, y = % sin θ, 0 < % < R - Polarkoordinaten im Fourierraum: kx = k0 ζ cos ϕ, ky = k0 ζ sin ϕ Die Fraunhofer-Beugung berechnet sich damit als ZR Z2π F (ζ, ϕ) = 0 ei%k0 ζ cos(θ−ϕ) % d% dθ (3.58) 0 = πR 2  2J1 (k0 ζR) k0 ζR  (3.59) mit der Besselfunktion J1 . Die erste Nullstelle dieser Funktion liegt bei k0 ζR = 3, 83 bzw. sin ζ ≈ ζ = 0, 61 λ R (3.60) Abbildung 3.13: Fraunhofer-Beugung an einer Lochblende. (a): Berechnete Amplitude, (b): Photografie des Beugungsmusters (aus [5]) 3-17 Hieraus l¨asst sich auch bestimmen, wie klein der Brennpunkt einer realen, endlich großen Linse eigentlich sein kann: Eine Linse mit Durchmesser D und Brennweite f l¨asst sich beschreiben als eine Lochblende mit Durchmesser D, unmittelbar gefolgt von einer unendlich großen Linse mit Brennweite f . Die Lochblende h¨atte eine Beugungsfigur mit einem Winkelradius des zentralen Maximums (Airy-Scheibchen) von ζ = 1, 22 λ D (3.61) In der Brennebene der Linse ist dann der Radius q gegeben durch q = f · ζ = 1, 22 f ·λ D (3.62) Der Durchmesser des Brennpunkts einer realen Linse kann also nicht kleiner sein als d = 2, 44 f ·λ D (3.63) ¨ Der Brennpunkt ist also umso kleiner, je gr¨oßer die Offnung der Linse ist. Wenn die Qualit¨at eines realen optischen Systems so hoch ist, dass die in Gl. 3.63 gegebene Grenze tats¨achlich erreicht wird, bezeichnet man diese als beugungsbegrenzt, das heißt also: besser geht es aus fundamentalen Gr¨ unden nicht! Beispiel: menschliches Auge Der Durchmesser der voll ge¨offneten Pupille des menschlichen Auges wird als D = 7 mm angenommen. Die Brennweite des Auges sei f = 17 mm. Dann betr¨ uge der Durchmesser eines Punktes auf der Netzhaut bei einer Vakuumwellenl¨ange von λ = 550 nm mindestens 3,25 µm, tats¨achlich geht man von etwa 10 µm aus, das entspricht einer Fl¨ache von ungef¨ahr 10−10 m2 . Das Lichtfeld eines aufgeweiteten Laserstrahls ist einer ebenen Welle sehr ¨ahnlich, so dass man erwarten kann, dass auch wirklich ein so kleiner Fokus entsteht. Bei einer Laserleistung von 1 mW entst¨ unde auf 2 7 der Netzhaut eine Intensit¨at von 10 W/m . Sieht man direkt in die Sonne, so wird die einfallende Intensit¨at von etwa 1kW/m2 zu etwa 2 · 108 W/m2 auf der Netzhaut. Beispiel: Kameraobjektiv Bei Objektiven f¨ ur fotografische Kameras wird als Para¨ meter die Blendenzahl f /# (siehe Gl. 2.83) als Maß f¨ ur die Gr¨oße der Offnung angegeben. Es zeigt sich jetzt, dass die zu erreichende minimale Punktgr¨oße in der Filmebene ebenfalls durch Gl. 3.63 gegeben ist: d = 2, 44 · λ · f /#; (3.64) geht man wieder von λ = 550 nm aus, so ist d ≈ 1, 3µm · f /#; (3.65) z.B. Digitalkamera, 12,8 Megapixel, Pixelgr¨oße ca. 8,2 µm. Lichtst¨arke des Objektivs (Zoom) zwischen 3,5 und 5,6 erg¨abe Punktdurchmesser zwischen 4,6 µm und 7,3 µm. 3-18 Babinetsches Theorem Am Beispiel der Beugung an einer Lochblende l¨asst sich folgende Frage diskutieren: wie unterscheiden sich die Beugungsbilder von zwei komplement¨aren Strukturen, also z.B. der Lochblende und einer kreisrunden Scheibe in einer ansonsten vollst¨andig transparenten Ebene? Es l¨asst sich leicht einsehen, dass die Summe der Transmissionsfunktionen t(x, y) der einen Struktur und t˜(x, y) der komplement¨aren Struktur sich zu eins erg¨anzen m¨ ussen: t(x, y) + t˜(x, y) = 1 f¨ ur alle x, y (3.66) Damit muss auch die Summe der Beugungsbilder das ungest¨orte Beleuchtungsfeld ergeben; z.B. eine ebene Welle. T (kx , ky ) + T˜(kx , ky ) = δ(kx , ky ) T˜(kx , ky ) = δ(kx , ky ) − T (kx , ky ) (3.67) Die Beugungsbilder von komplement¨ aren Strukturen unterscheiden sich nur in der 0. Beugungsordnung! 3-19 Beugungsgitter Ein Beugungsgitter ist eine endliche periodische Anordnung von N Spalten der Breite b im Abstand d. Als mathematischer Ausdruck l¨asst sich dies schreiben als + N 2−1 f (x) = b(x) ⊗ X δ(x − n · d) (f¨ ur gerades N ), (3.68) n=− N 2−1 dabei ist b(x) die Transmissionsfunktion des Einzelspaltes (Gl. 3.53). Die Gitterstriche befinden sich z.B. f¨ ur N = 4 an den Positionen − 32 d, − 12 d, + 12 d, + 23 d. Das Symbol ⊗ bezeichnet die Faltung zweier Funktionen; mathematisch definiert als Z+∞ f (x) ⊗ g(x) = f (x0 )g(x − x0 )dx0 (3.69) −∞ Eine unendliche Summe von Delta-Funktionen, deren Maxima an ¨aquidistanten Orten liegen, wird auch als Delta-Kamm“ oder Kammfunktion bezeichnet. ” +∞ X K(x) = δ(x − nd) (3.70) n=−∞ Die Faltung einer lokalisierten Funktion wie z.B. der Spaltfunktion mit einer solchen Kammfunktion ergibt eine Summe von Wiederholungen der Funktion, jeweils zentriert an den Positionen der Kammzinken. Der Fall des Beugungsgitters ist in Abb. 3.14 gezeigt. Abbildung 3.14: Beugunggitter als Faltung aus Spalt und Kammfunktion Die Fouriertransformation der Delta-Funktion ist F T (δ(x)) = 1, (3.71) die Fouriertransformation einer um x0 verschobenen Funktion wird berechnet als g(x) = f (x − x0 ) m G(kx ) = e−ikx x0 · F (kx ) 3-20 (3.72) Die Fouriertransformation einer verschobenen Deltafunktion δ(x − x0 ) ist demnach eine ebene Welle (komplexe Schwingung). FT δ(x − x0 ) −→ e−ikx x0 (3.73) Bei der optischen Fouriertransformation mit einer Linse bedeutet das: konjugiert zu einem verschobenen Punkt in der Brennebene ist ein schr¨ages Parallelstrahlb¨ undel bzw. eine ebene Welle, deren Wellenfronten nicht senkrecht zur optischen Achse stehen. Wichtig f¨ ur die Fouriertransformation ist der Faltungssatz: die Fouriertransformierte der Faltung zweier Funktionen ist das Produkt der Fouriertransformierten der einzelnen Funktionen: h(x) = f (x) ⊗ g(x) m H(kx ) = F (kx ) · G(kx ) (3.74) Die Fouriertransformierte der in Gleichung 3.68 gegebenen endlichen Kammfunktion ist eine geometrische Reihe, die sich wie folgt umformen l¨asst: + N 2−1 X K(kx ) = eikx ·n·d (3.75a) n=− N 2−1 + N 2−1 = N −1 X + 2 X

n ikx ·d n e + e−ikx ·d n= 12 n= 12 N = e + 21 ikx ·d −1 2 X (3.75b) N
ikx ·d n e n=0 +e − 21 ikx ·d −1 2 X e−ikx ·d
n (3.75c) n=0
N
N −ikx ·d 2 eikx ·d 2 − 1 e −1 1 − 2 ikx ·d = e + e ik ·d −ik ·d e x −1 e x −1 N N

eikx ·d 2 − 1 e−ikx ·d 2 − 1 = + 1 ik ·d + 1 1 1 e 2 x − e− 2 ikx ·d e− 2 ikx ·d − e+ 2 ikx ·d N N e+i 2 kx ·d − e−i 2 kx ·d = 1 1 e+ 2 ikx ·d − e
− 2 ikx ·d sin N2 kx · d
= sin 21 kx · d + 12 ikx ·d Die Intensit¨at des Beugungsmusters eines endlichen Delta-Kamms ist damit
sin2 N2 kx · d
I(kx ) = I0 2 1 sin 2 kx · d (3.75d) (3.75e) (3.75f) (3.75g) (3.76a) bzw., mit sin ϑx = λ · kx /2π   π·d sin N sin ϑx λ   I(ϑx ) = I0 π·d 2 sin sin ϑx λ 2 3-21 (3.76b) Diese Funktion ist in Abbildung 3.15 gezeigt. Die Hauptmaxima treten dort auf, wo Z¨ahler und Nenner gleichzeitig verschwinden, d.h. bei kx = m · 2π , d (3.77) die Intensit¨at betr¨agt dort Imax = I0 · N 2 . (3.78) Zwischen den Hauptmaxima liegen N − 2 Nebenmaxima, deren Lage durch die Maxima des Z¨ahlers bestimmt ist; die N − 1 Nullstellen dazwischen sind durch die Nullstellen des Z¨ahlers (bei nicht verschwindendem Nenner) gegeben. Abbildung 3.15: Relative Bestrahlungsst¨arke f¨ ur Beugung an einem Gitter mit a) 4, b) 6 und c) 10 Spalten (aus [1]) In der bisherigen Herleitung ist die endliche Breite b der Gitterstriche noch nicht ber¨ ucksichtigt worden. Wie in Gleichung 3.68 angesetzt, ist das endliche Beugungsgitter als eine Faltung aus der Transmissionsfunktion des Einzelspalts mit der endlichen Summe von Deltafunktionen zu sehen. Die Fouriertransformierte der Faltung ist nach dem Faltungssatz das Produkt der Fouriertransformierten von Einzelspalt und Kamm, also
  sin N2 kx · d bkx
· (3.79a) H(kx ) = b · sinc 2 sin 21 kx · d

sin 12 kx · b sin N2 kx · d

= · (3.79b) 1 k sin 21 kx · d 2 x Die Position der Beugungsordnungen ist damit gegen¨ uber Gln. 3.76a unver¨andert, ihre Intenstit¨at nimmt aber zu den h¨oheren Ordnungen hin ab (siehe Abb. 3.16). 3-22 Abbildung 3.16: Gitterbeugungsfunktion f¨ ur ein Gitter mit p = 6 Spalten. Der Spaltabstand D wurde viermal so groß wie die Spaltbreite d gew¨ahlt. Die Spaltbeugungsfunktion ist gestrichelt eingezeichnet (aus [7]) Lage und relative Phase der einzelnen Fourierkomponenten h¨angen von der Breite der Striche und der Symmetrie des Gitters ab; ein Beispiel f¨ ur ein Gitter mit ungerader Spaltanzahl zeigt Abb. 3.17. Abbildung 3.17: Eine Rechteckwelle und ihre Transformierte (aus [6]) Will man nur wenige Beugungsordnungen haben, so muss die sinc-Funktion m¨oglichst schmal werden, d.h. die Spaltbreite b muss groß werden. Maximal sinnvoll ist hier eine Spaltbreite von der halben Gitterkonstante (b = d/2), eine Vergr¨oßerung f¨ uhrt nach dem Babinet-Theorem wieder zu einer Verbreiterung. In diesem Fall sind die 1. Minima der sinc-Funktion bei 4π 2λ kx = ± θx = ± , (3.80) d d also gerade bei den 2. Beugungsordnungen des Gitters. Die Intensit¨at der 1. Ordnungen betr¨agt hier dann etwa 40% derjenigen der 0. Ordnung. 3-23 F¨ ur die Anwendung in Spektrometern ist es w¨ unschenswert, maximale Intensit¨at bei der 1. Beugungsordnung zu haben. Hierf¨ ur muss das Maximum der sinc-Funktion dorthin verschoben werden. Eine Verschiebung im Fourierraum (also im Beugungsbild) l¨asst sich durch eine Phasenverschiebung im Ortsraum, ein so genanntes Blaze-Gitter erreichen: x ıkB ·x (3.81a) b(x) = e rect  b  b (kx − kB ) B(x) = b · sinc (3.81b) 2 W¨ahlt man 2π b   bkx B(x) = b · sinc −π , 2 kB = so erh¨alt man (3.82) (3.83) also eine Verschiebung der sinc-Funktion um eine Beugungsordnung. W¨ahlt man jetzt b = d (dies ist jetzt m¨oglich!) so ergibt sich f¨ ur das gesamte Beugungsbild
 sin N2 kx · d kx · d
−π · H(kx ) = d · sinc 2 sin 21 kx · d

sin 21 kx · d − π sin N2 kx · d

= · 1 k sin 12 kx · d 2 x  Substitutiert man kA = kx − kB = kx − 2π d (3.84a) (3.84b) (3.85) so erh¨alt man
 sin N2 kA · d + N2 kB · d kA · d
H(kx ) = d · sinc · 2 sin 21 kA · d + 21 kB · d

sin 21 kA · d sin N2 kA · d + N · π

= · 1 k sin 12 kA · d + π 2 A

sin 21 kA · d sin N2 kA · d

= ± · 1 k sin 12 kA · d 2 A  (3.86a) (3.86b) (3.86c) Dies ist also die um π verschobene Beugungsfunktion des normalen“ Beugungsgitters. ” Abbildung 3.18: Blaze-Gitter (Wikipedia) Technisch f¨ uhrt man ein solches Gitter z.B. als Reflexionsgitter mit unter dem Winkel θB geneigten Furchen aus. Betr¨agt die H¨ohe der Furchen h = d · tan θB , so ergibt sich f¨ ur eine parallel zum Gitter einfallende ebene Welle ein Gangunterschied zwischen 0 und 2h, also ∆(x) = x · 3-24 2h d (3.87) Die Phasenverschiebung nach Gl. 3.81a betr¨agt damit x· also 4πh = kB · x d·λ 4πh 2π = kB = d·λ d hier gefordert (3.88) (3.89) Daraus folgt λ (3.90) 2 Die gew¨ unschte Eigenschaft ergibt sich damit vollst¨andig nur f¨ ur eine bestimmte Wellenl¨ange; ein solches Gitter wird daher passend f¨ ur die vorgesehene Mittenwellenl¨ange (Blaze-Wellenl¨ange) gefertigt. ¨ Ubrigens: ohne die Phasenverschiebung erh¨alt man bei b → d das Beugungsmuster eines Spalts der Breite N · d, wie es sich geh¨ort:
  sin N2 kx · d dkx
· H(kx ) = d · sinc (3.91a) 2 sin 12 kx · d

sin 21 kx · d sin N2 kx · d

(3.91b) = · 1 1 k sin k · d x x 2 2
sin N2 kx · d
= (3.91c) 1 k x 2   N ·d = N · d · sinc kx (3.91d) 2 h= 3-25 3.2 Abbildungen als Beugungsph¨ anomen 3.2.1 Bildentstehung Die Strukturen eines Objektes lassen sich durch ein zweidimensionales Spektrum von Raumfrequenzen, d.h. die zweidimensionale Fouriertransformation der Feldverteilung in der Objektebene beschreiben. Abbildung 3.19: Raumfrequenzen (aus [6]) Eine Abbildung l¨asst sich damit als eine zweimalige Fouriertransformation (mit eventueller Beschneidung der Fouriertransformierten innerhalb des Abbildungssystems) beschreiben. Abbildung 3.20: Bildentstehung als zweimalige Fouriertransformation (aus [6]) 3-26 Die Abbildungsqualit¨at l¨asst damit sich bez¨ uglich der Aufl¨osung durch den Frequenz” gang“ f¨ ur die Raumfrequenzen, bezeichnet als Modulations¨ ubertragungsfunktion (MTF) quantifizieren (s.u.). Anders betrachtet: Kleine Objekte oder Strukturen haben große Beugungswinkel. Das bedeutet z.B. wenn man einen schmalen Spalt (Abb. 3.21) oder ein Gitter (Abb. 3.22) genau abbilden will, muß man das ganze Beugungsbild u ¨bertragen . Abbildung 3.21: Abbildung eines Spaltes (aus [6]). Eingezeichnet sind Strahlen von den R¨andern des Spaltes. Abbildung 3.22: Abbildung zweier Punkte eines Beugungsgitters (aus [6]). Eingezeichnet sind Strahlen bis zur zweiten Beugungsordnung. 3-27 Fehlt ein Teil der Beugungsordnungen, so ist die Bildqualit¨at reduziert (Abb. 3.23) Abbildung 3.23: Abbildung eines Beugungsgitters (aus [6]). Hier wird nur die 1. Beu¨ gungsordnung u ur die Ubertragung der 2. Ordnung reicht der Durchmesser ¨bertragen, f¨ der Linse nicht aus. Ein anderes Maß f¨ ur die Bildqualit¨at ist die Point-Spread-Function (PSF, Punktverwaschungsfunktion): - Die PSF ist das reale Beugungsild eines unendlich kleinen Punktes, d.h. einer Deltafunktion bzw. einer Elementarwelle. - Die ideale Fouriertransformation w¨are u ¨berall konstant. - Die reale Fouriertransformation entsteht durch die Beschneidung der idealen Fouriertransformation durch eine Aperturblende sowie evtl. weiteren Verformungen. - Das reales Bild der Deltafunktion ist damit (mindestens) ein Airy-Scheibchen. Abbildung 3.24: Abbildung eines Punktes (aus [6]) 3-28 Abbildung 3.25: Unterschiedliche Aufl¨osungskriterien (aus [5]) Die Aufl¨osung eines optischen Systems wird durch den Abstand zweier Punkte in der Objektebene beschrieben, deren Bilder sich gerade noch auseinanderhalten lassen; es gibt hier unterschiedliche Bedingungen um dies zu definieren: • Das Rayleigh-Kriterium (vgl. Abbildung 3.25a) definiert die Aufl¨osung als den Abstand zweier Punkte, bei dem das Maximum der PSF des einen Punktes im ersten Minimum des anderen Punktes liegt. Dieses Kriterium wird meistens verwendet. • Das Sparrow-Kriterium (vgl. Abbildung 3.25b) nimmt zwei benachbarte Punkte erst dann als nicht unterschieden an, wenn die Bildfunktion nur noch ein Maximum besitzt. 3.2.2 Kontrast und MTF Der Kontrast eines Bildes oder einer Struktur ist definiert als k= fmax − fmin fmax + fmin (3.92) dabei sind fmax und fmin der maximale bzw. der minimale Funktionswert (z.B. Intensit¨at) Abbildung 3.26: Sinus- und Rechteckgitter [Hecht] 3-29 Sinusgitter mit Ortsfrequenz u = 1/Periode hier f (x) = 1 + cos(2πux) (3.93) Rechteckgitter mit Ortsfrequenz u = 1/Periode. [u] = lp/mm (Linienpaare/mm)
f (x) = 1 + sgn sin(2πux) = 1 + sin(2πux) 1 + sin(6πux) 3 1 + sin(10πux) + · · · 5 (3.94) (3.95) Kontrast eines Sinusgitters mit Ortsfrequenz u = 1/Periode nach Abbildung kAusgang = M T F (u) · kEingang (3.96) mit der Modulations¨ ubertragungsfunktion M T F (u) Kontrast eines Rechteckgitters mit Ortsfrequenz u = 1/Periode nach Abbildung kAusgang = R(u) · kEingang (3.97) ¨ mit der Rechteckkontrast-Ubertragungsfunktion R(u) Abbildung 3.27: Typischer Verlauf der MTF f¨ ur Systeme unterschiedlicher Qualit¨at [K¨ uhlke] 3-30 3.2.3 Bildfilterung Bildfilterung in der Fourierebene Abbildung 3.28: Bildfilterung (aus [6]) 3-31 Phasenkontrast- und Dunkelfeldmikroskopie Abbildung 3.29: Dunkelfeld- und Phasenkontrastmikroskopie (aus [5]) Abbildung 3.30: Phasenkontrastmikroskopie (aus [6]) 3-32 Kapitel 4 Laserphysik In Lasern wird spontan emittiertes Licht durch induzierte Emission verst¨arkt (Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation). Damit die induzierten Emissionsprozesse u ¨berwiegen, und es damit zu den speziellen Eigenschaften der Laserstrahlung kommt, muß entweder die Lichtverst¨arkung bei einem Durchlauf groß genug sein (Superstrahler), oder es muß f¨ ur einen mehrfachen Durchgang der Laserphotonen durch das verst¨arkende Material gesorgt werden. Dies f¨ uhrt zu der charakteristischen Laseranordnung aus aktivem Material und Spiegeln. Die wesentlichen Bestandteile eines Lasers sind also ein Verst¨arkungsmedium und ein Resonator. 4.1 4.1.1 Laserdynamik Strahlungsu ange ¨ berg¨ Der Energieaustausch zwischen Licht und Materie kann durch die in Abbildung 4.1 dargestellten drei verschiedenen Strahlungs¨ uberg¨ange beschrieben werden: die spontane Emission, die Absorption und die induzierte Emission: ¨ Abbildung 4.1: Uberg¨ ange im 2-Niveau-System (aus [2]) ¨ Dabei soll hier zun¨achst nur der Ubergang zwischen zweien der vielen m¨oglichen Zust¨ande verschiedener Energie, sogenannter Energieniveaus, betrachtet werden, in denen ein Atom ¨ sich befinden kann. Die Frequenz f12 der Strahlung f¨ ur den Ubergang zwischen den Niveaus E1 und E2 h¨angt mit der Energiedifferenz wie folgt zusammen: hf12 = E2 − E1 (4.1) dabei ist h das Plancksche Wirkungsquantum (6, 626 · 10−34 Js). Die ausgestrahlte Strahlungsmenge mit der Energie hf 1 2 wird als ein Photon oder Lichtquant bezeichnet. Der 4-1 Energiezustand des Atoms mit der niedrigsten Energie wird als Grundzustand bezeichnet, alle anderen als angeregte Zust¨ande. Die Anzahldichten der Atome in den verschiedenen Zust¨anden werden als Besetzungen dieser Zust¨ande bezeichnet, die Besetzungen h¨angen von der Temperatur ab. Normalerweise, d.h. ohne Wechselwirkung mit einem Lichtfeld, sind die Besetzungen der angeregten Zust¨ande sehr klein im Verh¨altnis zu der des Grundzustandes. Zun¨achst wird nur der eigentliche Laser¨ ubergang als 2-Niveau-System betrachtet. N1 und N2 bezeichnen die Teilchenzahldichten ([Ni ] = 1/m3 ) im Grund- bzw. angeregten Zustand. Spontane Emission Befindet sich ein Atom im oberen Zustand 2, so kehrt es nach einiger Zeit wieder in den unteren Zustand 1 zur¨ uck und sendet dabei Strahlung mit der Frequenz f12 aus. Dieser Vorgang wird als spontane Emission bezeichnet. Die Zeit, die das Atom im oberen Zustand bleibt, ist statistisch verteilt, ihr Mittelwert wird als nat¨ urliche Lebensdauer oder spontane Lebensdauer τ des oberen Zustands bezeichnet. Die Zahl der Emissionsprozesse pro Volumeneinheit und Zeitintervall ist gegeben durch: N2 1 dN2 =− = −Γ · N2 mit Γ = (4.2) dt τ τ dies beschreibt eine exponentielle Abnahme der Besetzung des angeregten Zustandes mit der Zeitkonstanten Γ. Die spontane Emission kann in beliebige Richtungen erfolgen, Phase und Polarisation der emitierten Wellen sind zuf¨allig. Absorption Befindet sich ein Atom im unteren Zustand 1, so kann es durch Absorption eines Photons mit der Energie hf12 in den oberen Zustand gelangen. Zur Absorption wird eingestrahltes Licht mit der passenden Frequenz f12 und einer endlichen Bestrahlungsst¨arke (Intensit¨at) I, [I] = W/m2 ben¨otigt. Es gilt f¨ ur die Abnahme der Intensit¨at l¨angs eines Weges x: dI = −σ12 N1 I (4.3) dx dabei ist σ12 der Wirkungsquerschnitt f¨ ur Absorption [σ] = m2 , letzterer entspricht der Querschnittsfl¨ache, mit der die Atome/Molek¨ ule absorbieren. Induzierte (stimulierte) Emission Der zur Absorption umgekehrte Prozess ist die stimulierte Emission. In einem Strahlungsfeld k¨onnen angeregte Atome durch Photonen stimuliert werden, unter Abgabe eines weiteren Photons in den unteren Zustand u ur die Zunahme der Intensit¨at I ¨berzugehen. F¨ l¨angs des Weges x gilt analog zu 4.3: dI = +σ21 N2 I (4.4) dx dabei ist σ21 der Wirkungsquerschnitt f¨ ur stimulierte Emission. Die beiden Wirkungsquerschnitte σ12 f¨ ur die Absorption und σ21 f¨ ur die stimulierte Emission sind in der Regel gleich und werden im Weiteren einfach als σ bezeichnet. Bei der stimulierten Emission sind die das stimulierende und das neu emittierte Photon, nach Frequenz, Richtung, Polarisation und Phase identisch (koh¨arent). Dieser Mechanismus ist also zur Verst¨arkung eines vorhandenen Lichtfeldes geeignet. 4-2 Verst¨ arkung des Lichtfeldes Faßt man Absorption und induzierte Emission zusammen, erh¨alt man: dI = σ(N2 − N1 )I dx (4.5) ¨ Durch Integration erh¨alt man f¨ ur die Anderung der Intensit¨at I entlang der Strecke x G≡ I = eσ(N2 −N1 )x = egx I0 (4.6) dabei ist G der Verst¨arkungsfaktor und g = σ(N2 − N1 ) die differentielle Verst¨arkung. Es tritt nur dann eine Verst¨ arkung auf, wenn sich mehr Atome im oberen als im unteren Energiezustand befinden (N2 > N1 ). Dieser Zustand wird als Inversion bezeichnet. ¨ Im Folgenden werden der obere und untere Zustand des zur Verst¨arkung dienenden Uber¨ gangs als oberer Laserzustand und unterer Laserzustand bezeichnet, der Ubergang selbst ¨ als Laser¨ ubergang. Die Ubergangsfrequenz f12 wird im Folgendes als ν bezeichnet. 4.1.2 Laser-Ratengleichungen In diesem Abschnitt soll ein Satz von Differentialgleichungen zur Beschreibung der Inversion und der Intensit¨at des Lichtfeldes (Photonendichte) im Laser hergeleitet werden. Dazu sind zun¨achst noch einige Umformungen der bereits eingef¨ uhrten Gleichungen n¨otig. 1. Zun¨achst einmal wird die Verst¨arkung (oder Schw¨achung) des Lichtfeldes durch die induzierten Prozesse ebenfalls als Funktion der Zeit dargestellt. Dazu wird benutzt, dass sich das Licht mit der Geschwindigkeit c ausbreitet. dI dI dI =c· ⇒ = c · σ(N2 − N1 )I dt dx dt (4.7) 2. Als n¨achstes wird die Intensit¨at (Energiestromdichte) I durch die Photonenzahldichte p ersetzt. Damit werden sowohl die Atome als auch das Licht als Teilchen ¨ betrachtet, der Ubergang eines Atoms entspricht der Emission oder Absorption eines Photons. Energiedichte: E = p · hν V (4.8) Energiestromdichte: E = p · hν · c V (4.9) dp = c · σ(N2 − N1 )p dt (4.10) I =c· damit wird aus Gleichung 4.7 3. Aus dem Laser soll Laserstrahlung ausgekoppelt werden, dies stellt einen Verlustmechanismus f¨ ur die Photonenzahl im Resonator dar, weiterhin sind Verluste durch 4-3 Absorption, Streuung oder Beugung m¨oglich. Die Verluste werden als ein exponentieller Zerfall angenommen, mit der Resonatorlebensdauer τph . Damit lautet die Differentialgleichung f¨ ur die Photonenzahldichte: dp p = c · σ(N2 − N1 )p − (4.11) dt τph | {z } |{z} Verst¨arkung Verluste Diese Gleichung zeigt schon eine wichtige Bedingung f¨ ur den Betrieb eines Lasers: Wenn die Photonenzahl nicht abnehmen soll, darf die Verst¨ arkung nicht kleiner als die Verluste sein! 4. Die Differentialgleichungen f¨ ur die Besetzungen lauten jetzt dN1 = c · σ(N2 − N1 )p +ΓN2 dt dN2 = −c · σ(N2 − N1 )p −ΓN2 | {z } dt | {z } induziert (4.12) spontan 5. Da ja offensichtlich die Inversion wichtig f¨ ur die Verst¨arkung ist, werden jetzt statt der einzelnen Besetzungen die Inversion n = N2 − N1 und die (zun¨achst konstante) Gesamtteilchendichte ntot = N2 + N1 betrachtet. Damit ergeben sich die gesuchten zwei Differentialgleichungen f¨ ur Inversion und Photonendichte. dn = −2σ · c · p · n − Γ(n + ntot ) (4.13) dt   dp 1 = c·σ·n− p (4.14) dt τph 6. Gleichung 4.13 beschreibt eine Abnahme einer vorhandenen Inversion n > 0 (beide Terme auf der rechten Seite der Gleichung sind dann negativ) und zwar auf den (negativen) Wert 1 1 · ntot = − · ntot ; (4.15) n ˜=− 1 + 2σ · c · p/Γ 1 + 2σ · c · p · τ wenn n klein genug ist, beschreibt dann Gleichung 4.14 auch eine Abnahme der Photonendichte. Einfu ¨ hrung eines Pumpmechanismus Das im vorigen Abschnitt beschriebene Verhalten entspricht im Groben den Erkenntnissen der statistischen Thermodynamik: im thermischen Gleichgewicht ist der Grundzustand am st¨arksten besetzt. Eine Inversion bedeutet also eine Umkehr (das ist auch die Wortbedeutung) der Gleichgewichtssituation, deren Aufrechterhaltung wird als Pumpen das Lasers bezeichnet. Im bisher betrachteten 2-Niveau-System konkurrieren stimulierte Emission und Absorption. Zus¨atzlich kommt es zu einer Entv¨olkerung des oberen Niveaus durch spontane Emissi¨ on. Eine Inversion ist prinzipiell nicht m¨oglich. Es m¨ ussen also weitere Uberg¨ ange zu Hilfe genommen werden, d.h. f¨ ur einen Laser m¨ ussen einerseits geeignete Verst¨arkungsmedien ¨ und andererseits Quellen und Ubertragungsmechanismen f¨ ur die Pumpenergie gefunden oder hergestellt werden um eines der folgenden Schemata zu realisieren: 4-4 Abbildung 4.2: Schematische Darstellung verschiedener Niveauschemata. Der fette Pfeil bezeichnet den Laser¨ ubergang. 3-Niveau-Laser Im 3-Niveau-System sind im thermischen Gleichgewicht die Niveaus 2 und 3 praktisch nicht besetzt, der Laser¨ ubergang ist von Niveau 2 in den Grundzustand 1. Die Anregung, z.B. durch Elektronenstoß oder Einstrahlung von Licht passender Frequenz erfolgt in das Niveau 3 mit der Pumprate Wp . Erfolgt jetzt eine sehr schnelle Entleerung nach 2 (d.h. es wird angenommen, dass die Besetzung N3 = 0 ist), z.B. durch inelastische St¨oße, so wird der Umkehrprozess des Pumpvorgangs durch induzierte Emission verhindert und es wird praktisch in das obere Laserniveau 2 gepumpt: dN1 = c · σ(N2 − N1 )p dt dN2 = −c · σ(N2 − N1 )p | {z } dt induziert +ΓN2 −Wp N1 −ΓN2 | {z } + Wp N1 | {z } spontan (4.16) gepumpt bzw. dn = −2σ · c · p · n − Γ(n + ntot ) + Wp (ntot − n) dt   1 dp = c·σ·n− p dt τph (4.17) (4.18) 4-Niveau-Laser Im 4-Niveau-System ist das untere Niveau des Laser¨ ubergangs nicht der Grundzustand (hier jetzt 0), sondern ein Niveau dar¨ uber, das normalerweise leer ist. Das Pumpen erfolgt jetzt, mit den gleichen Bedingungen wie im 3-Niveau-System mit einer Anregung von ¨ Niveau 0 nach Niveau 3 mit nachfolgendem schnellen Ubergang nach Niveau 2, dem m¨oglichst langlebigen oberen Laserniveau. Damit der Laser arbeiten kann, muss das untere Laserniveau 1 durch einen nichtstrahlenden Prozess schnell entv¨olkert werden, weil sonst die Inversion nicht mehr gegeben ist; ist dies der Fall, so wird analog zum Pumpprozess angenommen, dass N1 =0 ist. Es gilt dann n = N2 und ntot = N0 + N2 und somit dn = −σ · c · p · n − Γ · n + Wp (ntot − n) dt   dp 1 = c·σ·n− p dt τph Die meisten Gaslaser sind 4- Niveau-Laser. 4-5 (4.19) (4.20) Laser-Ratengleichungen Fasst man die Resultate f¨ ur den 3- und den 4-Niveau-Laser zusammen, so ergeben sich folgende Gleichungen: dn = −γ · σ · c · p · n − Γ (n + (γ − 1) ntot ) + Wp (ntot − n) dt   dp 1 = c·σ·n− p dt τph (4.21) (4.22) mit γ = 2 f¨ ur 3-Niveau-Laser; γ = 1 f¨ ur 4-Niveau-Laser Einschub: Lotka-Volterra Die Lotka-Volterra-Gleichungen stellen ein Modell f¨ ur Populationsdynamik in der Biolo¨ gie/Okologie, z.B. f¨ ur Raub- und deren Beutetiere dar. Sie wurden etwa um 1925 aufgestellt. Das Gleichungssystem ist den Laser-Ratengleichungen sehr ¨ahnlich, und es zeigen sich auch sehr ¨ahnliche Verhaltensweisen. Die Anzahl der Beutetiere B, die ben¨otigt werden um die Raubtiere zu f¨ uttern, entspricht dabei der Inversion n, die ben¨otigt wird um das Lichtfeld zu verst¨arken: die Anzahl der Raubtiere R entspricht damit der Photonendichte p. dB = −γ1 R · B + ε1 B dt γ1 : Fressrate der R¨auber pro Beutetier, ε1 : Reproduktionsrate der Beute bei viel Nahrung dR = +γ2 R · B − ε2 R dt γ2 : Reproduktionsrate der R¨auber pro gefressene Beute, ε2 : Sterberate der R¨auber ohne Beute 4.1.3 Station¨ are Zust¨ ande Zur Beschreibung der m¨oglichen Betriebszust¨ande eines Lasers und der dazugeh¨origen Bedingungen f¨ ur die Parameters sollen zun¨achst station¨are Zust¨ande der Ratengleichungen betrachtet werden. F¨ ur die Inversion gilt dann: Wp − (γ − 1)Γ dn = 0 ⇒ n = ntot · dt γ · c · σ · p + Wp + Γ (4.23) Unterhalb der Laserschwelle (Photonendichte 0) Zun¨achst werde die Situation ohne Lasert¨atigkeit betrachtet, d.h. bei der Photonendichte p = 0 ergibt sich die Inversion n0 gem¨aß   dp Wp − (γ − 1)Γ = 0 ∧ p = 0 ⇒ n0 = ntot · (4.24) dt Wp + Γ Betrachtet man die beiden m¨oglichen Niveauschemata, so folgt: 4-6 Beim 3-Niveau-Laser (γ = 2) l¨asst sich Inversion nur erzeugen, wenn die Pumprate Wp gr¨oßer als die spontane Zerfallsrate Γ ist: n0 = ntot · Wp − Γ Wp + Γ (4.25) Beim 4-Niveau-Laser (γ = 1) l¨asst sich bei beliebig kleinen Pumpraten Inversion erzeugen: n0 = ntot · Wp Wp + Γ (4.26) Oberhalb der Laserschwelle (Photonendichte > 0) F¨ ur die weiteren Rechnungen wird die S¨attigungsphotonendichte ps definiert: ps = Wp + Γ γ·c·σ (4.27) mit diesem Begriff ergibt sich die Inversion f¨ ur den Fall p > 0, also im Laserbetrieb, als n0 n(p) = 1+ p ps (4.28) Wieder auf die anschaulicheren Gr¨oßen bezogen ergibt sich als Zusammenhang zwischen Intensit¨at I = h · ν · c · p und differentieller Verst¨arkung g = σ · n: g0 g(I) = (4.29) I Is Derartige Zusammenh¨ange werden als S¨attigungsverhalten bezeichnet: die Inversion bzw. Verst¨arkung ist ungef¨ahr konstant wenn p  ps bzw. I  Is ist, und ungef¨ahr umkehrt proportional zu p bzw. I wenn diese groß gegen¨ uber der S¨attigungsphotonendichte bzw. S¨attigungsintensit¨at sind. Die Verst¨ arkung nimmt also bei zunehmender Laserintensit¨ at ab! Das Verh¨altnis der Photonendichte zur S¨attigungsphotonendichte beschreibt n¨aherungsweise das Verh¨altnis von spontanen und induzierten Emissionsprozessen: vernachl¨assigt man (f¨ ur diese Betrachtung) die Pumprate, so ist 1+ ps ≈ Γ γ·c·σ (4.30) das Verh¨altnis aus induzierter Emissionrate c · σ · p und spontaner Emissionsrate Γ. Bei kleiner Photonendichte u ¨berwiegen also die spontanen Emissionsprozesse, bei großer Photonendichte die induzierten, d.h. die Lebensdauer eines Teilchens im oberen Laserzustand ist dann viel k¨ urzer als die spontane Lebensdauer τ = 1/Γ. 4-7 Laserschwelle Ein Laserresonator ist eine Anordnung aus zwei oder mehr Spiegeln, in der das Licht einen geschlossenen Weg der L¨ange L zur¨ ucklegt. Bei zwei Spiegeln ist L der doppelte Spiegelabstand. Es ben¨otigt dazu die Umlaufzeit τUmlauf = L c (4.31) W¨ahrend eines Resonatorumlaufs ergeben sich die Verluste f¨ ur das Lichtfeld durch Absorption im Lasermedium oder irgendwo auf dem Weg durch den Resonator (beschrieben durch Transmission T ≤ 1) und durch die Auskopplung an einem Spiegel (beschrieben durch Reflexion R < 1). Der Zusammenhang mit der Resonatorlebensdauer τph ist damit R·T =e   τ − Umlauf τ (4.32) ph Die Verst¨arkung auf einem Umlauf ist, analog zu Gleichung 4.6 G = eσ·n·L (4.33) Bei Laserbetrieb soll die Photonendichte nicht abnehmen: dp 1 ≥0→c·σ·n≥ dt τph (4.34) damit gilt f¨ ur die Inversion n die Bedingung n ≥ nth = 1 c · σ · τph (4.35) Die Inversion muss also mindestens gleich der Schwellinversion (threshold) nth sein. Die Pumprate, die ben¨otigt wird, um nth bei p = 0 zu erzeugen Laser an der Schwelle“, ” wird als Schwellpumprate Wth bezeichnet: Wth = Γ(ntot · (γ − 1) + nth ) ntot − nth (4.36) Integriert man dies, so ergibt sich (c·σ·n− τ 1 )τUmlauf p(τUmlauf ) ≥ p(0) · e ≥ p(0) · ph σ·n·L |e {z } Verstaerkung ≥ p(0) · G · R · T −τUmlauf τph · |e {z } Verluste (4.37) Damit lautet die Laserbedingung: G·R·T ≥1 4-8 (4.38) Station¨ arer Laserbetrieb F¨ ur einen station¨aren Zustand endlicher Photonendichte gilt dann in den vorstehenden Ungleichungen das Gleichheitszeichen: 1 1 dp = 0 ∧ p 6= 0 ⇒ c · σ · n − = 0 ⇒ n = nth = (4.39) dt τph c · σ · τph Das bedeutet, dass bei endlicher station¨arer Photonendichte die Inversion immer gleich der Schwellinversion ist. Die Photonendichte steigt also so weit an, bis die durch das Pumpen erzeugte Inversion auf den Wert der Schwellinversion abgebaut ist. Damit l¨asst sich aus Gleichung 4.28 die Photonendichte als Funktion der Pumprate berechnen:   n0 − nth p = ps (4.40) nth Wp (ntot − nth ) − Γ((γ − 1)ntot + nth ) (4.41) = γ · σ · c · nth (ntot − nth )(Wp − Wth ) · τph p = f¨ ur Wp > Wth (4.42) γ die Photonendichte steigt also oberhalb der Schwellpumprate linear an. Unterhalb der Schwellpumprate ist die Photonendichte Null. Es ist dabei zu rekapitulieren, dass der Parameter nth sowohl von σ, einer Eigenschaft des Lasermediums und von τph , d.h. im Wesentlichen der G¨ ute des Resonators abh¨angt. Wth h¨angt noch von einer weiteren Eigenschaft des Lasermediums, der spontanen Zerfallsrate Γ ab. Ausgekoppelte Leistung F¨ ur die Anwendung des Lasers ist weniger die resonatorinterne Photonendichte sondern eher die ausgekoppelte Leistung von Interesse. Geringere Reflektivit¨at des Auskoppelspiegels f¨ uhrt dazu, dass ein gr¨oßerer Anteil der im Resonator umlaufenden Leistung ausgekoppelt wird – aber auch zu gr¨oßeren Verlusten. Diese Verluste lassen sich darstellen als   ln R ln(1 − Tm ) Tm dp =p· =p· ≈ −p · (4.43) dt a τUmlauf τUmlauf τUmlauf dabei ist Tm die Transmission des Spiegels. Die ausgekoppelte Leistung ist damit   dp (ntot − nth )(Wp − Wth ) τph Pa = −h · ν · V · = −h · ν · V · ln R (4.44) dt a γ τUmlauf dabei ist V das Volumen des Resonators. Die tats¨achlich ausgekoppelte Leistung h¨angt damit von den Resonatoreigenschaften ab u ¨ber das Verh¨altnis τph ln R Tm − ln R = ≈ (4.45) τUmlauf ln(T · R) A + Tm dabei beschreibt A die Absorption, d.h. diejenigen Verluste, die nicht durch Auskopplung entstehen. Es folgt also (ntot − nth )(Wp − Wth ) Tm Pa ≈ h · ν · V (4.46) γ A + Tm Eine große Transmission des Auskoppelspiegels f¨ uhrt nicht unbedingt zu deutlich h¨oherer Leistung; wenn die sonstigen Verluste nicht vernachl¨assigbar sind, l¨asst sich diese aber durch die Wahl der Transmission optimieren. 4-9 4.1.4 Zeitabh¨ angiges Verhalten Aus Gr¨ unden der Vereinfachung werden im Folgenden nur 4-Niveau-Laser betrachtet. Relaxationsoszillationen Betrachtet man eine kleine Abweichung ∆n, ∆p vom station¨aren Zustand n ¯ , p¯ n = n ¯ + ∆n, | ∆n |  n ¯ , n  ntot p = p¯ + ∆p, | ∆p |  n ¯ (4.47) (4.48) und setzt man diese in die Ratengleichungen ein, wobei man Ausdr¨ ucke der Ordnung ∆n∆p vernachl¨assigt, so erh¨alt man d∆n ∆p = −(σ · c · p¯ + Γ)∆n − dt τph d∆p = σ · c · p¯ · ∆n dt (4.49) (4.50) Hieraus l¨asst sich ∆p eliminieren und man erh¨alt d∆n σ · c · p¯ d2 ∆n + (σ · c · p ¯ + Γ) + ∆n = 0 dt2 dt τph (4.51) Diese Gleichung beschreibt ged¨ampfte harmonische Schwingungen mit der Frequenz r σ · c · p¯ ω0 = (4.52) τph Zumindest bei Festk¨orperlasern tritt hier der Schwingfall ein, die ged¨ampften Schwingungen werden dann als Relaxationsoszillationen bezeichnet. Bei Gaslasern ergibt sich eine u ¨berkritische D¨ampfung, d.h. der Laser kehrt ohne Oszillationen zum Gleichgewicht zur¨ uck ( Kriechfall“). ” Der Ablauf solcher Oszillationen kann z.B. wie folgt sein • Zun¨achst werde eine Abweichung vom Gleichgewicht pr¨apariert, z.B. durch eine pl¨otzliche Reduktion der Pumpleistung. Die Inversion bleibt dabei auf der Schwellinversion n ¯ = nth , dies ist der alte und neue Gleichgewichtswert. • Die momentane Photonendichte ist f¨ ur die neue, geringere Pumpleistung zu hoch: p = p¯neu + ∆p. • Die Inversion sinkt daraufhin unter die Schwellinversion (mehr induzierte Emission): n→n ¯ − ∆n • Daraufhin nimmt die Photonendichte ab (keine Verst¨arkung mehr). . . • Daraufhin nimmt die Inversion wieder zu (weniger induzierte Emission) . . . • usw. 4-10 Spiking Bei gr¨oßeren Abweichungen treten nichtlineare Oszillationen auf, bei denen Laser-Pulse entstehen k¨onnen; d.h. die Schwellinversion wird so weit unterschritten, dass das Laserfeld zusammenbricht. Z.B. • Beim Einschalten der Pumpquelle baut sich schnell die Inversion auf • Bedingt durch die relativ geringe Resonatorg¨ ute baut sich die Photonendichte relativ langsam auf • Die Inversion w¨achst daher schneller an, als sie durch das sich aufbauende Photonenfeld abgebaut wird, sie w¨achst daher bis weit u ¨ber die Laserschwelle an • Bei der jetzt sehr großen Inversion w¨achst das Lichtfeld schneller, es baut sich ein großer Puls auf. • Die Photonendichte u ¨berschreitet den Gleichgewichtswert, daher wird jetzt die Inversion st¨arker angebaut und sinkt unter die Schwellinversion. Gem¨aß der Ratengleichungen tritt das Maximum der Photonendichte auf, wenn die Inversion den Wert der Schwellinversion durchl¨auft. • Die Photonendichte ist immer noch recht groß, die Inversion sinkt weiter. • Das Lichtfeld wird st¨arker ged¨ampft als verst¨arkt und bricht wieder zusammen. • Die Inversion erreicht ihr Minimum, wenn die Photonendichte den station¨aren Wert unterschreitet und w¨achst dann wieder an Dies geht so weiter, mit abnehmender Pulsh¨ohe, bis der Laser im station¨aren Zustand ist. Abbildung 4.3: Laser-Spiking 4-11 4.2 4.2.1 Gaußsche Strahlen Strahlausbreitung Die Verteilung der komplexen Feldst¨arkeamplitude eines Gaußschen Strahls ist durch ψ = ψ0 2 πr2 1 −r p · e−i λR · ei arctan(z/zr ) · e w2 1 + (z/zr )2 | {z } | {z } {z } | {z } | Guoy phase Gaußprofil Wellenfrontkr¨ ummung Strahlaufweitung (4.53) gegeben, dabei ist r der Abstand von der optischen Achse und z die longitudinale Koordinate entlang der Ausbreitungsrichtung. Abbildung 4.4: Strahlprofil eines Gaußschen Strahls. Der Strahlradius w ist der Abstand von der optischen Achse, bei dem die Intensit¨at I(r) (Abbildung 4.4), r 2 I(r) = I e−2( w ) , (4.54) 0 auf den e−2 -ten Teil der Spitzenintensit¨at I0 abgefallen ist. Bei einem Radius von p r1/e = w · 1/2 ≈ 0.7071w (4.55) ist die Intensit¨at auf den 1/e-ten Teil der Spitzenintensit¨at I0 abgefallen. Der Strahlradius h¨angt mit der Halbwertsbreite d1/2 , d.i. der Durchmesser des Strahlprofils bei halber Spitzenintensit¨at I = 12 I0 , wie folgt zusammen: d1/2 = w · √ 2ln2 ≈ 1.1774w (4.56) Die Strahltaille ist der Ort mit minimalem Strahlradius w = w0 und ebener Wellenfront. Die longitudinale Koordinate z ist so gew¨ahlt, daß die Strahltaille bei z = 0 liegt. Ausgehend von der Strahltaille w¨achst, durch Beugung, der Strahlradius an; das Strahlprofil bleibt aber gaußf¨ormig. Die ange zr ist der Abstand zur Strahltaille, in dem der Strahlradius auf √ Rayleigh-L¨ 2w0 angewachsen ist. Sie stellt die signifikante L¨angenskala f¨ ur alle Ausbreitungseffekte eines Gaußschen Strahls dar. πw02 zr = (4.57) λ 4-12 Abbildung 4.5: Ausbreitung eines Gaußschen Strahls. Der Strahlradius ver¨andert sich mit z wie s w(z) = w0  1+ z zr 2 (4.58) F¨ ur kleine Abst¨ande (z  zr ) ist der Strahlradius praktisch konstant. Asymptotisch (z  zr ) steigt der Strahlradius linear mit dem Abstand – also wie in der Strahlenoptik – an. Der Divergenzwinkel θ ist dann gegeben durch zzr w ≈ θz, θ= w0 λ = πw0 zr Die Wellenfrontkru ¨ mmung R ver¨andert sich mit z wie   z 2  r R(z) = z 1 + z (4.59) (4.60) F¨ ur z = 0 ist die Wellenfront eben (R = ∞), f¨ ur z  zr f¨allt der Kr¨ ummungsradius dann mit 1/z. Asymptotisch (z  zR ) liegt eine Kugelwelle (R ≈ z) vor. 4.2.2 Charakterisierung eines Gaußschen Strahls Die Zusammenh¨ange des vorangegangenen Abschnitts ergeben, daß sich ein Gaußscher Strahl hinsichtlich seiner Ausbreitungseigenschaften durch folgende Kombinationen von Parametern beschreiben l¨aßt: • Strahlradius w, Wellenl¨ange λ und Wellenfrontkr¨ ummung R • Strahlradius w oder w0 , Wellenl¨ange λ und Abstand z von der Strahltaille • Rayleigh-L¨ange zr und Abstand z von der Strahltaille • komplexer Strahlparameter q, πw02 = λ 1 1 λ = −i 2 q R πw q = z+i 4-13 z + izr (4.61) (4.62) 4.2.3 Strahltransformation durch eine Linse Eine Linse mit Brennweite f , angeordnet im Abstand z von der Strahltaille, bewirkt eine Transformation des komplexen Strahlparameters q → q 0 . Dabei wird ebenfalls der Nullpunkt der z-Achse ge¨andert: d.h. z 0 = 0 ist der Ort der neuen Strahltaille, −z 0 ist der Abstand von der Linse zur neuen Strahltaille q0 = q 1 − q/f (4.63) Abbildung 4.6: Strahltransformation durch eine Linse. ¨ Anderung der einzelnen Parameter: −z 0 = f · zr0 =  zr2 + (z − f )z zr2 + (z − f )2  =f· 1+ 1+ f 2 zr f2 1 = · 2 2 (z−f zr + (z − f ) zr 1 + 2 )2 z (z−f )z zr2 (z−f )2 zr2 ! (4.64) (4.65) r w00 fλ 1 = ·q )2 πw0 1 + (z−f z2 (4.66) r N¨ aherung: kollimiert → fokussiert : Ist der ankommende Strahl kollimiert, d.h. ein Strahl mit sehr großem Durchmesser und damit sehr großer Rayleigh-L¨ange, so ist die genaue Position der Linse zur Strahltaille unerheblich: zr  z, |z − f | −z 0 ≈ f f2 zr0 ≈ zr fλ w00 ≈ πw0 (4.67) (4.68) (4.69) (4.70) Gleichung ?? bedeutet: je gr¨oßer der kollimierte Strahl, desto kleiner der Fokus! 4-14 Abstand charakterisiert durch Rayleighl¨ ange: Dr¨ uckt man den Abstand der Linse zur Strahltaille des ankommenden Strahls mit Hilfe der Rayleigh-L¨ange aus so ergibt sich eine sehr u ¨bersichtliche Darstellung: z = f + x · zr f2 1 0 · zr = zr 1 + x2 (4.71) (4.72) −z 0 = f + x · zr0 = f + w00 = x f2 1 + x2 zr 1 fλ ·√ πw0 1 + x2 (4.73) (4.74) Diese Darstellung zeigt, daß die Rayleigh-L¨ange unmittelbar ein Maß der Genauigkeitsanforderungen f¨ ur die longitudinale Position ist! Die Wellenfrontkru ¨ mmung (nach Gl. 4.60) in der Brennebene der Linse ist gegeben durch z 0 = −x · zr0 = − R = − x f2 1 + x2 zr 1 f2 x zr (4.75) (4.76) Spezialfall z = f ergibt die maximale Strahltaille bzw. Rayleighl¨ange f2 zr = f fλ = πw0 zr0 = −z 0 w00 (4.77) (4.78) (4.79) Spezialfall z = f + zr ergibt den maximalen Abstand der Strahltaille f2 2zr = f + zr0 1 fλ = √ 2 πw0 zr0 = −z 0 w00 4.2.4 (4.80) (4.81) (4.82) Strahltransformaion durch ein mit der ABCD-Matrix beschriebenes optisches System Die Transformation eines Gaußschen Strahls durch ein Linsensystem, das mit einer ABCDMatrix (siehe Abschnitt 2.1) wird beschrieben als q0 = Aq + B , Cq + D (4.83) dabei ist q der komplexe Strahlparameter vor der Transformation, q 0 nach der Transformation. A, B, C und D sind die gleichen Marixelemente wie in der paraxialen Optik. 4-15 4.2.5 Strahlaufweitung Unter einer Strahlaufweitung versteht man die Transformation eines kollimierten Strahls mit Radius w0 in einen kollimierten Strahl mit anderem, i.A. gr¨oßerem Radius w000 . Es sind hierzu zwei Linsen notwendig, wobei die erste Linse eine sehr kleine (reelle oder virtuelle) Strahltaille w00 erzeugt und die zweite Linse den stark divergenten Strahl dann wieder kollimiert. Dabei ist eine genaue Positionierung der ersten Linse nicht n¨otig (siehe Gln. ??, die Annahme ist x2  1), die zweite Linse muß wegen der sehr kleinen Rayleighl¨ange sehr pr¨azise positioniert werden (siehe Gln. 4.2.3): −z 00 zr00 w000  0 2 f x0 = f 0 + x0 · zr00 ≈ f + zr · 0 2 1 + (x ) f  0 2 f 1 ≈ zr · 0 2 1 + (x ) f  0 1 f ≈ w0 · p 0 2 f 1 + (x ) 0 (4.84) (4.85) (4.86) Die Wellenfrontkr¨ ummung (nach Gl. 4.60) in der N¨ahe der Brennebene der zweiten Linse ist gegeben durch z 00 ≈ −x0 · zr00 1 f 02 R = −zr 0 2 x f 02 f = 0 0 x zr (4.87) (4.88) (4.89) wobei x0 zr0 die reale Abweichung des Linsenabstands von der Summe de Brennweiten ist. Das Verh¨altnis zwischen dem Radius des ankommenden Strahls, w0 , und dem Radius des Strahls auf der zweiten Linse, w00 ist das Verh¨altnis der Brennweiten: w00 f0 ≈ w0 f Abbildung 4.7: Strahlaufweitung mit zwei Linsen. 4-16 (4.90) Ziel der Strahlaufweitung ist es meistens, f¨ ur eine Strahlpropagation u ¨ber eine sehr lange Strecke l die Divergenz zu verringern. Als optimale Kollimation f¨ ur solch eine Situation wird die Strahlaufweitung bezeichnet, bei der die Strahldurchmesser an Anfang und Ende ¨ der Strecke minimal sind, also Optiken mit m¨oglichst kleinen Offnungen benutzt werden k¨onnen. Dies ist dann gegeben, wenn 00 −z = zr00 π(w000 )2 = l/2 = λ (4.91) ist, also die Strahltaille in der Mitte der zu u uckenden Entfernung, jeweils eine ¨berbr¨ Rayleigh-L¨ange von Anfang und Ende entfernt liegt. Dies ist nach Gl. ?? erf¨ ullt, unter der zus¨atzlichen Annahme, daß die zu u uckende L¨ange groß gegen die Brennweite ¨berbr¨ der zweiten Linse ist, wenn l/2  f 0 , x0 ≈ 1 r f0 l ≈ . f zr Abbildung 4.8: Optimale Kollimierung. 4-17 (4.92) (4.93) (4.94) 4.2.6 Beugungsverluste und Raumfilterung Beugungsverluste Die Leistung Pt eines Gaußschen Strahls mit Spitzenintensit¨at I0 betr¨agt Pt = πw2 I0 2 (4.95) Wird ein Gaußscher Strahl durch eine Blende – d.h. irgendeine optische Komponente ¨ mit begrenzter Offnung – von Radius r bzw. Durchmesser D begrenzt, so betr¨agt die transmittierte Leistung P (r) bzw. P (D):   r 2 (4.96) P (r) = Pt 1 − e−2( w )   1 D 2 P (D) = Pt 1 − e− 2 ( w ) (4.97) H¨aufig betrachtete Blendendurchmesser sind 3w(98.89%), πw(99.28%) oder 4w(99.97%). Abbildung 4.9: Transmission eines Gaußschen Strahls (Radius a) durch eine Blende (Radius r). Wird ein zu großer Teil der Leistung zur¨ uckgehalten, so ¨außert sich die Interferenz zwischen dem idealen Gaußschen Strahl und dem durch die Blende abgeschnittenen, feh” lenden“ Feld in deutlich sichtbaren Beugungsringen. H¨aufig wird ein Blendendurchmesser von 6w, der noch einen Verlust von 1.5 × 10−8 verursacht, als sicher“ groß genug be” trachtet um in Experimenten wie in numerischen Simulationen solche Beugungseffekte vernachl¨assigen zu d¨ urfen. 4-18 Raumfilterung Bei jeglicher Abbildung mit einer Linse entspricht die Feldverteilung in der bildseitigen Brennebene der Fouriertransformierten der Feldverteilung in der objektseitigen Brennebene. Ein ausgedehnter Gaußscher Strahl, dessen Profil durch Beugung an kleinen Verunreinigungen, Staubteilchen etc. gest¨ort ist (Abb. 4.10a), hat eine Fouriertransformierte, in der der ungest¨orte Strahl und die St¨orungen deutlich getrennt sind (Abb. 4.10b). a) b) Abbildung 4.10: a) Strahlprofil und b) Fouriertransformierte eines gest¨orten Gaußschen Strahls. dn : typische Gr¨oße der St¨orungen, F : Brennweite der Linse, a: Strahlradius. Bei der Raumfilterung wird der Strahl fokussiert und eine Blende in der Fokusebene eingesetzt, die gerade den ungest¨orten Strahl durchl¨aßt und die St¨orungen blockiert. Abbildung 4.11: Raumfilterung 4-19 Literaturverzeichnis [1] D. K¨ uhlke, Optik - Grundlagen und Anwendungen, Verlag Harri Deutsch, 2. Aufl. 2004 [2] J. Eichler, H.-J. Eichler, Laser, Springer-Verlag, 5. Aufl. 2003 [3] E. Hering, R. Martin, M. Stohrer, Physik f¨ ur Ingenieure, Springer-Verlag, 2004 [4] R. Pitka, S. Bohrmann, H. St¨ocker, G. Terlecki, H. Zetsche, Physik - Der Grundkurs, Verlag Harri Deutsch, 3. Aufl. 2005 [5] S.G. Lipson, H.S. Lipson, D.S. Tannhauser, Optik, Springer-Verlag, 1997 [6] E. Hecht, Optik, 4. Auflage, Oldenbourg-Verlag 2005 [7] H. J. Paus, Physik in Experimenten und Beispielen, Hanser-Verlag, 2002 4-20