Mein Skript Zur Vorlesung - Physik

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Skript Physik I für Chemiker und Lehramt mit Unterrichtsfach Physik Mechanik Wintersemester 2016/17 Universität Regensburg Diese Datei enthält meine persönlichen Notizen zur Vorlesung – möglicherweise stichwortartig und abgekürzt – und wird mit dem Fortschritt der Vorlesung langsam wachsen. Empfohlene Begleitlektüre: Halliday, Resnick, Walker: Physik – Wiley-VCH, Weinheim, 2009 Tipler, Mosca, Wagner: Physik für Wissenschaftler und Ingenieure – Springer, Berlin, 2015 Dr. Andreas K. Hüttel 29. Januar 2017 Revision: 9086 2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 3 Abbildungsverzeichnis 7 Tabellenverzeichnis 11 Vorlesungstage 13 Versuchsdemonstrationen 15 Verzeichnis der Formelzeichen 17 1 2 3 4 Messung und Maßeinheiten 1.1 Einführung . . . . . . 1.2 Das SI-Einheitensystem 1.3 Länge . . . . . . . . . 1.4 Zeit . . . . . . . . . . 1.5 Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 19 19 21 21 21 Bewegung in einer Dimension 2.1 Ort, Verschiebung, Durchschnittsgeschwindigkeit, ... 2.2 Momentangeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Beispiel gleichmäßig beschleunigte Bewegung . . . 2.5 Freier Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 23 25 25 27 28 Vektoranalysis I 3.1 Skalare und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Kartesisches Koordinatensystem: Einheitsvektoren und Komponenten 3.3 Skalarprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Partielle Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Nabla und Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Polarkoordinaten (2D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.9 Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten (3D) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 29 30 31 31 32 33 33 34 34 . . . . 37 37 37 38 40 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bewegung in drei Dimensionen 4.1 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung 4.2 Wurfbewegung . . . . . . . . . . . . 4.3 Gleichförmige Kreisbewegung . . . . 4.4 Relativbewegung und Bezugssystem . 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 5 INHALTSVERZEICHNIS Kraft und Bewegung 5.1 Inertialsystem, Newton 1 . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Kraft verursacht Beschleunigung, Newton 2 . . . . 5.3 Gravitation und Gewicht . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Normalkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Reibungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Zentripetalkraft der gleichförmigen Kreisbewegung 5.7 Actio und Reactio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 41 42 43 44 44 46 46 Energie und Arbeit 6.1 (Kinetische) Energie . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3 Kräfte verrichten Arbeit . . . . . . . . . . . . . 6.4 Arbeit durch Gravitationskraft . . . . . . . . . 6.5 Arbeit durch eine Feder . . . . . . . . . . . . . 6.6 Kinetische Energie und Arbeit – mit Integralen 6.7 Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 47 47 48 49 49 50 50 7 Vektoranalysis II: Weg- und Volumenintegral 7.1 Arbeit in 3D: Wegintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Flächenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Dichte und Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 51 53 53 8 Potentielle Energie und Energieerhaltung 8.1 Potentielle Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Konservative Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Energieerhaltung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Berechnung der potentiellen Energie . . . . . . . . . . . . 8.5 Potentielle Energie der Gravitation . . . . . . . . . . . . . 8.6 Berechnung der Kraft aus Epot . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 (Re)definition Arbeit einer äußeren Kraft an einem System . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 55 56 57 58 58 59 Systeme von Teilchen, Impuls 9.1 Schwerpunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Newton 2 für ein System von Teilchen . . . 9.3 Impuls und Impulserhaltung . . . . . . . . 9.4 Schwerpunktsystem . . . . . . . . . . . . . 9.5 Zweiteilchenproblem — Reduzierte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 61 62 63 64 64 6 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Stoßprozesse 67 10.1 Definition Stoß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 10.2 Impuls und kinetische Energie bei Stößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 11 Zylinder- und Kugelkoordinaten II 69 11.1 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . 69 11.2 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . 70 12 Drehbewegung mit fester Achse 12.1 Winkel, Winkelgeschwindigkeit, -beschleunigung 12.2 Kinetische Energie der Rotation . . . . . . . . . 12.3 Der Satz von Steiner . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Drehmoment und Newton 2 . . . . . . . . . . . . 12.5 Arbeit durch ein Drehmoment . . . . . . . . . . 12.6 Drehimpuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Torsionspendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 71 72 74 74 75 75 76 INHALTSVERZEICHNIS 13 Starre Körper, Rollen, Kreiselbewegung 13.1 Rotationsbewegung eines Massepunkts: Vektoren 13.2 Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3 Rollen und die Rollbedingung . . . . . . . . . . 13.4 Kreiselbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.5 Hauptträgheitsachsen . . . . . . . . . . . . . . . 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 79 80 81 81 83 14 Scheinkräfte 85 14.1 Linear beschleunigtes Bezugssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 14.2 Scheinkräfte im rotierenden Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . 86 15 Gravitation 15.1 Die Kepler’schen Gesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2 Das Newton’sche Gravitationsgesetz . . . . . . . . . . . . 15.3 Gravitationsfeld, potentielle Energie, Gravitationspotential 15.4 Schwerefeld realer Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 89 90 91 93 16 Schwingungen 16.1 Harmonische Schwingungen . . . . . . . . . . . . 16.2 Energie des harmonischen Oszillators . . . . . . . 16.3 Harmonische Näherung . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Beispiele für harmonisch schwingende Systeme . . 16.5 Gedämpfte Schwingungen . . . . . . . . . . . . . 16.6 Erzwungene Schwingungen und Resonanz . . . . . 16.7 Anharmonische Schwingungen, Duffing-Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 95 96 97 98 100 102 106 17 Mechanische Wellen 17.1 Gekoppelte Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2 Harmonische Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3 Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4 Transversal- und Longitudinalwellen . . . . . . . . . . 17.5 Wellen in 3D: eben oder kugelförmig . . . . . . . . . . 17.6 Beispiel Schallwellen: Herleitung der Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 109 111 113 114 114 115 18 Interferenz von Wellen 18.1 Reflexion und stehende Wellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Huygenssches Prinzip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Bewegte Quellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 119 121 122 19 Zum Abschluß... 125 . . . . . . . 6 INHALTSVERZEICHNIS Abbildungsverzeichnis 1.1 Replik des Prototyp-Kilogram 20 (NIST, USA). Quelle: NIST Website, public domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1 Typische Vereinfachungen in der Physik: Modellierung einer Kuh. Quelle: Abstruse Goose Webcomic, CC BY-NC 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Beispiel einer Ort-Zeit-Kurve in einer Dimension, x(t) . . . . . . . . . . . 25 Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung: Unser Massepunkt wird einmal für 10 s beschleunigt und dann zweimal für je 5 s abgebremst (d.h. negativ beschleunigt). Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit, die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2 2.3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 5.1 5.2 5.3 Links: Kartesisches Koordinatensystem, mit Einheitsvektoren und einem Beispielvektor~r. Rechts: Rechte-Hand-Regel zur Orientierung der Achsen. Quelle: Wikipedia, CC BY-SA 3.0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beispiel für ein Vektorfeld: Windgeschwindigkeiten rings um Hawai’i. Quelle: NASA, public domain . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Links: Konturplot (wie die “Höhenlinien” einer Wanderkarte) der Funktion f (x,y) = −x2 −y2 +30; in der Mitte bei x = y = 0 ist das globale Maximum. Rechts: Vektorfeld des Gradienten von f , also ~∇ f (x,y). Alle Pfeile von ~∇ f zeigen jeweils in die Richtung, in der die Funktion f an diesem Ort am stärksten ansteigt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2D-Polarkoordinaten r und φ im kartesischen Koordinatensystem. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Ortsvektors |~r| = r und der Geschwindigkeit konstant, aber die Vektoren ~r(t) und ~v(t) sind zeitabhängig. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 32 34 35 35 Zwei Kräfte ~F1 und ~F2 wirken auf einen Körper; ihre Addition ergibt die Gesamtkraft, die auf ihn wirkt (Superpositionsprinzip). . . . . . . . . . . . 42 Normalkraft durch eine Tischoberfläche: Die Erde übt eine Gravitationskraft ~Fg auf unser blaues Objekt aus. Damit es nicht sich Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt, muß der Tisch, auf dem es liegt, eine entgegengesetzte Normalkraft gleicher Größe ~FN auf es ausüben. . . . . . . . . . . . . 44 Links: Der blaue Block ruht auf dem Tisch wie in Abbildung 5.2. Nun üben wir eine Zugkraft ~F aus, um ihn in Bewegung zu versetzen; dieser wirkt eine Reibungskraft ~FR entgegen. Rechts: Die Zugkraft wird langsam erhöht, und die Haftreibungskraft wächst entsprechend bis zu einem kritischen Wert. Dann beginnt der Block sich zu bewegen, und es wirkt nur noch die meistens kleinere Gleitreibungskraft. . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7 8 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 7.1 Ein Körper bewegt sich auf einem Weg ~x(t) von ~x(t1 ) =~x1 nach ~x(t2 ) =~x2 . Dabei wirkt eine Kraft ~F auf ihn. Die durch die Kraft geleistete Arbeit ergibt sich aus dem Wegintegral über ~F · d~x. . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 11.1 (a) Flächenelement in zweidimensionalen Polarkoordinaten, wie auch in der r-φ -Ebene von Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 13.1 (a) Kreisel im Schwerefeld (c.m. = center of mass, Schwerpunkt; hier ist ~τ das Drehmoment aufgrund der Gravitationskraft. Quelle: https://pt. wikipedia.org/wiki/Pi%C3%A3o#/media/File:Peonza.png (b) Rotation, Präzession und Nutation. Nach https://fr.wikipedia. org/wiki/Nutation#/media/File:Praezession.svg . . . . 82 15.1 Illustration der Keplerschen Gesetze am Beispiel der Bahn zweier Planeten um die Sonne. Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/ Datei:Kepler_laws_diagram.svg . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 15.2 Torsionsdrehwaage von Cavendish, Quelle: https://commons.wikimedia. org/wiki/File:Cavendish_Torsion_Balance_Diagram.svg 91 15.3 Links: Masse in, Rechts: Masse außerhalb Schale . . . . . . . . . . . . . . 92 16.1 Näherung der Funktion f (x) = cos(x − 0.5) + x3 /40 durch eine Taylorreihe bei x = 0: (a) f (schwarz) sowie lineare (grün), quadratische (blau), kubische (telekom) und quartische (cyan) Näherung; (b) Abweichung der Näherungen von der Originalfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2 (a) “Mathematisches” Pendel, (b) “Physikalisches” Pendel . . . . . . . . . 16.3 Auslenkung eines harmonischen Osillators mit m = k = 1, x(0) = 1, v(0) = 0, als Funktion von b und t — von b = 0 (ungedämpft) über b = 2 (kritische Dämpfung) bis b = 4 (überdämpft). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.4 Mechanische Gesamtenergie Ekin + Epot eines harmonischen Osillators mit m = k = 1, x(0) = 1, v(0) = 0, als Funktion von b und t — von b = 0 (ungedämpft) über b = 2 (kritische Dämpfung) bis b = 4 (überdämpft). . . 16.5 Amplitude A(ω) nach Gleichung 16.49 für m = k = Fa,0 = 1 und b = 0, 0.05, 0.1, 0.15, links in linearer und rechts in logarithmischer Auftragung 16.6 Zum Thema Resonanz... Quelle: xkcd webcomic http://www.xkcd. com/228/, Lizenz: CC BY-NC 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.7 Verschiedene Beispiele für die Resonanzkurve eines Duffing-Oszillators. Das schwingende System kann bei bestimmten Antriebsfrequenzen mehrere verschiedene Zustände mit unterschiedlicher Schwingungsamplitude einnehmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.8 Eine einzelne Kohlenstoff-Nanoröhre als anharmonischer Oszillator. Der gemessene Strom hängt mit dem Quadrat der Schwingungsamplitude zusammen; die x-Achse zeigt die Antriebsfrequenz. Die Angabe in “db” ist ein logarithmisches Maß für die Antriebsamplitude. Links: Mit zunehmendem Antrieb wird die Schwingung nichtlinear und zeigt Hysterese (unterschiedlicher Verlauf der Kurve bei Aufwärts- oder Abwärtsmessung). Rechts: Die Dämpfungskonstante wird mit zunehmender Temperatur größer, d.h. die Auslenkungen kleiner und das System wieder linear. Quelle: A. K. Hüttel et al., “Carbon nanotubes as ultra-high quality factor mechanical resonators”, Nano Letters 9, 2547 (2009), http://pubs.acs. org/doi/abs/10.1021/nl900612h . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 98 103 104 105 105 107 107 17.1 Zwei gekoppelte Federpendel. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . 109 ABBILDUNGSVERZEICHNIS 9 17.2 Verhalten gekoppelter Pendel für schwache (links) und starke (rechts) Kopplung. Zwischen den zwei Pendeln wird periodisch Energie ausgetauscht. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 17.3 Eindimensionale Ketten gekoppelter harmonischer Oszillatoren. Quelle: Wikipedia. Eine animierte Version ist dort online zu finden. . . . . . . . . . 111 17.4 Darstellung von (a) Transversal- und (b) Longitudinalwellen mittels gekoppelter Pendel. Quelle: http://schulphysik.ch/, nur für nichtkommerzielle Informationszwecke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 17.5 Momentaufnahme einer harmonischen Welle. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn112 17.6 Schwingungsebenen und Ausbreitung von (a) linear und (b) elliptisch polarisierten Transversalwellen. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . 114 17.7 Kugelwelle. Operation “Sailor Hat”, Test-Explosion von 500t TNT (1965). US Government work, public domain. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 18.1 Reflexion einer Seilwelle an (a) festem und (b) offenem Ende. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 Zwei entgegengesetzt zueinander laufende Wellen gleicher Frequenz und Wellenlänge überlagern sich und bilden eine stehende Welle. Quelle: Wikipedia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 Durchlauf einer Wasserwelle durch einen Doppelspalt. Nach dem Huygensschen Prinzip gehen von jedem Spalt wieder Kugelwellen aus. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4 Doppler-Effekt: bewegt sich die Quelle einer Welle, so werden entsprechend der Bewegungsrichtungen im ruhenden Bezugssystem höhere bzw. niedrigere Frequenzen wahrgenommen. Bei höherer Geschwindigkeit bildet sich eine Stoßfront bzw. ein Mach-Kegel. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 . 120 . 121 . 122 10 ABBILDUNGSVERZEICHNIS Tabellenverzeichnis 1.1 1.2 Übersicht über die SI-Basisgrößen und -Basiseinheiten . . . . . . . . . . . 20 Übersicht über die SI-Präfixe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 12.1 Übersicht der zusammengehörigen Translations- und Rotationsgrößen (Translation in einer Dimension, Rotation um eine feste Achse . . . . . . . . . . 75 11 12 TABELLENVERZEICHNIS Vorlesungstage 19.10.2016 20.10.2016 26.10.2016 27.10.2016 2.11.2016 . 3.11.2016 . 9.11.2016 . 10.11.2016 16.11.2016 17.11.2016 23.11.2016 24.11.2016 30.11.2016 1.12.2016 . 7.12.2016 . 8.12.2016 . 14.12.2016 15.12.2016 21.12.2016 22.12.2016 11.1.2017 . 12.1.2017 . 18.1.2017 . 19.1.2017 . 25.1.2017 . 26.1.2017 . 1.2.2017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 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. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 21 27 30 34 37 41 43 48 49 55 57 62 64 71 72 79 79 82 85 91 93 98 100 106 109 114 14 VORLESUNGSTAGE Versuchsdemonstrationen Instrumente zur Längenmessung (Meterstab, Meßschieber, Mikrometerschraube, Meßuhr, Etalons) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Gleichförmige Bewegung, gleichförmig beschleunigte Bewegung, Pendelbewegung: gezeigt auf der Luftschiene (Geschwindigkeitsmessung mit Lichtschranken) . . . 27 Waagrechter und schräger Wurf: Wasserwurfgerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Affenschuß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 Projektion der Kreisbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Luftschiene: Wagen mit verschiedenen Massen und verschiedenen Kräften . . . . . . 42 Haft- und Gleitreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Zwei Physiker auf zwei Wägen, Seilziehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Ziehen eines Wagens: nötige Kraft bei unterschiedlichem Ansatzwinkel des Seils . . 48 “Dozentenkiller” — Energieerhaltung beim Fadenpendel . . . . . . . . . . . . . . . 57 Wagen auf der Luftschiene: elastisch, inelastisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 Drehstuhl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Spaß mit Drehmoment und Drehimpuls: “Magischer Koffer” . . . . . . . . . . . . . 79 Hochgeworfene Kiste mit farbigen Seitenflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Kugel auf Scheibe: Corioliskraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 15 16 Verzeichnis der Formelzeichen Verzeichnis der Formelzeichen a Beschleunigung (Gleichung 2.5, Seite 27) a Durchschnittsbeschleunigung (Gleichung 2.4, Seite 25) A Fläche ~α Winkelbeschleunigung ∂i (partielle) Ableitung nach der i-ten kartesischen Koordinate (Gleichung 3.13, Seite 33) ~∇ Nabla-Operator (Gleichung 3.17, Seite 33) E Energie (Gleichung 6.2, Seite 47) Ekin kinetische Energie (Gleichung 6.1, Seite 47) Epot ~F potentielle Energie g grad Kraft (Gleichung 5.3, Seite 42) Erdbeschleunigung (Gleichung 2.12, Seite 28) Gradient eines skalaren Feldes (Gleichung 3.18, Seite 33) I Trägheitsmoment (Gleichung 12.13, Seite 72) k Federkonstante (Gleichung 6.10, Seite 49) l Länge (Gleichung 1.1, Seite 21) m Masse (Gleichung 1.4, Seite 21) p Impuls (Gleichung 9.16, Seite 63) P Leistung (Gleichung 6.19, Seite 50) φ Winkel ρ Dichte (Gleichung 7.12, Seite 53) t ~T Zeit (Gleichung 1.3, Seite 21) θ Winkel v Geschwindigkeit (Gleichung 2.3, Seite 25) Drehmoment (Gleichung 12.23, Seite 74) v Durchschnittsgeschwindigkeit (Gleichung 2.2, Seite 23) V Volumen ~ ω Winkelgeschwindigkeit (Gleichung 4.22, Seite 39) W Arbeit 17 18 Verzeichnis der Formelzeichen Kapitel 1 Messung und Maßeinheiten 1.1 HRW 1 VL 19.10.2016 Einführung • Physik beruht auf Messungen von Größen • Länge, Zeit, Masse, Temperatur, elektrischer Strom, ... • Messung: Vergleich einer Größe mit einem “Normal”, das genau einmal einer “Einheit” entspricht • Beispiel – “Meter” ist die Einheit der Länge, das “Normal” ist hier ein Objekt, das genau einen Meter lang ist • Meterstab, Lineal — direkte Vergleichsmöglichkeit, viele indirekte Methoden, z.B. Radius eines Atoms, Entfernung eines Sterns • Viele physikalische Größen, aber die meisten sind nicht unabhängig • Beispiel Geschwindigkeit: Wegstrecke pro Zeiteinheit • Basisgrößen: beruhend auf Basiseinheiten, die definiert sein müssen! 1.2 Das SI-Einheitensystem • Système International d’Unités • Satz von Basisgrößen, Definition der dazugehörigen Basiseinheiten • Komplette Übersicht in Tabelle 1.1, einiges davon kommt erst in den folgenden Semestern (z.B. Elektrodynamik, Optik) • Weitere, zusätzliche Größen und Einheiten: von den SI-Basiseinheiten abgeleitet • Beispiel 1: Einheit der Geschwindigkeit: Wegstrecke pro Zeit, Geschwindigkeit v 1 m/s • Sind die Basiseinheiten von Zeit (s) und Länge (m) definiert, dann haben wir auch automatisch eine Einheit der Geschwindigkeit! • Beispiel 2: Einheit der Leistung (Glühbirne): Arbeit pro Zeit (Details später), Leistung P 1 Watt = 1 W = 1 kg · m2 /s3 19 20 KAPITEL 1. MESSUNG UND MASSEINHEITEN Größe Länge Zeit Masse el. Strom Temperatur Stoffmenge Lichtstärke Formelzeichen l t m I T N J Name der Einheit Meter Sekunde Kilogramm Ampere Kelvin Mol Candela Einheit m s kg A K mol cd Abschnitt 1.3 Abschnitt 1.4 Abschnitt 1.5 2. Semester 3. Semester Tabelle 1.1: Übersicht über die SI-Basisgrößen und -Basiseinheiten Faktor 10−24 10−21 10−18 10−15 10−12 10−9 10−6 10−3 10−2 10−1 101 102 103 106 109 1012 1015 1018 1021 1024 Präfix YoctoZeptoAttoFemtoPicoNanoMikroMilliZentiDeziDekaHektoKiloMegaGigaTeraPetaExaZettaYotta- Zeichen y z a f p n µ m c d da h k M G T P E Z Y Beispiel Masse Proton, ca 1.7 yg Durchmesser Wasserstoffatom, ca 0,1 nm Höhe Mauna Loa (vom Meeresboden), ca 17 km WLAN-Signalfrequenz, 2.4 GHz Bewegungsenergie der ISS, ca. 13 TJ Tabelle 1.2: Übersicht über die SI-Präfixe • Sind die Basiseinheiten von Zeit (s), Länge (m) und Masse (kg) definiert, dann ist das Watt als Einheit der Leistung ebenfalls definiert! • Große und kleine Werte – SI-Einheitenpräfixe 0,0001 m = 0,1 mm = 100 µm = 10−4 m • Komplette Übersicht in Tabelle 1.2, aber auch die Physiker verwenden davon nicht alle, sondern schreiben einfach die Zehnerpotenz hin. Beispiel: 1 nm = 10−9 m • Taschenrechner / PC: Exponentialdarstellung, 2,79E10 = 2,79 · 1010 • Begriff der “Größenordnung”: zwei Zahlen sind von der “gleichen Größenordnung”, wenn ihr Zehnerexponent gleich ist, bzw. wenn sie um nicht mehr als einen Faktor 10 von einander abweichen • Wichtig für grobe Abschätzungen 1.3. LÄNGE 1.3 21 Länge Länge l, 1 m = 1 Meter (1.1) • ca 1790: erste Idee eines “Meters” als 1/40000000 des Erdumfangs • 1889: “Urmeter”, Platin-Iridium-Stab als Längenreferenz, in Paris aufbewahrt • Heutige Definition: Ein Meter ist die Länge der Strecke, die das Licht im Vakuum während der Dauer von 1/299792458 Sekunden durchläuft. • Dementsprechend gilt für die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum c exakt c = 299792458 m/s (1.2) • Demonstration: Instrumente zur Längenmessung (Meterstab, Meßschieber, Mikrometerschraube, Meßuhr, Etalons) 1.4 VL 20.10.2016 Zeit Zeit t, 1 s = 1 Sekunde (1.3) • Zeitdauer eines Vorgangs, Zeitpunkt eines Ereignisses (gemessen von einem Startzeitpunkt) • Zeitmessung durch Zählen von Durchläufen einer Schwingung (vergleiche Pendeluhr) • Licht ist eine elektromagnetische Welle, 2. Semester • Heutige Definition: Eine Sekunde ist die Dauer von 9192631770 Schwingungen des Lichts, das ein Cäsium-133-Atom aussendet. • Vergleich von Zeitdauern über Gleichzeitigkeit von Ereignissen — nicht immer trivial, Relativitätstheorie, später • Alltägliche Einheiten für lange Zeitintervalle weichen von dem üblichen ZehnerpotenzSchema ab • 1 min = 60 s, 1 h = 1 Stunde = 60 min, 1 d = 1 Tag = 24 h • Für kleine Zeitabschnitte werden aber die Präfixe verwendet • Beispiel: 1 ns = 10−9 s 1.5 Masse Masse m, 1 kg = 1 Kilogramm (1.4) • Hier gilt als Basis noch heute die originale Definition mittels eines “Urkilogramms” in Paris • Platin-Iridium-Zylinder, mehrere hochpräzise Kopien weltweit • periodischer Vergleich zur Verifizierung (“ein amerikanisches Kilogramm in Paris”) 22 KAPITEL 1. MESSUNG UND MASSEINHEITEN Abbildung 1.1: Replik des Prototyp-Kilogram 20 (NIST, USA). Quelle: NIST Website, public domain • Zusätzliches Massennormal: Kohlenstoff-12-Atom wiegt “12 atomare Masseneinheiten (u)”, 1 u = 1,6605402 · 10−27 kg (1.5) • Problem — hochpräziser Vergleich zwischen atomaren und makroskopischen Masseneinheiten • Verschiedene Projekte zur Redefinition des Kilogramm existieren • 14. Oktober 2015: “Kilogram conflict resolved at last”, Nature 526, 305-306 (2015), http://dx.doi.org/10.1038/526305a • Kommittee des International Bureau of Weights and Measures (BIPM) entscheidet über Redefinition möglicherweise noch dieses Jahr Kapitel 2 Bewegung in einer Dimension • Wir betrachten vorerst nur die Bewegung entlang einer geraden Linie HRW 2 • Kann senkrecht (fallender Stein), waagrecht (Auto auf Straße), schräg sein • Im Moment betrachten wir nur die Bewegung selbst, (noch) nicht z.B. was eine Bewegung verursachen kann • Unser bewegtes Objekt ist vereinfacht als Massepunkt — große Vereinfachung der Realität (vgl. Abbildung 2.1): – keine Ausdehnung – keine Form (“punktförmig”) – keine inneren Freiheitsgrade (keine Rotationen = es kann sich nicht drehen, keine Vibrationen = es kann nicht irgendwie schwingen) 2.1 Ort, Verschiebung, Durchschnittsgeschwindigkeit, ... • Ortsbestimmung: Position im Bezug auf einen Referenzpunkt (Nullpunkt eines Koordinatensystems, Ursprung einer Achse) • Achse mit Nullpunkt: negative und positive Richtung — “links” und “rechts” vom Nullpunkt • Ortswechsel, Verschiebung: von Ort x1 zu Ort x2 ∆x = x2 − x1 (2.1) • Der griechische Buchstabe ∆ (Delta) bezeichnet i.d.R. die Veränderung einer Größe von einem Anfangswert zu einem Endwert • Ort und Verschiebung sind eigentlich typische Beispiele für sogenannte Vektorgrößen im dreidimensionalen Raum — kommt im nächsten Kapitel • Beispiel einer Ort-Zeit-Kurve x(t), Abbildung 2.2: bewegtes Objekt, zum Zeitpunkt t am Ort x(t) • Mathematisch: Die Ortskoordinate x(t) ist eine Funktion der Zeit t • Durchschnittsgeschwindigkeit / mittlere Geschwindigkeit: Änderung des Orts ∆x geteilt durch dazugehöriges Zeitintervall ∆t v= ∆x x2 − x1 x(t2 ) − x(t1 ) = = ∆t t2 − t1 t2 − t1 23 (2.2) 24 KAPITEL 2. BEWEGUNG IN EINER DIMENSION Abbildung 2.1: Typische Vereinfachungen in der Physik: Modellierung einer Kuh. Quelle: Abstruse Goose Webcomic, CC BY-NC 3.0 2.2. MOMENTANGESCHWINDIGKEIT 25 Abbildung 2.2: Beispiel einer Ort-Zeit-Kurve in einer Dimension, x(t) 2.2 Momentangeschwindigkeit • Wie schnell ist ein Massepunkt / Teilchen zu einem bestimmten Zeitpunkt? • Idee: verkürze Zeitintervall, Grenzwertprozeß • (Momentane) Geschwindigkeit zur Zeit t v(t) = lim ∆t→0 ∆x dx = = x(t) ˙ ∆t dt (2.3) • Das führt gerade zur Ableitung der Funktion x(t) nach der Zeit t. • Verschiedene Schreibweisen möglich, s.o. • In der Ort-Zeit-Kurve von Abbildung 2.2 entspricht x(t), ˙ die Ableitung der Funktion x(t) nach der Zeit t, der Steigung einer an diesem Punkt der Kurve angelegten Tangenten 2.3 Beschleunigung • Beschleunigung beschreibt die Änderung der Geschwindigkeit, genauso wie die Geschwindigkeit die Änderung des Orts beschreibt • Bewegung entlang einer Achse: wieder gleiche Definitionen möglich • Durchschnittsbeschleunigung: a= v2 − v1 ∆v = t2 − t1 ∆t (2.4) 26 KAPITEL 2. BEWEGUNG IN EINER DIMENSION a (m/s2) 0.1 0.05 0 -0.05 -0.1 a(t) 0 10 20 30 40 50 v (m/s) t (s) 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 v(t) 0 10 20 30 40 50 x (m) t (s) 20 15 10 5 0 x(t) 0 10 20 30 40 50 t (s) Abbildung 2.3: Ort, Geschwindigkeit und Beschleunigung: Unser Massepunkt wird einmal für 10 s beschleunigt und dann zweimal für je 5 s abgebremst (d.h. negativ beschleunigt). Die Geschwindigkeit ist die Ableitung der Ortskoordinate nach der Zeit, die Beschleunigung die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit. 2.4. BEISPIEL GLEICHMÄSSIG BESCHLEUNIGTE BEWEGUNG 27 • Momentanbeschleunigung (oder einfach nur Beschleunigung) a= dv dt (2.5) • Zusammenhang zwischen Ort und Beschleunigung:   dv d dx d2 x a= = = 2 dt dt dt dt (2.6) oder in anderer Notation (der Punkt steht für die Zeitableitung) a(t) = v(t) ˙ = x(t) ¨ (2.7) • a(t) ist die zweite Ableitung von x(t) • Beispiel-Sketch x(t), v(t), a(t) — siehe Abbildung 2.3 • Demonstration: Gleichförmige Bewegung, gleichförmig beschleunigte Bewegung, Pendelbewegung: gezeigt auf der Luftschiene (Geschwindigkeitsmessung mit Lichtschranken) • Wahrnehmung von Beschleunigung — Aufzug, Auto, Achterbahn, ... • Im Gegensatz dazu wird Geschwindigkeit nicht direkt wahrgenommen! • positive Beschleunigung = umgangssprachlich “Beschleunigung”, negative Beschleunigung = umgangssprachlich “Bremsen” 2.4 Beispiel gleichmäßig beschleunigte Bewegung • Einfacher Beispielfall, für viele praktische Fälle gute Näherung • Annahme: konstante Beschleunigung a0 • Zum Zeitpunkt t = 0 sei der Ort x(0) = x0 und die Geschwindigkeit v(0) = v0 • Wir wissen daß die Geschwindigkeit v(t) die Ableitung der Beschleunigung a(t) ist • Das Gegenstück von Ableiten ist Integrieren • Also erhalten wir v(t) ganz allgemein durch Integrieren über a(t)! Zt v(t) = dv 0 dt + v(0) = dt 0 0 Zt a(t 0 ) dt 0 + v(0) (2.8) 0 • Anschauliche Vorstellung: – Im (infinitesimal kleinen) Zeitintervall dt 0 nimmt die Geschwindigkeit um dv = a(t) dt 0 zu – Über diese Änderungen wird summiert – Geschwindigkeit als “Fläche a(t) dt” unter der Beschleunigungskurve a(t) • Nun setzen wir ein, daß a(t) = a0 konstant ist (die Stammfunktion der konstanten Funktion a0 ist a0 t): Zt v(t) =  t a0 dt 0 + v0 = a0 t 0 0 + v0 = a0 t + v0 (2.9) 0 VL 26.10.2016 28 KAPITEL 2. BEWEGUNG IN EINER DIMENSION • Jetzt wiederholen wir diese Prozedur, um von v(t) auf x(t) zu gelangen! • Wenn v(t) die Ableitung von x(t) ist, dann gilt allgemein Zt x(t) = dx 0 dt + x(0) = dt 0 0 Zt v(t 0 ) dt 0 + x(0) (2.10) 0 • Wir setzen ein, was wir schon haben, nämlich v(t) und x(0) = x0 : Zt x(t) = v(t 0 ) dt 0 + x0 = 0 Zt a0 t 0 + v0 dt 0 + x0 = ha 0 02 2 t + v0 t 0 it 0 + x0 = a0 2 t + v0 t + x0 2 0 (2.11) 2.5 Freier Fall • Wir lassen einen Gegenstand im Schwerefeld der Erde fallen • Beobachtung: wenn kein Luftwiderstand, dann liegt eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung vor • Unabhängig vom Gegenstand; im Vakuum fallen Feder und Stahlkugel gleich schnell! • Erdbeschleunigung g, in der Nähe der Erdoberfläche gilt (für x-Achse nach “oben”) a = −g ' −9.8 m/s2 g ' 9.8 m/s2 • g ist keine universelle Naturkonstante, hängt vom Ort ab (warum – später) (2.12) Kapitel 3 Vektoranalysis I 3.1 HRW 3 Skalare und Vektoren • Bewegung auf einer Geraden, “in einer Dimension”: vorwärts oder rückwärts, “plus” oder “minus” • Dreidimensionaler Raum: ein Vorzeichen allein reicht nicht mehr aus, um eine Richtung zu beschreiben • Zwei Typen von physikalischen Größen: Skalare und Vektoren1 • Skalare: – Beispiele: Masse m, Zeit t, Temperatur T , Energie E – Durch eine Zahl (mit Einheit) gegeben – “Wert”, aber keine “Richtung” – Folgen den aus der Schule bekannten “Rechenregeln für Zahlen” • Vektoren: – Beispiele: Ort~x, Verschiebung (Ortsänderung) ∆~x, Geschwindigkeit~v, Beschleunigung ~a, Kraft ~F – Durch Länge (mit Einheit) und Richtung gegeben – “Vektorpfeil” • Vektoren können geometrisch addiert werden • Beispiel der aufeinanderfolgenden Verschiebungen (an der Tafel) • Tipps, um nicht schnell eine Übungsaufgabe oder Klausuraufgabe zu vermasseln: – Vektorgrößen brauchen immer den “Vektorpfeil”! (Es gibt verschiedene Notationen, aber für Erstsemester ist das so gut.) – Skalare und Vektoren kann man nicht miteinander addieren! – (Aber man kann einen Vektor mit einem Skalar multiplizieren.) 29 30 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I Abbildung 3.1: Links: Kartesisches Koordinatensystem, mit Einheitsvektoren und einem Beispielvektor ~r. Rechts: Rechte-Hand-Regel zur Orientierung der Achsen. Quelle: Wikipedia, CC BY-SA 3.0 3.2 Kartesisches Koordinatensystem: Einheitsvektoren und Komponenten VL 27.10.2016 • sogenanntes “kartesisches Koordinatensystem” im dreidimensionalen Raum • drei Achsen (x, y, z), rechtwinklig zueinander, siehe Abbildung 3.1 • “Rechte-Hand-Regel” für die Orientierung der Achsen • Basis aus Einheitsvektoren in Richtung der Achsen: ~ex , ~ey , ~ez , jeweils mit Länge 1, senkrecht zueinander, konstant • Schreibe beliebigen Vektor als Summe der Einheitsvektoren: • Kurzschreibweise: ~r = rx ~ex + ry ~ey + rz ~ez (3.1)     rx x . . ~r = ry  = y rz z (3.2) . • Diese Kurzschreibweise ist mathematisch nicht gleichwertig (deshalb “=” statt “=”), weil Information verlorengeht: – ~r ist ein abstraktes Objekt “Vektor”, unabhängig vom ausgewählten Koordinatensystem bzw. der gewählten Basis von Einheitsvektoren – Schreibt man den Vektor als “Zahlenspalte”, dann nimmt man ein bestimmtes Koordinatensystem bzw. eine bestimmte Basis (~ex , ~ey , ~ez ) an! • Betrag (“Länge”) des Vektors: r ≡ |~r| = 1 Das q rx2 + ry2 + rz2 sind strenggenommen nicht alle, wir haben die Tensoren vergessen... viel später... (3.3) 3.3. SKALARPRODUKT 31 • Beispiel Ortsvektor: ein Massepunkt am Ort~r hat den Abstand r = |~r| vom Ursprung • Addition von Vektoren: im kartesischen Koordinatensystem komponentenweise möglich       ax bx ax + bx . ~c = ~a +~b = ay  + by  = ay + by  (3.4) az bz az + bz Beweis über Gleichung 3.1 und Assoziativgesetz 3.3 Skalarprodukt • Skalarprodukt zweier Vektoren: ~a ·~b = a b cos(φ ) (3.5) “Betrag von Vektor ~a mal Betrag von Vektor ~b mal Kosinus des Winkels φ zwischen beiden Vektoren” • Ergebnis ist ein Skalar! • cos 90◦ = 0 −→ Das Skalarprodukt zweier zueinander senkrechter Vektoren ist 0 • In kartesischen Koordinaten:     ax bx . ~a ·~b = ay  · by  = ax bx + ay by + az bz az bz (3.6) Nachrechnen, mit Hilfe von Gleichungen 3.1 und 3.5! • Insbesondere gilt für die Basis des kartesischen Koordinatensystems ~ei ·~e j = δi j 3.4 (3.7) Vektorprodukt • Vektorprodukt oder Kreuzprodukt zweier Vektoren: ~c = ~a ×~b (3.8) c = ab sin(φ ), (3.9) mit – φ ist der kleinere der beiden Winkel zwischen ~a und ~b, – ~c steht senkrecht auf ~a und auf ~b – Rechte-Hand-Regel für die Richtung von ~c • sin 0 = 0 −→ Das Kreuzprodukt zweier paralleler Vektoren ist Null (der Nullvektor)! • Im kartesischen Koordinatensystem gilt für die Einheitsvektoren ~ex ×~ey =~ez , ~ey ×~ez =~ex , ~ez ×~ex =~ey (3.10) • Das Kreuzprodukt antikommutiert! (Ausprobieren mit der rechten Hand!) ~a ×~b = −~b ×~a (3.11) 32 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I Abbildung 3.2: Beispiel für ein Vektorfeld: Windgeschwindigkeiten rings um Hawai’i. Quelle: NASA, public domain • In kartesischen Koordinaten:       ax bx ay bz − by az . ~a ×~b = ay  × by  =  az bx − bz ax  az bz ax by − bx ay (3.12) Nachrechnen mit Hilfe von Gleichungen 3.1 und 3.10! 3.5 Felder • Eine physikalische Größe kann von mehreren Variablen abhängig sein • 1. Beispiel: Temperatur als Funktion vom Ort, d.h. T (~r) oder T (x, y, z) • Die Temperatur ist ein Skalar, deshalb bezeichnet man das als ein skalares Feld • Jedem Ort im dreidimensionalen Raum ist ein skalarer Wert zugeordnet • 2. Beispiel: Windgeschwindigkeit als Funktion vom Ort, d.h. ~v(~r) • Die (Wind)Geschwindigkeit ist ein Vektor (sie hat Betrag und Richtung), deshalb liegt hier ein sogenanntes Vektorfeld vor • Jedem Ort im dreidimensionalen Raum ist ein Vektor, also ein Betrag und eine Richtung zugeordnet • Beispiel Abbildung 3.2: Windgeschwindigkeiten rings um Hawai’i 3.6. PARTIELLE ABLEITUNG 3.6 33 Partielle Ableitung • Die “normale” Ableitung einer Funktion f (x) ist aus der Schule bekannt • Was passiert, wenn f von mehreren Variablen abhängig ist? • Beispiel: Temperatur als Funktion vom Ort, also T (x,y,z) oder T (~r) • Partielle Ableitung: Ableitung nach einer der Variablen, während die anderen Variablen alle konstant gehalten werden • Man verwendet statt des “d” ein geschwungenes “∂ ” • Beispiel: Ableitung nach x, während y und z konstant gehalten werden (also “partielle Ableitung nach x”) ∆ f f (x + ∆x, y, z) − f (x,y,z) ∂f ∆ f = = lim (3.13) ∂ x ∆x→0 ∆x y,z ∆x y,z ∆x • Kurzschreibweise: ∂ ∂x = ∂x • Beispiele: ∂f (x,y,z) = 2z (3.14) ∂y ∂f (x,y,z) = 2x ∂x f (x,y,z) = x2 + 2yz − 1/z • Mehrfache Ableitungen möglich, Schreibweise: ∂ ∂f ∂2 f = 2 ∂x ∂x ∂x (3.15) • (Ohne Beweis) Solange unsere Funktionen stetig und differenzierbar sind, “vertauschen” partielle Ableitungen: ∂ ∂f ∂ ∂f = ∂x ∂y ∂y ∂x 3.7 oder ∂x ∂y f (x,y) = ∂y ∂x f (x,y) (3.16) Nabla und Gradient • Nabla-Operator: Vektor der partiellen Ableitungen     ∂ ∂x ∂x  ~∇ =  ∂  ∂y  =  ∂y ∂ ∂z (3.17) ∂z • Gradient eines Skalarfeldes, d.h. einer Funktion f (~r): das, was herauskommt, wenn man Nabla auf sie einwirken läßt ∂ f  ∂x   grad f (~r) = ~∇ f (~r) =  ∂∂ yf  (3.18) ∂f ∂z • Beispiel:  f (x,y,z) = x2 + 2yz − 1/z  2x ~∇ f (x,y,z) =  2z  2y + 1/z2 (3.19) 34 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I Abbildung 3.3: Links: Konturplot (wie die “Höhenlinien” einer Wanderkarte) der Funktion f (x,y) = −x2 − y2 + 30; in der Mitte bei x = y = 0 ist das globale Maximum. Rechts: Vektorfeld des Gradienten von f , also ~∇ f (x,y). Alle Pfeile von ~∇ f zeigen jeweils in die Richtung, in der die Funktion f an diesem Ort am stärksten ansteigt. • Der Gradient eines skalaren Felds ist ein Vektorfeld. • Anschauliche Bedeutung des Gradienten: Richtung der stärksten Änderung einer Größe • Beispiel in 2D: Karte, Höhe f (x,y), Höhenlinien: Gradient ~∇ f zeigt immer bergauf, immer senkrecht zu den Höhenlinien; vergleiche Abbildung 3.3 3.8 VL 2.11.2016 Polarkoordinaten (2D) • Kartesische Koordinaten sind zum Rechnen sehr bequem, aber nicht für alle Probleme gleich geeignet • “Symmetrieen der Fragestellung”, das merken Sie im Laufe der Zeit • Deshalb, drei weitere Koordinatensysteme • In zwei Dimensionen: Polarkoordinaten - Abstand r vom Ursprung, Winkel φ , siehe Abbildung 3.4 • Umrechnung in kartesische Koordinaten: mit r = |~r| gilt     r cos(φ ) . x ~r = = y r sin(φ ) 3.9 (3.20) Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten (3D) • Zylinderkoordinaten für zylindersymmetrische Probleme, Koordinaten r, φ , z, siehe Abb. 3.5 • Kugelkoordinaten für kugelsymmetrische Probleme, Koordinaten r, φ , θ 3.9. ZYLINDERKOORDINATEN UND KUGELKOORDINATEN (3D) 35 Abbildung 3.4: 2D-Polarkoordinaten r und φ im kartesischen Koordinatensystem. Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung ist der Betrag des Ortsvektors |~r| = r und der Geschwindigkeit konstant, aber die Vektoren~r(t) und ~v(t) sind zeitabhängig. Abbildung 3.5: Zylinderkoordinaten und Kugelkoordinaten 36 KAPITEL 3. VEKTORANALYSIS I • Winkel: zwei Einheiten möglich, Grad (◦ ) oder “Radians” (Bogenmaß) π π rad = 2 2 (3.21) voller Kreis: φ = 360◦ = 2π rad = 2π (3.22) rechter Winkel: φ = 90◦ = • Umrechnung von Zylinderkoordinaten (r,φ , z) zu kartesischen Koordinaten (x, y, z):     x r cos(φ ) ~r = y =  r sin(φ )  (3.23) z z • Umrechnung von Kugelkoordinaten (r,θ , φ ) zu kartesischen Koordinaten (x, y, z):     x r cos(θ ) cos(φ ) (3.24) ~r = y =  r cos(θ ) sin(φ )  z r sin(θ ) • Beweis / Herleitung für die Umrechnungsformeln ist eine schöne Übungsaufgabe (nur elementare Geometrie, Sinus und Kosinus) • In nicht-kartesischen Koordinatensystemen wie hier ist das Addieren von Vektoren komplizierter, NICHT komponentenweise! Warum? • Erinnerung: Kartesisches Koordinatensystem, ~r = x~ex + y~ey + z~ez (3.25) Die drei Vektoren ~ei sind für jeden Koordinatenpunkt gleich • Zylinderkoordinaten: Sei ~er ein Einheitsvektor in r-Richtung. Wohin zeigt er? :) • Zylinder- oder Kugelkoordinaten: die Richtung der Einheitsvektoren~er ,~eφ ,~eθ hängt vom Ort im Raum ab! Deshalb! Kapitel 4 Bewegung in drei Dimensionen 4.1 HRW 4 Ort, Geschwindigkeit, Beschleunigung • Ortskoordinate wird ersetzt durch den Ortsvektor~r = x~ex + y~ey + z~ez • Verschiebung eines Massepunkts: Ortsvektor ändert sich, zB. von~r1 zu~r2 ∆~r =~r2 −~r1 (4.1) • (Momentan)geschwindigkeit: ~v(t) = d~r dt (4.2) • In kartesischen Koordinaten funktioniert die Ableitung komponentenweise, d.h.     drx rx (t) dt drx d~ r .  .   vx = ~r(t) = ry (t) −→ ~v(t) = =  drdty  , , ... (4.3) dt dt drz rz (t) dt • Warum? Weil die Einheitsvektoren zeitlich konstant sind! (Schreiben Sie~r als Summe von Einheitsvektoren und rechnen Sie’s nach!) • (Momentan)Beschleunigung ~a(t): analog, ~a = 4.2 d~v dt (4.4) Wurfbewegung • Gegenstand bewegt sich mit einer Anfangsgeschwindigkeit und unterliegt der Erdbeschleunigung • “Wurfbewegung”, Projektil • Keine weiteren Einflüsse auf die Bewegung, z.B. kein Luftwiderstand • Stein oder Pistolenkugel, nicht Feder oder Flugzeug • Startbedingungen: endliche Geschwindigkeit ~v0 =~v(0) ... ~v(0) =~v0 = v0x~ex + v0y~ey + v0z~ez (4.5) ... und Ort am Ursprung des Koordinatensystems ... ~r(0) = 0 37 (4.6) VL 3.11.2016 38 KAPITEL 4. BEWEGUNG IN DREI DIMENSIONEN • Beobachtung: “Wurfparabel” – Horizontale Geschwindigkeitskomponente(n) bleibt(bleiben) konstant – Objekt wird in vertikaler Richtung nach unten beschleunigt – Diese zwei Phänomene sind unabhängig voneinander, beeinflussen sich nicht. • Demonstration: Waagrechter und schräger Wurf: Wasserwurfgerät • Demonstration: Affenschuß • https://www.youtube.com/watch?v=HWAjegTzRKM • Horizontale Bewegung: konstante Geschwindigkeit, keine Beschleunigung x(t) = v0xt (4.7) y(t) = v0yt (4.8) • Vertikale Bewegung: konstant beschleunigt durch die Erdbeschleunigung, wie freier Fall g z(t) = v0zt − t 2 (4.9) 2 • Bewegung findet in einer (senkrecht stehenden) Ebene statt, d.h. wir können unser Koordinatensystem so wählen daß y(t) = 0, vy (t) = 0 • Statt v0x und v0z , verwende Betrag v0 und Abschußwinkel θ v0x = v0 cos θ v0z = v0 sin θ (4.10) • Bahnkurve: z(x) t(x) = x v0x (4.11) g x2 v0z t− 2 v0x 2 v0x (4.12) g x2 2 (v0 cos θ )2 (4.13) z(x) = z(t(x)) = z(x) = x tan θ − • Reichweite: Entfernung vom Ursprung, in der das Projektil wieder Höhe z = 0 erreicht 0 = x tan θ − x= 4.3 g x2 2 (v0 cos θ )2 2v20 sin θ cos θ g (4.14) (4.15) Gleichförmige Kreisbewegung • Gleichförmige Kreisbewegung: Bewegung mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einer Kreisbahn, siehe Abbildung 3.4 • Betrag der Geschwindigkeit ist konstant, aber die Richtung ändert sich • D.h. die Bewegung muß beschleunigt sein! Aber wie? • Bahn wird immer in Richtung des Mittelpunkts “abgebogen”, d.h. wir können vermuten, die Beschleunigung ist in Richtung des Bahnmittelpunkts 4.3. GLEICHFÖRMIGE KREISBEWEGUNG 39 • Behauptung: Zentripetalbeschleunigung a, immer in Richtung des Bahnmittelpunkts, mit Betrag v2 a= (4.16) r (mit Bahngeschwindigkeit v und Bahnradius r) • Das beweisen wir jetzt... • Wir können den Ort auf der Kreisbahn in Polarkoordinaten beschreiben durch Radius r (konstant) und Winkel ϕ(t) • Ortsvektor in 2D: ~r(t) =   r cos ϕ(t) r sin ϕ(t) (4.17) • Wir rechnen die Geschwindigkeit aus: d ~v(t) = ~r(t) = dt −r sin ϕ(t) dϕ dt r cos ϕ(t) dϕ dt ! (4.18) • Wir wissen daß der Betrag der Geschwindigkeit konstant ist. Also: s    dϕ 2 dϕ 2 + r cos ϕ(t) = const. −r sin ϕ(t) v= dt dt • Wir vereinfachen v=r dϕ dt q sin2 ϕ + cos2 ϕ (4.19) (4.20) • ... und mit (sin2 ϕ + cos2 ϕ) = 1 bleibt v=r dϕ dt (4.21) • Da v und r konstant sind, muß auch dϕ dt konstant sein; wir nennen das im Vorgriff auf ein späteres Kapitel die Winkelgeschwindigkeit ω. v (4.22) v = rω ω= r • Also, dϕ = ω = const. −→ ϕ(t) = ωt +C (4.23) dt (und wir setzen C = 0, d.h. die Bewegung startet zum Zeitpunkt t = 0 bei ϕ = 0) • Jetzt können wir~r und ~v neu schreiben:   r cos ωt ~r(t) = r sin ωt ~v(t) =   −rω sin ωt rω cos ωt • Indem wir ~v ableiten, können wir die Beschleunigung ausrechnen:   d −rω 2 cos ωt = −rω 2~r(t) ~a(t) = ~v(t) = −rω 2 sin ωt dt (4.24) (4.25) • Richtung von ~a: zeigt zu jedem Zeitpunkt genau entgegengesetzt zum Ortsvektor, also von unserem bewegten Teilchen zum Zentrum der Bahn! • Betrag von ~a: q a= (−rω 2 cos ωt)2 + (−rω 2 sin ωt)2 = rω 2 = • Demonstration: Projektion der Kreisbewegung v2 r (4.26) 40 KAPITEL 4. BEWEGUNG IN DREI DIMENSIONEN 4.4 Relativbewegung und Bezugssystem • Wir bauen nun unser Labor ab und in einem Sonderwagen des ICE nach Berlin wieder auf. • Annahme: der Zug bewegt sich geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit (d.h. keine Notbremsung wegen Bahndammbrand, spielender Kinder auf den Gleisen oder technischer Defekte, aber auch keine Erdkrümmung...) • Wir können ein Koordinatensystem im Wagen definieren, und Ort und Bewegung im Verhältnis zu diesem Koordinatensystem bestimmen • Man spricht von einem sogenannten “Bezugssystem” • Bezugssystem A sei vom Ursprung des Koordinatensystems (außerhalb des Zugs) definiert • Bezugssystem B sei in unserem bewegten Zugwaggon (also von einem Punkt im Wagen aus) definiert • Der Zug bewegt sich entsprechend ~xBA , ~vBA • Physiker X joggt entlang des Zugs von einem Ende zum anderen (er will schnell zu dem einen Wagen mit funktionierender Klimaanlage kommen) • Im Bezugssystem des Wagens: ~xXB , ~vXB • Leicht zu sehen: im Bezugssystem A gilt ~xXA =~xBA +~xXB ~vXA =~vBA +~vXB (4.27) • Wichtige Einschränkung: wie schon gesagt, die Bezugssysteme bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander, d.h. d ~vBA = 0 dt (4.28) • Konsequenz: die Beschleunigung des Physikers X ist in beiden Bezugssystemen gleich! d d d d ~aXA = ~vXA = ~vBA + ~vXB = ~vXB = ~aXB (4.29) dt dt dt dt Kapitel 5 Kraft und Bewegung 5.1 HRW 5 Inertialsystem, Newton 1 • Newton’sche Mechanik, benannt nach Sir Isaac Newton (1642-1727), der dieses System von Zusammenhängen als erster formuliert hat • Gilt über einen weiten Bereich von Größenordnungen, aber zB nicht bei – extrem hohen Geschwindigkeiten (−→ Relativitätstheorie) oder – extrem kleinen Objekten (−→ Quantenmechanik) • Was verursacht eine Beschleunigung? Wechselwirkung, wir nennen sie Kraft • Historisch: Annahme, daß eine Kraft nötig ist, um Bewegung aufrechtzuhalten... aber das gilt nur in Anwesenheit von Reibung. • Im idealisierten, reibungsfreien Fall: • Erstes Newton’sches Gesetz, Trägheitsgesetz: Ein Körper verharrt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmigen Translation, sofern er nicht durch einwirkende Kräfte zur Änderung seines Zustands gezwungen wird.1 • In Formeln heißt das, solange auf einen Körper keine Kraft einwirkt, ist seine Beschleunigung null, d.h. seine Geschwindigkeit (in Betrag und Richtung) konstant. ~a(t) = 0 ~v(t) = const. (5.1) • Vorsicht, diese Formulierung macht keine Aussagen über die Art des Bezugssystems... • Begriff des Inertialsystems: Ein Inertialsystem ist ein Bezugssystem, in dem die Newton’schen Gesetze gelten. • Also können wir das erste Newton’sche Gesetz neuformulieren: Es gibt Inertialsysteme, in denen ein Körper, auf den keine Kraft einwirkt, in Ruhe oder gleichförmiger Bewegung verbleibt. • Quizfrage: Puck auf Eisbahn auf der Erdoberfläche — Inertialsystem? 1 Im Original: “Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nisi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare.” 41 VL 9.11.2016 42 KAPITEL 5. KRAFT UND BEWEGUNG Abbildung 5.1: Zwei Kräfte ~F1 und ~F2 wirken auf einen Körper; ihre Addition ergibt die Gesamtkraft, die auf ihn wirkt (Superpositionsprinzip). 5.2 Kraft verursacht Beschleunigung, Newton 2 • Idee einer Kraft ~F, die auf einen Körper einwirkt • Kraft verursacht Beschleunigung einer Masse • Beschleunigte Masse ist kleiner −→ gleiche Kraft verursacht größere Beschleunigung • Zweites Newton’sches Gesetz, Aktionsprinzip: Die auf einen Körper mit zeitlich konstanter Masse wirkende Gesamtkraft ist gleich dem Produkt der Masse und der Beschleunigung des Körpers. • Als Formel: ~Fges = m~a (5.2) • Vektorgleichung, gilt für alle drei Komponenten • Demonstration: Luftschiene: Wagen mit verschiedenen Massen und verschiedenen Kräften • Erstes Newton’sches Gesetz ist Spezialfall für ~Fges = 0 • Kräfte bewirken die Beschleunigung “achsenweise”, d.h. die x-Komponente der Gesamtkraft bewirkt die x-Komponente der Beschleunigung us. • Wir definieren die Einheit der Kraft so, daß eine Kraft von 1 Newton eine Masse von 1kg mit 1m/s2 beschleunigt, also: • Einheit der Kraft: Kraft ~F, 1 N = 1 Newton = 1 kg m s2 (5.3) • Kraft ist eine Vektorgröße • Wirkt mehr als eine Kraft auf einen Körper, so können diese aufsummiert werden (Superpositionsprinzip), siehe Abbildung 5.1 5.3. GRAVITATION UND GEWICHT 43 • Wenn wir später nicht mehr von Massepunkten sprechen, dann wird der Ansatzpunkt von Kräften an einen Körper wichtig. • Kräftediagramm zur vektoriellen Aufsummierung der Gesamtkraft • Masse: die Eigenschaft eines Körpers, mit der er sich einer Beschleunigung “widersetzt” • Sogenannte “träge Masse” • Beispielaufgabe: Drei Leute ziehen an einem Autoreifen; zwei Beträge und zwei Richtungen bekannt... 5.3 Gravitation und Gewicht VL 10.11.2016 • Gravitationskraft ~Fg : Erde “zieht Körper an” • Üblicherweise (vereinfacht) senkrecht nach unten, Richtung Erdmittelpunkt • Wir wissen, daß im Schwerefeld der Erde einem Körper eine konstante Beschleunigung ~g widerfährt • Also gilt mit Newton 2: ~Fg = m~g (5.4) • Auf eine Masse m wirkt eine Gravitationskraft ~Fg genau so, daß diese mit ~g beschleunigt wird • “Schwere Masse” m, auf die die Gravitation (Schwerkraft) wirkt; Eigenschaft von Masse, die eigentlich unabhängig von der “trägen Masse” ist • Fundamentale Frage der Physik: ist schwere und träge Masse immer gleich? “Äquivalenz von träger und schwerer Masse” • “Fallen Gegenstände aus unterschiedlichen Materialien durch die Gravitation gleich stark beschleunigt?” • Viele Experimente... bis jetzt, Äquivalenz mit sehr hoher Genauigkeit nachgewiesen • Beispiel einer Satelliten-Messung zu diesem Thema: http://einstein.stanford.edu/STEP/index.html • Gewichtsmessung im täglichen Leben (Waage, Feder, ...): wir messen die Kraft, die nötig ist, um den Körper am freien Fall zu hindern (also die Gravitationskraft auszugleichen) • Setzt bestimmten Wert für g voraus! Ihre Küchenwaage funktioniert nicht auf dem Mars. • Außerdem, funktioniert nicht in beschleunigtem Bezugssystem, z.B. im Aufzug (warum?) 44 KAPITEL 5. KRAFT UND BEWEGUNG Abbildung 5.2: Normalkraft durch eine Tischoberfläche: Die Erde übt eine Gravitationskraft ~Fg auf unser blaues Objekt aus. Damit es nicht sich Richtung Erdmittelpunkt beschleunigt, muß der Tisch, auf dem es liegt, eine entgegengesetzte Normalkraft gleicher Größe ~FN auf es ausüben. 5.4 Normalkraft • Situation von Abbildung 5.2 • Gegenstand liegt auf Tisch, wird von Erde angezogen, “kann” aber nicht fallen • Tischoberfläche wird minimal komprimiert/eingedrückt, übt Gegenkraft auf Gegenstand aus, gleich groß der Gravitationskraft, aber entgegengesetzt • Deutlicher wenn Gegenstand auf Matratze liegt: der Gegenstand sinkt ein, bis die rücktreibende Kraft ausreicht, die Gravitationskraft auszugleichen • Diese Kraft wird Normalkraft genannt • “normal”, weil senkrecht zu Tischoberfläche / generell Auflagefläche • Beispiel Wagen auf schiefer Ebene: Normalkraft immernoch senkrecht zur Auflagefläche, aber nicht mehr entgegengesetzt zur Gravitationskraft! 5.5 HRW 6 Reibungskräfte • Gegenstand bewegt sich auf Tischoberfläche entlang • Haftung zwischen Gegenstand und Oberfläche: Reibungskräfte, parallel zur Oberfläche • Demonstration: Haft- und Gleitreibung • Versuch: Gegenstand gleitet auf Tisch entlang. • Gegenstand wird bis zur Ruhe abgebremst, d.g. Reibungskraft / Reibung wirkt der Bewegung entgegengesetzt • Versuch: Gegenstand wird mit konstanter Geschwindigkeit auf Tisch entlanggezogen 5.5. REIBUNGSKRÄFTE 45 Abbildung 5.3: Links: Der blaue Block ruht auf dem Tisch wie in Abbildung 5.2. Nun üben wir eine Zugkraft ~F aus, um ihn in Bewegung zu versetzen; dieser wirkt eine Reibungskraft ~FR entgegen. Rechts: Die Zugkraft wird langsam erhöht, und die Haftreibungskraft wächst entsprechend bis zu einem kritischen Wert. Dann beginnt der Block sich zu bewegen, und es wirkt nur noch die meistens kleinere Gleitreibungskraft. • Konstante Kraft nötig; da keine Beschleunigung vorliegt, muß diese gerade die Reibungskraft ausgleichen • Versuch: Gegenstand liegt auf Tisch, wir versuchen ihn mit einer Kraft in Bewegung zu versetzen • Wir brauchen erst mal eine größere Kraft, um den Gegenstand in Bewegung zu versetzen! Weitere Reibungskraft nötig, die nur wirkt, solange der Gegenstand in Ruhe ist! • Zuerst die Haftreibungskraft Fs , “s” für “statisch” überwinden, danach wirkt nur noch die kleinere Gleitreibungskraft Fk , “k” für “kinetisch” • Beispiel zweier Metallblöcke: Kontaktflächen “verschweißen” kalt (zu “einem Metallblock”) • Loslösen: “Schweißstellen” werden getrennt, dann während der Bewegung werden ständig solche Stellen wieder gebildet und gelöst • Reibungskräfte entstehen, wo die mikroskopischen Unebenheiten der beiden Flächen aneinander vorbeigleiten. • Häufig ruckartig, da zwei Oberflächen aneinanderhaften und sich wieder lösen −→ quietschende Geräusche– Fingernagel auf Tafel, Reifen auf Straße, aber auch Bogen auf Violinensaite • Zusammenpressen von Oberflächen −→ größere Kontaktflächen, größere Reibungskräfte • Entsprechende experimentelle Beobachtung: Sowohl die maximale Haftreibungskraft als auch die Gleitreibungskraft hängen von der Normalkraft ab; es gilt näherungsweise (keine Vektorgleichung, nur Beträge) Fsmax = µs N Fk = µk N µs und µk heißen Haftreibungs- und Gleitreibungskoeffizient. (5.5) 46 KAPITEL 5. KRAFT UND BEWEGUNG 5.6 Zentripetalkraft der gleichförmigen Kreisbewegung • Wir wissen schon, daß einem Körper, der sich mit konstantem Geschwindigkeitsbetrag auf einer Kreisbahn befindet, eine Zentripetalbeschleunigung widerfährt a= v2 = rω 2 r (5.6) • Nach Newton 2 ist die entsprechende Kraft, die das verursacht, die Zentripetalkraft, F =m v2 r (5.7) • Beispiel Auto in Kurve: – Zentripetalkraft wird von Boden an den Reifen ausgeübt, Haftreibungskraft – Die Leute, die im Auto sitzen, werden von der Haftreibung am Autositz entsprechend mitbeschleunigt – Ist die zu klein, dann rutscht man auf der Rückbank zur Seite... • Beispiel Gegenstand an Schnur: die Zentripetalkraft muß ich aufwenden, um den Gegenstand auf der Kreisbahn zu halten; spannt die Schnur 5.7 HRW 5 Actio und Reactio • Kräftediagramm Gegenstand auf Tisch: Gegenstand übt seine Gravitationskraft auf den Tisch aus, aber auch Tisch übt Normalkraft auf Gegenstand aus! • Drittes Newton’sches Gesetz (Aktion gleich Reaktion) Wenn zwei Körper miteinander wechselwirken, dann besitzen die Kräfte, welche die Körper aufeinander ausüben, den gleichen Betrag und entgegengesetzte Richtung. • Beispiel Gegenstand auf Tisch: sei ~Fg die Gravitationskraft, die die Erde auf den Gegenstand und damit der Gegenstand auf den Tisch ausübt, und ~Fn die Normalkraft, die der Tisch auf den Gegenstand ausübt: ~Fg = −~Fn • “Kraft-Gegenkraft-Paar” • Demonstration: Zwei Physiker auf zwei Wägen, Seilziehen (5.8) Kapitel 6 Energie und Arbeit 6.1 HRW 7 (Kinetische) Energie • Um physikalische Phänomene einfach beschreiben zu können, brauchen wir mehr fundamentale Konzepte; ein solches ist die Energie. • Eigenschaft von Gegenständen oder Systemen • Kann transferiert oder in andere Formen umgewandelt werden, aber nicht erzeugt oder zerstört werden • Schwer zu definieren, da sehr viele verschiedene Formen • Oft gegebene umgangssprachliche “Definition”: “Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten” (aber ganz so einfach ist das nicht) • Weil wir in der Mechanik-Vorlesung sind, betrachten wir erst einmal die kinetische oder Bewegungsenergie: 1 (6.1) Ekin = m~v2 2 • Einheit der Energie, wie auch aus Gleichung 6.1 folgt: Energie E, 1 J = 1 Joule = 1 kg m2 s2 (6.2) • Manchmal auch Formelzeichen T oder K verwendet • Beispiel: Ein Käfer fliegt an uns vorbei. Geschwindigkeit 10 m/s, Masse 800 kg. (Ja, Herbie.) Die kinetische Energie ist Ekin = 40 kJ. 6.2 Arbeit • Ein Gegenstand wird auf eine größere Geschwindigkeit beschleunigt −→ er gewinnt an kinetischer Energie • Wir bremsen einen Gegenstand mit einer Kraft auf eine kleinere Geschwindigkeit ab −→ er verliert an kinetischer Energie • Dem Gegenstand wird “Energie zugeführt”, bzw. der Gegenstand “führt uns Energie zu” • Begriffsdefinition Arbeit: 47 48 KAPITEL 6. ENERGIE UND ARBEIT Die Arbeit W ist die Energie, die auf mechanischem Wege von einem Gegenstand auf einen anderen übertragen wird, d.h. durch das Einwirken von Kräften. • Man sagt, “an einem Gegenstand wird Arbeit verrichtet” • Zuführen von Energie −→ positive Arbeit, Abführen von Energie −→ negative Arbeit • zuführen/abführen nur im übertragenen Sinne, da fließt kein materieller “Stoff” hinein oder heraus • Die Begriffsdefinition ist spezieller als der umgangssprachliche Begriff der Arbeit; ich habe zwar gestern lange am Skript gearbeitet, aber dabei kaum Arbeit im physikalischen Sinne verrichtet. 6.3 Kräfte verrichten Arbeit • Gedankenexperiment: Wagen kann sich (reibungsfrei) auf Luftkissenschiene bewegen, in x-Richtung • Am Ort x = 0, Geschwindigkeit v0 • Konstante Kraft ~F im Winkel ϕ zur Schiene • Beschleunigung: Fx = ma • Wir können herleiten und damit v(x)2 = v20 + 2ax (6.3) 1 2 1 2 mv − mv0 = Fx x 2 2 (6.4) • Änderung der kinetischen Energie, also Arbeit W , ist Weg mal Kraft in Wegrichtung! W = Fx x (6.5) • Allgemeiner mit Winkel ϕ oder den Vektoren: W = Fx cos ϕ = ~F ·~x (6.6) • Wichtig: für diesen Ausdruck muß die Kraft konstant sein, die Bewegungsrichtung konstant sein, und das bewegte Objekt starr sein! VL 16.11.2016 • Demonstration: Ziehen eines Wagens: nötige Kraft bei unterschiedlichem Ansatzwinkel des Seils • Vorzeichen der Arbeit: hängt vom Winkel ϕ ab, positiv wenn Kraft(komponente) in gleicher Richtung wie Weg • Einheit der Arbeit: 1 J genauso wie Energie; hier gibt es auch die Bezeichnung 1 J = 1 Nm • In unserer Konstruktion der Arbeit W haben wir uns auf die Änderung der kinetischen Energie Ekin bezogen • Damit gilt W = Ek, f − Ek,i = ∆Ekin (6.7) • Die Änderung der kinetischen Energie eines Teilchens ist gleich der an dem Teilchen verrichteten Gesamtarbeit. • Unabhängig vom Vorzeichen von W . 6.4. ARBEIT DURCH GRAVITATIONSKRAFT 6.4 49 Arbeit durch Gravitationskraft • Wir setzen die Gravitationskraft in die Formel für die Arbeit ein • Bei senkrechter Verschiebung um eine Höhe ∆z verrichtet die Gravitationskraft an einer Masse m die Arbeit Wg = −mg ∆z (6.8) • Allgemeiner Weg~r: mit ϕ als Winkel zwischen~r und der Senkrechten nach oben, Wg = −mgr cos ϕ (6.9) (das Minuszeichen kommt daher, daß die Kraft nach unten zeigt) • Objekt fällt nach unten −→ Kraft und Weg zeigen in die gleiche Richtung, Arbeit positiv — konsistent damit daß das Objekt schneller wird, Geschwindigkeit nimmt zu • Objekt bewegt sich nach oben −→ Kraft und Weg zeigen in die entgegengesetzte Richtung, Arbeit negativ — konsistent damit daß das Objekt langsamer wird, also abgebremst wird und kinetische Energie verliert 6.5 Arbeit durch eine Feder • Gegenstand an Feder befestigt, Gleichgewichtslage sei x = 0 • Auslenkung ~x −→ rücktreibende Kraft ~F • Beschrieben für kleine Auslenkungen durch das Hooke’sche Gesetz: ~F = −k~x (6.10) • k ist die Federkonstante der jeweiligen Feder • In einer Dimension: Fx = −kx (6.11) • Federkraft zieht immer in Richtung der Gleichgewichtslage • Linearer Zusammenhang! • Der Gegenstand sei bei x = 0 und in Ruhe. Nun stoßen wir ihn kurz an, so daß er sich in positiver Richtung wegbewegt. • Welche Arbeit verrichtet die Feder (um ihn abzubremsen)? • Problem: Kraft zeitlich veränderlich! • Wir betrachten viele kleine Wegstücke j, auf denen wir die Kraft jeweils konstant annähern: WF = ∑ Fj ∆x (6.12) • Infinitesimal kleine Stücke −→ Integral, und für diesen Fall gilt Zx2 Zx2 WF = F dx = x1 x1 1 1 (−kx)dx = kx12 − kx22 2 2 (6.13) • Mit x1 = 0 (Start vom Ursprung) gilt als Sonderfall der folgende Zusammenhang zwischen von der Feder verrichteter Arbeit WF und zurückgelegtem Weg x: 1 WF = − kx2 2 (6.14) VL 17.11.2016 50 KAPITEL 6. ENERGIE UND ARBEIT 6.6 Kinetische Energie und Arbeit – mit Integralen • Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Arbeit – auch mit Integralen zeigbar? • Schauen wir uns das vereinfachend in 1D an. • Sei F(x) die Kraft, und wir bewegen uns von Ort x1 zu Ort x2 • Newton 2, F = ma, eingesetzt in die Definition der Arbeit: Zx2 Zx2 F(x) dx = W= m a dx (6.15) x1 x1 • Behauptung: a dx = v dv • “Beweis”: a dx = dv dv dx dx dv dx = dx = dx = v dv dt dx dt dt dx (6.16) (6.17) • (Das schaut sehr nach Taschenspielertrick aus. Dahinter steckt aber die Kettenregel der Ableitung; man kann das auch sauberer hinschreiben.) • Also gilt, mit v1 als Geschwindigkeit am Ort x1 und v2 als Geschwindigkeit am Ort x2 : Zv2 W= v1 1 1 mv dv = mv22 − mv21 = Ek,2 − Ek,1 2 2 (6.18) • Die an der Masse verrichtete Arbeit ist gleich der Änderung der kinetischen Energie. 6.7 Leistung • Ein Auto wird kontinuierlich durch eine Kraft beschleunigt • Pro Zeitabschnitt wird Arbeit verrichtet • Beschreibung, “wie schnell” die Arbeit geleistet wird? • Leistung: Arbeit pro Zeitintervall Leistung P = dW , dt 1 W = 1 Watt = 1 J/s (6.19) • Alte, nicht-SI-Einheit: 1 PS = 1 Pferdestärke = 735 W (6.20) • Zeitlich und räumlich konstante Kraft ~F, die auf ein bewegtes Objekt mit ~x(t), ~v(t) einwirkt −→ die momentane Leistung ist P= dW d d~x ~ = ~F ·~x = ~F · = F ·~v dt dt dt (6.21) Kapitel 7 Vektoranalysis II: Weg- und Volumenintegral 7.1 Arbeit in 3D: Wegintegral • Im letzten Abschnitt, als Grenzwertprozeß von Aufsummierung: Zx2 WF = F(x) dx (7.1) x1 • Was passiert im dreidimensionalen Fall? • Wir brauchen die Kraft in Richtung des Wegs, Projektion • Erinnerung: Skalarprodukt! • Wir summieren wieder kleine Wegstücke ∆~x j auf, aber diesmal als Skalarprodukt von Kraft und Ortsänderung (Wegstück), siehe auch Abbildung 7.1: ∑ ~Fj · ∆~x j (7.2) • Grenzwertprozeß führt formell zu einem Integral, aber einem “neuartigen” Z WF = ~F(~x) · d~x (7.3) Weg • “Kurvenintegral”, nicht über ein Intervall auf einer Achse, sondern über einen “Weg” im dreidimensionalen Raum • Wie rechnen wir das aus, und wie geben wir z.B. die Integrationsgrenzen oder den Weg an? • Wir beschreiben den Weg als Funktion eines weiteren Parameters t; der kann z.B. die Zeit sein... ~x : t 7−→~x(t) (7.4) • Der Weg wird von t1 bis t2 zurückgelegt, führt also vom Punkt~x(t1 ) zum Punkg~x(t2 ) • Sie erinnern sich hoffentlich noch an die Kettenregel vom Integrieren: für Skalare (Zahlen, Schule, etc bla bla) gilt Z Z f (x) dx = 51 f (x(t)) dx dt, dt (7.5) 52 KAPITEL 7. VEKTORANALYSIS II: WEG- UND VOLUMENINTEGRAL Abbildung 7.1: Ein Körper bewegt sich auf einem Weg~x(t) von~x(t1 ) =~x1 nach~x(t2 ) =~x2 . Dabei wirkt eine Kraft ~F auf ihn. Die durch die Kraft geleistete Arbeit ergibt sich aus dem Wegintegral über ~F · d~x. • Wir verwenden “rückwärts” diese Kettenregel für’s Integrieren, nur daß wir diesmal Vektoren haben! • Sei ~x(t) der Weg, auf dem sich unser Gegenstand als Funktion der Zeit t bewegt, von t = t1 bis t = t2 . Z WF = ~F(~x) · d~x = Weg Zt2 t1 ~F(~x(t)) · d~x(t) dt dt (7.6) • Innerhalb des Integrals steht ein Skalarprodukt, also nur noch eine Zahl! D.h. das können wir ausrechnen! Beispiel: Eine Masse m bewegt sich von t1 = 0 an auf einer Wurfparabel im Schwerefeld der Erde, mit ~v0 =~v(t = 0) = v0~ex . Die Gewichtskraft ~Fg ist   0 ~Fg = −mg~ez =  0  (7.7) −mg und unsere Flugbahn ist gegeben durch   v0t g ~r(t) = − t 2~ez + v0t~ex =  0  2 − g2 t 2 Die Ableitung von~r(t), also die Geschwindigkeit, ist   v0 ~v(t) =  0  −gt (7.8) (7.9) 7.2. FLÄCHENINTEGRAL 53 Wir setzen in Gleichung 7.6 ein und erhalten für die von t = t1 = 0 bis t = t2 durch die Gewichtskraft verrichtete Arbeit:     Zt2 Zt2 0 v0 1 WF =  0  ·  0  dt = mg2t dt = mg2t22 (7.10) 2 −mg −gt 0 0 • Wichtig: Im allgemeinen Fall kann das Ergebnis eines Wegintegrals von dem exakten Weg abhängen! • D.h. es reicht nicht, Start- und Endpunkt anzugeben, sondern der Weg muß genau beschrieben werden. • Wann genau wegunabhängig – später! 7.2 Flächenintegral • Andere Fragestellung: Wir schauen uns die Donau an, die Tiefe des Grunds sei −z(x,y). Wenn wir uns einen bestimmten Bereich der Wasseroberfläche anschauen, wieviel Wasservolumen ist da drunter? • “Flächenstück” ∆A = ∆x∆y, Volumen dadrüber / dadrunter: ∆V = ∆x∆y z(x,y) • Aufsummieren, Grenzwertprozeß, mache Stücke beliebig klein, Integral  Z ZZ Z Z V = z(x,y) dA = z(x,y) dx dy = z(x,y) dx dy (7.11) A • Integrationsbereich ist hier eine Fläche in der x-y-Ebene! D.h. wir müssen die Integrationsgrenzen in x und y so wählen, daß sie zusammen eine Fläche beschreiben. • Am einfachsten ist das für einen rechteckigen Bereich in x und y auszurechnen, d.h. sowohl in x- als auch in y-Richtung ist der Integrationsbereich durch ein Intervall gegeben. 7.3 Dichte und Volumenintegral • Wir betrachten einen ausgedehnten Körper mit Masse m und Volumen V . • Erster Fall: die Masse ist gleichmäßig über das Volumen verteilt • Wir können die Dichte oder Massendichte des Körpers definieren als ρ= m , V Einheit: kg m3 (7.12) • Andere übliche Angaben auch Gramm pro Kubikzentimeter, Kilogram pro Liter, ... • Anmerkung: Wir sprechen über die Masse, nicht über die Gewichtskraft! • Wie modellieren wir es, wenn die Masse eines Körpers nicht gleichmäßig verteilt ist? • Dichte ρ(~x) ist ortsabhängig • Beispiel Athmosphäre: nach oben wird die Luft dünner... 54 KAPITEL 7. VEKTORANALYSIS II: WEG- UND VOLUMENINTEGRAL • Was ist nun der Zusammenhang zwischen Dichte und (Gesamt)masse? • Wir nehmen kleine “Volumenstücke” Vi , und nähern, daß die Dichte ρi dort jeweils konstant ist. Dann gilt m = ∑ ρi Vi (7.13) i • Und jetzt machen wir die Volumenstücke immer kleiner und damit die Näherung immer besser... und erhalten formell ZZZ 3 m= ZZZ ρ(~x) dx = Volumen ρ(~x) dx dy dz (7.14) Volumen Beispiel: Was ist (grob) die Masse eines Würfels Luft mit 1km Kantenlänge? • Auf Meereshöhe, Normdruck, +20◦ C: ρ0 = 1.2041 kg/m3 • Die Dichte der Luft nimmt für geringe Höhen genähert um ρ0 /1000 pro 8m Höhe ab. • Also: ρ(~x) = ρ0 −  z ρ0 z  = ρ0 1 − 8 m 1000 8000 m (7.15) Für die Masse erhalten wir:  1Zkm m=  0  1Zkm m = ρ0 0  1− 0  ρ(~x) dx dy dz    z 1− dx dy dz 8 km 1Zkm  0  (7.16) 0 1Zkm 1Zkm 1Zkm  0  m = ρ0 · 1 km · 1 km  1Zkm (7.17) 0 z 15 dz = ρ0 · 1 km · 1 km · km 8 km 16 (7.18) Kapitel 8 Potentielle Energie und Energieerhaltung 8.1 VL 23.11.2016 HRW 8 Potentielle Energie • Potentielle Energie Epot : die Energie, die ein System aufgrund seiner Konfiguration bzw. Anordnung hat, wenn Kräfte bzw. Kraftfelder vorliegen • Manchmal auch Formelzeichen U • Anschauliche Vorstellung: das ist z.B. im Schwerefeld der Erde die Energie, die zusätzlich vorhanden ist, wenn ein Körper auf dem Dach liegt statt im Keller • Andere anschauliche Vorstellung: die Energie, die “in einer zusammengedrückten Feder steckt” • Konzept, mit dem viele Probleme wesentlich einfacher gelöst werden können • Beispiel hochgeworfenes Kreidestück: – fliegt nach oben −→ Gravitation verrichtet negative Arbeit an Kreide, Bewegungsenergie der Kreide nimmt ab, wird umgewandelt in potentielle Energie des Systems Erde+Kreide – fliegt nach unten −→ Gravitation verrichtet positive Arbeit an Kreide, potentielle Energie des Systems Erde+Kreide wird in Bewegungsenergie der Kreide umgewandelt • Negatives der Arbeit, welche die Gravitationskraft an der Kreide verrichtet, also: ∆Epot = −W (8.1) • Gleiche Argumentation mit Feder und daran befestigtem Objekt möglich 8.2 Konservative Kräfte • Wann können wir das Konzept der potentiellen Energie verwenden? • Wir schauen uns die Systeme “hochgeworfene Kreide im Schwerefeld” oder “Masse an Feder” nochmal an und verallgemeinern: – Zwei oder mehr Objekte 55 56 KAPITEL 8. POTENTIELLE ENERGIE UND ENERGIEERHALTUNG – Kraft zwischen beweglichem Objekt und dem Rest – Ändert sich der Ort des beweglichen Objekts, so verrichtet die Kraft eine Arbeit an ihm • Für die zwei betrachteten Beispiele gilt: Wird die Ortsänderung des beweglichen Objekts rückgängig gemacht, dann wird die gleiche Arbeit mit unterschiedlichem Vorzeichen verrichtet! W2 = −W1 (8.2) • Eine solche Kraft bezeichnet man als konservative Kraft. • Beispiele für konservative Kräfte: Gravitationskraft, rücktreibende Kraft einer Feder • Beispiele für nicht konservative Kräfte: Gleitreibungskraft, Strömungswiderstand Gleitreibung: verrichtet immer negative Arbeit an Objekt (“bremst”), auch wenn der Weg umgekehrt wird! Mechanische Energie wird in thermische Energie (Wärme) umgewandelt • Wann genau ist eine Kraft konservativ? • Wir nehmen an, daß sich ein Objekt, auf das Kräfte wirken, auf einem geschlossenen Weg bewegt (d.h. es ist am Ende wieder am Ausgangspunkt). • Eine Kraft, die auf ein solches Objekt wirkt, ist genau dann konservativ, wenn für jeden solchen geschlossenen Weg die verrichtete Gesamtarbeit gleich Null ist. • Äquivalent: Genau für eine konservative Kraft gilt, daß die an einem Objekt verrichtete Arbeit auf dem Weg von A nach B unabhängig von der Wegstrecke ist. • Beweis / Plausibilisierung des Zusammenhangs mit Skizze; Umkehrung des Wegstücks → Umkehrung der Richtung von d~x im Wegintegral, Cosinus ändert Vorzeichen 8.3 Energieerhaltung • Mechanische Gesamtenergie eines Systems: Emech = Ekin + Epot (8.3) • Was passiert mit dieser Summe, wenn nur konservative Kräfte vorliegen? (also insbesondere keine Reibung!) • In einem System verrichtet eine Kraft eine Arbeit W an einem Objekt des Systems, also ändert sich die Bewegungsenergie ∆Ekin = W (8.4) ∆Epot = −W (8.5) ∆Ekin = −∆Epot (8.6) und die potentielle Energie • Damit haben wir oder ausgeschrieben (1: vorher, 2: nachher) Ekin,2 − Ekin,1 = − Epot,2 − Epot,1
(8.7) 8.4. BERECHNUNG DER POTENTIELLEN ENERGIE 57 • Damit: Epot,1 + Ekin,1 = Epot,2 + Ekin,2 (8.8) Emech,1 = Emech,2 (8.9) oder Energieerhaltungssatz der Mechanik! Wenn in einem abgeschlossenen System nur konservative Kräfte Energieänderungen verursachen, dann ist die Summe von kinetischer und potentieller mechanischer Energie konstant. • Wir können das ausnutzen, um (unabhängig von der zeitlichen Entwicklung eines Systems und den genauen Kräften / Arbeiten) den Zustand eines Systems zu berechnen! • Beispiel eines Fadenpendels: Umwandlung zwischen kinetischer und potentieller Energie – Höchster Punkt: Pendel ruht, kinetische Energie Null, höchste potentielle Energie – Niedrigster Punkt: Pendel bewegt sich mit maximaler Geschwindigkeit, niedrigste potentielle Energie • Demonstration: “Dozentenkiller” — Energieerhaltung beim Fadenpendel 8.4 Berechnung der potentiellen Energie • Objekt (Massepunkt), in einem System, in dem eine konservative Kraft ~F auf es wirkt • Änderung der “mit dem System zusammenhängenden potentiellen Energie” ist genau das Negative der an dem Objekt verrichteten Arbeit • Aus der Arbeit Zx2 W= F(x) dx (8.10) x1 folgt also die potentielle Energie ∆Epot = − Zx2 F(x) dx (8.11) x1 • Im Dreidimensionalen: Wegintegral wie bereits besprochen ∆Epot = − Z~x2 ~F(~x) · d~x (8.12) ~x1 • In der Regel haben nur Änderungen der potentiellen Energie eine physikalische Bedeutung, der Absolutwert nicht • Aber: Konservative Kraft −→ wir können einen Referenzpunkt ~x0 mit Epot (~x0 ) = 0 festlegen und dann Epot (~x) schreiben, z.B. Epot (~x) = − Z~x ~x0 ~F(~x0 ) · d~x0 (8.13) VL 24.11.2016 58 KAPITEL 8. POTENTIELLE ENERGIE UND ENERGIEERHALTUNG • Nur für konservative Kräfte ist die potentielle Energie sinnvoll! (Sonst wäre diese Funktion Epot (~x) für einen Punkt ~x nicht wohldefiniert, da vom genauen Weg im Integral abhängig!) 8.5 Potentielle Energie der Gravitation • Kraft: Fg = −mg~ez • Unterschied Potentielle Energie von Höhe z1 nach Höhe z2 (nachrechnen!): ∆Epot = mg(z2 − z1 ) 8.6 (8.14) Berechnung der Kraft aus Epot • Konservative Kräfte, Referenzpunkt ~x0 gegeben −→ Epot (~x) • Wir wissen daß in 1D gilt Epot (x) = − Z F(x) dx (8.15) • Ableiten auf beiden Seiten führt zu F(x) = − dEpot (x) dx (8.16) Beispiel: Epot kann man plotten; insbesondere ist das einfach in einer Dimension und bei Betrachtung der Gravitationskraft... Achterbahn-Beispiel: Wagen mit Masse m gleitet auf einer Schiene entlang (NICHT rollen, das ist komplizierter); dann gilt mit Referenzhöhe z = 0 Epot = mgz ∝ z (8.17) Diskussion von • Endgeschwindigkeit • Geschwindigkeit an beliebigem Ort • Umkehrpunkte • neutrales, instabiles, stabiles Gleichgewicht Endlich mal eine schöne Anwendung für die Kurvendiskussion... • In 3D: Integral ist wie bereits erwähnt Epot (~x) = − Z ~F(~x) · d~x (8.18) und Bilden des Gradienten auf beiden Seiten führt zu ~F(~x) = −~∇Epot (x) (8.19) • Epot (~x) ist ein skalares Feld, ~F(~x) ein Vektorfeld! • Nutze dieses Wissen für Berechnungen! • Kraft zeigt immer in die Richtung, in der die potentielle Energie am stärksten abnimmt! 8.7. (RE)DEFINITION ARBEIT EINER ÄUSSEREN KRAFT AN EINEM SYSTEM 59 8.7 (Re)definition Arbeit einer äußeren Kraft an einem System • System von Objekten, Emech = Ekin + Epot (8.20) • Von Umgebung isoliert, “abgeschlossen” −→ keine Arbeit wird an ihm verrichtet, die mechanische Gesamtenergie bleibt konstant • Externe Kraft −→ Energie wird einem System zugeführt oder entzogen, d.h. wir ändern die Gesamtenergie Emech über einen oder beide seiner Teile; nicht mehr abgeschlossen W = ∆Emech (8.21) • Beispiel Hochwerfen der Kreide • System Kreide — Erde, Gravitationskraft und potentielle Energie • meine Hand ist die äußere Kraft an diesem System, fügt ihm beim Hochwerfen Energie hinzu! • Quizfrage — wieviel? wie könnte man das messen? • Komplizierter wenn Reibung vorhanden • Gleitreibungskraft −→ mechanischer Energieverlust, aber Erwärmung des Systems! Zusätzlicher Energieterm Etherm W = ∆Emech + ∆Etherm (8.22) 60 KAPITEL 8. POTENTIELLE ENERGIE UND ENERGIEERHALTUNG Kapitel 9 Systeme von Teilchen, Impuls 9.1 HRW 9 Schwerpunkt • Wir betrachten nun ein System aus mehreren Massepunkten, und später einen ausgedehnten Körper • Schwerpunkt zweier Teilchen an Orten x1 und x2 , Massen m1 und m2 (in 1D) m1 x1 + m2 x2 m1 + m2 xs = (9.1) (ein “gewichteter Mittelwert”!) • Für beliebig viele (N) Teilchen: N ∑ mi xi i=1 N xs = (9.2) ∑ mi i=1 N • Im Nenner steht die Gesamtmasse M = ∑ mi i=1 • Im dreidimensionalen Raum: das gleiche mit Vektoren N ∑ mi~xi ~xs = i=1 N = ∑ mi 1 N ∑ mi~xi M i=1 (9.3) i=1 • Wie beschreiben wir einen ausgedehnten, kontinuierlichen Körper? • Dichte: Masse pro Volumen, kann eine Funktion des Orts sein, skalares Feld ρ(~x) = dm dV (9.4) • Von der Dichte wieder zur Masse — Volumenintegral ZZZ m= ρ(~x) dx3 = Volumen ZZZ Volumen 61 ρ(~x) dx dy dz (9.5) 62 KAPITEL 9. SYSTEME VON TEILCHEN, IMPULS • Zurück zum Schwerpunkt, wie kriegen wir den von der Dichte? • Diskrete Volumenelemente (“Volumenstücke”): 1 ~xi ρi ∆Vi M∑ i ~xs = (9.6) • Kontinuierlicher Fall: RRR ~xs = 1 M ZZZ ~xρ(~x) dx dy dz RRR ~xρ(~x) dx dy dz =Volumen ρ(~x) dx dy dz Volumen (9.7) Volumen • Einfachster Fall zum Rechnen wieder: Intervalle für x,y,z −→ drei normale Integrale • Trick beim Rechnen mit Schwerpunkten: Objekt in Teilsysteme aufteilen, Masse eines Teilsystems als im Schwerpunkt des Teilsystems konzentriert annehmen • 9.2 VL 30.11.2016 Beispiel: Platte mit Loch (aus HRW) Newton 2 für ein System von Teilchen • Wir betrachten ein System von Teilchen mit Gesamtmasse M und Schwerpunkt ~xS . Von außen wirkt eine Kraft ~Fext ein. • Behauptung: Newton 2 für ein solches System: ~Fext = M~aS (9.8) • Gleichbedeutend: Innere Kräfte (zwischen Teilen des Systems) haben keinen Einfluß auf die Lage des Schwerpunkts! • Nur Aussage über den Schwerpunkt; Teile des Systems können sich unterschiedlich bewegen... • Herleitung: n M~xS = ∑ mi~xi (9.9) M~aS = ∑ mi~ai (9.10) M~aS = ∑ ~Fges,i (9.11) i=1 n i=1 n i=1 Die Gesamtkraft auf Teilchen i ist die Summe aus der externen Kraft auf i und den Kräften, die alle anderen Teilchen j auf es ausüben: n ~Fges,i = ~Fext,i + ∑ ~Fi j , mit ~Fii = 0 ∀i (9.12) j=1 Damit n n n M~aS = ∑ ~Fext,i + ∑ ∑ ~Fi j (9.13) ~Fi j = −~Fji (9.14) i=1 j=1 i=1 Nach Newton 3 gilt Also heben sich innere Kräfte in der zweiten Doppelsumme weg; es bleiben nur die äußeren Kräfte auf die Teilchen übrig: n M~aS = ∑ ~Fext,i i=1 (9.15) 9.3. IMPULS UND IMPULSERHALTUNG 9.3 63 Impuls und Impulserhaltung • Neuer Begriff: Impuls, definiert für einen Massepunkt / ein Teilchen als ~p = m~v (9.16) • Selten auch “linearer Impuls” genannt (im Gegensatz zum Drehimpuls, der kommt später) • Vektor, zeigt in die gleiche Richtung wie die Geschwindigkeit • Ableiten der Definition auf beiden Seiten führt bei konstanter Masse m zu d~p d~v = m = m~a = ~F dt dt (9.17) • Allgemeinere Formulierung von Newton 2: Die zeitliche Änderung des Impulses eines Teilchens ist gleich der insgesamt auf dieses Teilchen wirkenden Kraft. ~F = d~p (9.18) dt Warum allgemeiner? Weil das auch den Fall sich ändernder Masse beschreibt! Beispiel Rakete, die Treibstoff ausstößt... • Gesamtimpuls eines Teilchensystems: n n ~P = ∑ ~pi = ∑ mi~vi = M~vS i=1 (9.19) i=1 Gesamtmasse mal Schwerpunktsgeschwindigkeit! • Für die äußere Kraft auf ein Teilchensystem erhalten wir mit Hilfe des letzten Abschnitts noch eine weitere Formulierung des 2. Newtonschen Gesetzes: ~ ~Fext = dP dt (9.20) Die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses eines Teilchensystems ist gleich der von außen auf dieses einwirkenden Kraft. Also: • Impulserhaltungssatz Wirkt keine externe Kraft auf ein System von Teilchen ein, dann ist der Gesamtimpuls des Systems konstant! Beispiel: “Is it possible to build a jetpack using downward firing machine guns?” • Summe des Impuls “machine gun” + “bullets” + “casing” + “hot gas” bleibt konstant! • https://what-if.xkcd.com/21/ Beispiel: Mit Luft und Wasser befüllte Rakete • Mit der Luftpumpe wird Überdruck in der Rakete erzeugt • Wird der Stöpsel gezogen, dann spritzt Wasser aus der Rakete • Der Gesamtimpuls von Wasser plus Luft plus Raketenkörper muß konstant bleiben, da keine externen Kräfte wirken (wir vernachlässigen Schwerkraft und Luftwiderstand) • D.h. der Raketenkörper wird in entgegengesetzter Richtung zum ausspritzenden Wasser beschleunigt... 64 KAPITEL 9. SYSTEME VON TEILCHEN, IMPULS 9.4 VL 1.12.2016 Schwerpunktsystem • Erinnerung: Zwei Bezugs-/Koordinatensysteme bewegen sich mit konstanter Geschwindigkeit (deutlich kleiner der Lichtgeschwindigkeit) zueinander −→ Beschleunigungen sind in beiden Systemen gleich, Bezugssysteme sind physikalisch gleichwertig • Eine Transformation zwischen zwei solchen Systemen, die eine konstante Geschwindigkeit zueinander haben, nennt man Galileo-Transformation • (Andere Typen von Transformationen −→ später, spezielle Relativitätstheorie) • Beide Bezugssysteme sind Inertialsysteme −→ – gleiche Beschleunigungen – gleiche Kräfte – gleichwertige physikalische Beschreibung • Sinnvolle Bezugssysteme z.B.: Laborsystem, Schwerpunktsystem • Schwerpunktsystem: Alle Positionen der betrachteten Teilchen werden relativ zum Schwerpunkt des Teilchensystems angegeben ~xi0 =~xi −~xS (9.21) • Gesamtimpuls ~P0 im Schwerpunktsystem ist Null! 9.5 Zweiteilchenproblem — Reduzierte Masse • Sonderfall System aus zwei Teilchen • Massen m1 , m2 , gegenseitige Kraft ~F21 • Nach Newton 3 gilt ~F21 = −~F12 (9.22) • Mit Newton 2 ergeben sich die Bewegungsgleichungen m1 d~v1 ~ = F12 dt m2 d~v2 ~ = F21 dt • Gleichungen voneinander subtrahieren −→   d 1 1 ~ (~v1 −~v2 ) = + F12 dt m1 m2 (9.23) (9.24) • Definiere zwei neue Variablen: – Relativgeschwindigkeit ~v12 =~v1 −~v2 (9.25) m1 m2 m1 + m2 (9.26) – reduzierte Masse µ= Dann gilt (nachrechnen!) µ d~v12 ~ = F12 dt (9.27) 9.5. ZWEITEILCHENPROBLEM — REDUZIERTE MASSE 65 • Das “Zweiteilchenproblem” kann ganz allgemein auf ein “Einteilchenproblem” reduziert werden! • Völlig unabhängig davon, wie kompliziert z.B. ~F21 ist. • Resultat ist genau wieder eine Gleichung wie Newton 2, mit zwei neuen “Hilfskoordinaten” µ und ~x12 • Eleganter Trick, um Probleme zu lösen. Kramen wir bei den Planetenbahnen wieder raus. • Diese Reduktion funktioniert nur für genau zwei Teilchen!!! Nicht für mehr!!! • Allgemeines “Dreikörperproblem”, “three body problem”: schon sehr komplizierte Physik, noch viel unbekannt; keine allgemeine Reduktion möglich 66 KAPITEL 9. SYSTEME VON TEILCHEN, IMPULS Kapitel 10 Stoßprozesse 10.1 HRW 10 Definition Stoß • Ein Stoß ist ein zeitlich kurzes Ereignis, währenddessen Körper starke Kräfte aufeinander ausüben • Idealisiert: “vorher”, “Stoß”, “nachher” • Näherung: Wechselwirkungen der Körper “vorher” und “nachher” werden vernachlässigt • Von der Kollision im Teilchenbeschleuniger bis zum Meteoriteneinschlag • Nicht notwendigerweise “Zusammenprall”, “Berührung” • Beispiel: “Streuung” einer Raumsonde im Schwerefeld eines Planeten • Beispiel: “Streuung” eines Elektrons beim Passieren eines Atomkerns 10.2 Impuls und kinetische Energie bei Stößen • “Geschlossenes”, “isoliertes” System, d.h. keine äußeren Kräfte und kein Austausch von Masse mit der Umgebung • Vereinfachung: genau zwei Stoßpartner • Kraft-Gegenkraft-Paar nach Newton 3 • Impulsänderung eines der beiden Körper in einem kleinen Zeitabschnitt während des Stoßprozesses: d~p ~ = F(t) (10.1) dt d~p = ~F(t) dt (10.2) • Impulsänderung während des gesamten Stoßprozesses (von Zeit t1 bis t2 ),“Impulsübertrag”: ∆~p = ~p2 −~p1 = Zt2 ~F(t) dt (10.3) t1 • Newton 3 −→ ein Teilchen verliert Impuls, anderes gewinnt den gleichen Impuls, Gesamtimpuls bleibt erhalten! 67 68 KAPITEL 10. STOSSPROZESSE • Allgemeiner: Geschlossenes System, nur innere Kräfte −→ der Gesamtimpuls kann sich nicht ändern; bei einem Stoß findet nur Umverteilung zwischen den Stoßpartnern statt. Immer Erhaltung des Gesamtimpuls! • Damit: Der Stoß ändert grundsätzlich nicht die Bewegung des Schwerpunkts des Systems! • Kinetische Energie: Ist die kinetische Energie bei einem Stoß erhalten, dann sprechen wir von einem elastischen Stoß, ansonsten von einem inelastischen Stoß • Beispiel elastischer Stoß: “Dopskugel” / “Flummi” / Gummikugel • Beispiel inelastischer Stoß: Zusammenstoß zweier Autos, Knetmasse (“Deformation”) • vollständig inelastischer Stoß: stoßende Körper bleiben aneinander haften • Diese Bedingungen können wir ausnützen, um die Auswirkungen eines Stoßprozesses zu berechnen. • Zwei Körper, m1 und m2 , mit Anfangs- und Endgeschwindigkeit (i=initial, f=final) ~v1i , ~v1 f , ~v2i , ~v2 f • Impulserhaltung: ~p1i +~p2i = ~p1 f +~p2 f (10.4) m1~v1i + m2~v2i = m1~v1 f + m2~v2 f (10.5) • Energieerhaltung beim elastischen Stoß: Ekin,1i + Ekin,2i = Ekin,1 f + Ekin,2 f (10.6) 1 1 1 1 m1~v21i + m2~v22i = m1~v21 f + m2~v22 f 2 2 2 2 (10.7) • “Zusammenkleben” beim vollständig inelastischen Stoß: ~v1 f =~v2 f • Demonstration: Wagen auf der Luftschiene: elastisch, inelastisch (10.8) Kapitel 11 Zylinder- und Kugelkoordinaten II 11.1 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordinaten • In kartesischen Koordinaten: ∆V = ∆x ∆y ∆z (11.1) oder als Differentialelemente zum Integrieren dV = dx dy dz (11.2) “infinitesimal kleiner Quader” oder “infinitesimal kleiner Würfel” • Wie schaut ein “Volumenelement” in Zylinderkoordinaten aus? • Wir nehmen an, daß φ im Bogenmaß angegeben ist • Flächenelement in der r-φ -Ebene: ∆A = ∆r r∆φ • Volumenelement zum Integrieren: dV = rdφ dr dz (11.3) Abbildung 11.1: (a) Flächenelement in zweidimensionalen Polarkoordinaten, wie auch in der r-φ -Ebene von Zylinderkoordinaten 69 70 KAPITEL 11. ZYLINDER- UND KUGELKOORDINATEN II (Radiusstück mal Bogenstück mal Höhenstück!) • Beispiel: Volumen eines “halben” Zylinders mit Radius a und Höhe b Zb Zπ Za r dr dφ dz = V= Zb Zπ 2 a 2 Zb dφ dz = 0 0 0 0 0 πa2 πa2 b dz = 2 2 (11.4) 0 • Beispiel: Schwerpunkt eines “halben” Zylinders mit Radius a, Höhe b und konstanter Dichte ρ... wir integrieren in Zylinderkoordinaten und rechnen so die kartesischen Koordinaten des Schwerpunkts aus. x~S = 1 Vρ 0 (11.5) Zb Zπ Za πa2 b2 2 4 πa2 b 11.2 ~xρ dx3   r cos(φ )  r sin(φ )  r dr dφ dz = ~x(r,φ ,z) r dr dφ dz = z 0 0 0 0 0  3      a 0 0 Zb Zπ Zb 3 cos(φ )  a3   3   3   3 sin(φ )  dφ dz =  2a3  dz =  2a3 b  2 πa πa2 b2 a2 0 0 0 2 z 4 2z     0 0  2a3 b 2   4  ~xS =  3 πa2 b  = 3π a Zb Zπ Za V~xS = ZZZ (11.6) (11.7) (11.8) b 2 Flächen- und Volumenelemente in Zylinderkoordinaten • Volumenelement in Kugelkoordinaten dV = r cos θ dφ rdθ dr (11.9) • Beispiel: Volumen einer Kugel mit Radius R Zπ Z2πZR V= 0 0 0 r2 cos θ dr dφ dθ (11.10) Kapitel 12 Drehbewegung mit fester Achse 12.1 Winkel, Winkelgeschwindigkeit, -beschleunigung • Bis jetzt haben wir die sogenannte “Translationsbewegung” betrachtet; ab jetzt dreht sich hier alles und wir betrachten die Rotationsbewegung. • Wir fangen mit einem einfachen Fall an — der Drehbewegung eines starren Körpers um eine feste, vorgegebene Achse. Also... • Starrer Körper, gegeben durch Masseverteilung ρ(~x) • Feste Drehachse • Rotation wird durch ähnliche (aber nicht identische) Größen wie Translation beschrieben • Winkel(position): mit Bogenlänge s und Radius r, θ= s r (12.1) Hier: Einheit des Winkels “Bogenmaß” (rad), dimensionslos, ganze Umdrehung ist θ = 2π • Für die Physik sehr praktische Einheit, also: • Solange nicht speziell angegeben sind alle Winkel ab jetzt im Bogenmaß! • Zusammenhang zur zurückgelegten Bogenlänge s ist offensichtlich s = θr (12.2) dθ dt (12.3) • Winkelgeschwindigkeit ω= Einheit 1/s (oder “rad/s”) • Zusammenhang zur momentanen linearen Geschwindigkeit (wenn ω im Bogenmaß): v = ωr (12.4) • Periode oder Umlaufzeit T der Kreisbewegung: Zeit, die für einen kompletten Umlauf (Bogenlänge 2πr oder Winkel 2π) gebraucht wird T= 2πr 2π = v ω 71 (12.5) HRW 11 VL 7.12.2016 72 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE • Winkelbeschleunigung, bei nicht konstanter Winkelgeschwindigkeit: α= dω dt (12.6) Einheit 1/s2 (oder “rad/s2 ”) • Zusammenhang zur momentanen linearen Beschleunigung: tangentiale Beschleunigung (in jedem Moment in Bahnrichtung) at = αr (12.7) und radiale Beschleunigung (Zentripetalbeschleunigung, in jedem Moment senkrecht zur Bahnrichtung) v2 = ω 2r (12.8) ar = r ~ ist Vektor!1 • Skalare oder Vektoren? ω ~ beschreibt die Richtung der Drehachse • Richtung des Vektors ω • Orientierung: Rechte-Hand-Regel • Zusammenhang mit momentaner Bahngeschwindigkeit und momentanem Ort in Vektoren: ~ ×~r ~v = ω (12.9) • Solange wir uns nur um Drehungen um eine feste, bekannte Achse kümmern, ist die Vektorschreibweise nicht zwingend nötig. • Aber wir brauchen natürlich immer das Vorzeichen der Winkelgeschwindigkeit (Drehsinn)! 12.2 VL 8.12.2016 Kinetische Energie der Rotation • Können wir die Bewegungsenergie auch für die Rotation hinschreiben? • Wir betrachten unseren rotierenden Körper als System von Teilchen, jedes mit 1 Ekin,i = mi v2i 2 (12.10) 1 Ekin = ∑ mi v2i i 2 (12.11) • Kinetische Energie insgesamt: • Wir setzen die Geschwindigkeit v = ωr⊥ als Funktion des Abstands r⊥ von der Achse ein ! 1 1 2 Ekin = ∑ mi (ωr⊥,i )2 = mi r⊥,i ω2 (12.12) 2 ∑ i 2 i • Wir definieren das Trägheitsmoment I des Körpers in Bezug auf diese Drehachse dann als: 2 I = ∑ mi r⊥,i (12.13) i 1 Strenggenommen “Pseudovektor”... Wird das gesamte physikalische System gespiegelt, dann erhält er ein zusätzliches Minuszeichen! Mathe ist toll... 12.2. KINETISCHE ENERGIE DER ROTATION 73 • Das Trägheitsmoment I hängt von der Form und Masseverteilung des Körpers und von der Lage der Drehachse ab! • I ist eine Konstante, die das Verhalten eines bestimmten Körpers bei der Rotation um eine bestimmte Drehachse beschreibt. • Kontinuierliche Masseverteilung: schreibe wieder mit Integral, Dichte und Volumenelement Z I = ρ(~x)r⊥ (~x)2 dV (12.14) r⊥ (~x) ist hier der Abstand des Punkts ~x von der Drehachse! • Damit nun ganz einfach: 1 Ekin = Iω 2 (12.15) 2 • Interessanterweise schaut diese Gleichung genauso aus wie die kinetische Energie der Translationsbewegung, nur wurde die Masse durch das Trägheitsmoment und die Geschwindigkeit durch die Winkelgeschwindigkeit ersetzt. • In der Tat werden wir sehen, daß das Trägheitsmoment für die Rotationsbewegung eine ähnliche Rolle wie die Masse für die lineare Bewegung hat, d.h. es beschreibt wie sich ein Körper Änderungen der Winkelgeschwindigkeit “widersetzt”. Beispiel: Berechnung des Trägheitsmoments einer homogenen Kugel, Dichte ρ, Radius R, um eine Achse durch Mittelpunkt: I = 52 MR2 Für die Masse der Kugel gilt 4 M = V ρ = πR3 ρ (12.16) 3 Für einen Punkt mit Koordinaten (r,φ ,θ ) ist der Abstand r⊥ zur z-Achse r⊥ = r cos θ . Wir setzen ein π Z2π Z2 ZR I= (r cos θ )2 ρ dr rdθ r cos θ dφ (12.17) 0 − π2 0 und sortieren π Z2π Z2 ZR I= ρr4 (cos θ )3 dr dθ dφ (12.18) 0 − π2 0 Da im Integranden kein φ vorkommt, ist die Integration über φ trivial und wir erhalten π Z2 ZR I = 2πρ − π2 r4 (cos θ )3 dr dθ (12.19) 0 1 Die Stammfunktion von ist 43 sin x + 12 sin 3θ (nachrechnen! Substitutionsregel zum Integrieren!), also ist (cos θ )3 π Z2 (cos θ )3 dθ = 4 3 (12.20) − π2 und damit I= 8π ρ 3 ZR 0 r4 dr = 8π 5 2 ρR = MR2 15 5 (12.21) 74 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE 12.3 Der Satz von Steiner • Rechenhilfe zur Bestimmung von Trägheitsmomenten • Zwei parallele Drehachsen, eine von ihnen geht durch den Schwerpunkt des Körpers • Trägheitsmomente bezüglich dieser Achsen hängen zusammen über I = IS + Mh2 (12.22) Dabei ist h der Abstand der zwei Achsen, IS das Trägheitsmoment bzgl. der Achse durch den Schwerpunkt, I bzgl der anderen Achse • Beweis: langweilig, hinschreiben! 12.4 Drehmoment und Newton 2 • Wir brauchen ein Analog zum 2. Newtonschen Gesetz für die Rotationsbewegung • Was “verursacht” eine Drehung? • Kraft greift an einem Ort des zu drehenden Objekts an • Möglichst weit weg von der Achse, möglichst tangential • Wir definieren das Drehmoment T = r⊥ F sin φ (12.23) mit φ als dem Winkel zwischen Ortsvektor von der Achse her und Kraftvektor • (T wie “torque”, engl. für Drehmoment), alternative Formelzeichen: M, N • Skizze dazu; alternative Beschreibung “Tangentialkraft/Achsenabstand” und “Kraft/Hebelarm” • In Vektoren, mit dem Abstand von der Achse~r⊥ : ~T =~r⊥ × ~F (12.24) • Wir betrachten die tangentiale Beschleunigung (also in Bahnrichtung) und setzen das “herkömmliche” Newton 2 für einen Massepunkt m im Abstand r⊥ von der Achse an; es gilt Ft = mat (12.25) • Wir multiplizieren auf beiden Seiten mit r⊥ und setzen die Winkelbeschleunigung α ein: 2 r⊥ Ft = mr⊥ α (12.26) 2 ergibt sich das zweite Newton’sche • Mit der Definition von T = r⊥ Ft und I = mr⊥ Gesetz für die Drehbewegung um eine feste Achse: Tges = Iα (12.27) Gesamtdrehmoment ist Trägheitsmoment mal Winkelbeschleunigung • Gilt nicht nur für einen Massepunkt, sondern auch für einen ausgedehnten starren Körper. • Vergleich mit dem “normalen” 2. Newtonschen Gesetz für die Translationsbewegung −→ Drehmoment übernimmt Rolle der Kraft • “Korrespondenz” zwischen Translations- und Rotationsgrößen, siehe Tabelle 12.1 12.5. ARBEIT DURCH EIN DREHMOMENT Translation (1D) Verschiebung ∆x Geschwindigkeit v Beschleunigung a Kraft F Masse m Impuls p = mv Arbeit dW = F dx kin. Energie Ekin = 12 mv2 75 Rotation (feste Achse) Winkel ∆θ , φ Winkelgeschwindigkeit ω Winkelbeschleunigung α Drehmoment T Trägheitsmoment I Drehimpuls L = Iω Arbeit dW = T dθ kin. Energie Ekin = 12 Iω 2 Tabelle 12.1: Übersicht der zusammengehörigen Translations- und Rotationsgrößen (Translation in einer Dimension, Rotation um eine feste Achse 12.5 Arbeit durch ein Drehmoment • Welche Arbeit wird verrichtet, wenn ein Drehmoment auf einen Körper wirkt und diesen in eine Drehbewegung versetzt? • Nur die Kraftkomponente parallel zum Weg zählt für die Arbeit, also immer die tangentiale Kraft Ft in Bahnrichtung • Wegelement ist Bogenstück, also ds = r dθ (12.28) dW = Ft r dθ = T dθ (12.29) • Arbeit für dieses Wegelement: • Arbeit, die wir bei einer Drehung mit einem Drehmoment T um einen Winkel ∆θ = θ f − θi verrichten: Zθ f W= T dθ (12.30) θi • Bei konstantem Drehmoment: W = T θ f − θi 12.6
(12.31) Drehimpuls • Definition auch hier analog / ähnlich zum linearen Impuls • Drehimpuls eines Teilchens mit Abstand r⊥ zur Achse: l = r⊥ pt = m r⊥ vt (12.32) l = Iω (12.33) oder • Damit gibt es wieder eine neue Impulsschreibweise von Newton 2: dl dt (12.34) ~ ~Tges = dl dt (12.35) Tges = oder in Vektoren 76 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE • Gesamtdrehimpuls eines Teilchensystems bezüglich einer festen Drehachse: L = ∑ li (12.36) i • Newton 2 für ein Teilchensystem bezüglich einer festen Drehachse, wieder: Text = dL dt (12.37) Das von außen auf ein Teilchensystem wirkende Gesamt-Drehmoment ist gleich der zeitlichen Ableitung des Gesamtdrehimpulses des Systems! • Keine Drehmomente bzw. kein Gesamtdrehmoment −→ der Drehimpuls ist konstant! Drehimpulserhaltung, äquivalent zur Impulserhaltung • Wichtig zur Drehimpulserhaltung: Das Trägheitsmoment ändert sich, wenn sich die Masseverteilung relativ zur Achse ändern! Mit l = Iω bewirkt die Erhaltung des Drehimpuls dann eine Änderung der Winkelgeschwindigkeit! • Demonstration: Drehstuhl • In Winkelschreibweise (~r⊥ ist der Vektor von der Achse zum Massepunkt) ~l = m(~r⊥ ×~v) =~r⊥ ×~p 12.7 (12.38) Torsionspendel • Drehpendel • Gegenstand ist an gespannter Schnur befestigt • Auslenkung im Winkel • Näherungsweise: auch hier für kleine Auslenkungswinkel ein Hooke’sches Gesetz • Das rücktreibende Drehmoment ist proportional zum Auslenkungswinkel! T = −κθ (12.39) • Newton 2 −→ Differentialgleichung für Winkel und Winkelbeschleunigung − κθ = Iα (12.40) • κ ist die Federkonstante (aber die Einheiten sind hier anders) • Arbeit der Feder während das Pendel ausgelenkt wird: in Achsenabstand r ist die Kraft F = T /r = −κθ /r, und der Weg ds = r dθ ... Zθ W= 0 − κθ 0 r dθ 0 = r Zθ 1 −κθ 0 dθ 0 = − κθ 2 2 (12.41) 0 • Potentielle Energie: 1 Epot = κθ 2 2 (12.42) 1 Ekin = Iω 2 2 (12.43) • Kinetische Energie: 12.7. TORSIONSPENDEL 77 • Schaut doch alles ziemlich bekannt aus, oder nicht? Vergleich mit Masse an Feder, linearer Translationsbewegung: 1 Epot = k x2 2 1 Ekin = m v2 2 (12.44) 78 KAPITEL 12. DREHBEWEGUNG MIT FESTER ACHSE Kapitel 13 Starre Körper, Rollen, Kreiselbewegung 13.1 Rotationsbewegung eines Massepunkts: Vektoren HRW 12 VL 14.12.2016 ~ : Vektorrichtung zeigt die Richtung der Bahn-/Drehachse • Winkelgeschwindigkeit ω an! • Mit Bahngeschwindigkeit ~v und Abstand vom Ursprung~r: ~ =~r ×~v ω (13.1) • Winkelbeschleunigung ~α — Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeit • Drehmoment ~T — Hebelarm mal Kraft, und die Richtung muß mit der Winkelbeschleunigung zusammenhängen ~ ~T =~r × ~F = d` dt (13.2) ~r ist nun nicht mehr der Abstand zur Achse, sondern der Ortsvektor vom Referenzpunkt (Koordinatenursprung) her, um den eine Drehung stattfinden kann • Demonstration: Spaß mit Drehmoment und Drehimpuls: “Magischer Koffer” • Drehimpuls ~` im Bezug zum Ursprung — aus Ort und momentaner Geschwindigkeit ~` =~r ×~p = m~r ×~v (13.3) VL 15.12.2016 • Trägheitsmoment — für einen Massepunkt, einfach: I = m~r2 (13.4) Für den Massepunkt ist der Drehimpuls einer Bewegung um den Ursprung des Koordinatensystems parallel zur Winkelgeschwindigkeit: ~` = I ω ~ (13.5) • Trägheitsmoment für einen ausgedehnten, asymmetrischen Körper, beliebige Drehung: komplizierter! Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit sind oft nicht mehr parallel! 79 80 KAPITEL 13. STARRE KÖRPER, ROLLEN, KREISELBEWEGUNG ~ und ~` hängt von der Achse der Rotation ab, I ist ein • Zusammenhang zwischen ω sogenannter Tensor!1 13.2 Gleichgewicht • Wann ist ein starrer, ausgedehnter Körper im Gleichgewicht? • Starrer, ausgedehnter Körper im Schwerefeld • Modellierbar als System von Massepunkten oder als Dichteverteilung • Kann sich “linear” bewegen und rotieren • “Freiheitsgrade” — 3 für die Translationsrichtungen, 3 für drei räumlich unabhängige Rotationsachsen • Auf jedes Massenelement wirkt eine Gewichtskraft • Hierdurch entsteht auch ein Drehmoment! Bezüglich des Ursprungs, ~Ti =~ri × ~FG,i (13.6) • Gesamtdrehmoment auf den Körper: ~T = ∑ ~Ti = ∑~ri × ~FG,i i (13.7) i • Behauptung: Man erhält dieses Gesamtdrehmoment auch, indem man annimmt, daß die gesamte Gewichtskraft des Körpers an dessen Schwerpunkt einwirkt! • Beweis: ~T = ∑~ri × ~FG,i = ∑~ri × mi~g = ∑ mi~ri ×~g i i Mit Schwerpunkt~rS und Gesamtmasse M erhalten ! ~T = ∑ mi~ri (13.8) i wir2 ×~g = M~rS ×~g =~rS × M~g =~rS × ~Fg (13.9) i • Also: Zwei Bedingungen für das Gleichgewicht eines starren Körpers (so daß er, wenn er in Ruhe ist, in Ruhe verbleibt): 1. Die äußere Gesamtkraft muß Null sein (so daß der Impuls sich nicht ändert): ∑ ~Fext,i = 0 (13.10) i 2. Die Summe aller äußeren Drehmomente bezüglich eines beliebigen Punkts muß Null sein (so daß sich der Drehimpuls nicht ändert): ∑ ~Text,i = 0 (13.11) i • Wieder: neutrales, instabiles, stabiles Gleichgewicht — z.B., führt eine kleine Winkelauslenkung vom Gleichgewicht zu einem rücktreibenden oder zu einem auslenkenden Drehmoment? 1 Wenn eine Zahl ein “nulldimensionales” Objekt und ein Vektor ein “eindimensionales” Objekt ist, dann ist ein Tensor anschaulich ein “zweidimensionales” Objekt. Wie man einen Vektor in einer vorgegebenen Basis als Spalte von Zahlen darstellen kann, kann man einen Tensor als Matrix darstellen. 2 Wir verwenden hier nur den Begriff Schwerpunkt. Strenggenommen muß man zwischen Schwerpunkt (der durch die angreifende Schwerkraft definiert wird) und Massenmittelpunkt (der durch die Massenverteilung definiert wird) unterscheiden. In einem konstanten Schwerefeld, wie es näherungsweise auf der Erdoberfläche vorliegt, sind beide identisch, weil die Dichte (Masse pro Volumen) proportional zur sogenannten Wichte (Gewichtskraft pro Volumen) ist. 13.3. ROLLEN UND DIE ROLLBEDINGUNG 13.3 81 Rollen und die Rollbedingung • Unterschied zwischen Rollen und Rutschen / Gleiten? • Rollbedingung: Haftreibung zwischen Boden und rollendem Objekt • Berührungspunkt ist momentan in Ruhe, Körper rotiert um eine Drehachse durch Berührungspunkt • Geschwindigkeit eines Punkts im Abstand r p vom Berührungspunkt: v = rpω (13.12) • Geschwindigkeit des Schwerpunkts eines Rads, Radius r, also im Abstand r vom Berührungspunkt: vs = rω (13.13) • Wir schauen uns nochmals die kinetische Energie eines Teilchensystems an • Behauptung: Die kinetische Energie eines Teilchensystems läßt sich beschreiben als Summe der kinetischen Energie der Gesamtmasse mit der Schwerpunktsgeschwindigkeit und der kinetischen Energie der einzelnen Teilchen mit ihrer Bewegung relativ zum Schwerpunkt • Beweis: Sei ~vi =~vS +~vsi ,
1 1 Ekin = ∑ mi~v2i = ∑ mi v2S + (vsi )2 + 2~vS ·~vsi i 2 i 2 (13.14) 1 1 Ekin = ∑ mi v2S + ∑ mi (vsi )2 +~vS · ∑ mi~vsi = Ekin,SP + Ekin,rel + 0 i 2 i 2 i (13.15) (weil der Gesamtimpuls im Schwerpunktsystem Null ist!) • Kinetische Energie des rollenden Rads also mit Gesamtmasse M = ∑ mi i 1 1 Ekin = Mv2s + Is ω 2 2 2 (13.16) • Rad rollt eine schiefe Ebene runter −→ potentielle Energie muß im richtigen Verhältnis in Translations- und Rotationsenergie übergehen! • Beachte Gleichung 13.13! • Verhältnis hängt von Masseverteilung und damit dem Trägheitsmoment ab 13.4 Kreiselbewegung • Generell: Um eine freie Achse rotierender starrer Körper; Achse wird an einem Punkt unterstützt (i.d.R. Koordinatenursprung) • Man unterscheidet den “kräftefreien Kreisel” und den “schweren Kreisel”, auf den die Gravitation einwirkt • Schwerer Kreisel: Gewichtskraft bewirkt Drehmoment ~ ~T = M~rS ×~g = dL dt (13.17) 82 KAPITEL 13. STARRE KÖRPER, ROLLEN, KREISELBEWEGUNG Abbildung 13.1: (a) Kreisel im Schwerefeld (c.m. = center of mass, Schwerpunkt; hier ist ~τ das Drehmoment aufgrund der Gravitationskraft. Quelle: https://pt. wikipedia.org/wiki/Pi%C3%A3o#/media/File:Peonza.png (b) Rotation, Präzession und Nutation. Nach https://fr.wikipedia.org/wiki/Nutation# /media/File:Praezession.svg ~ • Kreisel dreht sich um seine Symmetrieachse −→ ohne Beweis, ~L ||ω ~L = I ω ~ (13.18) mit I als dem Trägheitsmoment bezüglich dieser Symmetrieachse. ~ −→ ~T steht • Rotationssymmetrie −→ Schwerpunkt liegt auf Symmetrieachse,~rS ||ω ~ und ~L senkrecht auf ω • Nur Richtung, nicht Betrag von ~L ändert sich VL 21.12.2016 • Drehimpuls und damit die Drehachse “präzediert” um die Senkrechte (die Richtung der Gravitationskraft), “Präzessionsbewegung” der Kreiselachse durch ein äußeres Drehmoment • Auslenkung des Kreisels aus der Senkrechten durch einen Schlag −→ er erhält eine Drehimpulskomponente, die nicht parallel zur Symmetrieachse • Trägheitsmoment I2 bei anderer Wahl der Achse ist unterschiedlich von Trägheitsmoment I1 = I bei Rotation um Symmetrieachse • Mit ~L = ~L1 +~L2 = I1 ω ~ 1 + I2 ω ~2 (13.19) ~ =ω ~1 +ω ~ 2 nicht mehr parallel sind! sehen wir, daß ~L = ~L1 +~L2 und ω • ~L ist erhalten −→ omega ~ ist nicht konstant! • “Nutationsbewegung” der momentanen Drehachse um den Drehimpulsvektor • Kombiniert mit der Präzession ergibt sich eine komplizierte Bewegung • Präzession nur aufgrund von äußerem Drehmoment (Schwerkraft)! Nutation unabhängig davon, wenn Rotationsachse nicht mit Symmetrieachse übereinstimmt! 13.5. HAUPTTRÄGHEITSACHSEN 83 • http://www.physik.uni-wuerzburg.de/physikonline/video1/m6_ starrerk/m2versuch7.html • Die Kreiselgleichungen (die wir hier nicht weiter im Detail besprechen werden) sind relativ wichtig in der Physik. • Warum? Elementarteilchen haben einen Eigendrehimpuls, den sogenannten Spin, der manipuliert werden kann — und die Physik dazu ist sehr ähnlich. • Anwendungsbeispiele — wenn Sie jemals in der Medizin mit einem Kernspintomographen zu tun haben, oder in der Chemie mit einem Spinresonanzspektrometer zur Analyse komplexer organischer Verbindungen... 13.5 Hauptträgheitsachsen • Asymmetrisches Objekt rotiert um Achse durch seinen Schwerpunkt • Trägheitsmoment hängt von der Richtung der Achse ab • Wähle drei Achsen: die mit größtem Trägheitsmoment, die mit kleinstem Trägheitsmoment, sowie eine weitere, die auf den beiden senkrecht steht • Dies sind die sogenannten Hauptträgheitsachsen des Körpers • Rotation um die Achsen mit kleinstem und größtem Trägheitsmoment ist stabil (wie ein stabiles Gleichgewicht) • Rotation um die dritte Achse ist instabil (wie ein instabiles Gleichgewicht) • Bei jeder weiteren Rotationsrichtung sind Drehimpuls und Winkelgeschwindigkeit nicht parallel, also tritt sofort Nutation auf. • Mit Buch ausprobieren (einfach hochwerfen, vorher mit einem Gummiband zusammenbinden)! • Demonstration: Hochgeworfene Kiste mit farbigen Seitenflächen • Warum wichtig? Beispiel Auswuchten eines Autoreifens • Masseverteilung wird so verändert, daß Drehachse und Hauptträgheitsachse zusammenfallen • Nur dann ist die Drehung ohne äußere Krafteinwirkung möglich 84 KAPITEL 13. STARRE KÖRPER, ROLLEN, KREISELBEWEGUNG Kapitel 14 Scheinkräfte TIP 4.3 14.1 Linear beschleunigtes Bezugssystem • Wir erinnern uns, Bezugssysteme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen, sind physikalisch äquivalent: gleiche Beschleunigungen, gleiche Kräfte • Wenn ein solches System ein Inertialsystem ist −→ dann ist das andere auch eines • Befinden wir uns in einem beschleunigten Bezugssystem, dann “spüren” wir zusätzliche Kräfte • Beispiel: RVV-Rallybus, bremst scharf vor der blutorangenen Ampel −→ alle Passagiere nehmen eine Kraft wahr, die sie nach vorne in Richtung der Windschutzscheibe zieht. • Bezugssystem A vom Ursprung des Koordinatensystems • Bezugssystem B (wie Bus) sei im RVV-Bus definiert VL 22.12.2016 • Der Bus bewegt sich entsprechend ~xBA , ~vBA , ~aBA , endliche Beschleunigung! • Keine Kraft auf Fahrgast: im Inertialsystem A gilt m~aXA = ~F = 0 (14.1) • Im Bezugssystem B des Bus: ~xXB , ~vXB , ~aXB • Es gilt ~xXA =~xBA +~xXB ~vXA =~vBA +~vXB ~aXA = ~aBA +~aXB (14.2) • Also nehmen die Fahrgäste im Bezugssystem des RVV-Bus eine “Scheinkraft” wahr, ~FB = m~aXB = −m~aBA , (14.3) und diese Scheinkraft entspricht der negativen Beschleunigung des Bezugssystems. • RVV-Bus bremst −→ negative Beschleunigung~aBA des bewegten Bezugssystems, im bewegten Bezugssystem wahrgenommene positive Scheinkraft entsprechend −~aBA 85 86 KAPITEL 14. SCHEINKRÄFTE 14.2 Scheinkräfte im rotierenden Koordinatensystem • Die Newton’schen Gesetze gelten in Inertialsystemen. • Drehbewegung ist keine konstante lineare Bewegung, also kann ein relativ zu einem Inertialsystem rotierendes Bezugssystem selbst kein Inertialsystem sein! • Warum interessant? Erdoberfläche, Erdrotation! (und mehr...) • Wir untersuchen, wie sich die Zeitableitung bei der Transformation in ein rotierendes Bezugssystem verhält • Bezugssystem K: Inertialsystem, Bezugssystem K’: rotiert im Verhältnis zu K mit ~ um den Ursprung Winkelgeschwindigkeit ω • Ein fester Punkt im rotierenden Bezugssystem K’ führt im Inertialsystem K eine ~ ×~r durch Rotationsbewegung mit momentaner Geschwindigkeit ~v = ω • Wir betrachten die Zeitableitungen von Vektoren in den zwei Bezugssystemen und schreiben allgemein d (14.4) dt K für die Zeitableitung einer Größe im Bezugssystem K • Für einen Punkt~r, der im rotierenden Bezugssystem K’ ruht, gilt d~r d~r ~ ×~r =ω = 0 dt K 0 dt K • Allgemeiner für beliebiges~r (das sich auch in K’ bewegen kann) d~r d~r ~ ×~r = +ω dt K dt K 0 (14.5) (14.6) • Wir verallgemeinern das zu einer “Operatorgleichung” für die Zeitableitung: d d ~× = +ω (14.7) dt K dt K 0 “Rechenvorschrift” zum Ableiten von Größen in zwei zueinander rotierenden Bezugssystemem • Um den Zusammenhang zwischen Beschleunigungen in den zwei Systemen zu zeigen, wenden wir diesen Operator zweimal auf den Ortsvektor~r and und erhalten so ~ d2~r d2~r d~r dω ~× + ~ × (ω ~ ×~r) = 2 + 2ω ×~r + ω (14.8) dt 2 K dt K 0 dt K 0 dt K 0 • Die im Inertialsystem K wirkende externe Kraft auf unseren Massepunkt ist nach Newton 2 2 d ~ r ~Fext = m (14.9) dt 2 K • Im rotierenden Bezugssystem K’ (zB. Erdoberfläche) wird eine “effektive Kraft” wie folgt wahrgenommen: 2 ~Feff = m d ~r (14.10) dt 2 0 K 14.2. SCHEINKRÄFTE IM ROTIERENDEN KOORDINATENSYSTEM 87 • Für sie erhalten wir aus Gleichung 14.8 ~ dω d~r ~Feff = ~Fext − mω ~ × (ω ~ ×~r) − 2mω ~ × − m ×~r dt K 0 dt K 0 ~Feff = ~Fext + ~FZentrifugal + ~FCoriolis + ~FAzimutal (14.11) (14.12) • Alle Terme bis auf ~Fext sind Scheinkräfte aufgrund der Rotation des Bezugssystems • Zentrifugalkraft ~FZentrifugal = −mω ~ × (ω ~ ×~r) (14.13) Im rotierenden Bezugssystem wahrgenommene Scheinkraft, die vom Ort (genauer, vom Abstand von der Drehachse) abhängt. Richtung: parallel zu~r, von der Achse weg • Corioliskraft d~r ~FCoriolis = −2mω ~× dt K 0 (14.14) Im rotierende Bezugssystem wahrgenommene Scheinkraft, die von der Geschwindigkeit (genauer, der Geschwindigkeitskomponente in Richtung der Achse) abhängt. Anschauliche Vorstellung der Corioliskraft: Festes Objekt in rotierendem Bezugssystem bewegt sich im festen Bezugssystem unterschiedlich schnell je nach Abstand von der Drehachse. Wenn wir den Abstand wechseln, tritt eine scheinbare Beschleunigung auf! • Azimutalkraft ~ ~FAzimutal = −m dω ×~r dt 0 (14.15) K Im rotierenden Bezugssystem wahrgenommene Scheinkraft, die zusätzlich auftritt, wenn sich die Rotationsgeschwindigkeit ändert. • https://en.wikipedia.org/wiki/File:Corioliskraftanimation. gif • Demonstration: Kugel auf Scheibe: Corioliskraft • Erdrotation: Zentrifugalkraft “ändert” die wahrgenommene Schwerkraft leicht • Erdrotation: Corioliskraft verursacht u.A. Drehsinn bei Wetterphänomenen • Erdrotation: Azimutalkraft nicht relevant, da die Rotationsgeschwindigkeit der Erde näherungsweise konstant ist 88 KAPITEL 14. SCHEINKRÄFTE Kapitel 15 Gravitation 15.1 HRW 14 TIP 4.4 Die Kepler’schen Gesetze • Faszination Planetenbewegungen, Sternenhimmel, Satellitenbahnen, Raumfahrt • Beobachtungen durch Tycho Brahe (1546-1601), Berechnungen durch Johannes Kepler (1571-1630)1 • Kepler stellte aus den Beobachtungen Tycho Brahes drei (für damals revolutionäre) empirische Gesetze zu den Planetenbewegungen auf. • 1. Kepler’sches Gesetz: Die Umlaufbahnen aller Planeten haben die Form einer Ellipse, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. • Was ist mathematisch eine Ellipse? Menge aller Punkte P, bei denen die Summe der Abstände zu zwei festen Punkten F1 und F2 konstant ist. “Fadenkonstruktion” • Begriffe: Brennpunkte, Hauptachse (durch die Brennpunkte), Nebenachse (in der Mitte senkrecht auf der Hauptachse), große / kleine Halbachse (halbe Haupt- / Nebenachse), vergleiche Abbildung 15.1 • Kreis als Spezialfall einer Ellipse (die beiden Brennpunkte fallen zusammen) • 2. Kepler’sches Gesetz: Die Verbindungslinie von der Sonne zu einem Planeten überstreicht in gleichen Zeitintervallen gleiche Flächen. • Die Bahngeschwindigkeit eines Planeten (und damit auch die kinetische Energie) ist am sonnennahesten Punkt am höchsten, am sonnenfernsten Punkt am kleinsten! • Woher kommt das? Überstrichene Fläche: durch~r and ~vdt aufgespanntes Dreieck 2m 1 dA = r v dt sin α 2 (15.1) dA 1 = |~r ×~v| dt 2 (15.2) dA = |~r × m~v| = const. dt (15.3) • Kepler 2 ist nichts anderes als die Drehimpulserhaltung! 1 Das Grab von Johannes Kepler war auf dem Petersfriedhof, zwischen Bushaltestelle Albertstraße und Hauptbahnhof Regensburg. Nicht daß er viel mit Regensburg zu tun hatte; er ist viel gereist und hier krank geworden... 89 90 KAPITEL 15. GRAVITATION Abbildung 15.1: Illustration der Keplerschen Gesetze am Beispiel der Bahn zweier Planeten um die Sonne. Quelle: https://de.wikipedia.org/wiki/Datei: Kepler_laws_diagram.svg • Das System Sonne–Planet ist abgeschlossen; es gibt keine äußeren Kräfte und damit auch keine äußeren Drehmomente! • 3. Kepler’sches Gesetz: Das Quadrat der Umlaufzeit eines Planeten ist proportional zur dritten Potenz der Hauptachse von seiner Umlaufbahn. T 2 = C r3 (15.4) • “Je weiter ein Planet von der Sonne entfernt ist, desto länger dauert ein Umlauf.” • Die Konstante C ist spezifisch für den Zentralkörper. D.h. für alle Planeten, die um die Sonne umlaufen, ist sie gleich; hypothetische Planeten, die um einen anderen Stern umlaufen, haben eine gemeinsame andere Konstante. Ebenso die Monde des Jupiter, die Bahnen um diesen beschreiben... 15.2 Das Newton’sche Gravitationsgesetz • Welche Kräfte wirken zwischen Himmelskörpern, aus denen die Kepler’schen Gesetze hervorgehen? • Isaac Newton zeigt 1666: Eine anziehende Kraft zwischen Sonne und Planeten, umgekehrt proportional zum Quadrat des Abstands, führt zu Ellipsenbahn wie bei Kepler! • Sein Postulat (aufgestellte Behauptung): Eine solche Kraft wirkt zwischen beliebigen Massen! • Newton’sches Gravitationsgesetz für zwei Massepunkte mit Massen m1 , m2 im Abstand r: Anziehende Kraft ist m1 m2 F = −γ 2 (15.5) r • In Vektorschreibweise: Positionen~r1 ,~r2 , Abstandsvektor~r12 =~r2 −~r1 : Massepunkt 1 übt auf Massepunkt 2 eine Kraft ~F2 wie folgt aus: ~F2 = −γ m1 m2 ~r12 2 r12 r12 (15.6) 15.3. GRAVITATIONSFELD, POTENTIELLE ENERGIE, GRAVITATIONSPOTENTIAL91 Abbildung 15.2: Torsionsdrehwaage von Cavendish, Quelle: https://commons. wikimedia.org/wiki/File:Cavendish_Torsion_Balance_Diagram. svg • γ ist die Gravitationskonstante (NICHT verwechseln mit der Erdbeschleunigung g!!!), γ = 6,67 · 10−11 N m2 kg2 (15.7) • γ ist fundamentale Naturkonstante • Nachweis der Gravitation und Bestimmung der Gravitationskonstante: Cavendish, Gravitationsdrehwaage (Abbildung 15.2). An dem Faden ist ein Spiegel befestigt, der einen Lichtstrahl reflektiert. Verdrehung um einen minimalen Winkel sichtbar... • Herleitung von Kepler 3: setze Gravitationskraft gleich Zentripetalkraft, vereinfachend für eine Kreisbahn (Spezialfall); für ein spezielles Zentralgestirn mit Masse M (Sonne) gilt FG = FZ (15.8) γ mM = mω 2 r r2 Mγ = const = ω 2 r3 (15.9) (15.10) und mit T = 2π/ω const = r3 T2 (15.11) D.h. aus der 1/r2 -Abhängigkeit der Gravitationskraft folgt Kepler 3. 15.3 Gravitationsfeld, potentielle Energie, Gravitationspotential • Wir betrachten einen Zentralkörper, z.B. die Erde, mit Masse M und eine (kleine) Testmasse m in ihrem Schwerefeld. • Betrag der Gravitationskraft: F(r) = −γ Mm r2 (15.12) VL 11.1.2017 92 KAPITEL 15. GRAVITATION Abbildung 15.3: Links: Masse in, Rechts: Masse außerhalb Schale • Begriff des “Gravitationsfelds”: Auswirkung der Erde “pro Testmasse” G(r) = M F(r) = −γ 2 m r ~ ~ =F oder G m (15.13) • Unabhängig von der Größe der Testmasse • Nächstes Semester: elektrisches Feld, Eigenschaft des Raums, koppelt an die Ladung (“Kraft pro Ladung”), so wie das Gravitationsfeld hier an die (Test-)Masse ankoppelt (“Kraft pro Masse”) • Potentielle Energie einer Testmasse im Schwerefeld eines Zentralkörpers: wir bewegen die Testmasse von einem Punkt zum anderen und berechnen das Wegintegral über Kraft mal Weg... wie zuvor... • Zentralkörper im Ursprung des Kugelkoordinatensystems −→ die Kraft ist immer zum Ursprung hin gerichtet und ~F = −γ m M ~er r2 (15.14) • Überraschung, die Kraft ist konservativ und wir erhalten als potentielle Energie der Testmasse m im Schwerefeld des Zentralkörpers M Epot,g = −γ mM r (15.15) • Wie zuvor haben wir wieder den Zusammenhang ~F = −∇Epot,g (15.16) (Nachprüfen!) • “Gravitationspotential”: potentielle Energie pro Testmasse Epot,g /m • Nächstes Semester: Analog hierzu elektrisches Potential (“Spannung”), potentielle elektrische Energie pro Ladung 15.4. SCHWEREFELD REALER KÖRPER 15.4 VL 12.1.2017 93 Schwerefeld realer Körper • Sir Isaac Newton ist (neben seinem Gravitationsgesetz und vielen Werken zur Optik)2 mit verantwortlich für all die Mathematik der Ableitungen und Integrale — warum z.B.? • Wir haben bis jetzt das Schwerefeld von Punktmassen betrachtet, aber eine Punktmasse ist die Erde für uns sicher nicht! • Gravitationsfeld einer Kugel mit konstanter Massendichte? • Noch elementarer: Gravitationsfeld einer dünnen, hohlen Kugelschale mit konstanter Massen-Flächendichte? • Innerhalb der Kugelschale: betrachte beliebigen Punkt, “Kegel” zu gegenüberliegenden kleinen Flächen- / Massenstücken • Wie verhalten sich die Gravitationskräfte durch die zwei Masse“stücke” zueinander? • Für die Massen gilt r2 A1 m1 = = 12 m2 A2 r2 (15.17) • Für die Beträge der Gravitationskräfte gilt F1 = F2 m1 r12 m2 r22 =1 (15.18) • Homogene Kugelschale: Gegenüberliegende Kugelschalenstücke üben gleich große Kräfte auf eine Masse im Inneren aus −→ in Summe übt eine Kugelschale keine Gravitationskraft in ihrem Inneren aus! • Außerhalb der Kugelschale: betrachte beliebigen Punkt, ohne Einschränkung der Allgemeinheit auf x-Achse • Kraft durch ein Massenelement: dF = γ mdM s2 (15.19) • Kraftkomponenten senkrecht zur x-Achse heben sich aus Symmetriegründen gegenseitig auf; es bleibt die Komponente parallel zur x-Achse: dF = γ mdM cos φ s2 (15.20) • Gesamtmasse M, Gesamtfläche 4πR2 • Fläche eines “Rings” bei θ ist 2πR2 sin θ dθ • Masse eines “Rings”: dM = 1 2πR2 sin θ M dθ = M sin θ 4πR2 2 (15.21) • Einsetzen ergibt Mm F =γ 2 Zπ sin θ cos φ (θ ) dθ s(θ )2 0 2 ... diversen theologischen Essays und der Jagd auf Münzfälscher (15.22) 94 KAPITEL 15. GRAVITATION • ... • Resultat (Überraschung): F =γ mM r2 (15.23) Gleiche Kraft wie bei Punktmassen! • Homogene Kugelschale: Außerhalb der Kugelschale, Gravitationskraft wie wenn die Gesamtmasse im Zentrum konzentriert wäre! • Massive, homogene Kugel: “summiere” über Kugelschalen auf! • Radius ist größer als betrachteter Punkt −→ Kugelschalen haben keinen Effekt, Radius der Kugelschalen kleiner als betrachteter Punkt −→ wie wenn Gesamtmasse der Kugelschalen in Mittelpunkt wäre • Gilt nur für homogene Massenverteilung. • Erde: eigentlich inhomogene Masseverteilung, deshalb zeigt die Schwerkraft zB nicht immer exakt nach unten! • Schöne Übungsaufgabe: nützen Sie diese zwei Resultate, und überlegen sie sich, wie die Schwerkraft ~F(r,θ ,φ ) innerhalb einer homogenen Kugel vom Ort abhängt! • “Hypothetische Hyperloop-Bahn von Regensburg nach Tokio, die reibungsfrei durch einen geraden, evakuierten Tunnel gleitet” (natürlich geht das eigentlich nicht, weil es nach unten irgendwo heiß und flüssig wird) Kapitel 16 Schwingungen 16.1 HRW 16 TIP 11 Harmonische Schwingungen • Bekannt: Rücktreibende Kraft einer Feder, in 1D Fx = −k x (16.1) • Rücktreibende Kraft ist proportional zu Auslenkung, lineare Abhängigkeit • Ausgelenkter Körper wird losgelassen −→ Schwingung um die Gleichgewichtslage • Dieses System nennt man “harmonischen Oszillator” • Newton 2: oder Fx = −k x(t) = m ax (16.2) d2 x k = − x(t) 2 dt m (16.3) • “Differentialgleichung” für die Funktion x(t), Schwingunsgleichung • “Lösen” einer Differentialgleichung = Finden der Funktion(en) x(t), die diese Gleichung erfüllen • Meistens gibt es nicht nur eine Lösung, sondern die Lösung hat freie Konstanten, die sich aus den “Randbedingungen” des Problems ergeben • Beispiel für Randbedingungen: wie weit wurde die Feder ausgelenkt, und wann genau wurde sie losgelassen? Steckt nicht in Gleichung 16.3! • Allgemeine Lösung (in R) für diese spezielle Differentialgleichung 16.3: mit x0 ≥ 0 (nachrechnen, daß das eine Lösung ist!) x(t) = x0 cos(ω t + δ ) (16.4) • Geschwindigkeit und Beschleunigung: v(t) = d x(t) = −x0 ω sin(ω t + δ ) dt (16.5) a(t) = d v(t) = −x0 ω 2 cos(ω t + δ ) dt (16.6) 95 96 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN • Einsetzen in Gleichung 16.3 ergibt r ω= k m (16.7) • ω heißt hier die Kreisfrequenz, ist aber eng verwandt mit der Winkelgeschwindigkeit • x0 (Schwingungsamplitude) und δ (Schwingungsphase) sind nicht durch Gleichung 16.3 bestimmt • x0 und δ sind frei wählbare bzw. durch den Kontext (“Randbedingungen”) gegebene Parameter • Beispiel: Wir lenken die Feder um x(0) = xa aus, sie sei in Ruhe, also v(0) = 0, und wir lassen sie dann zum Zeitpunkt t = 0 los... also: x(0) = x0 cos(ω · 0 + δ ) = xa cos(δ ) = v(0) = −x0 ω sin(ω · 0 + δ ) = 0 xa x0 (16.8) δ = 0 oder δ = π (16.9) Nehmen wir an, daß die Amplitude x0 positiv ist wie xa , dann gilt δ = 0 und x0 = xa . • Zeit, die der Körper braucht, um wieder am Ausgangspunkt zu sein: Schwingungsperiode T . • Wir wissen, daß cos(φ ) periodisch mit Winkel 2π ist, also ω T = 2π T= 2π ω (16.10) • Zahl der Schwingungsperioden pro Sekunde: Schwingungsfrequenz f oder ν; f= 1 ω = T 2π (16.11) Einheit von f : 1 Hz = 1 Hertz = 1 1 s (16.12) • Die Frequenz einer harmonischen Schwingung ist unabhängig von der Amplitude • Konsequenz: beim Klavier ist die Tonhöhe gleich, egal wie fest eine Taste angeschlagen wird • Gegenbeispiel (NICHT harmonisch) e-Gitarre... 16.2 Energie des harmonischen Oszillators • Wir wissen schon aus vorherigen Kapiteln, was kinetische und potentielle Energie einer Masse an einer Feder ist: 1 1 Emech = Ekin + Epot = mv2 + kx2 2 2 (16.13) • Wir setzen Gleichungen 16.4, 16.5, 16.7 ein und erhalten 1 1 Emech = kx02 (sin(ω t + δ ))2 + kx02 (cos(ω t + δ ))2 2 2 (16.14) 16.3. HARMONISCHE NÄHERUNG 3 97 2 f(x) fi(0)*x+f(0) fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0) fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0) fiiii(0)*x*x*x*x/24+fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0) 1.5 f(x)-f(x) fi(0)*x+f(0)-f(x) fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)-f(x) fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)-f(x) fiiii(0)*x*x*x*x/24+fiii(0)*x*x*x/6+fii(0)*x*x/2+fi(0)*x+f(0)-f(x) 2 1 a) 1 b) 0.5 0 0 -0.5 -1 -1 -2 -1.5 -3 -4 -2 0 2 -2 4 -4 -2 0 2 4 Abbildung 16.1: Näherung der Funktion f (x) = cos(x − 0.5) + x3 /40 durch eine Taylorreihe bei x = 0: (a) f (schwarz) sowie lineare (grün), quadratische (blau), kubische (telekom) und quartische (cyan) Näherung; (b) Abweichung der Näherungen von der Originalfunktion • ... und weil sin2 x + cos2 x = 1 gilt, 1 Emech = kx02 2 (16.15) • Alternativ können wir v0 = x0 ω als maximalen Geschwindigkeitsbetrag (beim Nulldurchgang) definieren und erhalten gleichwertig 1 Emech = mv20 2 (16.16) • Kontinuierliche Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie und umgekehrt, aber die Summe ist konstant. Energieerhaltung! 16.3 Harmonische Näherung • Warum ist der harmonische Oszillator so interessant? Immerhin ist eine rücktreibende Kraft proportional zur Auslenkung ein ziemlicher Spezialfall... • Mathematisches Näherungsverfahren “Taylor-Reihe” • Nehme beliebig oft differenzierbare Funktion f (x) mit reellem (oder komplexem) Wert • Definition der Tayor-Reihe von f (x) am Punkt a: ∞ ∑ n=0 f (n) (a) f 00 (a) f 000 (a) (x − a)n = f (a) + f 0 (a)(x − a) + (x − a)2 + (x − a)3 + . . . n! 2 6 (16.17) 98 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN Abbildung 16.2: (a) “Mathematisches” Pendel, (b) “Physikalisches” Pendel VL 18.1.2017 • Ist unter vielen Umständen eine gute Näherung der Funktion f (x) “in der Nähe von x = a”, auch wenn wir nur bis zu endlichem n summieren! • nmax = 1: Tangente, lineare Näherung • nmax = 2: angelegte Parabel, quadratische Näherung • ... • Für sehr kleine Abweichungen ∆x von einem Gleichgewicht bei x = a, oft nmax = 1 ausreichend, Näherung einer Funktion durch eine angelegte Tangente • Also: Nähere f (a + ∆x) durch f (a) + ∆x f 0 (a) • Betrachten wir als Funktion eine beliebige rücktreibende Kraft F(x) • Lineare Näherung bei kleinen Auslenkungen entspricht einem harmonischen Oszillator! • Deshalb ist das ein so universelles Modell! • Wird die Amplitude zu groß, dann kann die lineare Näherung zusammenbrechen (Konsequenzen −→ später). 16.4 Beispiele für harmonisch schwingende Systeme Masse an Feder • Haben wir gerade besprochen “Mathematisches Pendel” • Punktmasse an langem, masselosem Faden • Gewichtskraft “nach unten”: F = −mg (16.18) 16.4. BEISPIELE FÜR HARMONISCH SCHWINGENDE SYSTEME 99 • Faden kompensiert Kraft parallel zu ihm • Rücktreibende Kraft tangential zur Bogenbahn: F = −mg sin θ (16.19) • Auslenkung um Bogenlänge s bzw. Winkel θ vom tiefsten Punkt: mit Fadenlänge l s = lθ • Newton 2: − m g sin θ = m (16.20) d2 θ d2 s = m l dt 2 dt 2 (16.21) • Resultierende Differentialgleichung: d2 θ g = − sin θ 2 dt l (16.22) • Für kleine Auslenkungswinkel θ gilt sin θ ≈ θ (schreiben Sie die Taylorreihe des Sinus am Punkt a = 0 hin!) −→ harmonische Schwingung! d2 θ g + θ =0 dt 2 l (16.23) • Periode: aus Vergleich mit dem Federpendel, 2π = 2π T= ω s l g (16.24) Torsionspendel • Gegenstand mit hohem Trägheitsmoment, an Faden aufgehängt, bei Winkelauslenkung rückwirkendes Drehmoment durch “Verdrillen” des Fadens N = −κ θ (16.25) • Mit Newton 2 für die Drehbewegung erhalten wir oder − κ θ = Iα (16.26) d2 θ κ =− θ 2 dt I (16.27) und die Periode r T = 2π I κ Physikalisches Pendel • Im Schwerefeld aufgehängter starrer Körper • Feste Drehachse, geht nicht durch Schwerpunkt • Gewichtskraft übt bei Auslenkung “rücktreibendes” Drehmoment aus • ... • Übungsaufgabe! (16.28) 100 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN Fallende Masse im Inneren einer homogenen Kugel Wassersäule in U-Rohr Und vieles mehr... 16.5 VL 19.1.2017 Gedämpfte Schwingungen • Wir nehmen sogenannte viskose Dämpfung an • Beispiel: Langsame Bewegung eines Gegenstands in einer zähen Flüssigkeit (Wasser, Honig, Motoröl, flüssiges 3 He bei T = 0.01 K) • (NICHT: schnelle Bewegung mit Wirbelbildung im Medium) • Experimentelle Beobachtung: unter diesen Bedingungen ist die Reibungskraft proportional zur Geschwindigkeit und wirkt dieser entgegen, also ~FR = −b~v (16.29) • b: Dämpfungskonstante, hängt z.B. von der Zähigkeit (Viskosität) der Flüssigkeit ab • Wir fügen die Reibungskraft zusätzlich in die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators 16.3 ein und erhalten mit v(t) = x(t) ˙ oder m a = F = −k x − bv (16.30) k b dx d2 x = − x− 2 dt m m dt (16.31) d2 x b dx k + + x=0 dt 2 m dt m (16.32) • Wie löst man das? Ansatz x(t) = eλt führt zu s  b b 2 λ± = − ± − ω02 2m 2m mit r ω0 = k m (16.33) (16.34) • Also: allgemeine Lösung: nehme diese zwei λ und jeweils einen Vorfaktor dazu x(t) = C+ eλ+ t +C− eλ− t (16.35) • Das ist die allgemeine Lösung der Differentialgleichung 16.32 • Wir können drei Fälle unterscheiden, je nachdem wie stark die Dämpfung b ist: b > ω0 , 2m b = ω0 , 2m b < ω0 2m (16.36) • b/2m > ω0 : starke Dämpfung, “überdämpft”: Oszillator geht langsam, asymptotisch in Ruhelage zurück 16.5. GEDÄMPFTE SCHWINGUNGEN 101 • b/2m = ω0 : aperiodischer Grenzfall, “kritische Dämpfung”: Oszillator geht asymptotisch in Ruhelage zurück; optimale Dämpfung, so daß das System schnellstmöglich in den Ruhezustand übergeht • b/2m < ω0 : schwache Dämpfung, “unterdämpft”: Oszillator schwingt weiter, mit langsam abnehmender, asymptotisch Null erreichender Amplitude • Wie kommt das zustande, bzw was bedeutet das? Wir schauen uns kurz die verschiedenen Fälle an. • Überdämpft: b ist groß; der Term unter der Wurzel in Gleichung 16.33 ist positiv; λ ist eine reelle Zahl kleiner Null. • Lösungen sind Exponentialfunktionen, die mit der Zeit auf Null abfallen. • kritisch gedämpft: Der Term unter der Wurzel in Gleichung 16.33 ist gleich Null; es gibt nur eine Lösung λ = −b/2m. Ebenfalls exponentieller Abfall. • unterdämpft: Der Term unter der Wurzel in Gleichung 16.33 ist negativ! Lösungen für λ sind komplexe Zahlen! Komplexe Zahlen: – Das Quadrat aller reellen Zahlen ist positiv, und nur aus positiven reellen Zahlen kann man eine (reelle) Wurzel ziehen. – Was machen wir, wenn wir aus einer negativen Zahl eine Wurzel ziehen wollen? √ – Definition der “imaginären Einheit” i: i = −1 – Logischerweise gilt damit i2 = −1 – Die imaginären Zahlen sind die Vielfachen von i – Beispiel: (5i)2 = 52 · i2 = 25 · (−1) = −25 – Die komplexen Zahlen sind Summen aus reellen und imaginären Zahlen. – Beispiel: 5i + 3 – Die üblichen Rechenregeln gelten, also z.B. (5i + 3)2 = (5i)2 + 2 · 5i · 3 + 32 = −25 + 30i + 9 = −16 + 30i • Für einen reellen Winkel φ gilt eiφ = cos φ + i sin φ (16.37) ea+b = ea · eb (16.38) ea+ib = ea (cos b + i sin b) (16.39) Mit gilt dann für reelle a und b • Der Realteil von λ (vor der Wurzel) führt zu einer Dämpfung, d.h. zu einer abnehmenden Amplitude • Der Imaginärteil von λ führt zu einer weiteren Schwingung • Abklingende Schwingung! • Mit welcher Kreisfrequenz schwingt ein unterdämpfter Oszillator? Wir wissen, daß der Imaginärteil von λ das beschreibt! Also schauen wir auf die Wurzel mit ihrem negativen Argument... 102 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN • e-Funktion: q 2 b et ( 2m ) −ω02 = eit q b 2 ω02 −( 2m ) mit s ω0 =  ω02 − = cos ω 0t + i sin ω 0t b 2m (16.40) 2 (16.41) • Ein gedämpfter (unterdämpfter) Oszillator schwingt langsamer! Kreisfrequenz hängt von der Dämpfungskonstante b ab. • Wie entwickelt sich die Amplitude des unterdämpften Oszillators mit der Zeit? Hier brauchen wir den Realteil von λ ... • e-Funktion: b e− 2m t (16.42) • Die Amplitude nimmt exponentiell ab! • Abbildung 16.3: wir plotten die Auslenkung eines harmonischen Oszillators als Funktion der Zeit t für verschiedene Dämpfungen b Speziell: m = k = 1, Anfangsbedingungen x(0) = 1, v(0) = 0 (ausgelenkt, in Ruhe, dann losgelassen) Kritische Dämpfung entspricht hier b = 2 • Abbildung 16.4: wir plotten die mechanische Gesamtenergie des gleichen H.O. −→ die kritische Dämpfung ist am günstigsten, um dem System möglichst schnell Energie zu entziehen. • Weiteres Beispiel, wie sich die Konstanten C± ergeben: seien die Randbedingungen, daß sich das schwingende Objekt zum Zeitpunkt t = 0 mit Geschwindigkeit v(0) = v0 durch den Ursprung (x(0) = 0) bewegt. Was sagt das über die Konstanten C− und C+ aus? x(0) = C+ eλ+ ·0 +C− eλ− ·0 = 0 −→ C+ +C− = 0 v(0) = C+ λ+ eλ+ ·0 +C− λ− eλ− ·0 = 0 −→ −→ C− = −C+ (16.43) C+ λ+ +C− λ− = v0 (16.44) Einsetzen der ersten in die zweite Gleichung ergibt C+ (λ+ − λ− ) = v0 16.6 −→ C+ = v0 λ+ − λ− (16.45) Erzwungene Schwingungen und Resonanz • Wir fügen unserem System zusätzlich zu rücktreibender Kraft und Dämpfungskraft noch eine periodische Antriebskraft hinzu! Fa (t) = Fa,0 cos ωt (16.46) • ω ist NICHT gleich der Eigenfrequenz ω0 des frei schwingenden, ungedämpften Oszillators, sondern beliebig gewählt! • Gesamte Differentialgleichung nun: m d2 x dx + b + mω02 x = Fa,0 cos ωt 2 dt dt • “inhomogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung” (16.47) 16.6. ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN UND RESONANZ 103 1.0 0.5 2 4 6 8 10 - 0.5 -1.0 Abbildung 16.3: Auslenkung eines harmonischen Osillators mit m = k = 1, x(0) = 1, v(0) = 0, als Funktion von b und t — von b = 0 (ungedämpft) über b = 2 (kritische Dämpfung) bis b = 4 (überdämpft). 104 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 2 4 6 8 10 Abbildung 16.4: Mechanische Gesamtenergie Ekin + Epot eines harmonischen Osillators mit m = k = 1, x(0) = 1, v(0) = 0, als Funktion von b und t — von b = 0 (ungedämpft) über b = 2 (kritische Dämpfung) bis b = 4 (überdämpft). 16.6. ERZWUNGENE SCHWINGUNGEN UND RESONANZ amplitude 200 105 amplitude 100.0 50.0 150 10.0 100 5.0 50 1.0 0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 Abbildung 16.5: Amplitude A(ω) nach Gleichung 16.49 für m = k = Fa,0 = 1 und b = 0, 0.05, 0.1, 0.15, links in linearer und rechts in logarithmischer Auftragung Abbildung 16.6: Zum Thema Resonanz... Quelle: xkcd webcomic http://www.xkcd. com/228/, Lizenz: CC BY-NC 2.5 • Wir besprechen nicht die allgemeine Lösung, zu kompliziert; insbesondere vernachlässigen wir den “Einschwingvorgang” • Wir schauen uns nur an, was passiert, nachdem das System bereits lange unter Einfluß der periodischen Antriebskraft war — die sogenannte stationäre Lösung • Ortsfunktion der stationären Lösung: x(t) = A cos (ωt + δ ) (16.48) Wichtig: ω ist die Kreisfrequenz des Antriebs, NICHT die Eigenfrequenz!!! Fa,0 A= q
2 m2 ω02 − ω 2 + b2 ω 2 tan δ = bω
m ω02 − ω 2 (16.49) (16.50) • A ist die Amplitude der entstehenden Schwingung • δ ist die Phase der Auslenkung der Schwingung, relativ zur Antriebskraft... d.h. beide periodischen Größen Antriebskraft und Auslenkung oszillieren zueinander zeitversetzt! 106 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN • Aus Gleichung 16.49 (Kurvendiskussion, Maximum suchen indem man dA/dω = 0 setzt): Amplitude der Schwingung wird am größten für s  2 b 2 ωres = ω0 − √ (16.51) 2m • Man spricht auch von der Resonanzfrequenz • Treiben wir das System mit seiner Resonanzfrequenz an, dann entstehen große Amplituden! System nimmt optimal Energie auf! • Aus Gleichung 16.50: – für ω  ωres , tan δ ' 0 — Schwingung in Phase mit Antrieb – für ω = ωres , tan δ = π 2 — Phasenverschiebung um eine Viertelperiode – für ω  ωres , tan δ ' π — Schwingung gegenphasig • Resonanz kommt in allen Bereichen der Physik vor, von mechanischen Schwingungen bis hin zur Elektromagnetik, Optik, Kern- und Teilchenphysik • Abbildung 16.5: Amplitude A(ω) als Funktion der Antriebsfrequenz • Q-Faktor oder Qualitätsfaktor: √ mk Q= b (16.52) • Q ist Maß für die “Güte” eines Schwingkreises; je höher, desto weniger gedämpft, und desto schärfer ist die Resonanz (das Maximum der Amplitude) • Q ist auch 2π mal gespeicherte Gesamtenergie geteilt durch verlorene Energie pro Schwingungsperiode 16.7 VL 25.1.2017 Anharmonische Schwingungen, Duffing-Oszillator • Einfachster Fall eines nicht-harmonischen Oszillators • Zusätzliche rücktreibende Kraft, die mit x3 skaliert • Gleichung: m d2 x dx + b + mω02 x + β x3 = Fa,0 cos ωt 2 dt dt • Ausführliche Behandlung weit jenseits unserer Vorlesung • Resonanzkurve wird asymmetrisch • Bistabilitäten, Hysterese, chaotisches Verhalten (16.53) 16.7. ANHARMONISCHE SCHWINGUNGEN, DUFFING-OSZILLATOR 107 Abbildung 16.7: Verschiedene Beispiele für die Resonanzkurve eines Duffing-Oszillators. Das schwingende System kann bei bestimmten Antriebsfrequenzen mehrere verschiedene Zustände mit unterschiedlicher Schwingungsamplitude einnehmen. Abbildung 16.8: Eine einzelne Kohlenstoff-Nanoröhre als anharmonischer Oszillator. Der gemessene Strom hängt mit dem Quadrat der Schwingungsamplitude zusammen; die xAchse zeigt die Antriebsfrequenz. Die Angabe in “db” ist ein logarithmisches Maß für die Antriebsamplitude. Links: Mit zunehmendem Antrieb wird die Schwingung nichtlinear und zeigt Hysterese (unterschiedlicher Verlauf der Kurve bei Aufwärts- oder Abwärtsmessung). Rechts: Die Dämpfungskonstante wird mit zunehmender Temperatur größer, d.h. die Auslenkungen kleiner und das System wieder linear. Quelle: A. K. Hüttel et al., “Carbon nanotubes as ultra-high quality factor mechanical resonators”, Nano Letters 9, 2547 (2009), http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nl900612h 108 KAPITEL 16. SCHWINGUNGEN Kapitel 17 Mechanische Wellen 17.1 Gekoppelte Oszillatoren VL 26.1.2017 • Wir kombinieren zwei Massen und drei Federn. • Für beide Massen können wir Newton 2 aufstellen: m1 d2 x1 = −k1 x1 − k12 (x1 − x2 ) dt 2 (17.1) m2 d2 x2 = −k2 x2 − k12 (x2 − x1 ) dt 2 (17.2) • Zwei gekoppelte Differentialgleichungen für die Funktionen x1 (t) und x2 (t)! • Für Spezialfall m1 = m2 = m und k1 = k2 = k einfach lösbar! • Wir bilden Differenz und Summe der beiden Gleichungen 17.1 und 17.2:  2  d x1 d2 x2 m + 2 = −k(x1 + x2 ) dt 2 dt  2  d x1 d2 x2 m − 2 = −(k + 2k12 )(x1 − x2 ) dt 2 dt (17.3) (17.4) Abbildung 17.1: Zwei gekoppelte Federpendel. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn 109 110 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN Abbildung 17.2: Verhalten gekoppelter Pendel für schwache (links) und starke (rechts) Kopplung. Zwischen den zwei Pendeln wird periodisch Energie ausgetauscht. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn • Wir definieren neue Koordinaten (“Normalkoordinaten”) 1 x+ = (x1 + x2 ) 2 (17.5) 1 x− = (x1 − x2 ) 2 (17.6) d2 x+ = −kx+ dt 2 (17.7) d2 x− = −(k + 2k12 )x− dt 2 (17.8) • Dann gilt: m m • Diese Gleichungen können wir lösen! Jede von ihnen beschreibt einen ganz normalen “harmonischen Oszillator”... r k x+ (t) = x0+ sin(ω0+t + δ+ ) ω0+ = (17.9) m r k + 2k12 x− (t) = x0− sin(ω0−t + δ− ) ω0− = (17.10) m • Dann aus x+ und x− wieder x1 und x2 berechnen: x+ (t) + x− (t) = x1 (t) x+ (t) − x− (t) = x2 (t) (17.11) • Beispielhalfte Lösungen in Abbildung 17.2 • Pendel tauschen Energie untereinander aus! • Transport von mechanischer Energie vom einen Pendel zum anderen • Nächster logischer Schritt ist eine “eindimensionale”, “lineare” Anordnung von vielen Federn und Massen, die gekoppelt schwingen können, siehe Abbildung 17.3 und die entsprechende Animation in Wikipedia • Festkörperkristall mit vielen Atomen: kann man als eine dreidimensionale Anordnung von gekoppelten Federn modellieren... Angeregte Schwingungen “wandern” durch den Kristall −→ Wellen! 17.2. HARMONISCHE WELLEN 111 Abbildung 17.3: Eindimensionale Ketten gekoppelter harmonischer Oszillatoren. Quelle: Wikipedia. Eine animierte Version ist dort online zu finden. 17.2 Harmonische Wellen • Viele Oszillatoren miteinander gekoppelt −→ Energie breitet sich im Raum aus • Benachbarte Oszillatoren sind zueinander phasenverschoben • Beispiel Kette von Oszillatoren, die längs der x-Achse angeordnet sind und schwingen können, Abbildung 17.3, Abbildung 17.4(b) • Anderes Beispiel, Kette von Pendeln, die längs der x-Achse angeordnet sind und in y-Richtung schwingen, Abbildung 17.4(a) • Auslenkung: y(x,t) = A sin(ωt − kx) (17.12) ω ist die Kreisfrequenz der Welle, k die sogenannte Wellenzahl • ω beschreibt, wie schnell die Welle am konstanten Ort als Funktion der Zeit oszilliert • k beschreibt, wie “schnell” die Welle an konstantem Zeitpunkt als Funktion des Orts oszilliert • Wellenlänge λ : Abstand zwischen zwei Orten, die zur gleichen Zeit die gleiche Phase haben 2π λ= (17.13) k • Wellenberge bewegen sich in bestimmter Zeit um bestimmte Strecke – nsbesondere in einer Schwingungsperiode genau um eine Wellenlänge. • Definiere Phasengeschwindigkeit: vph = λ λω =λ· f = T 2π (17.14) • Beispiel Schallgeschwindigkeit: Druckvariationen in der Luft durch Auslenkung der Gasteilchen • Beispiel Lichtgeschwindigkeit: Phasengeschwindigkeit einer elektromagnetischen Welle (Ende 2. Semester) 112 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN Abbildung 17.4: Darstellung von (a) Transversal- und (b) Longitudinalwellen mittels gekoppelter Pendel. Quelle: http://schulphysik.ch/, nur für nichtkommerzielle Informationszwecke. Abbildung 17.5: Momentaufnahme einer harmonischen Welle. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn 17.3. DIE WELLENGLEICHUNG 17.3 113 Die Wellengleichung • Grundgleichung, die eine Welle beschreibt, Differentialgleichung für die “oszillierende” Größe (z.B. Auslenkung der Pendel, die in einer Kette gekoppelt sind) • Leiten wir mit ein paar einfachen Annahmen her • Störung (z.B. Auslenkung) breitet sich mit konstanter Phasengeschwindigkeit v in eine Richtung aus • Störung ändert nicht ihre Form • Also gilt für die Funktion, die sie beschreibt: in der Zeit von t = 0 bis t = t1 ist die Störung von x0 nach x1 gewandert, und mit x0 + vt1 = x1 (17.15) f (x1 ,t1 ) = f (x0 ,0) = f (x1 − vt1 , 0) (17.16) haben wir • Weil die Störung mit der Zeit nicht ihre Form ändert, muß die Funktion für einen konstanten Wert x − vt = x0 ebenfalls konstant sein • Also muß sie eine Funktion nur dieses Ausdrucks sein! f (x − vt) • Mit f 0 bezeichnen wir die Ableitung dieser Funktion nach ihrem Argument. • Wir führen die Abkürzung u = u(x,t) = x − vt ein, und • wir bilden partielle Ableitungen von f nach x und nach t und vergleichen sie (vgl. Kettenregel für’s Ableiten): ∂f df ∂u = · = f 0 (u) ∂x du ∂ x (17.17) ∂2 f d2 f = 2 = f 00 (u) 2 ∂x du (17.18) ∂f df ∂u = · = −v · f 0 (u) ∂t du ∂t (17.19) ∂2 f d2 f 2 = · v = v2 · f 00 (u) ∂t 2 du2 (17.20) • Vergleich von Gleichung 17.18 und Gleichung 17.20 ergibt ∂2 f 1 ∂2 f = 2 2 2 ∂x v ∂t (17.21) • Gleichung 17.21 ist die (eindimensionale) Wellengleichung für eine Welle, die sich in x-Richtung mit Phasengeschwindigkeit v ausbreitet. 114 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN Abbildung 17.6: Schwingungsebenen und Ausbreitung von (a) linear und (b) elliptisch polarisierten Transversalwellen. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn 17.4 Transversal- und Longitudinalwellen • Viele verschiedene physikalische Größen können Wellen bilden • Mechanik: Druckwellen in Gasen, Flüssigkeiten oder Festkörpern (“Schall”), Schwingungen von Saiten, ... • Eletrodynamik (2. Semester): elektromagnetische Wellen: Radiowellen, Licht, ... • ... • Zwei grundlegende Typen: Transversal- und Longitudinalwellen (Quer- und Längswellen) • Longitudinalwellen: Auslenkung ist parallel zur Wellenfortpflanzung, vgl. Abbildung 17.4(b) Beispiel: Schallwellen, generell Druckwellen in Gasen • Transversalwellen: Auslenkung ist senkrecht zur Wellenfortpflanzung, vgl. Abbildung 17.4(a) Beispiel: schwingende Saite, Licht • Transversalwellen können polarisiert sein, siehe Abbildung 17.6 • Lineare Polarisation: Auslenkung und Ausbreitungsrichtung definieren eine feste Ebene • Elliptische oder zirkuläre Polarisation: Auslenkung beschreibt eine Ellipse oder einen Kreis in der Ebene senkrecht zur Ausbreitungsrichtung 17.5 VL 1.2.2017 Wellen in 3D: eben oder kugelförmig • Erweiterung der Wellengleichung auf 3 Dimensionen: – Die Auslenkung, d.h. die schwingende Größe, kann nun ein Vektor ~A(~r,t) sein (muß aber nicht; vgl. Druckwellen) 17.6. BEISPIEL SCHALLWELLEN: HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG 115 – An die Stelle der zweiten Ortsableitung tritt die Summe über alle drei zweiten Ortsableitungen (ohne Beweis).   2 ∂2 ∂2 ~ 1 ∂ 2~A(~r,t) ∂ + + A(~r,t) = 2 (17.22) 2 2 2 ∂x ∂y ∂z v ∂t 2 • Wir definieren den sogenannten Laplace-Operator:  2  ∂ ∂2 ∂2 ~ ~ ∆ = ∇·∇ = + + ∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 (17.23) • Einfachere Schreibweise der Wellengleichung in 3D dann: 1 ∂ 2~A(~r,t) ∆~A(~r,t) = 2 v ∂t 2 (17.24) • Eine Lösung hierzu, wie wir sie schon kennen: Ebene Welle (nachrechnen!) ~A(~r,t) = ~A0 sin(ωt −~k ·~r) (17.25) • Der Wellenvektor ~k zeigt in die Ausbreitungsrichtung • Der Amplitudenvektor ~A0 zeigt in die Auslenkungsrichtung • Eine Wellenfront, also die Menge der Punkte gleicher Auslenkung, hat~r ·~k = const. • Definiert Ebenen, daher “ebene Welle” • Was passiert, wenn eine Welle von einer Punktquelle ausgeht? • Ebenfalls eine Lösung1 (nachrechnen!): A(~r,t) = A0 sin(ω t − k r) mit r r = |~r| = p x2 + y2 + z2 (17.26) • Kugelwelle! • Wellenfronten sind Kugelschalen • Amplitude nimmt mit Radius ab, da die transmittierte Energie konstant bleiben muß (genauer später) • Beispiel Druckwelle einer Explosion, Abbildung 17.7 17.6 Beispiel Schallwellen: Herleitung der Wellengleichung • Beispielrechnung, auch auf zukünftige Semester vorgreifend, um zu demonstrieren, wie die Wellengleichung in einem realen physikalischen System auftritt. Definitiv kein Klausurstoff. • Ideale Gasgleichung (kommt in der Thermodynamik-Vorlesung, 3. oder 4. Semester?) für Gas in einem Volumen V (abgeschlossener Behälter): pV = N kB T (17.27) p ist der Gasdruck, V das Gasvolumen, N die Anzahl der Gasteilchen, kB die BoltzmannKonstante und T die Temperatur. 1 Hier ist A Skalar; geht auch für Vektoren ~A, ist aber deutlich komplizierter hinzuschreiben −→ hier nicht 116 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN Abbildung 17.7: Kugelwelle. Operation “Sailor Hat”, Test-Explosion von 500t TNT (1965). US Government work, public domain. 17.6. BEISPIEL SCHALLWELLEN: HERLEITUNG DER WELLENGLEICHUNG 117 • Der Gasdruck p ist ein Skalar und gibt die Kraft an, die pro Fläche auf die Wand des Behälters wirkt (immer senkrecht zur Wand). • Wir nehmen eine konstante Temperatur und eine konstante Teilchenzahl an, also gilt pV = const. const. V p= (17.28) • Schallwellen sind longitudinale Druckwellen, d.h. der Gasdruck ändert sich lokal, da die Gasteilchen hin- und herschwingen • Wir betrachten ein Volumenelement am Ort x0 mit Dicke dx und Querfläche S, also V = S dx (17.29) • Die Auslenkung der Gasteilchen bei x = x0 sei A(x0 ); für den Ort x0 + dx gilt dann ∂A dx ∂x A(x0 + dx) = A(x0 ) + (17.30) • Durch die Auslenkung ändert sich unser Volumen um dV = S (A(x0 + dx) − A(x0 )) = S ∂A dx ∂x (17.31) und damit der Druck aufgrund von Gleichung 17.28 (ja, das läßt sich herleiten!) um dp = −p dV ∂A = −p V ∂x (17.32) • Die Kraft auf ein Volumenelement ergibt sich aus der räumlichen Änderung des Drucks, und sie wirkt “rückwärts” von der betrachteten Ebene in Richtung des Volumenelements: ∂ dF = S(−dp(x0 + dx) + dp(x0 )) = dx dp (17.33) ∂x • Wir setzen dp ein und erhalten dF = pS ∂ 2A dx ∂ x2 (17.34) • Die Masse dM in einem Volumenelement dV erhalten wir aus der Dichte ρ: dM = ρ dV = ρS dx (17.35) • Newton 2 für das Volumenelement: pS ∂ 2A ∂ 2A dx = ρSdx ∂ x2 ∂t 2 −→ pS ∂ 2A ∂ 2A = ρS ∂ x2 ∂t 2 (17.36) • Und das ist gerade die Wellengleichung! Aus Vergleich der Konstanten ergibt sich für die Schallgeschwindigkeit: r p v= (17.37) ρ • Luft, Normaldruck p = 1 bar, T = 0◦ C: v = 331 m/s • Helium: Dichte kleiner −→ “Mickey-Mouse-Effekt” 118 KAPITEL 17. MECHANISCHE WELLEN Kapitel 18 Interferenz von Wellen 18.1 Reflexion und stehende Wellen • Abbildung 18.1: Seilwelle läuft auf festes Ende zu • Beobachtung: Reflexion, mit entgegengesetzter Amplitude • “Phasensprung” um π • Freischwingendes Ende: ebenfalls Reflexion, aber ohne Phasensprung • Zugrundeliegend: Unterschiedliche Randbedingunen für die Lösungen der Wellengleichung • Ähnliches kommt im 2. Semester mit elektromagnetischen Wellen (Licht, Radiowellen) wieder! • Wir lassen nun eine kontinuierliche harmonische Welle wie in Abbildung 18.1 auf ein reflektierendes Ende einlaufen • Vorwärtslaufende (A+ ) und rückwärtslaufende, reflektierte Welle (A− ) überlagern sich! Abbildung 18.1: Reflexion einer Seilwelle an (a) festem und (b) offenem Ende. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn. 119 120 KAPITEL 18. INTERFERENZ VON WELLEN Abbildung 18.2: Zwei entgegengesetzt zueinander laufende Wellen gleicher Frequenz und Wellenlänge überlagern sich und bilden eine stehende Welle. Quelle: Wikipedia • “Interferenz”: die beiden Wellenauslenkungen addieren sich, ohne daß sich die Wellen weiter beeinflussen • In Formeln: A+ (x,t) = A0 cos(ωt − kx) (18.1) A− (x,t) = A0 cos(ωt + kx + φ ) (18.2) • Summe, Additionstheorem für Kosinus: A(x,t) = A+ (x,t) + A− (x,t) = 2A0 cos(kx − φ φ ) · cos(ωt + ) 2 2 (18.3) • Überlagerung führt dazu, daß sich ortsfeste “Knoten” mit Schwingungsamplitude Null und “Bäuche” mit maximaler Schwingungsamplitude ausbilden • “Stehende Welle” • Schöne Animation online in Wikipedia, wie sich das zeitlich ausbildet, wenn eine Welle auf eine Wand zuläuft und reflektiert wird • Welle wird zwischen zwei Barrieren hin- und herreflektiert wird: stehende Wellen sind aufgrund der Randbedingungen nur für bestimmte Frequenzen möglich • Beispiel Seilwelle: Die Auslenkung muß an Enden, an denen das Seil befestigt ist, konstant Null sein −→ Bedingung für Wellenlänge λ 18.2. HUYGENSSCHES PRINZIP 121 Abbildung 18.3: Durchlauf einer Wasserwelle durch einen Doppelspalt. Nach dem Huygensschen Prinzip gehen von jedem Spalt wieder Kugelwellen aus. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn • Für Seil der Länge L: A(0,t) = A(L,t) = 0 (18.4) • Einsetzen von Gleichung 18.3 ergibt φ cos(− ) = 0 2 und cos(kL − φ )=0 2 (18.5) • Die Nullstellen des Kosinus haben einen Abstand von π voneinander −→ kL = nπ n∈N (18.6) nπ n∈N L 2πL 2L λ= = n∈N nπ n k= • Fundamentalfrequenz (L = λ1 /2) und Harmonische (λn = λ1 /n, (18.7) (18.8) n = 2,3, . . . ) • Animation dieser Schwingungsmoden auf Wikipedia 18.2 Huygenssches Prinzip • Huygenssches Prinzip: einfache Regel, mit der man die Ausbreitung von Wellen in mehreren Dimensionen beschreiben kann Jeder Punkt auf der Phasenfläche einer Welle kann als Ausgangspunkt einer Kugelwelle (“Elementarwelle”) angesehen werden. Die Amplituden dieser Elementarwellen interferieren und bilden so die resultierenden Phasenflächen. • Beispiel: Interferenz von Wasserwellen am Doppelspalt, Abbildung 18.3 122 KAPITEL 18. INTERFERENZ VON WELLEN Abbildung 18.4: Doppler-Effekt: bewegt sich die Quelle einer Welle, so werden entsprechend der Bewegungsrichtungen im ruhenden Bezugssystem höhere bzw. niedrigere Frequenzen wahrgenommen. Bei höherer Geschwindigkeit bildet sich eine Stoßfront bzw. ein Mach-Kegel. Quelle: Skript Dr. Tobias Korn • Ebene Wellen laufen auf Mauer mit zwei kleinen Schlitzen zu • Aus jedem Schlitz entstehen dann Kugelwellen, und diese interferieren miteinander • Weiteres Beispiel: eine ebene Wellenfront trifft schräg auf eine Wand • Man stellt sich vor, daß an jedem Auftreffpunkt wieder Kugelwellen entstehen • Interferenz dieser Kugelwellen: reflektierte ebene Welle! • Automatisches Resultat: Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel 18.3 Bewegte Quellen • Bewegte, punktförmige Quelle, die Kugelwellen mit Frequenz f abgibt • Z.B. Sirene in Auto • Wir wissen aus Alltag, daß Tonhöhe höher / tiefer ist, wenn sich die Quelle her / wegbewegt • Doppler-Effekt • Quelle emittiert im Zeitabstand T Wellenfronten, siehe Abbildung 18.4 • In der Zeit T bewegt sie sich aber auch um Strecke v · T nach rechts 18.3. BEWEGTE QUELLEN 123 • Effektive Wellenlänge rechts, im ruhenden Bezugssystem: λ = λ0 − v · T = vph − v f0 (18.9) Ruhender Beobachter rechts mißt die Frequenz f= vph vph 1 = f0 = f0 λ vph − v 1 − vvph (18.10) • Analoge Betrachtung für einen bewegten Beobachter und eine ruhende Quelle • Quelle wird schnell im Vergleich mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle wird (z.B. Flugzeug / Schallgeschwindigkeit): Wellenfronten kommen einander immer näher, addieren sich zu starker Druckänderung • Kopfwelle (Luftfahrt), Bugwelle (Schifffahrt) • Hindernis zum Erreichen höherer Geschwindigkeiten, “Schallmauer” • Bewegt sich die Quelle schneller als vph −→ Wellenfronten bilden Kegel, “Mach’scher Kegel” • sichtbar bei Flugzeugen, die die Schallmauer durchbrechen (wegen starken Druckschwankungen und Kondensation dadurch) 124 KAPITEL 18. INTERFERENZ VON WELLEN Kapitel 19 Zum Abschluß... Quelle: xkcd Webcomic, https://xkcd.com/435/, CC BY-NC 2.5 Viel Erfolg bei der Klausur! 125