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¨ Ubungen zu Statistik ¨ r Mittwoch, 16. Ma ¨ rz 2016 fu
17) Die Erfahrung zeigt, dass K¨aufer einer Theaterkarte mit einer Wahrscheinlichkeit von 20 % nicht zur Vorstellung erscheinen. Ein (kleines) Theater besitzt 60 Sitzpl¨atze und nimmt angesichts der eben erw¨ahnten Tatsache 62 Reservierungsw¨ unsche entgegen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Besucher der Vorstellung tats¨achlich einen Sitzplatz bekommen? 18) Beim Korrekturenlesen f¨ ur ein Buch mit 350 Seiten wurden 350 Druckfehler entdeckt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, auf einer beliebig herausgegriffenen Seite (a) keinen Druckfehler, (b) mindestens 3 Druckfehler zu finden? 19) Im ¨osterreichischen Lotto 6 aus 45“ besteht ein Tipp aus dem Setzen ” von 6 Zahlen zwischen 1 und 45. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) k der 6 Zahlen in einem Tipp richtig sind (k = 1, 3, 5), (b) genau 5 der 6 Zahlen in einem Tipp richtig sind und die einzige falsche“ Zahl im Tipp ” bei der Ziehung als siebente erscheint ( F¨ unfer mit Zusatzzahl“)? ” 20) Die Zufallsvariable X sei geometrisch verteilt mit dem Parameter p = 0,9. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P (4 ≤ X ≤ 7 oder X > 8). 21) Unter N Werkst¨ ucken sind M defekt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 5 zuf¨allig ausgew¨ahlten Werkst¨ ucken 3 defekt sind f¨ ur (a) N = 30, M = 4 und (b) N = 120, M = 16. Approximieren Sie in beiden F¨allen die hypergeometrische Verteilung durch die Binomialverteilung und interpretieren Sie Ihr Ergebnis! 22) Eine Firma stellt Meißel mit der Ausschusswahrscheinlichkeit p = 0, 03 her. Diese Meißel werden in Kisten zu je 100 St¨ uck verkauft. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich in einer Kiste (a) keine, (b) h¨ochstens 2 fehlerhafte Meißel befinden? 23) Die L¨ange eines Werkst¨ uckes sei normalverteilt mit den Parametern µ = 2 2 2 m und σ = 0, 04 m . Als Ausschuss werden alle Werkst¨ ucke bezeichnet, die
k¨ urzer als 1,8 m oder l¨anger als 2,2 m sind. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Werkst¨ uck Ausschuss ist. (b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten P (X > 1, 6) bzw. P (X ≤ 2, 1). 24) Die stetige Zufallsvariable X besitze eine Dichtefunktion fX (x) mit unten stehendem Graphen, wobei a = 5 sei. (Bemerkung: Eine solche Zufallsvariable X heißt dreieck- oder Simpson-verteilt auf dem Intervall [−a, a].) Berechnen Sie den Wert c und geben Sie die Dichtefunktion fX (x) explizit an. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion FX (x) und den Erwartungswert E(X).
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