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¨ Ubungen zu Statistik ¨ r Mittwoch, 20. April 2016 fu
25) a) Die Zufallsvariable χ2 sei Chi-Quadrat-verteilt mit 11 Freiheitsgraden. Bestimmen Sie c derart, dass P (χ2 ≥ c) = 0, 025 ist. b) Die Zufallsvariable Z sei standard-normalverteilt. Bestimmen Sie c derart, dass P (−c < Z < c) = 0, 9 ist. 26) (a) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) habe die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion 1 p(2, 2) = , 5
p(2, 3) =
1 , 10
1 p(3, 2) = , 2
1 p(3, 3) = . 5
Stellen Sie fest, ob X und Y voneinander unabh¨angig sind. 27) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die in Beispiel 26 angegebene gemeinsame Wahrscheinlichkeitsfunktion. Berechnen Sie die Kovarianz von X und Y und den Korrelationskoeffizienten zwischen X und Y . 28) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) sei gleichverteilt im Dreieck mit den Eckpunkten (0, 0), (4, 0), (2, 2). Bestimmen Sie auf elementargeometrischem Weg die Wahrscheinlichkeit P (X ≤ 3, Y ≤ 1). 29) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die gemeinsame Dichtefunktion c[1 + xy(x2 − y 2 )] f¨ ur |x| ≤ 2 und |y| ≤ 2, f (x, y) = 0 sonst. a) Bestimmen Sie (ohne zun¨achst c zu kennen) die Randdichten fX (x) und fY (y). b) Bestimmen Sie unter Verwendung von a) den Wert der Konstanten c. 30) Die zweidimensionale Zufallsvariable (X, Y ) besitze die gemeinsame Dichtefunktion x−1 2 1 −2 ·y +y 2 − x−1 2 f (x, y) = √ e 3 ( 2 ) , 2π 3
n
o
(x, y) ∈ R2 .
Geben Sie die Randdichten fX (x) und fY (y) sowie den Korrelationskoeffizienten %X,Y an. 31) 100 W¨ urfel werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie mithilfe des Zentralen Grenzwertsatzes einen N¨aherungswert f¨ ur die Wahrscheinlichkeit an, dass die Augenzahlsumme gr¨oßer als 380 ist. 32) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter 10000 zuf¨allig gew¨ahlten Ziffern aus der Menge {0, 1, . . . , 9} die Ziffer 5 nicht o¨fter als 984-mal aufscheint.
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